1．（3分）以下列各組線段長(zhǎng)為邊能組成三角形的是（ ）
A．1，2，4B．2，4，6C．4，6，8D．5，6，12
2．（3分）下列圖形中具有穩(wěn)定性的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）如圖標(biāo)志中，是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）如圖，四個(gè)圖形中，線段BE是△ABC的高的圖是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）已知圖中的兩個(gè)三角形全等，則∠A'B'C'度數(shù)是（ ）
A．72°B．60°C．50°D．58°
6．（3分）工人師傅常用角尺平分一個(gè)任意角．作法如下：如圖所示，∠AOB是一個(gè)任意角，在邊OA，OB上分別取OM＝ON，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與M，N重合（CM＝CN），過(guò)角尺頂點(diǎn)C的射線OC即是∠AOB的平分線．這種作法的道理是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．HL
7．（3分）等腰三角形的頂角是50°，則這個(gè)三角形的底角的大小是（ ）
A．50°B．65°或50°C．65°D．80°
8．（3分）如圖，點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E共線，∠B＝∠E，BF＝EC，添加一個(gè)條件，不能判斷△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DEB．∠A＝∠DC．AC＝DFD．AC∥FD
9．（3分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝3，則BC的長(zhǎng)是（ ）
A．6B．4C．3D．2
10．（3分）如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝26°，D是AB上一點(diǎn)，將Rt△ABC沿CD折疊，使B
點(diǎn)落在AC邊上的B′處，則∠ADB′等于（ ）
A．26°B．36°C．38°D．40°
11．（3分）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝25°，AD是△ABC的中線，則∠BAD的度數(shù)是（ ）
A．72°B．65°C．50°D．36°
12．（3分）如圖，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點(diǎn)E，有下列結(jié)論：①CD＝ED；②AC+BE＝AB；③DA平分∠CDE；④∠BDE＝∠BAC；⑤S△ABD：S△ACD＝AB：AC．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（ ）
A．5個(gè)B．4個(gè)C．3個(gè)D．2個(gè)
二、填空題（本大題共6小題，共18分）
13．（3分）墻上有一個(gè)數(shù)字式電子鐘，在對(duì)面墻上的鏡子里看到該電子鐘顯示的時(shí)間如圖所示，那么它的實(shí)際時(shí)間是 ．
14．（3分）如圖，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，則∠ACD＝ ．
15．（3分）如果正多邊形的一個(gè)外角等于60°，那么它的邊數(shù)為 ．
16．（3分）已知等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是8和3，則此等腰三角形的周長(zhǎng)是 ．
17．（3分）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，CD＝3，AB＝8，則△ABD的面積等于 ．
18．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝6cm，一條線段PQ＝AB，P，Q兩點(diǎn)分別在線段AC和AC的垂線AX上移動(dòng)，若以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形與以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形全等，則AP的長(zhǎng)為 ．
三、解答題（本大題共9小題，共66分）
19．（6分）已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的3倍，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)．
20．（6分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）尺規(guī)作圖：作斜邊AB的垂直平分線DE，分別交AB，BC于D、E（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；
（2）已知AC＝6cm，CB＝8cm，求△ACE的周長(zhǎng)．
21．（6分）如圖，在△ABC中，BD是角平分線，CE是高，且∠ACB＝60°，∠ADB＝97°，求∠A和∠ACE的度數(shù)．
22．（6分）如圖，已知AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2，求證：△ABC≌△ADE．
23．（6分）已知：如圖，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上，AC∥DF，∠B＝∠DEF，BE＝CF．求證：AB＝DE．
24．（8分）如圖，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）請(qǐng)畫(huà)出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的圖形△A1B1C1，并寫(xiě)出點(diǎn)C1的坐標(biāo)；
（2）求△ABC的面積；
（3）在x軸上求一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小，通過(guò)畫(huà)圖直接畫(huà)出點(diǎn)P．
25．（8分）證明命題“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”，要根據(jù)題意，畫(huà)出圖形，并用符號(hào)表示已知和求證，寫(xiě)出證明過(guò)程．
下面是小明同學(xué)根據(jù)題意畫(huà)出的圖形，并寫(xiě)出了不完整的已知和求證，請(qǐng)你補(bǔ)全已知和求證，并寫(xiě)出證明過(guò)程．
已知：如圖，∠AOC＝∠BOC，點(diǎn)P在OC上，…
求證：…
26．（8分）如圖，在△ABC中，AC＝BC，D為底邊AB上一點(diǎn)，延長(zhǎng)DC至點(diǎn)E，連接BE，且∠ACD＝∠CBE，試判斷△BDE的形狀，并證明．
27．（12分）已知△ABC在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的位置如圖，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，OA、OC的長(zhǎng)滿足關(guān)系式（OA﹣4）2+|OC﹣3|＝0．
（1）求OA、OC的長(zhǎng)；
（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（3）在x軸上是否存在點(diǎn)P，使△ACP是以AC為腰的等腰三角形．若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
答案與試題解析
一、選擇題（本大題共12小題，共36分）
1．（3分）以下列各組線段長(zhǎng)為邊能組成三角形的是（ ）
A．1，2，4B．2，4，6C．4，6，8D．5，6，12
【分析】根據(jù)三角形任意兩邊的和大于第三邊，進(jìn)行分析判斷．
解：A、1+2＜4，不能組成三角形；
B、2+4＝6，不能組成三角形；
C、4+6＞8，能組成三角形
D、5+6＜12，不能夠組成三角形；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了能夠組成三角形三邊的條件．注意：用兩條較短的線段相加，如果大于最長(zhǎng)那條就能夠組成三角形．
2．（3分）下列圖形中具有穩(wěn)定性的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性判斷即可．
解：A、圖形具有穩(wěn)定性，符合題意；
B、圖形不具有穩(wěn)定性，不符合題意；
C、圖形不具有穩(wěn)定性，不符合題意；
D、圖形不具有穩(wěn)定性，不符合題意；
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的性質(zhì)，熟記三角形具有穩(wěn)定性是解題的關(guān)鍵．
3．（3分）如圖標(biāo)志中，是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可．
解：A，B、C選項(xiàng)中的圖形都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形；
D選項(xiàng)中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，熟知軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合是解題的關(guān)鍵．
4．（3分）如圖，四個(gè)圖形中，線段BE是△ABC的高的圖是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)三角形的高的概念判斷即可．
解：A、圖形中，線段BE不是△ABC的高，不符合題意；
B、圖形中，線段BE不是△ABC的高，不符合題意；
C、圖形中，線段BE是△ABC的高，符合題意；
