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TOC \ "1-1" \h \z \u \l "_Tc192258402" 必記知識(shí)點(diǎn)01：集合和常用邏輯用語(yǔ) PAGEREF _Tc192258402 \h 1
\l "_Tc192258402" 必記知識(shí)點(diǎn)02：不等式4
\l "_Tc192258404" 必記知識(shí)點(diǎn)03：基本初等函數(shù)7
\l "_Tc192258404" 必記知識(shí)點(diǎn)04：一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用17
\l "_Tc192258404" 必記知識(shí)點(diǎn)05：三角函數(shù)與解三角形21
\l "_Tc192258404" 必記知識(shí)點(diǎn)06：平面向量與復(fù)數(shù)26
\l "_Tc192258404" 必記知識(shí)點(diǎn)07：數(shù)列32
\l "_Tc192258404" 必記知識(shí)點(diǎn)08：立體幾何與空間向量44
\l "_Tc192258404" 必記知識(shí)點(diǎn)09：直線和圓、圓錐曲線54
\l "_Tc192258404" 必記知識(shí)點(diǎn)10：統(tǒng)計(jì)與成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析67
\l "_Tc192258404" 必記知識(shí)點(diǎn)11：計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布70
必記核心知識(shí)點(diǎn)01 集合和常用邏輯用語(yǔ)
知識(shí)點(diǎn)一：集合
1、集合與元素
1、集合元素的三個(gè)特性：確定性、互異性、無(wú)序性；
2、元素與集合的關(guān)系：屬于或不屬于，用符號(hào)或表示
3、集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法
4、常見(jiàn)數(shù)集的記法與關(guān)系圖
2、集合間的基本關(guān)系
3、集合的基本運(yùn)算
1、集合交并補(bǔ)運(yùn)算的表示
2、集合運(yùn)算中的常用二級(jí)結(jié)論
（1）并集的性質(zhì)：A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A.
（2）交集的性質(zhì)：A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B.
（3）補(bǔ)集的性質(zhì)：A∪(?UA)＝U；A∩(?UA)＝?．?U(?UA)＝A；
?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)；?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)．
知識(shí)點(diǎn)二：充分條件與必要條件
1、充分條件與必要條件
2、充要條件
如果“若，則”和它的逆命題“若，則”均為真命題，即既有，又有，就記作。
此時(shí)，既是的充分條件，也是的必要條件，我們說(shuō)是的充分必要條件，簡(jiǎn)稱(chēng)充要條件。
知識(shí)點(diǎn)三：存在量詞與全稱(chēng)量詞
1、全稱(chēng)量詞與全稱(chēng)量詞命題
（1）全稱(chēng)量詞：短語(yǔ)“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫作全稱(chēng)量詞，并用符號(hào)“”表示．
（2）全稱(chēng)量詞命題：含有全稱(chēng)量詞的命題，稱(chēng)為全稱(chēng)量詞命題．
符號(hào)表示：全稱(chēng)量詞命題“對(duì)中任意一個(gè)，成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為
2、存在量詞與存在量詞命題
（1）存在量詞：短語(yǔ)“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫作存在量詞，并用符號(hào)“”表示．
（2）存在量詞命題：含有存在量詞的命題，叫作存在量詞命題。
符號(hào)表示：存在量詞命題“存在中的元素，使成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為
3、命題的否定：對(duì)命題p加以否定，得到一個(gè)新的命題，記作“”，讀作“非p”或p的否定．
（1）全稱(chēng)量詞命題的否定：
一般地，全稱(chēng)量詞命題“”的否定是存在量詞命題： ．
（2）存在量詞命題的否定：
一般地，存在量詞命題“ ”的否定是全稱(chēng)量詞命題： ．
必記核心知識(shí)點(diǎn)02 不等式
一、比較大小基本方法
二、不等式的性質(zhì)
（1）基本性質(zhì)
三、一元二次不等式
一元二次不等式，其中，是方程的兩個(gè)根，且
（1）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)圖象開(kāi)口向上．
（2） = 1 \* GB3 ①若，解集為．
= 2 \* GB3 ②若，解集為．
= 3 \* GB3 ③若，解集為．
（2） 當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)圖象開(kāi)口向下．
= 1 \* GB3 ①若，解集為；
= 2 \* GB3 ②若，解集為
四、分式不等式
（1）
（2）
（3）
（4）
五、絕對(duì)值不等式
（1）
（2）；
；
（3）含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值的不等式，可用圖象法和零點(diǎn)分段法求解.
六、基本不等式
如果，那么，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．其中，叫作的算術(shù)平均數(shù)，叫作的幾何平均數(shù)．即正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．
基本不等式1：若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；
基本不等式2：若，則（或），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．
注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正數(shù)，“二定”指求最值時(shí)和或積為定值，“三相等”指滿足等號(hào)成立的條件．（2）連續(xù)使用不等式要注意取得一致．
七、經(jīng)典超越不等式
(1)對(duì)數(shù)形式:,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.
(2)指數(shù)形式:,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.
進(jìn)一步可得到一組不等式鏈：（且）
上述兩個(gè)經(jīng)典不等式的原型是來(lái)自于泰勒級(jí)數(shù)：
；
；
截取片段：
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立；
進(jìn)而：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立
必記核心知識(shí)點(diǎn)03 基本初等函數(shù)
一、函數(shù)的概念及其表示
1．函數(shù)
設(shè)是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使對(duì)于集合中的任意一個(gè)數(shù)，在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對(duì)應(yīng)，稱(chēng)為從集合到集合的一個(gè)函數(shù)
2．函數(shù)的有關(guān)概念
（1）函數(shù)的定義域、值域：在函數(shù)中，叫做自變量，的取值范圍叫做函數(shù)的定義域；與的值相對(duì)應(yīng)的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域．顯然，值域是集合的子集．
（2）函數(shù)的三要素：定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系．
（3）相等函數(shù)：如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù)．
（4）函數(shù)的表示法：解析法、圖象法、列表法．
3．常用結(jié)論
（1）若為整式，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>（2）若為分式，則要求分母不為0；
（3）若為對(duì)數(shù)式，則要求真數(shù)大于0；
（4）若為根指數(shù)是偶數(shù)的根式，則要求被開(kāi)方式非負(fù)；
（5）若描述實(shí)際問(wèn)題，則要求使實(shí)際問(wèn)題有意義．
如果是由幾個(gè)部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，求定義域常常等價(jià)于解不等式（組）．
二、函數(shù)的單調(diào)性與最值
1．函數(shù)的單調(diào)性
（1）單調(diào)函數(shù)的定義
（2）單調(diào)區(qū)間的定義
如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)在這一區(qū)間上具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間叫做的單調(diào)區(qū)間．
2．函數(shù)的最值
三、函數(shù)的奇偶性、周期性與對(duì)稱(chēng)性
1．函數(shù)的奇偶性
2．函數(shù)的周期性
（1）周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)，使得當(dāng)取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有，那么就稱(chēng)函數(shù)為周期函數(shù)，稱(chēng)為這個(gè)函數(shù)的周期．
（2）最小正周期：如果在周期函數(shù)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做的最小正周期．
3．函數(shù)的周期性
（1）如果一個(gè)奇函數(shù)在原點(diǎn)處有定義，即有意義，那么一定有．
（2）如果函數(shù)是偶函數(shù)，那么．
（3）奇函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．
（4）函數(shù)周期性常用結(jié)論
對(duì)定義域內(nèi)任一自變量的值：
①若，則．
②若，則．
③若，則．
（5）對(duì)稱(chēng)性的三個(gè)常用結(jié)論
①若函數(shù)是偶函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)．
②若對(duì)于上的任意都有或，則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)．
③若函數(shù)是奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（b，0）中心對(duì)稱(chēng)．
四、二次函數(shù)與冪函數(shù)
1．冪函數(shù)
（1）冪函數(shù)的定義
一般地，形如的函數(shù)稱(chēng)為冪函數(shù)，其中是自變量，為常數(shù)．
（2）5個(gè)常見(jiàn)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)
2．二次函數(shù)
（1）二次函數(shù)解析式的三種形式
（2）二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)
3．常用結(jié)論
①二次函數(shù)的單調(diào)性、最值與拋物線的開(kāi)口方向和對(duì)稱(chēng)軸及給定區(qū)間的范圍有關(guān)．
②若，則當(dāng)時(shí)恒有，當(dāng)時(shí)，恒有．
五、指數(shù)與指數(shù)函數(shù)
1．根式
（1）概念：式子叫做根式，其中叫做根指數(shù)，叫做被開(kāi)方數(shù)．
（2）性質(zhì)：；
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，
2．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪
（1）規(guī)定：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是；正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是，且的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義．
（2）有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：，其中．
3．指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)
（1）概念：函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)是自變量，函數(shù)的定義域是，是底數(shù)．
（2）指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
4．常用結(jié)論
（1）畫(huà)指數(shù)函數(shù)的圖象，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：．
（2）在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)的圖象越高，底數(shù)越大．
六、對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)
1．對(duì)數(shù)的概念
如果，那么叫做以為底的對(duì)數(shù)，記作，其中叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)．
2．對(duì)數(shù)的性質(zhì)、換底公式與運(yùn)算性質(zhì)
（1）對(duì)數(shù)的性質(zhì)：①；②．
（2）對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則
如果且，那么
①；
②；
③；
④．
（3）換底公式：均大于零且不等于1）．
3．對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)
（1）概念：函數(shù)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域是．
（2）對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
4．反函數(shù)
指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)．
二級(jí)結(jié)論：若方程的根為，方程的根為，那么.
