本試卷共4頁。全卷滿分150分，考試時間120分鐘。
注意事項：
1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在本試卷和答題卡上。
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)的答案標(biāo)號涂黑，如有改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.已知集合，，則中元素的個數(shù)為（ ）
A.1B.4C.6D.7
2.已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部是（ ）
A.B.C.D.
3.設(shè)a，b是空間兩條不同直線，則“a與b無公共點”是“a與b是異面直線”的（ ）
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
4.函數(shù)的圖象大致為（ ）
A.B.
C.D.
5.已知向量，滿足，且，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A.B.C.D.
6.如圖是一坐山峰的示意圖，山峰大致呈圓錐形，峰底呈圓形，其半徑為，峰底A到峰頂?shù)木嚯x為，B是山坡的中點.為了發(fā)展當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)，現(xiàn)要建設(shè)一條從A到B的環(huán)山觀光公路，當(dāng)公路長度最短時，公路距山頂?shù)淖罱嚯x為（ ）
A.B.C.D.
7.已知函數(shù)滿足，對任意實數(shù)x，y都有成立，則（ ）
A.B.C.2D.1
8.已知，函數(shù)與的圖象在上最多有兩個公共點，則的取值范圍為（ ）
A.B.
C.D.
二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9.若a，，則下列命題正確的是（ ）
A.若且，則B.若，則
C.若，則D.若，則
10.某食品的保鮮時間y（單位：小時）與儲藏溫度x（單位：℃）滿足函數(shù)關(guān)系（為自然對數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù)）.若該食品在0℃的保鮮時間是192小時，在14℃的保鮮時間是48小時，則下列說法正確的是（ ）
參考數(shù)據(jù)：，
A.
B.若該食品儲藏溫度是21℃，則它的保鮮時間是16小時
C.
D.若該食品保鮮時間超過96小時，則它的儲藏溫度不高于7℃
11.歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)n，且與n互質(zhì)的正整數(shù)的個數(shù)（公約數(shù)只有1的兩個正整數(shù)稱為互質(zhì)整數(shù)），例如：，，則（ ）
A.B.當(dāng)n為奇數(shù)時，
C.數(shù)列為等比數(shù)列D.數(shù)列的前n項和小于
12.已知正方體的棱長為2，P是正方體表面上一動點，且，記點P形成的軌跡為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.，，B.，，
C.的長度是8D.的長度是
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13.已知等差數(shù)列的前n項和為，若，，則______.
14.寫出與圓和圓都相切的一條直線的方程______.
15.已知關(guān)于x的不等式恰有一個整數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是______.
16.已知函數(shù)則方程的解的個數(shù)是______.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.
17.（本小題滿分10分）
已知函數(shù)和在處有相同的導(dǎo)數(shù).
（1）求；
（2）設(shè)是的極大值點，是的極小值點，求的值.
18.（本小題滿分12分）
如圖，在斜四棱柱中，底面正方形的中心是O，且平面.
（1）證明：平面平面；
（2）若該四棱柱的所有棱長均為1，求二面角的余弦值.
19.（本小題滿分12分）
為了加快實現(xiàn)我國高水平科技自立自強(qiáng)，某科技公司逐年加大高科技研發(fā)投入.下圖1是該公司2013年至2022年的年份代碼x和年研發(fā)投入y（單位：億元）的散點圖，其中年份代碼1～10分別對應(yīng)年份2013～2022.
圖1 圖2
根據(jù)散點圖，分別用模型①，②作為年研發(fā)投入y（單位：億元）關(guān)于年份代碼x的經(jīng)驗回歸方程模型，并進(jìn)行殘差分析，得到圖2所示的殘差圖.結(jié)合數(shù)據(jù)，計算得到如下表所示的一些統(tǒng)計量的值：
表中，.
（1）根據(jù)殘差圖，判斷模型①和模型②哪一個更適宜作為年研發(fā)投入y（單位：億元）關(guān)于年份代碼x的經(jīng)驗回歸方程模型?并說明理由；
（2）（i）根據(jù)（1）中所選模型，求出y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程；
（ii）設(shè)該科技公司的年利潤（單位：億元）和年研發(fā)投入y（單位：億元）滿足（且），問該科技公司哪一年的年利潤最大?
