注意事項(xiàng)：
1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 設(shè)集合，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】化簡集合A,B再求交集即可.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>所以.
故選：A
2. 下列函數(shù)的最小正周期為，且在上單調(diào)遞減的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出各函數(shù)的周期和單調(diào)區(qū)間即可得出結(jié)論.
【詳解】由題意，
A項(xiàng)，在中，，，最小正周期為，
當(dāng)單調(diào)遞增時(shí)，，
解得：
∴在上不單調(diào)遞減，A錯(cuò)誤；
B項(xiàng)，在中，，最小正周期為，
當(dāng)單調(diào)遞增時(shí)，，
解得：
∴在上不單調(diào)遞減，B錯(cuò)誤；
C項(xiàng)，在中，，周期,
∴函數(shù)在即上單調(diào)遞減，
∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，C正確；
D項(xiàng)，在中，，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
3. 某旅游團(tuán)計(jì)劃去湖南旅游，該旅游團(tuán)從長沙?衡陽?郴州?株洲?益陽這5個(gè)城市中選擇4個(gè)（選擇的4個(gè)城市按照到達(dá)的先后順序分別記為第一站?第二站?第三站?第四站），且第一站不去株洲，則該旅游團(tuán)四站的城市安排共有（）
A. 96種B. 84種C. 72種D. 60種
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)分步乘法原理先考慮第一站，再考慮余下的三站得解.
【詳解】因?yàn)榈谝徽静蝗ブ曛?，所以第一站可以從長沙?衡陽?郴州?益陽這4個(gè)城市中選擇1個(gè)，共有4種選擇，
余下的三站可以從剩下的4個(gè)城市中選擇3個(gè)，所以該旅游團(tuán)四站的城市安排共有種.
故選：A.
4. 在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，是方程的兩個(gè)不同的復(fù)數(shù)根，則的值為（）
A. 1B. C. 2D. 或2
【答案】D
【解析】
【分析】分解因式解方程,再求模長即可求解.
【詳解】由，
得.
因?yàn)?，所以或?br>當(dāng)或，；
當(dāng)或，.
故選：D
5. 星等是衡量天體光度的量.為了衡量星星的明暗程度，古希臘天文學(xué)家喜帕佮斯在公元前二世紀(jì)首先提出了星等這個(gè)概念，例如：2等星的星等值為2.已知兩個(gè)天體的星等值和它們對(duì)應(yīng)的亮度滿足關(guān)系式，則（）
A. 3等星的亮度是0.5等星亮度的倍
B. 0.5等星的亮度是3等星亮度的倍
C. 3等星的亮度是0.5等星亮度的10倍
D. 0.5等星的亮度是3等星亮度的10倍
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意建立對(duì)數(shù)關(guān)系式，并結(jié)合指對(duì)數(shù)互化求解.
【詳解】本題考查對(duì)數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用，考查應(yīng)用意識(shí)與邏輯推理的核心素養(yǎng).
當(dāng)時(shí)，，
則，則，
所以0.5等星的亮度是3等星亮度的10倍，故D正確.
故選：D.
6. 已知是拋物線上的兩點(diǎn)，為的焦點(diǎn)，，點(diǎn)到軸的距離為，則的最小值為（）
A. 9B. 10C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)拋物線的定義求解即可.
【詳解】因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)在線段上時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為9，
故選：A
7. 若函數(shù)與圖象的交點(diǎn)為，則曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為（）
A. 4B. 6C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)，結(jié)合單調(diào)性求出交點(diǎn)A的坐標(biāo)，求出曲線在點(diǎn)A處的切線方程得解.
【詳解】由，得，設(shè)，則，
所以為R上的增函數(shù)，
因?yàn)椋?
又，則，所以曲線在點(diǎn)A處的切線方程為，
令，得，令，得，
則所求三角形的面積為.
故選：B.
8. 在正三棱臺(tái)中，，二面角為，則該三棱臺(tái)的體積為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合正三棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征求出棱臺(tái)的高，再利用棱臺(tái)的體積公式計(jì)算即得.