5．常用結(jié)論
①換底公式的兩個(gè)重要結(jié)論
（1）．
其中，且，且．
②在第一象限內(nèi)，不同底的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象從左到右底數(shù)逐漸增大．
③對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)（1，0），且過(guò)點(diǎn)（a，1），，函數(shù)圖象只在第一、四象限．
七、函數(shù)的圖象
1．利用描點(diǎn)法作函數(shù)圖象
其基本步驟是列表、描點(diǎn)、連線．
首先：（1）確定函數(shù)的定義域；
（2）化簡(jiǎn)函數(shù)解析式；
（3）討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱(chēng)性等）；其次，列表，描點(diǎn)，連線．
2．函數(shù)圖象的變換
（1）平移變換
①的圖象的圖象；
②的圖象的圖象．
“左加右減，上加下減”，左加右減只針對(duì)本身，與的系數(shù)，無(wú)關(guān)，上加下減指的是在整體上加減．
（2）對(duì)稱(chēng)變換
①的圖象的圖象；
②的圖象的圖象；
③的圖象的圖象；
④的圖象的圖象．
（3）伸縮變換
①的圖象的圖象．
②的圖象的圖象．
（4）翻折變換
①的圖象軸下方部分翻折到上方的圖象；
②的圖象的圖象．
3．常用結(jié)論
（1）函數(shù)圖象自身的軸對(duì)稱(chēng)
①函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；
②函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)；
③若函數(shù)的定義域?yàn)?，且有，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)．
（2）函數(shù)圖象自身的中心對(duì)稱(chēng)
①函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；
②函數(shù)的圖象關(guān)于（a，0）對(duì)稱(chēng)；
③函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，b）成中心對(duì)稱(chēng)．
（3）兩個(gè)函數(shù)圖象之間的對(duì)稱(chēng)關(guān)系
①函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)（由得對(duì)稱(chēng)軸方程）；
②函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)；
③函數(shù)與的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，b）對(duì)稱(chēng)；
④函數(shù)與的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，b）對(duì)稱(chēng)．
八、函數(shù)與方程
1．函數(shù)的零點(diǎn)
（1）函數(shù)零點(diǎn)的定義
對(duì)于函數(shù)，我們把使的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)．
（2）幾個(gè)等價(jià)關(guān)系
方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)．
（3）函數(shù)零點(diǎn)的判定（零點(diǎn)存在性定理）
如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)，即存在，使得，這個(gè)也就是方程的根．
2．二次函數(shù)圖象與零點(diǎn)的關(guān)系
九、函數(shù)的模型及其應(yīng)用
1．幾類(lèi)函數(shù)模型
2．三種函數(shù)模型的性質(zhì)
必記核心知識(shí)點(diǎn)04 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用
一、導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算
1．導(dǎo)數(shù)的概念
一般地，函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作或即．稱(chēng)函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)．
2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義
函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是在曲線上點(diǎn)處的切線的斜率．相應(yīng)地，切線方程為．
3．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式
4．導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
（1）；
（2）；
（3）．
5．常用結(jié)論
1．代表函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值；是函數(shù)值的導(dǎo)數(shù)，且．
2．．
3．曲線的切線與曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不一定只有一個(gè)，而直線與二次曲線相切只有一個(gè)公共點(diǎn)．
4．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)的瞬時(shí)變化趨勢(shì)，其正負(fù)號(hào)反映了變化的方向，其大小反映了變化的快慢，越大，曲線在這點(diǎn)處的切線越“陡”．
二、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
1．函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系
函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，
（1）若，則在區(qū)間（a，b）內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)；
（2）若，則在區(qū)間（a，b）內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)；
（3）若恒有，則在區(qū)間（a，b）內(nèi)是常數(shù)函數(shù)．
討論函數(shù)的單調(diào)性或求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的實(shí)質(zhì)是解不等式，求解時(shí)，要堅(jiān)持“定義域優(yōu)先”原則．
2．常用結(jié)論
（1）在某區(qū)間內(nèi)是函數(shù)在此區(qū)間上為增（減）函數(shù)的充分不必要條件．
（2）可導(dǎo)函數(shù)在（a，b）上是增（減）函數(shù)的充要條件是對(duì)，都有且在（a，b）上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零．
三、利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值最值
1．函數(shù)的極值
（1）函數(shù)的極小值：
函數(shù)在點(diǎn)的函數(shù)值比它在點(diǎn)附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，；而且在點(diǎn)附近的左側(cè)，右側(cè)，則點(diǎn)叫做函數(shù)的極小值點(diǎn)，叫做函數(shù)的極小值．
（2）函數(shù)的極大值：
函數(shù)在點(diǎn)的函數(shù)值比它在點(diǎn)附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，；而且在點(diǎn)附近的左側(cè)，右側(cè)，則點(diǎn)叫做函數(shù)的極大值點(diǎn)，叫做函數(shù)的極大值．極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為極值點(diǎn)，極大值和極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值．
①函數(shù)在處有極值的必要不充分條件是，極值點(diǎn)是的根，但的根不都是極值點(diǎn)（例如，但不是極值點(diǎn)）．
②極值反映了函數(shù)在某一點(diǎn)附近的大小情況，刻畫(huà)的是函數(shù)的局部性質(zhì)．極值點(diǎn)是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)部的點(diǎn)，不會(huì)是端點(diǎn)．
2．函數(shù)的最值
（1）在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在上必有最大值與最小值．
（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則為函數(shù)的最小值，為函數(shù)的最大值；若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則為函數(shù)的最大值，為函數(shù)的最小值．
3．常用結(jié)論
（1）對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，“”是“函數(shù)在處有極值”的必要不充分條件．
（2）求最值時(shí)，應(yīng)注意極值點(diǎn)和所給區(qū)間的關(guān)系，關(guān)系不確定時(shí)，需要分類(lèi)討論，不可想當(dāng)然認(rèn)為極值就是最值．
（3）函數(shù)最值是“整體”概念，而函數(shù)極值是“局部”概念，極大值與極小值之間沒(méi)有必然的大小關(guān)系．
四、二級(jí)結(jié)論
(1)對(duì)數(shù)形式:xx+1≤ln(x+1)≤x(x>-1),當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí),等號(hào)成立.
(2)指數(shù)形式:ex≥x+1(x∈R),當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí),等號(hào)成立.
對(duì)于這兩個(gè)不等式的得到都是源于高等數(shù)學(xué)中的泰勒展開(kāi)，他們的變形式還有：，，，等，這都高考命題的題點(diǎn)。
（3）對(duì)數(shù)均值不等式：兩個(gè)正數(shù)和的對(duì)數(shù)平均定義：
對(duì)數(shù)平均與算術(shù)平均?幾何平均的大小關(guān)系：
（此式記為對(duì)數(shù)平均不等式），取等條件：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．
必記核心知識(shí)點(diǎn)05 三角函數(shù)與解三角形
一、任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)
1．角的概念的推廣
（1）定義：角可以看成平面內(nèi)的一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形．
按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角．
按終邊位置不同分為象限角和軸線角．
（3）終邊相同的角：所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合．
2．弧度制的定義和公式
（1）定義：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad．
（2）公式
3．任意角的三角函數(shù)
（1）定義：設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)，那么．
（2）幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示，正弦線的起點(diǎn)都在軸上，余弦線的起點(diǎn)都是原點(diǎn)，正切線的起點(diǎn)都是（1，0）．如圖中有向線段分別叫做角的正弦線，余弦線和正切線．
二、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式
1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
（1）平方關(guān)系：．
（2）商數(shù)關(guān)系：．
2．三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式
3．常用結(jié)論
（1）同角三角函數(shù)關(guān)系式的常用變形
．
（2）誘導(dǎo)公式的記憶口訣
“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，其中的奇、偶是指的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱(chēng)的變化．
（3）在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時(shí)，若開(kāi)方，要特別注意判斷符號(hào)．
三、三角恒等變換
一、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式
1、兩角和與差的正弦：
:
:
2、兩角和與差的余弦：
:
:
3、兩角和與差的正切：
:.
:.