D、圖形中，線段BE不是△ABC的高，不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的高的概念，從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向?qū)呑鞔咕€，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高．
5．（3分）已知圖中的兩個(gè)三角形全等，則∠A'B'C'度數(shù)是（ ）
A．72°B．60°C．50°D．58°
【分析】根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可知∠α是a、c邊的夾角，然后寫(xiě)出即可．
解：∵兩個(gè)三角形全等，
∴∠α的度數(shù)是50°．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形對(duì)應(yīng)角相等，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊的夾角準(zhǔn)確確定出對(duì)應(yīng)角是解題的關(guān)鍵．
6．（3分）工人師傅常用角尺平分一個(gè)任意角．作法如下：如圖所示，∠AOB是一個(gè)任意角，在邊OA，OB上分別取OM＝ON，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與M，N重合（CM＝CN），過(guò)角尺頂點(diǎn)C的射線OC即是∠AOB的平分線．這種作法的道理是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．HL
【分析】由“SSS”可證△OCM≌△OCN，可得∠MOC＝∠NOC，即OC即是∠AOB的平分線．
證明：∵OM＝ON，CM＝CN，OC＝OC，
∴△OCM≌△OCN（SSS）
∴∠MOC＝∠NOC，
∴OC即是∠AOB的平分線．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，證明△OCM≌△OCN是本題的關(guān)鍵．
7．（3分）等腰三角形的頂角是50°，則這個(gè)三角形的底角的大小是（ ）
A．50°B．65°或50°C．65°D．80°
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．
解：這個(gè)等腰三角形的一個(gè)底角為：（180﹣50）÷2＝65°，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
8．（3分）如圖，點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E共線，∠B＝∠E，BF＝EC，添加一個(gè)條件，不能判斷△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DEB．∠A＝∠DC．AC＝DFD．AC∥FD
【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法，可以判斷添加各個(gè)選項(xiàng)中的條件是否能夠判斷△ABC≌△DEF，本題得以解決．
解：∵BF＝EC，
∴BF+FC＝EC+FC，
∴BC＝EF，
又∵∠B＝∠E，
∴當(dāng)添加條件AB＝DE時(shí)，△ABC≌△DEF（SAS），故選項(xiàng)A不符合題意；
當(dāng)添加條件∠A＝∠D時(shí)，△ABC≌△DEF（AAS），故選項(xiàng)B不符合題意；
當(dāng)添加條件AC＝DF時(shí)，無(wú)法判斷△ABC≌△DEF，故選項(xiàng)C符合題意；
當(dāng)添加條件AC∥FD時(shí)，則∠ACB＝∠DFE，故△ABC≌△DEF（ASA），故選項(xiàng)D不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確全等三角形的判定方法，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
9．（3分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝3，則BC的長(zhǎng)是（ ）
A．6B．4C．3D．2
【分析】利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得答案．
解：∵∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝3，
∴BC＝2AB＝6，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了含30°角的直角三角形，熟練掌握30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．
10．（3分）如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝26°，D是AB上一點(diǎn)，將Rt△ABC沿CD折疊，使B
點(diǎn)落在AC邊上的B′處，則∠ADB′等于（ ）
A．26°B．36°C．38°D．40°
【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠B，根據(jù)折疊的性質(zhì)求出∠CB′D，根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于360°求出∠BDB′，再根據(jù)鄰補(bǔ)角的概念計(jì)算即可．
解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝26°，
則∠B＝90°﹣∠A＝64°，
由折疊的性質(zhì)可知：∠CB′D＝∠B＝64°，
∴∠BDB′＝360°﹣90°﹣64°×2＝142°，
∴∠ADB′＝180°﹣∠BDB′＝38°，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、翻轉(zhuǎn)變換，掌握直角三角形兩銳角互余是解題的關(guān)鍵．
11．（3分）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝25°，AD是△ABC的中線，則∠BAD的度數(shù)是（ ）
A．72°B．65°C．50°D．36°
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和垂直的定義即可得到結(jié)論．
解：∵AB＝AC，AD是△ABC的中線，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝25°，
∴∠BAD＝90°﹣25°＝65°，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，垂直的定義，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
12．（3分）如圖，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點(diǎn)E，有下列結(jié)論：①CD＝ED；②AC+BE＝AB；③DA平分∠CDE；④∠BDE＝∠BAC；⑤S△ABD：S△ACD＝AB：AC．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（ ）
A．5個(gè)B．4個(gè)C．3個(gè)D．2個(gè)
【分析】由∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．可得CD＝DE，繼而可得∠ADC＝∠ADE，又由角平分線的性質(zhì)，證得AE＝AD，由等角的余角相等，可證得∠BDE＝∠BAC，由三角形的面積公式，可證得S△ABD：S△ACD＝AB：AC．
解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，
∴CD＝ED，①正確；
在Rt△ADE和Rt△ADC中，，
∴Rt△ADE≌Rt△ADC（HL），
∴∠ADE＝∠ADC，AE＝AC，
即AD平分∠CDE，③正確；
∵AE＝AC，
∴AB＝AE+BE＝AC+BE，②正確；
∵∠BDE+∠B＝90°，∠B+∠BAC＝90°，
∴∠BDE＝∠BAC，④正確；
∵S△ABD＝AB?DE，S△ACD＝AC?CD，
∵CD＝ED，
∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC，⑤正確．
結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有5個(gè)，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及三角形的面積問(wèn)題．熟練掌握角平分線的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共6小題，共18分）
13．（3分）墻上有一個(gè)數(shù)字式電子鐘，在對(duì)面墻上的鏡子里看到該電子鐘顯示的時(shí)間如圖所示，那么它的實(shí)際時(shí)間是 12：51 ．
【分析】根據(jù)鏡面對(duì)稱的性質(zhì)求解，在平面鏡中的像與現(xiàn)實(shí)中的事物恰好左右或上下順序顛倒，且關(guān)于鏡面對(duì)稱．
解：根據(jù)鏡面對(duì)稱的性質(zhì)，分析可得題中所顯示的圖片與12：51成軸對(duì)稱，所以此時(shí)實(shí)際時(shí)刻為12：51．
故12：51．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查鏡面對(duì)稱，解決此類題應(yīng)認(rèn)真觀察，注意技巧．
14．（3分）如圖，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，則∠ACD＝ 130° ．
【分析】由∠ACD是△ABC的外角，利用三角形的外角性質(zhì)，即可求出∠ACD的度數(shù)．
解：∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD＝∠A+∠B＝70°+60°＝130°．
故130°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，牢記“三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”是解題的關(guān)鍵．