附：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其經(jīng)驗回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.
20.（本小題滿分12分）
在數(shù)列中，已知，，.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若數(shù)列滿足，求的值；
（3）若數(shù)列滿足，求證：.
21.（本小題滿分12分）
在中，為邊上的高，已知.
（1）若，求的值；
（2）若，，求的最小值及取最小值時k的值.
22.（本小題滿分12分）
已知函數(shù).
（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；
（2）討論函數(shù)的零點個數(shù).
2024屆高三11月質(zhì)量檢測?數(shù)學(xué)
參考答案、提示及評分細(xì)則
1.【答案】C
【解析】因為，，所以，有6個元素，故選C.
2.【答案】A
【解析】，所以復(fù)數(shù)的虛部為，故選A.
3.【答案】B
【解析】當(dāng)a與b無公共點時，a與b可能平行或異面，反之，當(dāng)a與b是異面直線時，a與b無公共點，故選B.
4.【答案】B
【解析】因為函數(shù)的定義域為，又，函數(shù)為偶函數(shù).故選B.
5.【答案】A
【解析】由，得.又，所以，所以向量在向量上的投影向量為，故選A.
6.【答案】D
【解析】以為分界線，將圓錐的側(cè)面展開，可得其展開圖如圖.
則從點A到點B的最短路徑為線段，，.
過S作，則公路距山頂?shù)淖罱嚯x為，
因為，所以，故選D.
7.【答案】D
【解析】因為且，
令，得，則，
所以，即，所以，
所以，故函數(shù)是周期為6的周期函數(shù).
令，，得，則；
令，，得，則.
由，得，，，，所以，
又，故由函數(shù)的周期性知，，故選D.
8.【答案】C
【解析】設(shè).
因為在上最多有兩個零點，故，所以.
由得.
（1）由得；（2）由得；
（3）由得；（4）由得；
（5）由得此時不等式組無實數(shù)解.
綜上可得，故選C.
9.【答案】BD
【解析】對選項A，取，，滿足且，則，錯誤；
對選項B，因為函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，正確；
對選項C，，要使，即，即，錯誤；
對選項D，因為函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)，則，正確.故選BD.
10.【答案】ACD
【解析】在函數(shù)中，當(dāng)時，，由，知，，故A正確；
當(dāng)時，，所以，則，
當(dāng)時，，故B不正確；
由，得，故C正確；
由，得，所以，故D正確.故選ACD.
11.【答案】ACD
【解析】對于A，因為，，，所以，故A正確；
對于B，由于，故B錯誤；
對于C，因為小于的所有正奇數(shù)與均互質(zhì)，且小于的所有正奇數(shù)有個，所以，因此數(shù)列為等比數(shù)列，故C正確；
對于D，同理，所以，令，
則，故D正確，故選ACD.
12.【答案】ACD
【解析】是正方體的棱的中垂面與四個側(cè)面的交線，它是一個邊長為2的正方形，它的周長是8，且，，，所以A，C正確；
在正方體兩側(cè)面、和上底面都是一段圓弧，它與其它三個面無公共點.將正方體兩側(cè)面和沿展開為平面圖，建立平面直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)動點，因為，
所以，化簡得，
故動點P在兩側(cè)面內(nèi)軌跡是以為圓心，以為半徑的圓弧，
因為，所以，所以，
所以在兩側(cè)面內(nèi)點軌跡長度為.
在上底面內(nèi)，動點P軌跡為以為圓心的一段圓弧，如上圖，由，可知，故，又，所以，即圓弧所在圓的半徑為，所以圓弧的長為，所以動點P形成的軌跡的長度為，且不存在這樣的點P，Q，使，所以D正確，B錯誤.故選ACD.
13.【答案】0
【解析】設(shè)數(shù)列的公差為d，由已知有，，所以，，所以.
14.【答案】或或（答案不唯一）
【解析】由題設(shè)知，圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，所以，即兩圓外離，故共有4條公切線.又M，N關(guān)于原點對稱，且兩圓半徑相等，則有過原點的兩條公切線和與平行的兩條公切線.設(shè)過原點的公切線為，則，可得或，所以公切線為或；設(shè)與平行的公切線為，且M，N與公切線距離都為1，則，即，所以公切線為.
