請(qǐng)注意：時(shí)量120分鐘 滿分150分
一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）
1．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意求出集合，然后利用集合的交集運(yùn)算即可求解.
【詳解】由題意得，因?yàn)椋?br>所以，故D項(xiàng)正確.
故選:D
2. 已知為虛數(shù)單位，且，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】按復(fù)數(shù)的除法進(jìn)行運(yùn)算即可.
【詳解】由題意：.
故選：B.
3.在等差數(shù)列中，若，則（ ）
A．12B．18C．6D．9
【答案】D
【解析】因?yàn)榈炔顢?shù)列中，
所以，所以.
故選：D.
4.在的展開式中，的系數(shù)為（ ）
A．8B．10C．80D．160
【答案】C
5．已知，，，則的最小值為（ ）
A．4B．6C．8D．9
【答案】C
【分析】利用基本（均值）不等式求和的最小值.
【詳解】∵，，，
∴（當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)取“=”）.
故選：C
6．有七名同學(xué)排成一排, 其中甲, 乙兩人不能在一起, 丙, 丁兩人要排在一起的排法數(shù)是
A．960B．720C．480D．240
【答案】A
【解析】先把丙, 丁兩人綁定，與沒(méi)有要求的另外三人，進(jìn)行全排列，有5個(gè)空，甲, 乙兩人插空，由分步計(jì)算原理計(jì)算出結(jié)果．
【詳解】第一步，先把丙, 丁兩人綁定，有種方法；
第二步，把綁定的二人與無(wú)要求的三人全排列，有種方法，這時(shí)形成5個(gè)空；
第三步，把甲, 乙兩人，插入5個(gè)空中，有種方法，
由分步計(jì)算原理可知：有七名同學(xué)排成一排, 其中甲, 乙兩人不能在一起, 丙, 丁兩人要排在一起的排法數(shù)是，故本題選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了分步計(jì)算原理、排列有關(guān)知識(shí)．本題涉及到綁定法、插空法．
7．如圖，已知是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，為雙曲線上兩點(diǎn)，滿足，且，則雙曲線的離心率為（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)雙曲線的定義和性質(zhì)分析可得，進(jìn)而可得，結(jié)合勾股定理運(yùn)算求解.
【詳解】延長(zhǎng)與雙曲線交于點(diǎn)，
因?yàn)椋鶕?jù)對(duì)稱性可知，
設(shè)，則，
可得，即，
所以，則，，
即，可知，
在中，由勾股定理得，
即，解得.
故選：D.

8．函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，若不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題目條件可構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)判斷出函數(shù)單調(diào)性，將不等式轉(zhuǎn)化成，即在上恒成立，求出函數(shù)在上的最大值即可得的取值范圍.
【詳解】設(shè)，，
所以函數(shù)在上為增函數(shù)．
由的定義域?yàn)榭芍?，得?br>將不等式整理得，即，
可得在上恒成立，即在上恒成立；
令，其中，所以
，令，得．
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；
所以，即
故選：B．
二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分）
9.給出如下四個(gè)命題正確的是（）
A. 方程表示的圖形是圓
B. 橢圓的離心率
C. 拋物線的準(zhǔn)線方程是
D. 雙曲線的漸近線方程是
【答案】BC
【解析】
【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，配方得其表示點(diǎn)，故錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，直接求解離心率，故錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，化標(biāo)準(zhǔn)形式，再求解即可判斷；對(duì)于D選項(xiàng)，化為標(biāo)準(zhǔn)形式得，再求解即可判斷；
【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，，故，表示點(diǎn)，故錯(cuò)誤；
對(duì)于B選項(xiàng)，由題知，所以，所以離心率，故錯(cuò)誤；
對(duì)于C選項(xiàng)，拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)形式得拋物線，故準(zhǔn)線方程是，故正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，，焦點(diǎn)在軸上，故漸近線方程是，故錯(cuò)誤.
故選：BC
10.在等比數(shù)列{an}中，公比q為整數(shù)，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a1·a4＝32，a2＋a3＝12，則下列說(shuō)法正確的是( )
A.q＝2
B.數(shù)列{Sn＋2}是等比數(shù)列
C.S8＝510
D.數(shù)列{lg an}是公差為2的等差數(shù)列
答案 ABC
解析 因?yàn)閧an}為等比數(shù)列，且a1·a4＝32，所以a2·a3＝32.又a2＋a3＝12，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝4，,a3＝8，,q＝2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝8，,a3＝4，,q＝\f(1,2).))又公比q為整數(shù)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝4，,a3＝8，,q＝2，))即an＝2n，Sn＝eq \f(2×（1－2n）,1－2)＝2n＋1－2.對(duì)于A，由上可得q＝2，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)镾n＋2＝2n＋1，所以eq \f(Sn＋1＋2,Sn＋2)＝eq \f(2n＋2,2n＋1)＝2，則數(shù)列{Sn＋2}是等比數(shù)列，故B正確；對(duì)于C，S8＝29－2＝510，故C正確；對(duì)于D，lg an＋1－lg an＝lg 2，即數(shù)列{lg an}是公差為lg 2的等差數(shù)列，故D錯(cuò)誤.故選ABC.