15．（3分）如果正多邊形的一個(gè)外角等于60°，那么它的邊數(shù)為 6 ．
【分析】根據(jù)正多邊形的外角和為360°，即可求解．
解：∵正多邊形的一個(gè)外角為60°，
∴此正多邊形的每個(gè)外角都為60°，
∵正多邊形的外角和為360°，
∴它的邊數(shù)為：360°÷60°＝6，
故6．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形外角的性質(zhì)，熟練掌握和運(yùn)用正多邊形外角的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
16．（3分）已知等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是8和3，則此等腰三角形的周長(zhǎng)是 19 ．
【分析】將8和3分別作為腰分類討論即可．
解：當(dāng)8為腰時(shí)，三邊為：8，8，3，
則周長(zhǎng)為8+8+3＝19，
當(dāng)3為腰時(shí)，三邊為：8，3，3，
根據(jù)三角形三邊關(guān)系：3+3＜8，
故不能構(gòu)成三角形．
故19．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的定義，相關(guān)知識(shí)點(diǎn)有：三角形三邊關(guān)系，準(zhǔn)確分類討論是解題關(guān)鍵．
17．（3分）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，CD＝3，AB＝8，則△ABD的面積等于 12 ．
【分析】過(guò)D作DE⊥AB于E，由角平分線的性質(zhì)，即可求得DE的長(zhǎng)，繼而求得三角形面積．
解：如圖，過(guò)D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，
∴DE＝DC＝3，
∵AB＝8，
∴△ABD的面積＝AB?DE＝×8×3＝12．
故12．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)，能根據(jù)角平分線性質(zhì)得出DE＝CD是解此題的關(guān)鍵．
18．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝6cm，一條線段PQ＝AB，P，Q兩點(diǎn)分別在線段AC和AC的垂線AX上移動(dòng)，若以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形與以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形全等，則AP的長(zhǎng)為 6cm或12cm ．
【分析】分為兩種情況，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出即可．
解：有兩種情況：
①根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AP＝BC＝6cm，②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AP＝AC＝12cm，
故6cm或12cm．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)定理，能熟記全等三角形的性質(zhì)定理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．
三、解答題（本大題共9小題，共66分）
19．（6分）已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的3倍，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)．
【分析】多邊形的外角和是360°，內(nèi)角和是它的外角和的3倍，則內(nèi)角和是3×360＝1080度．n邊形的內(nèi)角和可以表示成（n﹣2）?180°，設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是n，就得到方程，從而求出邊數(shù)．
解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，
∵n邊形的內(nèi)角和為（n﹣2）?180°，多邊形的外角和為360°，
∴（n﹣2）?180°＝360°×3，
解得n＝8．
∴此多邊形的邊數(shù)為8．
【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)正多邊形的外角和求多邊形的邊數(shù)是常用的一種方法，需要熟記．
20．（6分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）尺規(guī)作圖：作斜邊AB的垂直平分線DE，分別交AB，BC于D、E（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；
（2）已知AC＝6cm，CB＝8cm，求△ACE的周長(zhǎng)．
【分析】（1）依據(jù)垂直平分線的尺規(guī)作圖方法，即可得到DE；
（2）依據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，即可得到AE＝BE，進(jìn)而得出△ACE的周長(zhǎng)＝AC+BC，依據(jù)AC＝6cm，CB＝8cm，即可得到△ACE的周長(zhǎng)．
解：（1）如圖所示，DE即為所求；
（2）∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴△ACE的周長(zhǎng)＝AC+CE+AE＝AC+CE+BE＝AC+BC，
又∵AC＝6cm，CB＝8cm，
∴△ACE的周長(zhǎng)＝6+8＝14（cm）．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了基本作圖以及線段垂直平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．
21．（6分）如圖，在△ABC中，BD是角平分線，CE是高，且∠ACB＝60°，∠ADB＝97°，求∠A和∠ACE的度數(shù)．
【分析】先由三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系可求∠DBC，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和可求∠A，最后由直角三角形AEC可求∠ACE．
解：∵∠ADB＝∠DBC+∠ACB，
∴∠DBC＝∠ADB﹣∠ACB＝97°﹣60°＝37°．
∵BD是角平分線，
∴∠ABC＝74°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝46°．
∵CE是高，
∴∠AEC＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣∠A＝44°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和以及三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系，利用此可計(jì)算其它角的度數(shù)，是一道基礎(chǔ)題．
22．（6分）如圖，已知AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2，求證：△ABC≌△ADE．
【分析】已知∠1＝∠2，∠BAE是公共角，從而可推出∠DAE＝∠BAC，已知AB＝AD，AC＝AE，從而可以利用SAS來(lái)判定△ABC≌△ADE．
證明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，
即∠DAE＝∠BAC，
又∵AB＝AD，AC＝AE，
∴△ABC≌△ADE（SAS）．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查全等三角形的判定方法，常用的判定方法有：SSS，SAS，AAS，HL等，做題時(shí)注意靈活運(yùn)用．
23．（6分）已知：如圖，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上，AC∥DF，∠B＝∠DEF，BE＝CF．求證：AB＝DE．
【分析】根據(jù)AC∥DF，結(jié)合平行線的性質(zhì)，得到∠ACB＝∠F，根據(jù)BE＝CF，得到BC＝EF，再結(jié)合∠B＝∠DEF，得到△ABC≌△DEF，從而根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可得到正確答案．
證明：∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠F，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即 BC＝EF，
在△ABC和△DEF中：
∠B＝∠DEF，
BC＝EF，
∠ACB＝∠F，
∴△ABC≌△DEF （ASA），
∴AB＝DE．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，正確掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
24．（8分）如圖，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）請(qǐng)畫(huà)出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的圖形△A1B1C1，并寫(xiě)出點(diǎn)C1的坐標(biāo)；
（2）求△ABC的面積；
（3）在x軸上求一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小，通過(guò)畫(huà)圖直接畫(huà)出點(diǎn)P．
【分析】（1）根據(jù)A，B，C的坐標(biāo)，作出△ABC，再利用軸對(duì)稱變換的性質(zhì)作出△A1B1C1；