二、二倍角的正弦、余弦、正切公式
1、二倍角公式：
（1）二倍角的正弦（）：．
（2）二倍角的余弦（）：．
（3）二倍角的正切（）：．
2、二倍角公式的變形及應(yīng)用
（1）倍角公式的逆用：
；；．
：；；．
（2）降冪（擴(kuò)角）公式：；；
；．
三、積化和差與和差化積（不要求記憶）
1、積化和差


2、和差化積


四、輔助角公式
1、輔助角公式：（其中）
實(shí)質(zhì)上是將同角的正弦值和余弦值與常數(shù)積的和變形為一個(gè)三角函數(shù)，當(dāng)式子化簡(jiǎn)為同角不同名三角函數(shù)相加減時(shí)，通常利用輔助角公式化為正弦型．
2、輔助角公式的推導(dǎo)
=
由于上式中和的平方和為1，
故令，
則==
其中角終邊所在的象限由的符號(hào)確定，角的值由確定，或由和共同確定．
3、二級(jí)結(jié)論
1、公式的變形：．
2、常見(jiàn)輔助角結(jié)論
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
3、“給角求值”、“給值求值”問(wèn)題一般策略
（1）關(guān)鍵是把“所求角”用“已知角”表示．
①當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí)，“所求角”一般表示為兩個(gè)“已知角”的和或差的形式；
②當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí)，此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系．
（2）常見(jiàn)的配角技巧：
①；；
②；
③；
④；
⑤．
四、三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)
1．用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖
（1）正．弦函數(shù)的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：．（2）余弦函數(shù)的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：．
2．正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)（下表中）
五、正弦定理余弦定理
1．正弦定理：，其中是三角形外接圓的半徑．由正弦定理可以變形：
2．余弦定理：．
余弦定理可以變形：，
3．，并可由此計(jì)算．
4．在中，已知和時(shí)，解的情況如下：
5．實(shí)際問(wèn)題中的常用角
（1）仰角和俯角
與目標(biāo)線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方叫俯角（如圖①）．
（2）方向角：相對(duì)于某正方向的水平角，如南偏東，北偏西等．
（3）方位角
指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如點(diǎn)的方位角為（如圖②）．
（4）坡度：坡面與水平面所成的二面角的正切值．
必記核心知識(shí)點(diǎn)06 平面向量與復(fù)數(shù)
一、向量的有關(guān)概念
（1）定義：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度（或模）．
（2）向量的模：向量的大小，也就是向量的長(zhǎng)度，記作．
（3）特殊向量：
①零向量：長(zhǎng)度為0的向量，其方向是任意的．
②單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量．
③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共線向量．規(guī)定：與任一向量平行．
④相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量．
⑤相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量．
二、向量的線性運(yùn)算
（1）向量的線性運(yùn)算
【注意】
（1）向量表達(dá)式中的零向量寫(xiě)成，而不能寫(xiě)成0．
（2）兩個(gè)向量共線要區(qū)別與兩條直線共線，兩個(gè)向量共線滿足的條件是：兩個(gè)向量所在直線平行或重合，而在直線中，兩條直線重合與平行是兩種不同的關(guān)系．
（3）要注意三角形法則和平行四邊形法則適用的條件，運(yùn)用平行四邊形法則時(shí)兩個(gè)向量的起點(diǎn)必須重合，和向量與差向量分別是平行四邊形的兩條對(duì)角線所對(duì)應(yīng)的向量；運(yùn)用三角形法則時(shí)兩個(gè)向量必須首尾相接，否則就要把向量進(jìn)行平移，使之符合條件．
（4）向量加法和減法幾何運(yùn)算應(yīng)該更廣泛、靈活如：，，．
三、平面向量基本定理和性質(zhì)
1、共線向量基本定理
如果，則；反之，如果且，則一定存在唯一的實(shí)數(shù)，使．（口訣：數(shù)乘即得平行，平行必有數(shù)乘）．
2、平面向量基本定理
如果和是同一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于該平面內(nèi)的任一向量，都存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)，使得，我們把不共線向量，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，記為，叫做向量關(guān)于基底的分解式．
注意：由平面向量基本定理可知：只要向量與不共線，平面內(nèi)的任一向量都可以分解成形如的形式，并且這樣的分解是唯一的．叫做，的一個(gè)線性組合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理論依據(jù)，也是向量的坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)．
推論1：若，則．
推論2：若，則．
3、線段定比分點(diǎn)的向量表達(dá)式
如圖所示，在中，若點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，且（），則向量．在向量線性表示（運(yùn)算）有關(guān)的問(wèn)題中，若能熟練利用此結(jié)論，往往能有“化腐朽為神奇”之功效，建議熟練掌握．
D
A
C
B
4、三點(diǎn)共線定理
平面內(nèi)三點(diǎn)A，B，C共線的充要條件是：存在實(shí)數(shù)，使，其中，為平面內(nèi)一點(diǎn)．此定理在向量問(wèn)題中經(jīng)常用到，應(yīng)熟練掌握．
A、B、C三點(diǎn)共線
存在唯一的實(shí)數(shù)，使得；
存在唯一的實(shí)數(shù)，使得；
存在唯一的實(shí)數(shù)，使得；
存在，使得．
5、中線向量定理
如圖所示，在中，若點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，則中線向量，反之亦正確．
D
A
C
B
四、平面向量的數(shù)量積
（1）平面向量數(shù)量積的定義
已知兩個(gè)非零向量與，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即=，規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0．
（2）平面向量數(shù)量積的幾何意義
①向量的投影：叫做向量在方向上的投影數(shù)量，當(dāng)為銳角時(shí)，它是正數(shù)；當(dāng)為鈍角時(shí)，它是負(fù)數(shù)；當(dāng)為直角時(shí)，它是0．
②的幾何意義：數(shù)量積等于的長(zhǎng)度與在方向上射影的乘積．
③設(shè)，是兩個(gè)非零向量，它們的夾角是與是方向相同的單位向量，，過(guò)的起點(diǎn)和終點(diǎn)，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，得到，我們稱(chēng)上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．記為．
（3）數(shù)量積的運(yùn)算律
已知向量、、和實(shí)數(shù)，則：
①；②；③．
（4）數(shù)量積的性質(zhì)
設(shè)、都是非零向量，是與方向相同的單位向量，是與的夾角，則
①．②．
③當(dāng)與同向時(shí)，；當(dāng)與反向時(shí)，．
特別地，或．
④．⑤．
（5）數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算
已知非零向量，，為向量、的夾角．
五、復(fù)數(shù)的概念
（1）叫虛數(shù)單位，滿足，當(dāng)時(shí)，．
（2）形如的數(shù)叫復(fù)數(shù)，記作．
= 1 \* GB3 ①?gòu)?fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，叫z的實(shí)部，b叫z的虛部；Z點(diǎn)組成實(shí)軸；叫虛數(shù)；且，z叫純虛數(shù)，純虛數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成虛軸（不包括原點(diǎn)）．兩個(gè)實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)的復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)．
= 2 \* GB3 ②兩個(gè)復(fù)數(shù)相等（兩復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)同一點(diǎn)）
= 3 \* GB3 ③復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù)的模，也就是向量的模，即有向線段的長(zhǎng)度，其計(jì)算公式為，顯然，．
六、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算
1、復(fù)數(shù)運(yùn)算
（1）
（2）
其中，叫z的模；是的共軛復(fù)數(shù)．
（3）．
實(shí)數(shù)的全部運(yùn)算律（加法和乘法的交換律、結(jié)合律、分配律及整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算法則）都適用于復(fù)數(shù)．
注意：復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義
以復(fù)數(shù)分別對(duì)應(yīng)的向量為鄰邊作平行四邊形，對(duì)角線表示的向量就是復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的向量．對(duì)應(yīng)的向量是．
2、復(fù)數(shù)的幾何意義
（1）復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)平面內(nèi)的點(diǎn)；
（2）復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)平面向量；
（3）復(fù)平面內(nèi)實(shí)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，除原點(diǎn)外虛軸上的點(diǎn)表示虛數(shù)，各象限內(nèi)的點(diǎn)都表示復(fù)數(shù)．
（4）復(fù)數(shù)的模表示復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．
3、復(fù)數(shù)的三角形式
（1）復(fù)數(shù)的三角表示式
一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù)都可以表示成形式，其中是復(fù)數(shù)的模；是以軸的非負(fù)半軸為始邊，向量所在射線（射線）為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)的輻角．叫做復(fù)數(shù)的三角表示式，簡(jiǎn)稱(chēng)三角形式．
（2）輻角的主值
任何一個(gè)不為零的復(fù)數(shù)的輻角有無(wú)限多個(gè)值，且這些值相差的整數(shù)倍．規(guī)定在范圍內(nèi)的輻角的值為輻角的主值．通常記作，即．復(fù)數(shù)的代數(shù)形式可以轉(zhuǎn)化為三角形式，三角形式也可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式．
（3）三角形式下的兩個(gè)復(fù)數(shù)相等
兩個(gè)非零復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的模與輻角的主值分別相等．
（4）復(fù)數(shù)三角形式的乘法運(yùn)算
①兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和，即
．
②復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示的幾何意義
復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量為，把向量繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角（如果，就要把繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角），再把它的模變?yōu)樵瓉?lái)的倍，得到向量，表示的復(fù)數(shù)就是積．
（5）復(fù)數(shù)三角形式的除法運(yùn)算
兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差，即．
必記核心知識(shí)點(diǎn)07 數(shù)列
一、數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示
1．?dāng)?shù)列的概念
（1）數(shù)列的定義：按照一定順序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)．
（2）數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系：從函數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看成以正整數(shù)集（或它的有限子集）為定義域的函數(shù)，當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值．
（3）數(shù)列的表示法：列表法、圖象法和通項(xiàng)公式法．
數(shù)列的圖象是一系列孤立的點(diǎn)，而不是連續(xù)的曲線．
2．?dāng)?shù)列的分類(lèi)
3．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式
（1）通項(xiàng)公式：如果數(shù)列的第項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．?dāng)?shù)列通項(xiàng)公式的注意點(diǎn)
①并不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式；
②同一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式在形式上未必唯一；
③對(duì)于一個(gè)數(shù)列，如果只知道它的前幾項(xiàng)，而沒(méi)有指出它的變化規(guī)律，是不能確定這個(gè)數(shù)列的．
（2）遞推公式：如果已知數(shù)列的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且從第二項(xiàng)（或某一項(xiàng)）開(kāi)始的任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式．
二、等差數(shù)列及前項(xiàng)和
1、等差數(shù)列的定義
一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母表示，定義表達(dá)式為（常數(shù)）．
2、等差中項(xiàng)
若三個(gè)數(shù)，，成等差數(shù)列，則叫做與的等差中項(xiàng)，且有．
3、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式
如果等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，那么它的通項(xiàng)公式是．
4、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式
設(shè)等差數(shù)列的公差為，其前項(xiàng)和．
5、等差數(shù)列的常用性質(zhì)
已知為等差數(shù)列，為公差，為該數(shù)列的前項(xiàng)和．
（1）通項(xiàng)公式的推廣：．
（2）在等差數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，．
特別地，若，則．
（3），…仍是等差數(shù)列，公差為．
（4），…也成等差數(shù)列，公差為．
（5）若，是等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列．
（6）若是等差數(shù)列，則也成等差數(shù)列，其首項(xiàng)與首項(xiàng)相同，公差是公差的．
（7）若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，則；；．
（8）若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，則；；．
（9）在等差數(shù)列中，若，則滿足的項(xiàng)數(shù)使得取得最大值；若，則滿足的項(xiàng)數(shù)使得取得最小值．
（10）．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列?（為常數(shù)）．
（11）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值
公差為遞增等差數(shù)列，有最小值；
公差為遞減等差數(shù)列，有最大值；
公差為常數(shù)列．
特別地
若，則有最大值（所有正項(xiàng)或非負(fù)項(xiàng)之和）；
若，則有最小值（所有負(fù)項(xiàng)或非正項(xiàng)之和）．
（12）若已知等差數(shù)列，公差為，前項(xiàng)和為，則：
①等間距抽取為等差數(shù)列，公差為．
②等長(zhǎng)度截取為等差數(shù)列，公差為．
③算術(shù)平均值為等差數(shù)列，公差為．
三、等比數(shù)列及前項(xiàng)和
1、定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)（不為零），那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母表示，定義的表達(dá)式為．
2、等比中項(xiàng)：如果，，成等比數(shù)列，那么叫做與的等比中項(xiàng)．
即是與的等比中項(xiàng)?，，成等比數(shù)列?．
3、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式
設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，則它的通項(xiàng)公式．
推廣形式：
4、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式
等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為
注①等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式有兩種形式，在求等比數(shù)列的前項(xiàng)和時(shí)，首先要判斷公比是否為1，再由的情況選擇相應(yīng)的求和公式，當(dāng)不能判斷公比是否為1時(shí)，要分與兩種情況討論求解．
②已知（項(xiàng)數(shù)），則利用求解；已知，則利用求解．
③，為關(guān)于的指數(shù)型函數(shù)，且系數(shù)與常數(shù)互為相反數(shù)．
5、等比數(shù)列的性質(zhì)
（1）等比中項(xiàng)的推廣．
若時(shí)，則，特別地，當(dāng)時(shí)，．
（2）①設(shè)為等比數(shù)列，則（為非零常數(shù)），，仍為等比數(shù)列．
②設(shè)與為等比數(shù)列，則也為等比數(shù)列．
（3）等比數(shù)列的單調(diào)性（等比數(shù)列的單調(diào)性由首項(xiàng)與公比決定）．
當(dāng)或時(shí)，為遞增數(shù)列；
當(dāng)或時(shí)，為遞減數(shù)列．
（4）其他衍生等比數(shù)列．
若已知等比數(shù)列，公比為，前項(xiàng)和為，則：
①等間距抽取
為等比數(shù)列，公比為．
②等長(zhǎng)度截取
為等比數(shù)列，公比為（當(dāng)時(shí)，不為偶數(shù)）．
四、數(shù)列求通項(xiàng)公式
類(lèi)型Ⅰ 觀察法：
已知數(shù)列前若干項(xiàng)，求該數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，一般對(duì)所給的項(xiàng)觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫(xiě)出此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)．
類(lèi)型Ⅱ 公式法：
若已知數(shù)列的前項(xiàng)和與的關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)可用公式 構(gòu)造兩式作差求解．
用此公式時(shí)要注意結(jié)論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即和合為一個(gè)表達(dá)，（要先分和兩種情況分別進(jìn)行運(yùn)算，然后驗(yàn)證能否統(tǒng)一）．
類(lèi)型Ⅲ 累加法：
形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：
將上述個(gè)式子兩邊分別相加，可得：
= 1 \* GB3 ①若是關(guān)于的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和；
= 2 \* GB3 ② 若是關(guān)于的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和；
= 3 \* GB3 ③若是關(guān)于的二次函數(shù)，累加后可分組求和；
= 4 \* GB3 ④若是關(guān)于的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和．
類(lèi)型Ⅳ 累乘法：
形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：
將上述個(gè)式子兩邊分別相乘，可得：
有時(shí)若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解．
類(lèi)型Ⅴ 構(gòu)造數(shù)列法：
（一）形如（其中均為常數(shù)且）型的遞推式：
（1）若時(shí)，數(shù)列{}為等差數(shù)列；
（2）若時(shí)，數(shù)列{}為等比數(shù)列；
（3）若且時(shí)，數(shù)列{}為線性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過(guò)待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來(lái)求．方法有如下兩種：
法一：設(shè)，展開(kāi)移項(xiàng)整理得，與題設(shè)比較系數(shù)（待定系數(shù)法）得，即構(gòu)成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)整理可得
法二：由得兩式相減并整理得即構(gòu)成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．求出的通項(xiàng)再轉(zhuǎn)化為類(lèi)型Ⅲ（累加法）便可求出
（二）形如型的遞推式：
（1）當(dāng)為一次函數(shù)類(lèi)型（即等差數(shù)列）時(shí)：
法一：設(shè)，通過(guò)待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)整理可得
法二：當(dāng)?shù)墓顬闀r(shí)，由遞推式得：，兩式相減得：，令得：轉(zhuǎn)化為類(lèi)型Ⅴ㈠求出 ，再用類(lèi)型Ⅲ（累加法）便可求出
（2）當(dāng)為指數(shù)函數(shù)類(lèi)型（即等比數(shù)列）時(shí)：
法一：設(shè)，通過(guò)待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)整理可得
法二：當(dāng)?shù)墓葹闀r(shí)，由遞推式得：——①，，兩邊同時(shí)乘以得——②，由①②兩式相減得，即，在轉(zhuǎn)化為類(lèi)型Ⅴ㈠便可求出
法三：遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）或（其中p，q， r均為常數(shù)）時(shí)，要先在原遞推公式兩邊同時(shí)除以，得：，引入輔助數(shù)列（其中），得：再應(yīng)用類(lèi)型Ⅴ㈠的方法解決．
（3）當(dāng)為任意數(shù)列時(shí)，可用通法：
在兩邊同時(shí)除以可得到，令，則，在轉(zhuǎn)化為類(lèi)型Ⅲ（累加法），求出之后得．
類(lèi)型Ⅵ 對(duì)數(shù)變換法：
形如型的遞推式：
在原遞推式兩邊取對(duì)數(shù)得，令得：，化歸為型，求出之后得（注意：底數(shù)不一定要取10，可根據(jù)題意選擇）．
類(lèi)型Ⅶ 倒數(shù)變換法：
形如（為常數(shù)且）的遞推式：兩邊同除于，轉(zhuǎn)化為形式，化歸為型求出的表達(dá)式，再求；
還有形如的遞推式，也可采用取倒數(shù)方法轉(zhuǎn)化成形式，化歸為型求出的表達(dá)式，再求．
類(lèi)型Ⅷ 形如型的遞推式：
用待定系數(shù)法，化為特殊數(shù)列的形式求解．方法為：設(shè)，比較系數(shù)得，可解得，于是是公比為的等比數(shù)列，這樣就化歸為型．
總之，求數(shù)列通項(xiàng)公式可根據(jù)數(shù)列特點(diǎn)采用以上不同方法求解，對(duì)不能轉(zhuǎn)化為以上方法求解的數(shù)列，可用歸納、猜想、證明方法求出數(shù)列通項(xiàng)公式
（1）公式法
①等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式
．推導(dǎo)方法：倒序相加法；
②等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式
推導(dǎo)方法：乘公比，錯(cuò)位相減法．
（2）分組轉(zhuǎn)化法
把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列，再求解．
（3）裂項(xiàng)相消法