【詳解】在正三棱臺(tái)中，令的中點(diǎn)分別為，連接，
則，于是二面角的平面角為，即，
設(shè)上底面與下底面的中心分別為，連接，則，
過點(diǎn)作，垂足為，則，則，則，
所以該三棱臺(tái)的體積為.
故選：B
二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知半徑為的圓的圓心在直線上，且圓與直線相切，則圓的圓心坐標(biāo)可能為（）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用圓心到直線的距離等于半徑列方程求解.
【詳解】依題意可設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為，
則，解得或，
所以圓的圓心坐標(biāo)為或.
故選：AC
10. 若三個(gè)不同的平面兩兩相交，且，則交線的位置關(guān)系可能是（）
A. 重合B. 相交于一點(diǎn)C. 兩兩平行D. 恰有兩條交線平行
【答案】ABC
【解析】
【分析】構(gòu)造長方體模型，選擇其中的若干平面作為平面，即可依次判斷即得.
【詳解】
如圖，作出一個(gè)長方體.
對(duì)于A項(xiàng)，可把平面依次取為平面，它們兩兩相交于共同的交線,故A項(xiàng)正確；
對(duì)于B項(xiàng)，可把平面依次取為平面，此時(shí)，,,,
而易得三條交線交于同一點(diǎn)D，故B項(xiàng)正確；
對(duì)于C項(xiàng)，可把平面依次取為平面,此時(shí)，,,,
而易得三條交線兩兩平行，故C項(xiàng)正確；
對(duì)于D項(xiàng)，可把平面依次取為平面,此時(shí)，,,,
若只有因平面，而平面，則平面,
又平面,而平面平面=，則有,
即交線的位置關(guān)系不可能是恰有兩條交線平行，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：ABC.
11. 已知平行四邊形的面積為，且，則（）
A. 的最小值為2
B. 當(dāng)在上的投影向量為時(shí)，
C. 的最小值為
D. 當(dāng)在上的投影向量為時(shí)，
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用面積得出邊長乘積為定值，再利用平面向量基本定理表示結(jié)合不等式判斷A和C,利用投影向量判斷BD.
【詳解】因?yàn)?，所?
設(shè)，則，解得，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，A正確.
因?yàn)椋?br>所以
，
所以,
,
,
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值為,C正確.
如圖，過點(diǎn)作，垂足為，則在上的投影向量為，
當(dāng)在上的投影向量為時(shí)，.
因?yàn)?，所以，得?br>則
,
故B錯(cuò)誤，D正確.
故選：ACD
12. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)是定義在上的奇函數(shù)，函數(shù)），則必有（）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)為奇函數(shù)，利用奇函數(shù)性質(zhì)可得，從而可得且，從而可對(duì)A、B、D判斷；取特殊函數(shù)，從而可得，從而對(duì)C判斷.
【詳解】對(duì)A、B、D：由條件可知，
因?yàn)?，所以，且?br>可得，
所以，所以A、B、D均正確.
對(duì)C：取，
則，
此時(shí)滿足是定義在上的奇函數(shù)，，所以未必成立，故C錯(cuò)誤.
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于抽象函數(shù)，根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，從而求出，然后可求得且得為奇函數(shù)，即可對(duì)A、B、D判斷求解；利用特殊函數(shù)可對(duì)C判斷求解.
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 若，則__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)兩角和的余弦公式化簡可得.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋?br>所以，即.
故答案為：.
14. 已知橢圓的周長，其中分別為橢圓的長半軸長與短半軸長.現(xiàn)有如圖所示的橢圓形鏡子，其外輪廓是橢圓，且該橢圓的離心率為，長軸長為，則這面鏡子的外輪廓的周長約為__________cm.（取3.14，結(jié)果精確到整數(shù)）
【答案】211
【解析】
【分析】根據(jù)離心率公式和橢圓a、b、c的關(guān)系計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)?，所?
因?yàn)殚L軸長為，所以，
故.
故答案為：211.