（2）三角形的面積＝矩形的面積減去周圍的三個(gè)三角形面積即可；
（3）連接BA1交x軸于點(diǎn)P，連接AP即可．
解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求，點(diǎn)C1的坐標(biāo)（3，﹣4）；
（2）△ABC的面積＝3×3﹣×2×3﹣×1×2﹣×1×3＝3.5；
（3）如圖，點(diǎn)P即為所求．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣軸對(duì)稱變換，軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃虇?wèn)題等知識(shí)，解題關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱變換的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．
25．（8分）證明命題“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”，要根據(jù)題意，畫(huà)出圖形，并用符號(hào)表示已知和求證，寫(xiě)出證明過(guò)程．
下面是小明同學(xué)根據(jù)題意畫(huà)出的圖形，并寫(xiě)出了不完整的已知和求證，請(qǐng)你補(bǔ)全已知和求證，并寫(xiě)出證明過(guò)程．
已知：如圖，∠AOC＝∠BOC，點(diǎn)P在OC上，…
求證：…
【分析】由AAS判定△POM≌△PON（AAS），即可證明PM＝ON．
解：已知：如圖，∠AOC＝∠BOC，點(diǎn)P在OC上，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，
求證：PM＝PN．
證明：∵PM⊥OA，PN⊥OB，
∴∠PMO＝∠PNO，
在△POM和△PON中，
，
∴△POM≌△PON（AAS），
∴PM＝PN．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是判定△POM≌△PON（AAS）．
26．（8分）如圖，在△ABC中，AC＝BC，D為底邊AB上一點(diǎn)，延長(zhǎng)DC至點(diǎn)E，連接BE，且∠ACD＝∠CBE，試判斷△BDE的形狀，并證明．
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角性質(zhì)推出∠EDB＝∠EBD，根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得解．
解：△BDE是等腰三角形，理由如下：
∵AC＝BC，
∴∠A＝∠ABC，
∵∠EDB＝∠A+∠ACD，∠EBD＝∠ABC+∠CBE，∠ACD＝∠CBE，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴ED＝EB，
∴△BDE是等腰三角形．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟記等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
27．（12分）已知△ABC在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的位置如圖，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，OA、OC的長(zhǎng)滿足關(guān)系式（OA﹣4）2+|OC﹣3|＝0．
（1）求OA、OC的長(zhǎng)；
（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（3）在x軸上是否存在點(diǎn)P，使△ACP是以AC為腰的等腰三角形．若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）根據(jù)非負(fù)性得出OA＝4，OC＝3即可；
（2）作BD上x(chóng)軸于點(diǎn)D，根據(jù)AAS證明△AOC≌△CDB，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)解答即可；
（3）分三種情況，利用等腰三角形的性質(zhì)解答即可．
解：（1）由（OA﹣4）2+|OC﹣3|＝0，可知，OA﹣4＝0，OC﹣3＝0，
∴OA＝4，OC＝3，
（2）作BD上x(chóng)軸于點(diǎn)D，
∵∠OCA+∠ACB+∠BCD＝180°，
∴∠ACO+∠BCD＝90°，
∵∠CBD+∠BCD＝90°，
∴∠ACO＝∠CBD，
∵AC＝BC，
在△AOC與△CDB中，
，
∴△AOC≌△CDB（AAS），
∴BD＝OC＝3，CD＝OA＝4，
∴OD＝OC+CD＝3+4＝7，
∴B（7，3）；
（3）存在，
①當(dāng)點(diǎn)P在x軸的負(fù)半軸時(shí)，使AP＝AC，則△ACP為等腰三角形，P的坐標(biāo)為（﹣3，0）；
②當(dāng)點(diǎn)P在x軸的負(fù)半軸時(shí)，使CP＝AC，由勾股定理得，CP＝AC＝5，則△ACP為等腰三角形，P的坐標(biāo)為（﹣2，0）；
③當(dāng)點(diǎn)P在x軸的正半軸時(shí)，使AC＝CP，則△ACP為等腰三角形，CP＝AC＝5∴OP＝OC+CP＝3+5＝8，∴P（8，0）；
所以存在以AC為腰的等腰三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣3，0）或（﹣2，0）或（8，0）．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查三角形的綜合題，關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及坐標(biāo)的特點(diǎn)解答．
2024-2025學(xué)年江蘇省南通市八年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（二）
一、選擇題（共8小題，每小題3分，滿分24分每個(gè)小題只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，請(qǐng)把正確選項(xiàng)的字母涂在答題卡相應(yīng)的位置）
1．（3分）微信已成為人們的重要交流平臺(tái)，以下微信表情中，不是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（ ）
A．x≥0B．x＜0C．x≤2D．x≥2
3．（3分）下列各組數(shù)中，不能作為直角三角形三邊長(zhǎng)度的是（ ）
A．3，4，5B．，3，4C．6，8，10D．1，，3
4．（3分）如圖，已知CD＝CA，∠D＝∠A，添加下列條件中的（ ）仍不能證明△DEC≌△ABC
A．∠DEC＝∠BB．∠ACD＝∠BCEC．CE＝CBD．DE＝AB
5．（3分）等腰三角形的兩個(gè)底角相等，頂角的度數(shù)比一個(gè)底角度數(shù)的2倍多20°，則這個(gè)底角的度數(shù)是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
6．（3分）某地興建的幸福小區(qū)的三個(gè)出口A、B、C的位置如圖所示，物業(yè)公司計(jì)劃在不妨礙小區(qū)規(guī)劃的建設(shè)下，想在小區(qū)內(nèi)修建一個(gè)電動(dòng)車充電樁，以方便業(yè)主，要求到三個(gè)出口的距離都相等，則充電樁應(yīng)該在△ABC（ ）
A．三條高線的交點(diǎn)處
B．三條中線的交點(diǎn)處
C．三個(gè)角的平分線的交點(diǎn)處
D．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)處
7．（3分）如圖，△ACB≌△A′CB′，A′B′經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，∠BAC＝70°，則∠ACA′的度數(shù)為（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
8．（3分）如圖，已知△ABC的面積為48，AB＝AC＝6，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D分別作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若DF＝3DE，則DF長(zhǎng)為（ ）
A．12B．10C．6D．8
二、填空題（本大題有10小題，每小題3分，共30分）
9．（3分）16的平方根是 ．
10．（3分）近似數(shù)6.17萬(wàn)精確到 位．
11．（3分）比較大?。? 3.9（填“＞”“＜”或“＝”）．
12．（3分）如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)A表示的實(shí)數(shù)是 ．
13．（3分）如圖，△ABC中，D是BC上一點(diǎn)，若AC＝AD＝DB，且∠C＝50°，則∠BAC＝ ．
14．（3分）如圖，OP平分∠MON，PA⊥ON于點(diǎn)A，PA＝3，點(diǎn)Q是射線OM上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若PQ＝m，則m的取值范圍是 ．
15．（3分）《九章算術(shù)》中有一個(gè)“折竹抵地”問(wèn)題：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，問(wèn)折者高幾何？”意思是：現(xiàn)有竹子高9尺，折后竹尖抵地與竹子底部的距離為3尺，問(wèn)折處高幾尺？即：如圖，AB+AC＝9尺，BC＝3尺，則AC＝ 尺．
16．（3分）已知一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和6，則該等腰三角形的周長(zhǎng)是 ．
17．（3分）△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12．則△ABC的面積為 ．