15.【答案】
【解析】設(shè)函數(shù)，，則過定點，在同一個坐標(biāo)系中作出兩個函數(shù)的圖象.由題意得得，故所求實數(shù)a的取值范圍是.
16.【答案】4
【解析】依題意可得，，
當(dāng)時，由得；當(dāng)時，由得；
當(dāng)時，由得；當(dāng)時，由得.
綜上可得，方程有4個實數(shù)根.
17.【解析】（1）由題設(shè)知，.
因為，所以，即.
又，，故，得.……5分
（2）由題意得，，，.
于是，
所以，，
故的值是.……10分
18.【解析】（1）連接交于，連接.
在平行四邊形中，
由于，分別是、的中點，
所以.
因為平面，平面平面，
所以平面.
又因為平面，所以平面平面.
（2）法一：由于平面，所以，.
又，
故可以直線，，分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖.由于斜四棱柱的棱長均為1，所以，，，.
所以，.……8分
設(shè)是平面的一個法向量，
由得 令得.
又由（1）知，，，所以平面.
即是平面的一個法向量.……10分
設(shè)二面角的平面角為，由圖可知，.
所以.
故所求二面角的余弦值為.……12分
法二：由（1）知，，又，所以平面.
過點作于點，連接，則.
所以是二面角的平面角.……9分
因為該四棱柱的棱長為1，所以.
在中，，，所以.
在中，，則.
故所求二面角的余弦值為.……12分
19.【解析】（1）根據(jù)圖2可知，模型①的殘差波動性很大，說明擬合關(guān)系較差；
模型②的殘差波動性很小，基本分布在0的附近，說明擬合關(guān)系很好，所以選擇模型②更適宜.……3分
（2）（i）設(shè)，所以，
所以，，
所以關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程為.……8分
（ii）由題設(shè)可得，
當(dāng)，即時，年利潤L有最大值，
故該公司2028年的年利潤最大.……12分
20.【解析】（1）由可得，
因為，所以，從而是以1為首項，1為公比的等比數(shù)列，
所以，.……4分
（2）因為，
所以.……8分
（3）因為
.
所以.
即.……12分
21.【解析】設(shè)a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，，則.
（1）在中，由余弦定理得.
由，得，所以.
因為，所以，于是，
而.……6分
（2）法一：由（1）知，.
如圖，在中，過B作的垂線，且使，
則，則，
即，所以.
于是，即.……10分
令函數(shù)，，則在上單調(diào)遞增，
所以，此時.
故所求的最小值為，此時k的值為.……12分
法二：由，
得，即，
化簡得，即，
因為，，所以，
于是.……10分
以下同解法一……12分
22.【解析】（1）由題意可知對恒成立.
當(dāng)時，顯然成立；當(dāng)時，；當(dāng)時，.
令，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，；當(dāng)時，.
綜上，實數(shù)的取值范圍是.……5分
（2）法一：由（1）可知，當(dāng)時，有一個零點；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，當(dāng)x趨于0時，趨于負(fù)無窮大，且，故只有一個零點.……7分
當(dāng)時，.令，則，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增..
當(dāng)x趨于0時，因為趨于0，所以趨于正無窮大.
又，所以存在，使得.
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時，，，所以當(dāng)時，在只有一個零點.……9分
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，，且x趨于正無窮大時，.所以存在，使得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又當(dāng)x趨于0時，趨于負(fù)無窮大，.
所以當(dāng)時，，當(dāng)時，.
故當(dāng)時，無論k為何值，取，總能有.
所以當(dāng)時，有兩個零點.……11分
綜上所述，當(dāng)時，有兩個零點；當(dāng)時，有一個零點.……12分
法二：，故當(dāng)時，.
令，則，
所以在上單調(diào)遞減，在上也單調(diào)遞減，且當(dāng)x大于0且趨于0時，趨于正無窮大，當(dāng)x小于e且趨于e時，趨于負(fù)無窮大，當(dāng)x大于e且趨于e時，趨于正無窮大，當(dāng)x趨于正無窮大時，趨于0，其大致圖象如圖.
由圖可知，當(dāng)時，有兩個零點；當(dāng)時，有一個零點.……12分
75
2.25
82.5
4.5
120
28.35

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