15. 某中學(xué)高一?高二?高三學(xué)生人數(shù)比例為，假設(shè)該中學(xué)高一?高二?高三的學(xué)生閱讀完《紅樓夢(mèng)》的概率分別為，若從該中學(xué)三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)選取1名學(xué)生，則這名學(xué)生閱讀完《紅樓夢(mèng)》的概率不大于0.233，已知該中學(xué)高三的學(xué)生閱讀完《紅樓夢(mèng)》的概率不低于高一的學(xué)生閱讀完《紅樓夢(mèng)》的概率，則的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)全概率公式可知任選1名學(xué)生概率為，由該中學(xué)高三的學(xué)生閱讀完《紅樓夢(mèng)》的概率不低于高一的學(xué)生閱讀完《紅樓夢(mèng)》的概率可得，從而可求解.
【詳解】若從該中學(xué)三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)選取1名學(xué)生，
則這名學(xué)生閱讀完《紅樓夢(mèng)》的概率為，解得.
因?yàn)樵撝袑W(xué)高三的學(xué)生閱讀完《紅樓夢(mèng)》的概率不低于高一的學(xué)生閱讀完《紅樓夢(mèng)》的概率，所以.
故的取值范圍是.
故答案為：.
16. 若為正整數(shù)，記集合中的整數(shù)元素個(gè)數(shù)為，則數(shù)列的前62項(xiàng)和為__________.
【答案】3841
【解析】
【分析】先轉(zhuǎn)化得，再分類討論的取值范圍，利用放縮法判斷得，，從而得解.
【詳解】因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)椋?br>所以，
又，
所以，則；
故數(shù)列的前62項(xiàng)和為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是分析得，從而得到當(dāng)時(shí)，，由此得解.
四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
17. 已知某超市銷售的袋裝食用鹽的質(zhì)量（單位：）服從正態(tài)分布，且0.15.某次該超市稱量了120袋食用鹽，其總質(zhì)量為的值恰好等于這120袋食用鹽每袋的平均質(zhì)量（單位：）.
（1）若從該超市銷售的袋裝食用鹽中隨機(jī)選取2袋，設(shè)這2袋中質(zhì)量不小于的袋數(shù)為，求的分布列；
（2）若從該超市銷售的袋裝食用鹽中隨機(jī)選?。檎麛?shù)）袋，記質(zhì)量在的袋數(shù)為，求滿足的的最大值.
【答案】（1）分布列見解析
（2）199
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意可求得，從而求出，由的可能取值為，從而求出相應(yīng)概率即可列出分布列.
（2）由（1）及可得，且，利用二項(xiàng)分布求方差公式從而可求解.
【小問1詳解】
依題意可得，
則，
的可能取值為，
，，
所以的分布列為
【小問2詳解】因?yàn)?，所?
依題意可得，
所以.
因?yàn)?，所以，又為正整?shù)，所以的最大值為199.
18. 在平面四邊形中，平分.
（1）證明：與相等或互補(bǔ).
（2）若，求內(nèi)切圓的半徑.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）分別在與中利用正弦定理列等式，再由角平分線及邊相等得兩角正弦相等，從而得證；
（2）分別在與中利用余弦定理列等式，由第（1）角與互補(bǔ)關(guān)系代入求出，再求得，再由等面積法求內(nèi)切圓半徑即可.
【小問1詳解】
在中，，
在中，.
因?yàn)槠椒郑?
又，所以，為三角形的內(nèi)角，
所以與相等或互補(bǔ).
【小問2詳解】
假設(shè)與相等，
又平分，則，，，
故與全等，則，這與已知矛盾.
所以假設(shè)錯(cuò)誤，與不相等，故與互補(bǔ).
在中，，
在中，，
所以.
又，
所以，
則.
所以的面積，
設(shè)內(nèi)切圓的半徑的，則，
故.
19. 在數(shù)列中，且.
（1）證明：是等差數(shù)列；
（2）設(shè)的前項(xiàng)和為，證明：.
【答案】（1）證明見解析
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）由題設(shè)求出，再利用等差數(shù)列的定義式計(jì)算，將結(jié)果代入化簡即得差為常數(shù).