11.如圖所示，棱長(zhǎng)為3的正方體中，為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（）
A. B. 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為1
C. 是定值 D. 與所成的角可能是
【答案】ABC
【解析】
【分析】以為原點(diǎn)，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè) ，，計(jì)算，可判斷A；假設(shè)與所成的角是，則，求解可判斷B；計(jì)算，可判斷C；當(dāng)時(shí)，，求出平面的法向量，利用點(diǎn)到平面的距離公式可判斷D.
【詳解】以為原點(diǎn)，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，
設(shè) ，，則，，
所以 ，則，故A正確；
因?yàn)椋?br>所以，
若與所成的角是，
則，即，
整理得，得，與矛盾，故D錯(cuò)誤；
，，所以為定值，故C正確；
當(dāng)時(shí)，，
，，，
設(shè)平面的法向量為，
由令，則，，，
點(diǎn)到平面的距離，故B正確.
故選：ABC.
12．已知函數(shù)，則（ ）
A．當(dāng)時(shí)，在處的切線方程為
B．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增
C．當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)
D．若有三個(gè)不相等的實(shí)根，，，則
【答案】ABC
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程即可判斷A；當(dāng)時(shí)，即可判斷B選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即可判斷C選項(xiàng)；由得到是的一個(gè)根，當(dāng)時(shí)，由得，然后根據(jù)的奇偶性可得，即可判斷D選項(xiàng).
【詳解】，
當(dāng)時(shí)，，，，所以切線方程為，故A正確；
令，可得，
令，則，
令，則，令，則，
所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，則，
即當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故B正確；
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，
所以當(dāng)時(shí)，與的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即有兩個(gè)不同的變號(hào)零點(diǎn)，
所以時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)，故C正確；
因?yàn)?，所以是的一個(gè)實(shí)根，
當(dāng)時(shí)，由，可得，則直線與函數(shù)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，設(shè)，
又，所以為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以，所以，故D錯(cuò).
故選：ABC.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍：
①若單調(diào)遞增，則；
②若單調(diào)遞減，則.
三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案寫在答題卡的橫線上）
13..已知，則 ．
【答案】3
【分析】根據(jù)條件，得到，再利用“齊次式”即可求出結(jié)果.
【詳解】，所以，
故答案為：3
14．設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且，，則.
【答案】
【分析】利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算求解即可.
【詳解】已知向量，的夾角的余弦值為，且，，
則，
.
故答案為：.
15．某班為響應(yīng)校團(tuán)委發(fā)起的“青年大學(xué)習(xí)”號(hào)召組織了有獎(jiǎng)知識(shí)競(jìng)答活動(dòng)，第一環(huán)節(jié)是一道必答題，由甲乙兩位同學(xué)作答，每人答對(duì)的概率均為0．7，兩人都答對(duì)的概率為0．5，則甲答對(duì)的前提下乙也答對(duì)的概率是________．(用分?jǐn)?shù)表示)
記事件A：甲答對(duì)，事件B：乙答對(duì)，則有：P(A)＝P(B)＝0．7，
P(AB)＝0．5，所以P(B|A)＝eq \f(P?AB?,P?A?)＝eq \f(0.5,0.7)＝eq \f(5,7)．
16.在梯形中，，，，將沿折起，連接，得到三棱錐，當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時(shí)，該三棱錐的外接球的表面積為______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)梯形的邊長(zhǎng)可求出，由幾何體翻折過(guò)程中體積最大可得平面平面，由面面垂直性質(zhì)可確定外接球的球心以及半徑，即可求得其表面積.
【詳解】過(guò)點(diǎn)作，垂足為，如圖下圖所示：
因?yàn)闉榈妊菪危?，，所以?br>，可得，
由余弦定理得，即，
易知，所以，
易知，當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐體積最大，如圖所示：
此時(shí)，平面，易知，，
記為外接球球心，半徑為，
由于平面，，因此到平面的距離，
又的外接圓半徑，
因此外接球半徑，
即可得球的表面積為.
故答案為：
四、解答題（本大題共6小題，第17題10分，其余各小題為12分，共70分。）
17．17．已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且acs C＋eq \r(3)asin C－b－c＝0．
(1)求A；
(2)若a＝2，則△ABC的面積為eq \r(3)，求b，c．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由正弦定理，可得.
即，
所以
整理得,即
由
故.
18．已知等差數(shù)列和正項(xiàng)等比數(shù)列滿足：，，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．
【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為，
則，
消元得或（舍去），故，
故.
（2）由，
則①
②
①②得：
故.
19.如圖所示，在直三棱柱中，，，，分別是，的中點(diǎn)．
(1)求證：平面；
(2)求點(diǎn)到平面的距離．
【答案】(1)證明見詳解；
（2）2.
【分析】（1）利用空間向量證明即可；
（2）利用空間向量求解即可.