18．（3分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝68°，D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AC上一動(dòng)點(diǎn)，將△ABE沿DE翻折，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，當(dāng)A′E∥BC時(shí)，則∠ADE＝ ．
三、解答題（本大題有10小題，96分，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明或演算步驟.）
19．（8分）計(jì)算：
（1）；
（2）．
20．（8分）解方程：
（1）4x2＝16；
（2）（x﹣2）3﹣8＝0．
21．（8分）已知：如圖，點(diǎn)E、F在線段BD上，AF⊥BD，CE⊥BD，AD＝CB，DE＝BF，求證：AF＝CE．
22．（8分）如圖所示，BE，CF是△ABC的高，D是BC邊的中點(diǎn)，求證：DE＝DF．
23．（10分）如圖，四邊形ABCD中，AB⊥AD，已知AD＝6cm，AB＝8cm，CD＝24cm，BC＝26cm，求四邊形ABCD的面積．
24．（10分）（1）已知正數(shù)5a﹣1的平方根分別是﹣2和2，b﹣9的立方根是2，求a、b的值；
（2）已知一個(gè)正數(shù)x的兩個(gè)平方根分別是﹣a+2和2a﹣1，求x的值．
25．（10分）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，網(wǎng)格中有一個(gè)格點(diǎn)△ABC（即三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上）
（1）在圖中作出△ABC關(guān)于直線對(duì)稱的△A1B1C1（點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)A1，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B1，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)C1）；
（2）在直線l上畫(huà)出點(diǎn)P，使PA+PC最??；
（3）直接寫(xiě)出△A1BC的面積為 ．
26．（10分）尋求某些股數(shù)的規(guī)律．
（1）對(duì)于任何一組已知的勾股數(shù)都擴(kuò)大相同的正整數(shù)倍后，就得到了一組新的勾股數(shù)．例如：32+42＝52，若把它擴(kuò)大若把它擴(kuò)大2倍，3倍就分別是62+82＝102和92+122＝152，…若把它擴(kuò)大11倍，就得到 ，若把它擴(kuò)大若把它擴(kuò)大n倍（n為正整數(shù)），就得到 ；
（2）對(duì)于任意一個(gè)大于1的奇數(shù)，存在下列勾股數(shù)：
若勾股數(shù)為3，4，5，因?yàn)?2＝52﹣42；
若勾股數(shù)為5，12，13，則有52＝12+13；
①若勾股數(shù)為7，24，25，則有 ；
②若勾股數(shù)為17，a，b（a＜b），根據(jù)以上的規(guī)律，求a、b的值．
27．（12分）為了解決一些較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，我們常常采用從特殊到一般的思想，先從特殊的情形入手，從中找到解決問(wèn)題的方法．
已知：在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B+∠D＝180°．
（1）如圖①，當(dāng)∠B＝90°時(shí)，求證：CB＝CD；
（2）如圖②，當(dāng)∠B＜90°時(shí)，
①求證：CB＝CD；
②若AB＝13cm，AD＝6cm，∠B＝45°，則點(diǎn)C到AB的距離是 cm．
28．（12分）我們知道：過(guò)三角形的頂點(diǎn)引一條直線，可以將它分割成兩個(gè)小三角形．如果每個(gè)小三角形都有兩個(gè)相等的內(nèi)角，則我們稱這條直線為原三角形的“美麗線”．如圖1，直線CD為△ABC的“美麗線”．
（1）如圖2，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝35°，請(qǐng)利用直尺和量角器在圖2中畫(huà)出△ABC的“美麗線”（標(biāo)出所得三角形的內(nèi)角度數(shù)，不要求寫(xiě)畫(huà)法）；
（2）在△ABC中，∠A＝α，∠B＝β（α≤β）．若△ABC存在過(guò)點(diǎn)C的“美麗線”，試探究α與β的關(guān)系．下面是對(duì)這個(gè)問(wèn)題的部分探究過(guò)程：
設(shè)CD為△ABC的“美麗線”，點(diǎn)D在邊AB上，則△ACD與△BCD中各有兩個(gè)相等的內(nèi)角．
【探究1】
如圖3，當(dāng)∠ACD＝∠ADC時(shí)，因?yàn)椤螦＝α，所以∠ADC＝ ，且∠ADC為銳角，則∠CDB為鈍角，所以在△CDB 中，∠DCB＝∠B＝β．由此可以得到α與β的關(guān)系為 ，其中α的取值范圍為 ．
【探究2】
借助圖4，請(qǐng)你繼續(xù)完成本問(wèn)題的探究，直接寫(xiě)出α與β的關(guān)系．
2023-2024學(xué)年江蘇省宿遷市八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
答案與試題解析
一、選擇題（共8小題，每小題3分，滿分24分每個(gè)小題只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，請(qǐng)把正確選項(xiàng)的字母涂在答題卡相應(yīng)的位置）
1．（3分）微信已成為人們的重要交流平臺(tái)，以下微信表情中，不是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義判斷即可．
解：根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義，選項(xiàng)A，B，C都是軸對(duì)稱圖形，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱圖形，解題的關(guān)鍵是連接軸對(duì)稱圖形的定義，屬于中考?？碱}型．
2．（3分）式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（ ）
A．x≥0B．x＜0C．x≤2D．x≥2
【分析】由二次根式的性質(zhì)可以得到x﹣2≥0，由此即可求解．
解：依題意得
x﹣2≥0，
∴x≥2．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式有意義的條件，根據(jù)被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)即可解決問(wèn)題．
3．（3分）下列各組數(shù)中，不能作為直角三角形三邊長(zhǎng)度的是（ ）
A．3，4，5B．，3，4C．6，8，10D．1，，3
【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，逐項(xiàng)判斷即可求解．
解：A．因?yàn)?2+42＝52，所以能作為直角三角形三邊長(zhǎng)度，不符合題意；
B．因?yàn)?，所以能作為直角三角形三邊長(zhǎng)度，不符合題意；
C．因?yàn)?2+82＝102，所以能作為直角三角形三邊長(zhǎng)度，不符合題意；
D．因?yàn)?，所以不能作為直角三角形三邊長(zhǎng)度，符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握若一個(gè)三角形的兩邊的平方和等于第三邊的平方，則該三角形為直角三角形是解題的關(guān)鍵．
4．（3分）如圖，已知CD＝CA，∠D＝∠A，添加下列條件中的（ ）仍不能證明△DEC≌△ABC
A．∠DEC＝∠BB．∠ACD＝∠BCEC．CE＝CBD．DE＝AB
【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理逐個(gè)判斷即可．
解：A．∠DEC＝∠B，∠D＝∠A，CD＝CA，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DEC，故本選項(xiàng)不符合題意；
B．∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD+∠ACE＝∠BCE+∠ACE，
即∠DCE＝∠ACB，
條件∠DCE＝∠ACB，CD＝CA，∠D＝∠A，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△DEC，故本選項(xiàng)不符合題意；
C．CE＝CB，CD＝CA，∠A＝∠D，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEC，故本選項(xiàng)符合題意；
D．DE＝AB，∠D＝∠A，CD＝CA，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEC，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，兩直角三角形全等還有HL．
5．（3分）等腰三角形的兩個(gè)底角相等，頂角的度數(shù)比一個(gè)底角度數(shù)的2倍多20°，則這個(gè)底角的度數(shù)是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】設(shè)底角的度數(shù)是x°，則頂角的度數(shù)為（2x+20）°，根據(jù)三角形內(nèi)角和是180°列出方程，解方程即可得出答案．
解：設(shè)底角的度數(shù)是x°，則頂角的度數(shù)為（2x+20）°，
根據(jù)題意得：x+x+2x+20＝180，
解得：x＝40，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，考查了方程思想，掌握等腰三角形兩個(gè)底角相等是解題的關(guān)鍵．