把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和，正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng)．
（4）倒序相加法
把數(shù)列分別正著寫(xiě)和倒著寫(xiě)再相加，即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過(guò)程的推廣．
（5）錯(cuò)位相減法
主要用于一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所得的數(shù)列的求和，即等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過(guò)程的推廣．
（6）并項(xiàng)求和法
一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱(chēng)之為并項(xiàng)求和．形如類(lèi)型，可采用兩項(xiàng)合并求解
五、數(shù)列求和
一．公式法
（1）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，推導(dǎo)方法：倒序相加法．
（2）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，推導(dǎo)方法：乘公比，錯(cuò)位相減法．
（3）一些常見(jiàn)的數(shù)列的前n項(xiàng)和：
①；
②；
③；
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④
二．幾種數(shù)列求和的常用方法
（1）分組轉(zhuǎn)化求和法：一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和后相加減．
（2）裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得前n項(xiàng)和．
（3）錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用錯(cuò)位相減法求解．
（4）倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用倒序相加法求解．
【解題方法總結(jié)】
常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧
積累裂項(xiàng)模型1：等差型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
積累裂項(xiàng)模型2：根式型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
積累裂項(xiàng)模型3：指數(shù)型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6），設(shè)，易得，
于是
（7）
積累裂項(xiàng)模型4：對(duì)數(shù)型
積累裂項(xiàng)模型5：三角型
（1）
（2）
（3）
（4），
則
積累裂項(xiàng)模型6：階乘
（1）
（2）
常見(jiàn)放縮公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）
；
（11）
；
（12）；
（13）．
（14）．
必記核心知識(shí)點(diǎn)08 立體幾何與空間向量
一、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、三視圖和直觀圖
1．空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征
（1）多面體的結(jié)構(gòu)特征
（2）旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征
2．直觀圖
空間幾何體的直觀圖常用斜二測(cè)畫(huà)法來(lái)畫(huà)，其規(guī)則是：（1）原圖形中軸、軸、軸兩兩垂直，直觀圖中，軸、軸的夾角為（或），軸與軸、軸所在平面垂直．
（2）原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標(biāo)軸．平行于軸和軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變，平行于軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中變?yōu)樵瓉?lái)的一半．
3．空間幾何體的表面積與體積公式
二、空間幾何體的表面積與體積
三、空間兩直線的位置關(guān)系
1．平面的基本性質(zhì)
（1）公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．
（2）公理2：過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．
（3）公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線．
2．空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系
3．平行公理（公理4）和等角定理
平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．
等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．
4．異面直線所成的角
（1）定義：設(shè)是兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)作直線，把與所成的銳角（或直角）叫做異面直線與所成的角（或夾角）．
（2）范圍：．
四、直線、平面平行的判定與性質(zhì)
1．直線與平面平行
（1）直線與平面平行的定義
直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn)，則稱(chēng)直線與平面平行．
（2）判定定理與性質(zhì)定理
2．平面與平面平行
（1）平面與平面平行的定義
沒(méi)有公共點(diǎn)的兩個(gè)平面叫做平行平面．
（2）判定定理與性質(zhì)定理
五、直線、平面垂直的判定與性質(zhì)
1．直線與平面垂直
（1）判定直線和平面垂直的方法
①定義法．
②利用判定定理：一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線和此平面
垂直．
③推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條直線也垂直這個(gè)
平面．
（2）直線和平面垂直的性質(zhì)
①直線垂直于平面，則垂直于平面內(nèi)任意直線．
②垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行．
③垂直于同一條直線的兩平面平行．
2．平面與平面垂直
（1）平面與平面垂直的判定方法
①定義法．
②利用判定定理：一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直．
（2）平面與平面垂直的性質(zhì)
兩平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面．
六、空間向量、加減運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算
（1）空間向量
在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度或模．空間向量也可用有向線段表示，有向線段的長(zhǎng)度表示向量的模，若向量的起點(diǎn)是，終點(diǎn)是，則向量也可以記作，其模記為或．
（2）零向量與單位向量
規(guī)定長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，記作．當(dāng)有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)重合時(shí)，．
模為1的向量稱(chēng)為單位向量．
（3）相等向量與相反向量
方向相同且模相等的向量稱(chēng)為相等向量．在空間，同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量或相等向量．空間任意兩個(gè)向量都可以平移到同一個(gè)平面，成為同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量．
與向量長(zhǎng)度相等而方向相反的向量，稱(chēng)為的相反向量，記為．
（4）空間向量的加法和減法運(yùn)算
①，．如圖所示．
②空間向量的加法運(yùn)算滿足交換律及結(jié)合律
，
（5）數(shù)乘運(yùn)算
實(shí)數(shù)與空間向量的乘積稱(chēng)為向量的數(shù)乘運(yùn)算．當(dāng)時(shí)，與向量方向相同；當(dāng)時(shí)，向量與向量方向相反．的長(zhǎng)度是的長(zhǎng)度的倍．
（6）空間向量的數(shù)乘運(yùn)算滿足分配律及結(jié)合律
，．
（7）共線向量與平行向量
如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，平行于，記作．
（8）共線向量定理
對(duì)空間中任意兩個(gè)向量，，的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使．
（9）直線的方向向量
如圖8-153所示，為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)且平行于已知非零向量的直線．對(duì)空間任意一點(diǎn)，點(diǎn)在直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使①，其中向量叫做直線的方向向量，在上取，則式①可化為②
①和②都稱(chēng)為空間直線的向量表達(dá)式，當(dāng)，即點(diǎn)是線段的中點(diǎn)時(shí)，，此式叫做線段的中點(diǎn)公式．
（10）共面向量
如圖8-154所示，已知平面與向量，作，如果直線平行于平面或在平面內(nèi)，則說(shuō)明向量平行于平面．平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
（11）共面向量定理
如果兩個(gè)向量，不共線，那么向量與向量，共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)，使．
推論：①空間一點(diǎn)位于平面內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)，使；或?qū)臻g任意一點(diǎn)，有，該式稱(chēng)為空間平面的向量表達(dá)式．
②已知空間任意一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)，，，滿足向量關(guān)系式（其中）的點(diǎn)與點(diǎn)，，共面；反之也成立．
七、空間向量的數(shù)量積運(yùn)算
（1）兩向量夾角
已知兩個(gè)非零向量，，在空間任取一點(diǎn)，作，，則叫做向量，的夾角，記作，通常規(guī)定，如果，那么向量，互相垂直，記作．
（2）數(shù)量積定義
已知兩個(gè)非零向量，，則叫做，的數(shù)量積，記作，即．零向量與任何向量的數(shù)量積為0，特別地，．
（3）空間向量的數(shù)量積滿足的運(yùn)算律：
，（交換律）；
（分配律）．
八、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算及應(yīng)用
（1）設(shè)，，則；
；
；
；
；
．
（2）設(shè)，，則．
這就是說(shuō)，一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示該向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減起點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）兩個(gè)向量的夾角及兩點(diǎn)間的距離公式．
①已知，，則；
；
；
；
②已知，，則，
或者．其中表示與兩點(diǎn)間的距離，這就是空間兩點(diǎn)的距離公式．
（4）向量在向量上的投影為．
九、向量法證明平行、垂直
（1）平面的法向量：
如果表示向量的有向線段所在直線垂直于平面，則稱(chēng)這個(gè)向量垂直于平面，記作，如果，那么向量叫做平面的法向量．
注意：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①法向量一定是非零向量； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②一個(gè)平面的所有法向量都互相平行； = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③向量是平面的法向量，向量是與平面平行或在平面內(nèi)，則有．
第一步：寫(xiě)出平面內(nèi)兩個(gè)不平行的向；
第二步：那么平面法向量，滿足．
（2）判定直線、平面間的位置關(guān)系
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①直線與直線的位置關(guān)系：不重合的兩條直線，的方向向量分別為，．
若∥，即，則；
若，即，則．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②直線與平面的位置關(guān)系：直線的方向向量為，平面的法向量為，且．
若∥，即，則；
若，即，則．
（3）平面與平面的位置關(guān)系
平面的法向量為，平面的法向量為．
若∥，即，則；若⊥，即，則⊥．
十、空間角與距離公式
（1）異面直線所成角公式：設(shè)，分別為異面直線，上的方向向量，為異面直線所成角的大小，則．