（2）根據(jù)（1）結(jié)論求出數(shù)列的通項(xiàng)，再運(yùn)用分組求和的方法求出再證明.
【小問1詳解】
因?yàn)?，所以?br>所以，
所以是公差為1的等差數(shù)列.
【小問2詳解】
因?yàn)?，所以，由?）知，則.
設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，則，
所以，
則，
所以.
20. 在棱長為2的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，直線與平面交于點(diǎn).
（1）求的長；
（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用線面垂直性質(zhì)列方程求解即可；
（2）利用線面角向量公式求解.
【小問1詳解】
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以.
設(shè)，
則.
設(shè)平面的法向量為，
則
令，得.
依題意可得，解得.
所以.
【小問2詳解】
因?yàn)?，所以?br>所以.
設(shè)直線與平面所成的角為，
則，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
21. 在平面直角坐標(biāo)系中，，動(dòng)點(diǎn)滿足，點(diǎn)的軌跡記為曲線.
（1）求的方程.
（2）已知，過點(diǎn)直線（斜率存在且斜率不為0）與交于兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，若為圓上的動(dòng)點(diǎn)，試問是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）根據(jù)雙曲線定義即可求得答案；
（2）設(shè)的方程為，聯(lián)立雙曲線方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系，寫出直線、直線的方程，聯(lián)立并結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系化簡，求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，說明其在定直線上，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)，即可求得答案.
【小問1詳解】
因?yàn)椋?br>所以根據(jù)雙曲線的定義可知點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為6的雙曲線的左支.
由，得，
所以的方程為.
【注】的方程也可以寫為.
【小問2詳解】
由題意可設(shè)的方程為，
設(shè)，
聯(lián)立，得，滿足，
則.
直線，直線，
聯(lián)立與，
得
，
解得，故點(diǎn)在定直線上.
因?yàn)閳A的圓心到直線的距離為，
所以的最小值為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了雙曲線方程的求解以及直線和雙曲線位置關(guān)系中的最小值問題，解答本題的關(guān)鍵是利用直線和雙曲線的方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，推出點(diǎn)P在定直線上，進(jìn)而結(jié)合圓的幾何性質(zhì)，即可求解.
22. 已知函數(shù).
（1）證明：當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立.
（2）若存在，使得，比較與大小，并說明理由.
【答案】（1）證明見解析
（2），理由見解析
【解析】
【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)函數(shù)判斷單調(diào)性可得，進(jìn)而利用放縮和導(dǎo)數(shù)證明在上為增函數(shù)即可；
（2）由，得，要證明，即證，構(gòu)造，再利用導(dǎo)數(shù)證明即可.
【小問1詳解】
設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，
所以為增函數(shù)，所以，
所以，
因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，
所以，所以在上為增函數(shù)，
故，即當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立.
【小問2詳解】
，
證明如下：
不妨設(shè)，由，得，
要證明，只需證，
即證，
即證，
設(shè)函數(shù)，則，
（方法一）設(shè)函數(shù)，則.
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以，所以，
由（1）可知，所以，所以在上單調(diào)遞減，
又，所以，
則，
從而得證.
（方法二）設(shè)函數(shù)，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以，所以，
所以，
因?yàn)榇诉B不等式的兩個(gè)等號(hào)的取等條件不同，所以，
從而，所以，所以在上單調(diào)遞減，
又，所以，
則，
從而得證.
【點(diǎn)睛】研究雙變量問題往往通過某等量關(guān)系得出兩變量之間的關(guān)系式，將雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題，再通過構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行問題求解.
0
1
2
0.25
0.5
0.25

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湖南省衡陽市2023_2024學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期12月月考試題含解析
2023-2024學(xué)年湖南省衡陽市衡陽縣高一上學(xué)期1月期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（含解析）

2023-2024學(xué)年湖南省衡陽市衡陽縣高一上學(xué)期1月期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（含解析）
湖南省衡陽市2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期1月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）

湖南省衡陽市2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期1月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）
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