6．（3分）某地興建的幸福小區(qū)的三個(gè)出口A、B、C的位置如圖所示，物業(yè)公司計(jì)劃在不妨礙小區(qū)規(guī)劃的建設(shè)下，想在小區(qū)內(nèi)修建一個(gè)電動(dòng)車充電樁，以方便業(yè)主，要求到三個(gè)出口的距離都相等，則充電樁應(yīng)該在△ABC（ ）
A．三條高線的交點(diǎn)處
B．三條中線的交點(diǎn)處
C．三個(gè)角的平分線的交點(diǎn)處
D．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)處
【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)解答即可．
解：∵電動(dòng)車充電樁到三個(gè)出口的距離都相等，
∴充電樁應(yīng)該在△ABC三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)處，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)的應(yīng)用，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．
7．（3分）如圖，△ACB≌△A′CB′，A′B′經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，∠BAC＝70°，則∠ACA′的度數(shù)為（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
【分析】根據(jù)全等三角形的和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
解：∵△ACB≌△A′CB′，
∴∠A′＝∠BAC＝70°，AC＝A′C，
∴∠A′AC＝∠A′＝70°，
∴∠ACA′＝180°﹣∠A′﹣∠A′AC＝40°，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．
8．（3分）如圖，已知△ABC的面積為48，AB＝AC＝6，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D分別作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若DF＝3DE，則DF長(zhǎng)為（ ）
A．12B．10C．6D．8
【分析】連接AD，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB，垂足為G，根據(jù)三角形的面積可得CG＝12，然后根據(jù)△ABD的面積+△ACD的面積＝△ABC的面積，可得DE+DF＝12，再根據(jù)已知DF＝2DE，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
解：連接AD，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB，垂足為G，
∵△ABC的面積為48，AB＝AC＝6，
∴AB?CG＝48，
∴CG＝16，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△ABD的面積+△ACD的面積＝△ABC的面積，
∴AB?DE+AC?DF＝AB?CG，
∴DE+DF＝16，
∵DF＝3DE，
∴DF＝12，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題有10小題，每小題3分，共30分）
9．（3分）16的平方根是 ±4 ．
【分析】根據(jù)平方根的定義即可求解．
解：∵（±4）2＝16，
∴16的平方根是±4，
故±4．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平方根，掌握平方根的定義是解題的關(guān)鍵．
10．（3分）近似數(shù)6.17萬(wàn)精確到 百 位．
【分析】看最后一個(gè)數(shù)字7所在位數(shù)即可．
解：近似數(shù)6.17萬(wàn)中的最后一位數(shù)字7位于百位，故該數(shù)精確到百位，
故百．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查近似數(shù)和有效數(shù)字，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，確定最后一個(gè)數(shù)字所在的數(shù)位．
11．（3分）比較大?。? ＜ 3.9（填“＞”“＜”或“＝”）．
【分析】通過(guò)無(wú)理數(shù)的估算方法先求出，則，由此可得答案．
解：∵16＜17＜24.01，
∴，
∴，
故＜．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了實(shí)數(shù)比較大小，任意兩個(gè)實(shí)數(shù)都可以比較大小．正實(shí)數(shù)都大于0，負(fù)實(shí)數(shù)都小于0，正實(shí)數(shù)大于一切負(fù)實(shí)數(shù)，兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)比大小，絕對(duì)值大的反而?。?br>12．（3分）如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)A表示的實(shí)數(shù)是 ．
【分析】根據(jù)勾股定理求出圓弧的半徑，再根據(jù)點(diǎn)A的位置可得答案．
解：∵半徑，
∴點(diǎn)A表示的數(shù)為，
故．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，勾股定理的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，解題時(shí)注意點(diǎn)A在數(shù)軸的正半軸上．
13．（3分）如圖，△ABC中，D是BC上一點(diǎn)，若AC＝AD＝DB，且∠C＝50°，則∠BAC＝ 105° ．
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ADC＝50°，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和等腰三角形可求∠B的度數(shù)，再利用三角形內(nèi)角和定理即可求解．
解：∵AC＝AD，∠C＝50°，
∴∠ADC＝∠C＝50°，
∵AD＝DB，
∴∠B＝∠BAD，
∴．
∴∠BAC＝180°﹣50°﹣25°＝105°．
故105°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)：①等腰三角形的兩腰相等；②等腰三角形的兩個(gè)底角相等，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
14．（3分）如圖，OP平分∠MON，PA⊥ON于點(diǎn)A，PA＝3，點(diǎn)Q是射線OM上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若PQ＝m，則m的取值范圍是 m≥3 ．
【分析】過(guò)P作PE⊥OM于E，當(dāng)Q和E重合時(shí)，PQ的值最小，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出PE＝PA，即可求出答案．
解：如圖，過(guò)P作PE⊥OM于E，當(dāng)Q和E重合時(shí)，PQ的值最小，
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA＝3，
∴PE＝PA＝3，
即PQ的最小值是3，
∴m≥3．
故m≥3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線性質(zhì)，垂線段最短的應(yīng)用，能正確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵，注意：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．
15．（3分）《九章算術(shù)》中有一個(gè)“折竹抵地”問(wèn)題：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，問(wèn)折者高幾何？”意思是：現(xiàn)有竹子高9尺，折后竹尖抵地與竹子底部的距離為3尺，問(wèn)折處高幾尺？即：如圖，AB+AC＝9尺，BC＝3尺，則AC＝ 4 尺．
【分析】竹子折斷后剛好構(gòu)成一直角三角形，設(shè)竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為（9﹣x）尺，利用勾股定理解題即可．
解：設(shè)竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為（9﹣x）尺，
根據(jù)勾股定理得：x2+32＝（9﹣x）2．
解得：x＝4，
答：折斷處離地面的高度為4尺．
故4．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用題目信息構(gòu)造直角三角形，從而運(yùn)用勾股定理解題．
16．（3分）已知一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和6，則該等腰三角形的周長(zhǎng)是 15 ．
【分析】分腰為3和腰為6兩種情況考慮，先根據(jù)三角形的三邊關(guān)系確定三角形是否存在，再根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式求值即可．
解：當(dāng)腰為3時(shí)，3+3＝6，
∴3、3、6不能組成三角形；
當(dāng)腰為6時(shí)，3+6＝9＞6，
∴3、6、6能組成三角形，
該三角形的周長(zhǎng)＝3+6+6＝15．
故15．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及三角形三邊關(guān)系，由三角形三邊關(guān)系確定三角形的三條邊長(zhǎng)為解題的關(guān)鍵．
17．（3分）△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12．則△ABC的面積為 24或84 ．