（2）線面角公式：設(shè)為平面的斜線，為的方向向量，為平面的法向量，為
與所成角的大小，則．
（3）二面角公式：
設(shè)，分別為平面，的法向量，二面角的大小為，則或（需要根據(jù)具體情況判斷相等或互補(bǔ)），其中．
（4）異面直線間的距離：兩條異面直線間的距離也不必尋找公垂線段，只需利用向量的正射影性質(zhì)直接計(jì)算．
如圖，設(shè)兩條異面直線的公垂線的方向向量為，這時(shí)分別在上任取兩點(diǎn)，則向量在上的正射影長(zhǎng)就是兩條異面直線的距離．則即兩異面直線間的距離，等于兩異面直線上分別任取兩點(diǎn)的向量和公垂線方向向量的數(shù)量積的絕對(duì)值與公垂線的方向向量模的比值．
（5）點(diǎn)到平面的距離
為平面外一點(diǎn)（如圖），為平面的法向量，過(guò)作平面的斜線及垂線．
故
必記核心知識(shí)點(diǎn)09 直線與圓、圓錐曲線
一、直線的方程
1．直線的傾斜角
（1）定義：當(dāng)直線與軸相交時(shí)，取軸作為基準(zhǔn)，軸正向與直線向上方向之間所成的角叫做直線的傾斜角．
（2）規(guī)定：當(dāng)直線與軸平行或重合時(shí)，它的傾斜角為0．
（3）范圍：直線傾斜角的取值范圍是．
2．斜率公式
（1）定義式：直線的傾斜角為，則斜率．
（2）坐標(biāo)式：（在直線上，且，則的斜率．
3．直線方程的5種形式
二、兩直線的位置關(guān)系
1．兩條直線平行與垂直的判定
（1）兩條直線平行：
①對(duì)于兩條不重合的直線，若其斜率分別為，則有．
②當(dāng)直線不重合且斜率都不存在時(shí)，．
兩條直線平行時(shí)，不要忘記它們的斜率有可能不存在的情況．
（2）兩條直線垂直：
①如果兩條直線的斜率存在，設(shè)為，則有．
②當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為0時(shí)，．
2．兩條直線的交點(diǎn)的求法
直線，則與的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解．
3．三種距離公式
（1）兩點(diǎn)之間的距離：．
（2）點(diǎn)到直線的距離：．應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式時(shí)，直線方程必須是一般式
（3）平行線與間距離：．兩平行線的距離公式中，兩直線方程的一般式中的系數(shù)要對(duì)應(yīng)相等
常用結(jié)論
1．過(guò)定點(diǎn)的直線系方程：，還可以表示為和．
2．平行于直線的直線系方程：．
3．垂直于直線的直線系方程：．
4．過(guò)兩條已知直線交點(diǎn)的直線系方程：（不包括直線）和．
5．點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為．
6．點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為．
7．點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為．
8．點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為．
9．點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為．
三、圓的方程
1．圓的定義及方程
兩條直線垂直時(shí)，不要忘記一條直線的斜率不存在、另一條直線的斜率為零的情況．
2．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：
（1）若在圓外，則．
（2）若在圓上，則．
（3）若在圓內(nèi)，則．
常用結(jié)論
（1）二元二次方程表示圓的充要條件是
（2）以為直徑端點(diǎn)的圓的方程為．
四、直線與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系
1．直線與圓的位置關(guān)系（半徑為，圓心到直線的距離為）
2．圓與圓的位置關(guān)系
設(shè)兩圓的圓心距為，兩圓的半徑分別為，則
判斷圓與圓位置關(guān)系的注意點(diǎn)
對(duì)于圓與圓的位置關(guān)系，從交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，也就是方程組的解的個(gè)數(shù)來(lái)判斷，有時(shí)得不到確切的結(jié)論．如當(dāng)時(shí)，需要再根據(jù)圖形判斷兩圓是外離，還是內(nèi)含；當(dāng)時(shí)，還需要判斷兩圓是外切，還是內(nèi)切．
常用結(jié)論
1．圓的切線方程常用結(jié)論
（1）過(guò)圓上一點(diǎn)的圓的切線方程為．
（2）過(guò)圓上一點(diǎn)的圓的切線方程為．
（3）過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為．
2．圓系方程
（1）同心圓系方程：，其中是定值，是參數(shù)；
（2）過(guò)直線與圓交點(diǎn)的圓系方程：；
（3）過(guò)圓和圓交點(diǎn)的圓系方程：（該圓系不含圓，解題時(shí)，注意檢驗(yàn)圓是否滿足題意，以防漏解）．
五、橢圓的幾何性質(zhì)
1．橢圓的定義
平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．兩定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)．
集合，其中，且為常數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是橢圓；
（2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線段；
（3）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)不存在．
2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
離心率表示橢圓的扁平程度．當(dāng)越接近于1時(shí)，越接近于，從而越小，因此橢圓越扁；當(dāng)越接近于0時(shí)，越接近于0，從而越大，因此橢圓越接近圓；當(dāng)時(shí)，，兩焦點(diǎn)重合，圖形就是圓．
常用結(jié)論
1．焦半徑：橢圓上的點(diǎn)與左（下）焦點(diǎn)與右（上）焦點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)度叫做橢圓的焦半徑，分別記作．
（1）；
（2）；
（3）焦半徑中以長(zhǎng)軸為端點(diǎn)的焦半徑最大和最?。ń拯c(diǎn)與遠(yuǎn)日點(diǎn)）．
2．焦點(diǎn)三角形：橢圓上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的叫做焦點(diǎn)三角形，的面積為，則在橢圓中
（1）當(dāng)為短軸端點(diǎn)時(shí)，最大．
（2），
當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)為短軸端點(diǎn)時(shí)，取最大值，最大值為．
（3）焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為．
3．焦點(diǎn)弦（過(guò)焦點(diǎn)的弦）：焦點(diǎn)弦中以通徑（垂直于長(zhǎng)軸的焦點(diǎn)弦）最短，弦長(zhǎng)．
4．為橢圓的弦，，弦中點(diǎn)，則
（1）弦長(zhǎng)；
（2）直線的斜率．
六、直線與橢圓的位置關(guān)系
1．點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系
點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系：
點(diǎn)在橢圓上；
點(diǎn)在橢圓內(nèi)部；
點(diǎn)在橢圓外部．
2．直線與橢圓的位置關(guān)系
直線與橢圓的位置關(guān)系：
聯(lián)立消去得一個(gè)關(guān)于的一元二次方程．
七、雙曲線
1．雙曲線的定義
平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于非零0常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距．
集合，其中為常數(shù)且．
2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
（1）若將雙曲線的定義中的“差的絕對(duì)值等于常數(shù)”中的“絕對(duì)值”去掉，則點(diǎn)的集合是雙曲線的一支，具體是左支還是右支視情況而定．
（2）設(shè)雙曲線上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為，則，這一條件不能忽略．
①若，則點(diǎn)的軌跡是分別以為端點(diǎn)的兩條射線；
②若，則點(diǎn)的軌跡不存在；
③若，則點(diǎn)的軌跡是線段的垂直平分線．
常用結(jié)論
1．雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為．
2．若是雙曲線右支上一點(diǎn)，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則．
3．同支的焦點(diǎn)弦中最短的為通徑（過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦），其長(zhǎng)為；異支的弦中最短的為實(shí)軸，其長(zhǎng)為．
4．若是雙曲線上不同于實(shí)軸兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則，其中為．
5．若是雙曲線右支上不同于實(shí)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為內(nèi)切圓的圓心，則圓心的橫坐標(biāo)為定值．
6．等軸雙曲線
（1）定義：中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸，實(shí)半軸長(zhǎng)與虛半軸長(zhǎng)相等的雙曲線叫做等軸雙曲線．
（2）性質(zhì)：；③漸近線互相垂直；④等軸雙曲線上任意一點(diǎn)到中心的距離是它到兩焦點(diǎn)距離的等比中項(xiàng)．
7．共軛雙曲線
（1）定義：如果一條雙曲線的實(shí)軸和虛軸分別是另一條雙曲線的虛軸和實(shí)軸，那么這兩條雙曲線互為共軛雙曲線．
（2）性質(zhì)：①它們有共同的漸近線；②它們的四個(gè)焦點(diǎn)共圓；③它們的離心率的倒數(shù)的平方和等于1．
八、拋物線
1．拋物線的定義
滿足以下三個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡是拋物線：
（1）在平面內(nèi)；
（2）動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等；
（3）定點(diǎn)不在定直線上．（C）
其中點(diǎn)叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線叫做拋物線的準(zhǔn)線．
2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
（1）若定點(diǎn)在定直線上，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為過(guò)點(diǎn)且垂直于的一條直線．
（2）四種不同拋物線方程的異同點(diǎn)
常用結(jié)論
設(shè)是過(guò)拋物線焦點(diǎn)的弦，若，則
（1）；
（2），，弦長(zhǎng)（為弦的傾斜角）；
（3）；
（4）以弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；
（5）以或?yàn)橹睆降膱A與軸相切；
（6）過(guò)焦點(diǎn)弦的端點(diǎn)的切線互相垂直且交點(diǎn)在準(zhǔn)線上．
九、曲線與方程
1．曲線與方程
一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程的實(shí)數(shù)解建立了如下關(guān)系：
（1）曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解．
（2）以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)．那么這個(gè)方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線．
2．求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的一般步驟
（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y）表示曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）寫(xiě)出適合條件的點(diǎn)的集合．
（3）用坐標(biāo)表示條件，列出方程；
（4）化方程為最簡(jiǎn)形式；
（5）說(shuō)明化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上．
①如果曲線的方程是，那么點(diǎn)在曲線上的充要條件是．
“曲線是方程的曲線”是“曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解”的充分不必要條件．
②坐標(biāo)系建立的不同，同一曲線在不同坐標(biāo)系中的方程也不同，但它們始終表示同一曲線．有時(shí)此過(guò)程可根據(jù)實(shí)際情況省略，直接列出曲線方程．
十、二級(jí)結(jié)論
切線問(wèn)題
1.過(guò)圓:上一點(diǎn)的切線方程為.