【詳解】（1）如圖，以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則
因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以，，所以，
平面的一個(gè)法向量為，
因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)槠矫?，平面?br>所以平面.
（2）由（1）知，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，所以平面的一個(gè)法向量為.
所以點(diǎn)到平面的距離為，
故點(diǎn)到平面的距離為2.
20.進(jìn)行垃圾分類收集可以減少垃圾處理量和處理設(shè)備，降低處理成本，減少土地資源的消耗，具有社會(huì)?經(jīng)濟(jì)?生態(tài)等多方面的效益，是關(guān)乎生態(tài)文明建設(shè)全局的大事.為了普及垃圾分類知識(shí),某學(xué)校舉行了垃圾分類知識(shí)考試，試卷中只有兩道題目，已知甲同學(xué)答對(duì)每題的概率都為，乙同學(xué)答對(duì)每題的概率都為，且在考試中每人各題答題結(jié)果互不影響.已知每題甲、乙兩位同學(xué)中恰有一人答對(duì)的概率為.
(1)求的值及每題甲、乙兩位同學(xué)同時(shí)答對(duì)的概率；
(2)試求兩人答對(duì)的題數(shù)之和為3的概率.
【答案】(1)，甲、乙同時(shí)答對(duì)的概率為
(2)
【分析】（1）由互斥事件和對(duì)立事件的概率公式列方程可解得，再求解每題甲、乙兩位同學(xué)同時(shí)答對(duì)的概率；
（2）分別求出兩人答對(duì)1道的概率，答對(duì)兩道題的概率，兩人共答對(duì)3道題，則是一人答對(duì)2道題另一人答對(duì)1道題，由互斥事件和獨(dú)立事件概率公式可得結(jié)論．
【詳解】（1）設(shè){甲同學(xué)答對(duì)第一題}，{乙同學(xué)答對(duì)第一題}，則，.
設(shè){甲、乙二人均答對(duì)第一題}，{甲、乙二人中恰有一人答對(duì)第一題}，
則，.
由于二人答題互不影響，且每人各題答題結(jié)果互不影響，所以與相互獨(dú)立，與相互互斥，
所以，
.
由題意可得，則 ，，所以，
每題甲、乙同時(shí)答對(duì)的概率為；
（2）設(shè){甲同學(xué)答對(duì)了道題}，{乙同學(xué)答對(duì)了道題}，，1，2.
由題意得，，，，.
設(shè){甲乙二人共答對(duì)3道題}，則.由于和相互獨(dú)立，與相互互斥，
所以.
所以，甲乙二人共答對(duì)3道題的概率為.
21．已知橢圓的離心率，且點(diǎn)在橢圓上.
(1)求橢圓的方程；
(2)若經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，記橢圓的上頂點(diǎn)為，當(dāng)直線的斜率變化時(shí)，求面積的最大值.
【答案】(1)
(2)16
【分析】根據(jù)離心率的值和定義可以求出之間的關(guān)系式，待定系數(shù)法設(shè)出橢圓方程后把已知點(diǎn)代入求解即可.
設(shè)出直線方程后，聯(lián)立直線和橢圓方程，消元化簡(jiǎn)后，可得，利用弦長(zhǎng)公式求出弦長(zhǎng)，再利用點(diǎn)到直線距離公式求出三角形的高，的面積可用直線斜率進(jìn)行表達(dá)，通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，求出最值即可.
【詳解】（1）橢圓的離心率，
則，即，
所以，橢圓方程為.
將點(diǎn)代入方程得，
故所求方程為.
（2）點(diǎn)在橢圓內(nèi)，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，
由得.
設(shè)，則.
.
點(diǎn)到的距離.
令，則則.
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，是所求最大值.

22.已知函數(shù).
(1)若有兩個(gè)極值點(diǎn).求實(shí)數(shù)的取值范圍.
(2)在（1）的條件下，求證：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）二次求導(dǎo),根據(jù)單調(diào)性結(jié)合最值確定極值點(diǎn)個(gè)數(shù)求參即可;
（2）構(gòu)造函數(shù)應(yīng)用單調(diào)性求最值，把分解為分別證明不等式可得.
【詳解】（1）因?yàn)?，所?
令，則.
因?yàn)橛袃蓚€(gè)極值點(diǎn)，，所以有兩個(gè)不等正實(shí)根.
①當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
則在上至多有一個(gè)零點(diǎn)，舍去.
②當(dāng)時(shí)，令得
當(dāng)時(shí)，，則在上為增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，則在上為減函數(shù)；
所以時(shí)，取極大值，即為最大值為.
所以有兩個(gè)不等正實(shí)根的必要條件是
，解得.
x→0，f(x)→0-；x→+∞，f(x)→-∞所以時(shí)，有兩個(gè)不等正實(shí)根.
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
（2）由（1）知，且.所以
因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，及，
所以，又因?yàn)椋?
因?yàn)?，所?
所以，所以，
所以.所以.
其中（其中）
構(gòu)造函數(shù)，則.
因?yàn)闀r(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
故，從而不等式成立.
所以.

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