【分析】分兩種情況：三角形ABC為銳角三角形；三角形ABC為鈍角三角形，根據(jù)AD垂直于BC，利用垂直的定義得到三角形ABD與三角形ADC為直角三角形，利用勾股定理分別求出BD與DC，由BD+DC＝BC或BD﹣DC＝BC求出BC，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．
解：分兩種情況考慮：
①當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，如圖1所示，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD中，AB＝15，AD＝12，
根據(jù)勾股定理得：BD＝＝9，
在Rt△ADC中，AC＝13，AD＝12，
根據(jù)勾股定理得：DC＝＝5，
∴BC＝BD+DC＝9+5＝14，
則S△ABC＝BC?AD＝84；
②當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，如圖2所示，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ABD中，AB＝15，AD＝12，
根據(jù)勾股定理得：BD＝＝9，
在Rt△ADC中，AC＝13，AD＝12，
根據(jù)勾股定理得：DC＝＝5，
∴BC＝BD﹣DC＝9﹣5＝4，
則S△ABC＝BC?AD＝24．
綜上，△ABC的面積為24或84．
故24或84．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生對(duì)勾股定理和三角形面積等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握．解答此題的關(guān)鍵是利用勾股定理分別求出BD和DC的長(zhǎng)，此題屬于基礎(chǔ)題，要求學(xué)生熟練掌握．
18．（3分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝68°，D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AC上一動(dòng)點(diǎn)，將△ABE沿DE翻折，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，當(dāng)A′E∥BC時(shí)，則∠ADE＝ 113°或23° ．
【分析】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，分當(dāng)A′在AC上方，A′E∥BC時(shí)，當(dāng)A′在AC下方，A′E∥BC時(shí)，兩種情況，先利用平行線的性質(zhì)得到∠A′EA＝90°，再由折疊的性質(zhì)求出∠AED的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得答案．
解：如圖，當(dāng)A′在AC上方，A′E∥BC時(shí)，
∴∠A′EA＝∠C＝90°，
∵∠ABC＝68°，
∴∠A＝90°﹣68°＝22°，
由翻折可知：，
∴∠ADE＝180°﹣∠A﹣∠AED＝180°﹣22°﹣45°＝113°．
如圖，當(dāng)A′在AC下方，A′E∥BC時(shí)，
∴∠A′EC＝∠C＝90°，
∴∠A′EA＝90°
由翻折可知：，
∴∠ADE＝180°﹣135°﹣22°＝23°．
故113°或23°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換（折疊問(wèn)題），解決本題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)．
三、解答題（本大題有10小題，96分，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明或演算步驟.）
19．（8分）計(jì)算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根與立方根進(jìn)行計(jì)算即可求解；
（2）根據(jù)算術(shù)平方根，立方根與零指數(shù)冪進(jìn)行計(jì)算即可求解．
解：（1）原式＝2+3+3
＝8；
（2）原式＝2×（﹣9）+1
＝﹣18+1
＝﹣17．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握實(shí)數(shù)混合運(yùn)算的法則是解題的關(guān)鍵．
20．（8分）解方程：
（1）4x2＝16；
（2）（x﹣2）3﹣8＝0．
【分析】（1）先方程兩邊同時(shí)除以4，再根據(jù)（±）2＝4即可得到答案；
（2）先兩邊同時(shí)加上8，再根據(jù)23＝8即可得到答案．
解：（1）∵4x2＝16，
∴x2＝4，
∴x＝±2；
（2）∵（x﹣2）3﹣8＝0，
∴（x﹣2）3＝8，
∴x﹣2＝2，
∴x＝4．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了求平方根和求立方根的方法解方程，熟知求平方根和求立方根的方法是解題的關(guān)鍵．
21．（8分）已知：如圖，點(diǎn)E、F在線段BD上，AF⊥BD，CE⊥BD，AD＝CB，DE＝BF，求證：AF＝CE．
【分析】此題只要先證明△ADF≌△BCE即可，做題時(shí)要結(jié)合已知條件與全等的判定方法進(jìn)行思考．
證明：∵DE＝BF，
∴DE+EF＝BF+EF；
∴DF＝BE；
在Rt△ADF和Rt△CBE中
，
∴Rt△ADF≌Rt△CBE（HL），
∴AF＝CE．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形全等的判定及性質(zhì)；由DE＝BF通過(guò)等量加等量和相等得DF＝BE在三角形全等的證明中經(jīng)常用到，應(yīng)注意掌握應(yīng)用．
22．（8分）如圖所示，BE，CF是△ABC的高，D是BC邊的中點(diǎn)，求證：DE＝DF．
【分析】根據(jù)垂直定義可得∠BEC＝∠CFB＝90°，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可得ED＝BC，F(xiàn)D＝BC，從而利用等量代換即可解答．
證明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠BEC＝∠CFB＝90°，
∵D是BC邊的中點(diǎn)，
∴ED＝BC，F(xiàn)D＝BC，
∴DE＝DF．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，熟練掌握直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
23．（10分）如圖，四邊形ABCD中，AB⊥AD，已知AD＝6cm，AB＝8cm，CD＝24cm，BC＝26cm，求四邊形ABCD的面積．
【分析】根據(jù)已知條件運(yùn)用勾股定理逆定理可證△BCD為直角三角形，然后代入三角形面積公式將兩直角三角形的面積求出來(lái)，兩者面積相減即為四邊形ABCD的面積．
解：∵AB⊥AD，
∴∠A＝90°，
∴△ABD為直角三角形，
∵BD2＝AB2+BD2＝82+62＝102，
∴BD＝10，
在△BCD中，
∵DC2+BD2＝BC2，
∴△BCD為直角三角形，且∠BDC＝90°，
∴S四邊形ABCD＝S△BCD﹣S△ABD＝×10×24﹣×6×8＝96（cm2）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理、勾股定理等逆定理等知識(shí)，通過(guò)作輔助線可將一般的四邊形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)直角三角形是解題的關(guān)鍵．
24．（10分）（1）已知正數(shù)5a﹣1的平方根分別是﹣2和2，b﹣9的立方根是2，求a、b的值；
（2）已知一個(gè)正數(shù)x的兩個(gè)平方根分別是﹣a+2和2a﹣1，求x的值．
【分析】（1）根據(jù)平方根的定義得到5a﹣1＝22，根據(jù)立方根的定義得到b﹣9＝23，解方程即可得到答案；
（2）根據(jù)一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)得到﹣a+2+2a﹣1＝0，由此求出a＝﹣1，進(jìn)而求出2a﹣1﹣3，則x＝（2a﹣1）2＝9．
解：（1）∵正數(shù)5a﹣1的平方根分別是﹣2和2，
∴5a﹣1＝22，
∴a＝1；
∵b﹣9的立方根是2，
∴b﹣9＝23，
∴b＝17；
（2）∵一個(gè)正數(shù)x的兩個(gè)平方根分別是﹣a+2和2a﹣1，
∴﹣a+2+2a﹣1＝0，
∴a＝﹣1，
∴2a﹣1＝﹣2﹣1＝﹣3，
∴x＝（2a﹣1）2＝（﹣3）2＝9．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了立方根和平方根，解題的關(guān)鍵在于熟知對(duì)于實(shí)數(shù)a、b，若滿足a2＝b，那么a就叫做b的平方根，若滿足a3＝b，那么a就叫做b的立方根．
25．（10分）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，網(wǎng)格中有一個(gè)格點(diǎn)△ABC（即三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上）
（1）在圖中作出△ABC關(guān)于直線對(duì)稱的△A1B1C1（點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)A1，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B1，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)C1）；
（2）在直線l上畫(huà)出點(diǎn)P，使PA+PC最??；
（3）直接寫(xiě)出△A1BC的面積為 11 ．
【分析】（1）利用網(wǎng)格特點(diǎn)畫(huà)出A、B、C關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A1、B1、C1，從而得到△A1B1C1；