2.過(guò)橢圓上一點(diǎn)的切線方程為.
3.已知點(diǎn),拋物線:和直線:.
(1)當(dāng)點(diǎn)在拋物線上時(shí),直線與拋物線相切,其中為切點(diǎn),為切線.
(2)當(dāng)點(diǎn)在拋物線外時(shí),直線與拋物線相交,其中兩交點(diǎn)與點(diǎn)的連線分別是拋物線的切線,即直線為切點(diǎn)弦所在的直線.
(3)當(dāng)點(diǎn)在拋物線內(nèi)時(shí),直線與拋物線相離.
斜率問(wèn)題
1.在橢圓:中:(特別提醒此題結(jié)論適用型橢圓)
(1)如圖①所示,若直線與橢圓交于,兩點(diǎn),過(guò),兩點(diǎn)作橢圓的切線,,有,設(shè)其斜率為,則.
(2)如圖②所示,若直線與橢圓交于,兩點(diǎn),為橢圓上異于,的點(diǎn),若直線,的斜率存在,且分別為,,則.
(3)如圖③所示,若直線與橢圓交于,兩點(diǎn),為弦的中點(diǎn),設(shè)直線的斜率為,則.

2.在雙曲線:中,類(lèi)比上述結(jié)論有:(特別提醒此題結(jié)論適用型雙曲線)
(1). (2). (3).
3.在拋物線：中類(lèi)比1（3）的結(jié)論有.
特別提醒：圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題常用點(diǎn)差法，但是注意使用點(diǎn)差法后要檢驗(yàn)答案是否符合題意；另外也可以通過(guò)聯(lián)立+韋達(dá)定理求解.
在圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)中,曲線上的一定點(diǎn)(非頂點(diǎn))與曲線上的兩動(dòng)點(diǎn),滿足直線與的斜率互為相反數(shù)(傾斜角互補(bǔ)),則直線的斜率為定值.
定值問(wèn)題
1、在橢圓中：已知橢圓,定點(diǎn)()在橢圓上,設(shè),是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),直線，的斜率分別為,,且滿足.則直線的斜率
2、在雙曲線:中，定點(diǎn)()在雙曲線上,設(shè),是雙曲線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),直線,的斜率分別為，,且滿足.則直線的斜率
3、在拋物線：，定點(diǎn)()在拋物線上,設(shè),是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),直線,的斜率分別為,,且滿足.則直線的斜率.
若圓錐曲線中內(nèi)接直角三角形的直角頂點(diǎn)與圓錐曲線的頂點(diǎn)重合,則斜邊所在直線過(guò)定點(diǎn).
(1)對(duì)于橢圓()上異于右頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn),,以為直徑的圓經(jīng)過(guò)右頂點(diǎn),則直線過(guò)定點(diǎn).同理,當(dāng)以為直徑的圓過(guò)左頂點(diǎn)時(shí),直線過(guò)定點(diǎn).
(2)對(duì)于雙曲線上異于右頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn),,以為直徑的圓經(jīng)過(guò)右頂點(diǎn),則直線過(guò)定點(diǎn).同理,對(duì)于左頂點(diǎn),則定點(diǎn)為.
(3)對(duì)于拋物線上異于頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn),,若,則弦所在直線過(guò)點(diǎn).同理,拋物線上異于頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn),,若,則直線過(guò)定點(diǎn).
必記核心知識(shí)點(diǎn)10 統(tǒng)計(jì)與成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析
一、隨機(jī)抽樣
1．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣
（1）定義：設(shè)一個(gè)總體含有個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)不放回地抽取個(gè)個(gè)體作為樣本，如果每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都相等，就把這種抽樣方法叫做簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．
（2）最常用的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)法．
2．分層抽樣
（1）定義：在抽樣時(shí)，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個(gè)體，
將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本，這種抽樣方法叫做分層抽樣．
（2）應(yīng)用范圍：當(dāng)總體是由差異明顯的幾個(gè)部分組成時(shí)，往往選用分層抽樣．
二、用樣本估計(jì)總體
1．頻率分布直方圖
（1）頻率分布表的畫(huà)法：
第一步：求極差，決定組數(shù)和組距，組距
第二步：分組，通常對(duì)組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開(kāi)區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間；
第三步：登記頻數(shù)，計(jì)算頻率，列出頻率分布表．
（2）頻率分布直方圖：反映樣本頻率分布的直方圖（如圖）
橫軸表示樣本數(shù)據(jù)，縱軸表示，每個(gè)小矩形的面積表示樣本落在該組內(nèi)的頻率．
2．樣本的數(shù)字特征
（1）眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)，叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．（2）中位數(shù)：把個(gè)數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．
（3）平均數(shù)：把稱(chēng)為這個(gè)數(shù)的平均數(shù)．
（4）標(biāo)準(zhǔn)差與方差：設(shè)一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差和方差分別是
常用結(jié)論
1．頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)的關(guān)系
（1）最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)．
（2）中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的．
（3）平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．
2．平均數(shù)、方差的公式推廣
（1）若數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，那么的平均數(shù)是．
（2）數(shù)據(jù)的方差為．
①數(shù)據(jù)的方差也為；
②數(shù)據(jù)的方差為．
三、變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例
1．變量間的相關(guān)關(guān)系
（1）常見(jiàn)的兩變量之間的關(guān)系有兩類(lèi)：一類(lèi)是函數(shù)關(guān)系，另一類(lèi)是相關(guān)關(guān)系；與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系．
（2）從散點(diǎn)圖上看，點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱(chēng)為正相關(guān)，點(diǎn)散布在左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系為負(fù)相關(guān)．
2．兩個(gè)變量的線性相關(guān)
（1）從散點(diǎn)圖上看，如果這些點(diǎn)從整體上看大致分布在通過(guò)散點(diǎn)圖中心的一條直線附近，稱(chēng)兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線．
（2）回歸方程為，其中．
（3）通過(guò)求的最小值而得到回歸直線的方法，即使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離的平方和最小，這一方法叫做最小二乘法．
（4）相關(guān)系數(shù)：
當(dāng)時(shí)，表明兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng)時(shí)，表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)．
的絕對(duì)值越接近于1，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)．的絕對(duì)值越接近于0時(shí)，表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系．通常大于0．75時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性．
3．獨(dú)立性檢驗(yàn)
（1）分類(lèi)變量和列聯(lián)表
分類(lèi)變量：變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類(lèi)別，像這樣的變量稱(chēng)為分類(lèi)變量．
列聯(lián)表：
①定義：列出的兩個(gè)分類(lèi)變量的頻數(shù)表稱(chēng)為列聯(lián)表．
②2×2列聯(lián)表．
一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類(lèi)變量X和Y，它們的取值分別為{，}和{，}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱(chēng)為2×2列聯(lián)表）為：
從列表中，依據(jù)與的值可直觀得出結(jié)論：兩個(gè)變量是否有關(guān)系．
（2）等高條形圖
①等高條形圖和表格相比，更能直觀地反映出兩個(gè)分類(lèi)變量間是否相互影響，常用等高條形圖表示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征．
②觀察等高條形圖發(fā)現(xiàn)與相差很大，就判斷兩個(gè)分類(lèi)變量之間有關(guān)系．
（3）獨(dú)立性檢驗(yàn)
計(jì)算隨機(jī)變量利用的取值推斷分類(lèi)變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱(chēng)為χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)．