（2）利用CA1交直線l于P，則PA＝PA1，則根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可判斷P點(diǎn)滿足條件；
（3）用一個(gè)矩形的面積分別減去三個(gè)直角三角形的面積去計(jì)算△A1BC的面積．
解：（1）如圖，△A1B1C1為所作；
（2）如圖，點(diǎn)P為所作；
（3）△A1BC的面積為＝6×4﹣×6×2﹣×2×5﹣×1×4＝11．
故答案為11．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣軸對(duì)稱變換：幾何圖形都可看作是由點(diǎn)組成，我們?cè)诋?huà)一個(gè)圖形的軸對(duì)稱圖形時(shí)，也是先從確定一些特殊的對(duì)稱點(diǎn)開(kāi)始的．也考查了兩點(diǎn)之間線段最短．
26．（10分）尋求某些股數(shù)的規(guī)律．
（1）對(duì)于任何一組已知的勾股數(shù)都擴(kuò)大相同的正整數(shù)倍后，就得到了一組新的勾股數(shù)．例如：32+42＝52，若把它擴(kuò)大若把它擴(kuò)大2倍，3倍就分別是62+82＝102和92+122＝152，…若把它擴(kuò)大11倍，就得到 332+442＝552 ，若把它擴(kuò)大若把它擴(kuò)大n倍（n為正整數(shù)），就得到 （3n）2+（4n）2＝（5n）2； ；
（2）對(duì)于任意一個(gè)大于1的奇數(shù)，存在下列勾股數(shù)：
若勾股數(shù)為3，4，5，因?yàn)?2＝52﹣42；
若勾股數(shù)為5，12，13，則有52＝12+13；
①若勾股數(shù)為7，24，25，則有 72＝25+24；② ；
②若勾股數(shù)為17，a，b（a＜b），根據(jù)以上的規(guī)律，求a、b的值．
【分析】（1）先分別求出3，4，（5分）別擴(kuò)大11倍和擴(kuò)大n倍后的數(shù)，再根據(jù)勾股數(shù)的定義可得答案；
（2）①仿照題意可得答案；②根據(jù)題意找到規(guī)律（2n+1）2＝m+m+1，（2n﹣1）2＝（m+1）2﹣m2（m、n都為正整數(shù)），則172＝a+b，b＝a+1，據(jù)此求解即可．
解：（1）∵3，4，（5分）別擴(kuò)大11倍得到33，44，55，
∴332+442＝552，
3，4，5別擴(kuò)大11倍得到3n，4n，5n，
∴（3n）2+（4n）2＝（5n）2，
故332+442＝552，（3n）2+（4n）2＝（5n）2；
（2）解：①由題意得，72＝49＝25+24，
故72＝25+24；
②32＝52﹣42，32＝5+4，
52＝132﹣122，52＝12+13，
72＝252﹣242，72＝49＝25+24，
……，
以此類推，（2n+1）2＝m+m+1，（2n﹣1）2＝（m+1）2﹣m2（m、n都為正整數(shù)），
∴172＝a+b，b＝a+1，
∴172＝289＝2a+1，
∴a＝144，
∴b＝a+1＝145．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了數(shù)字類的規(guī)律探索，勾股數(shù)問(wèn)題，正確理解題意找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
27．（12分）為了解決一些較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，我們常常采用從特殊到一般的思想，先從特殊的情形入手，從中找到解決問(wèn)題的方法．
已知：在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B+∠D＝180°．
（1）如圖①，當(dāng)∠B＝90°時(shí)，求證：CB＝CD；
（2）如圖②，當(dāng)∠B＜90°時(shí)，
①求證：CB＝CD；
②若AB＝13cm，AD＝6cm，∠B＝45°，則點(diǎn)C到AB的距離是 3.5 cm．
【分析】（1）先證明∠B＝∠D＝90°，再由角平分線的性質(zhì)即可證明結(jié)論；
（2）①過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BA交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD交于點(diǎn)F，先證明∠B＝∠FDC，再由角平分線的性質(zhì)得到CF＝CE，通過(guò)證明△CDF≌△CBE，即可求解；②證明△ACF≌△ACE，可得AD+BE＝AB﹣BE，再由已知得到CE＝BE＝3.5cm，則點(diǎn)C到AB的距離是3.5cm．
（1）證明：∵∠B+∠D＝180°，∠B＝90°，
∴∠D＝90°，
∵AC平分∠BAD，
∴CD＝BC；
（2）①證明：過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BA交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，如圖②，
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠FDC＝180°，
∴∠B＝∠FDC，
∵AC平分∠BAD，CE⊥BA，CF⊥AD
∴CF＝CE，
∵∠F＝∠CEB＝90°，
∴△CDF≌△CBE（AAS），
∴CD＝BC；
②解：由①可知CF＝CE，∠F＝∠CEA＝90°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAF＝∠CAE，
又∵AC＝AC，
∴△ACF≌△ACE（AAS），
∴AF＝AE，
∵△CDF≌△CBE，
∴DF＝BE，
∴AD+DF＝AB﹣BE，即AD+BE＝AB﹣BE，
∵AB＝13cm，AD＝6cm，
∴BE＝3.5cm，
∵∠B＝45°，
∴∠BCE＝45°＝∠B，
∴CE＝BE＝3.5cm，
∴點(diǎn)C到AB的距離是3.5cm，
故3.5．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的定義和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握三角形全等的判定及性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
28．（12分）我們知道：過(guò)三角形的頂點(diǎn)引一條直線，可以將它分割成兩個(gè)小三角形．如果每個(gè)小三角形都有兩個(gè)相等的內(nèi)角，則我們稱這條直線為原三角形的“美麗線”．如圖1，直線CD為△ABC的“美麗線”．
（1）如圖2，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝35°，請(qǐng)利用直尺和量角器在圖2中畫(huà)出△ABC的“美麗線”（標(biāo)出所得三角形的內(nèi)角度數(shù)，不要求寫(xiě)畫(huà)法）；
（2）在△ABC中，∠A＝α，∠B＝β（α≤β）．若△ABC存在過(guò)點(diǎn)C的“美麗線”，試探究α與β的關(guān)系．下面是對(duì)這個(gè)問(wèn)題的部分探究過(guò)程：
設(shè)CD為△ABC的“美麗線”，點(diǎn)D在邊AB上，則△ACD與△BCD中各有兩個(gè)相等的內(nèi)角．
【探究1】
如圖3，當(dāng)∠ACD＝∠ADC時(shí)，因?yàn)椤螦＝α，所以∠ADC＝ ，且∠ADC為銳角，則∠CDB為鈍角，所以在△CDB 中，∠DCB＝∠B＝β．由此可以得到α與β的關(guān)系為 α＝180°﹣4β ，其中α的取值范圍為 0°＜α≤36° ．
【探究2】
借助圖4，請(qǐng)你繼續(xù)完成本問(wèn)題的探究，直接寫(xiě)出α與β的關(guān)系．
【分析】（1）由“美麗線”的定義畫(huà)出圖形即可；
（2）【探究1】當(dāng)∠ACD＝∠ADC時(shí)，由三角形內(nèi)角和定理得∠ADC+∠ACD+∠A＝180°，則∠ADC＝，再由∠DCB＝∠B＝β以及三角形的外角性質(zhì)得＝2β，則α＝180°﹣4β，其中0°＜α≤36°；
【探究2】分三種情況，①∠ACD＝∠A＝α，∠CDB＝∠B＝β時(shí)，②∠A＝∠ACD，∠BCD＝∠BDC時(shí)，③∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD時(shí)，分別由三角形的外角性質(zhì)好三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論．
解：（1）如圖2，
AD即為△ABC的“美麗線”；
（2）【探究1】當(dāng)∠ACD＝∠ADC時(shí)，
∵∠A＝α，∠ADC+∠ACD+∠A＝180°，
∴∠ADC＝，且∠ADC為銳角，則∠CDB為鈍角，
在△CDB 中，∠DCB＝∠B＝β，
∵∠ADC＝∠DCB+∠B，
∴＝2β，
∴α＝180°﹣4β，其中α的取值范圍為0°＜α≤36°，
故，α＝180°﹣4β，0°＜α≤36°；
【探究2】分情況討論：
①如圖4，當(dāng)∠ACD＝∠A＝α，∠CDB＝∠B＝β時(shí)，
∵∠BDC＝∠A+∠ACD，
∴β＝2α，其中α的取值范圍為0°＜α＜45°；
②∠A＝∠ACD，∠BCD＝∠BDC時(shí)，
則∠BDC＝（180°﹣∠B）＝90°﹣β，
∵∠BDC＝∠A+∠ACD，
∴90°﹣β＝2α，
整理得：4α+β＝180°；
③∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD時(shí)，
則∠BDC＝180°﹣∠B﹣∠BCD＝180°﹣2β，
∵∠BDC＝∠A+∠ACD，
∴180°﹣2β＝2α，
整理得：α+β＝90°；
綜上所述，α與β的關(guān)系為：β＝2α或4α+β＝180°或α+β＝90°．
【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題目，考查了新定義“美麗線”、三角形內(nèi)角和定理以及三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，理解新定義“美麗線”，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．

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