必記核心知識(shí)點(diǎn)11 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布
一、兩個(gè)計(jì)數(shù)原理
1.兩個(gè)計(jì)數(shù)原理
（1）每類(lèi)方法都能獨(dú)立完成這件事，它是獨(dú)立的、一次的，且每次得到的是最后結(jié)果，只需一種方法就可完成這件事．
（2）各類(lèi)方法之間是互斥的、并列的、獨(dú)立的．
①每一步得到的只是中間結(jié)果，任何一步都不能獨(dú)立完成這件事，只有各個(gè)步驟都完成了才能完成這件事．
②各步之間是相互依存的，并且既不能重復(fù)也不能遺漏．
常用結(jié)論
1．完成一件事可以有類(lèi)不同方案，各類(lèi)方案相互獨(dú)立，在第1類(lèi)方案中有種不同的方法，在第2類(lèi)方案中有種不同的方法……在第類(lèi)方案中有種不同的方法．那么，完成這件事共有種不同的方法．
2．完成一件事需要經(jīng)過(guò)個(gè)步驟，缺一不可，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法．．．．．．做第步有種不同的方法．那么，完成這件事共有種不同的方法．
二、排列、組合問(wèn)題
1．排列、組合的定義
2．排列數(shù)、組合數(shù)的定義、公式、性質(zhì)
三、二項(xiàng)式定理
1．二項(xiàng)式定理
（1）二項(xiàng)式定理：；
（2）通項(xiàng)公式：，它表示第項(xiàng)；
（3）二項(xiàng)式系數(shù)：二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)為，，，，．
2．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)
四、隨機(jī)事件的頻率與概率
1．頻數(shù)、頻率和概率
（1）頻數(shù)、頻率：在相同的條件下重復(fù)次試驗(yàn)，觀察某一事件是否出現(xiàn)，稱(chēng)次試驗(yàn)中事件出現(xiàn)的次數(shù)為事件出現(xiàn)的頻數(shù)，稱(chēng)事件出現(xiàn)的比例為事件出現(xiàn)的頻率．
（2）概率：對(duì)于給定的隨機(jī)事件，如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上，把這個(gè)常數(shù)記作，稱(chēng)為事件的概率．
2．事件的關(guān)系與運(yùn)算
3．概率的幾個(gè)基本性質(zhì)
（1）概率的取值范圍：．
（2）必然事件的概率：．
（3）不可能事件的概率：．
（4）概率的加法公式：如果事件與事件互斥，則．
（5）對(duì)立事件的概率：若事件與事件互為對(duì)立事件，則為必然事件，．
常用結(jié)論
探究概率加法公式的推廣
（1）當(dāng)一個(gè)事件包含多個(gè)結(jié)果時(shí)，要用到概率加法公式的推廣，即．
（2）．注意涉及的各事件要彼此互斥．
五、古典概型
1．古典概型
（1）古典概型的特征：
①有限性：在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限的，即只有有限個(gè)不同的基本事件；，②等可能性：每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性是相等的．
一個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型，在于這個(gè)試驗(yàn)是否具有古典概型的兩個(gè)特征——有限性和等可能性．
（2）古典概型的概率計(jì)算的基本步驟：
①判斷本次試驗(yàn)的結(jié)果是否是等可能的，設(shè)出所求的事件為；
②分別計(jì)算基本事件的總數(shù)和所求的事件所包含的基本事件個(gè)數(shù)；
③利用古典概型的概率公式，求出事件的概率．
（3）頻率的計(jì)算公式與古典概型的概率計(jì)算公式的異同
六、離散型隨機(jī)變量及其分布列
1．隨機(jī)變量的有關(guān)概念
（1）隨機(jī)變量：隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量，常用字母表示
（2）離散型隨機(jī)變量：所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量．
2．離散型隨機(jī)變量分布列的概念及性質(zhì)
（1）概念：若離散型隨機(jī)變量可能取的不同值為取每一個(gè)值的概率，以表格的形式表示如下：
此表稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量的概率分布列，簡(jiǎn)稱(chēng)為的分布列．有時(shí)也用等式，表示的分布列．
（2）分布列的性質(zhì)：①②．
3．常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量的分布列
（1）兩點(diǎn)分布列
若隨機(jī)變量的分布列具有上表的形式，則稱(chēng)服從兩點(diǎn)分布，并稱(chēng)為成功概率
在含有件次品的件產(chǎn)品中，任取件，其中恰有件次品，則，，其中，且．
若隨機(jī)變量的分布列具有上表的形式，則稱(chēng)服從超幾何分布，
七、二項(xiàng)分布及正態(tài)分布
1．條件概率及其性質(zhì)
（1）條件概率的定義：對(duì)于任何兩個(gè)事件和，在已知事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號(hào)來(lái)表示，其公式為．
（2）條件概率的性質(zhì)
①非負(fù)性：；
②可加性：如果和是兩個(gè)互斥事件，則．
2．全概率公式
（1）；
（2）定理若樣本空間中的事件，，…，滿足：
①任意兩個(gè)事件均互斥，即，，；
②；
③，．
則對(duì)中的任意事件，都有，且
．
注意：（1）全概率公式是用來(lái)計(jì)算一個(gè)復(fù)雜事件的概率，它需要將復(fù)雜事件分解成若干簡(jiǎn)單事件的概率計(jì)算，即運(yùn)用了“化整為零”的思想處理問(wèn)題．
（2）什么樣的問(wèn)題適用于這個(gè)公式？所研究的事件試驗(yàn)前提或前一步驟試驗(yàn)有多種可能，在這多種可能中均有所研究的事件發(fā)生，這時(shí)要求所研究事件的概率就可用全概率公式．
3．貝葉斯公式
（1）一般地，當(dāng)且時(shí)，有
（2）定理若樣本空間中的事件滿足：
①任意兩個(gè)事件均互斥，即，，；
②；
③，．
則對(duì)中的任意概率非零的事件，都有，
且
注意：（1）在理論研究和實(shí)際中還會(huì)遇到一類(lèi)問(wèn)題，這就是需要根據(jù)試驗(yàn)發(fā)生的結(jié)果尋找原因，看看導(dǎo)致這一試驗(yàn)結(jié)果的各種可能的原因中哪個(gè)起主要作用，解決這類(lèi)問(wèn)題的方法就是使用貝葉斯公式．貝葉斯公式的意義是導(dǎo)致事件發(fā)生的各種原因可能性的大小，稱(chēng)之為后驗(yàn)概率．
（2）貝葉斯公式充分體現(xiàn)了，，，，，之間的轉(zhuǎn)關(guān)系，即，，之間的內(nèi)在聯(lián)系．
4．相互獨(dú)立事件
（1）對(duì)于事件，若事件的發(fā)生與事件的發(fā)生互不影響，則稱(chēng)事件是相互獨(dú)立事件
（2）若，則與相互獨(dú)立．
（3）若與相互獨(dú)立，則與與與也都相互獨(dú)立．
（4）若與相互獨(dú)立，則，
（5）一般地，如果事件相互獨(dú)立，那么這個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積，即．
5．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布
（1）獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)：一般地，在相同條件下重復(fù)做的次試驗(yàn)稱(chēng)為次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．
獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的條件：①每次試驗(yàn)在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行；②各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的；③每次試驗(yàn)都只有兩種結(jié)果，即事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生．
（2）二項(xiàng)分布：一般地，在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，設(shè)事件發(fā)生的次數(shù)為，在每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為，則事件恰好發(fā)生次的概率為，則稱(chēng)隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，記作，并稱(chēng)為成功概率．
判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，要看兩點(diǎn)：，（1）是否為次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)；，（2）隨機(jī)變量是否為某事件在這次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)．
6．正態(tài)分布
（1）正態(tài)曲線的特點(diǎn)
①曲線位于軸上方，與軸不相交；
②曲線是單峰的，它關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)；
③曲線在處達(dá)到峰值；
④曲線與軸之間的面積為1；
⑤當(dāng)一定時(shí)，曲線的位置由確定，曲線隨著的變化而沿軸平移；
⑥當(dāng)一定時(shí)，曲線的形狀由確定，越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．
（2）正態(tài)分布的三個(gè)常用數(shù)據(jù)
①；
②；
③．
八、離散型隨機(jī)變量的均值與方差
1．均值
一般地，若離散型隨機(jī)變量的分布列為：
則稱(chēng)為隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望．它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．
（1）期望是算術(shù)平均值概念的推廣，是概率意義下的平均．，
（2）是一個(gè)實(shí)數(shù)，由的分布列唯一確定，即作為隨機(jī)變量，是可變的，可取不同值，而是不變的，它描述取值的平均狀態(tài)．
（3）直接給出了的求法，即隨機(jī)變量取值與相應(yīng)概率分別相乘后相加．
2．方差
設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列為：
則描述了相對(duì)于均值的偏離程度．而pi為這些偏離程度的加權(quán)平均，刻畫(huà)了隨機(jī)變量與其均值的平均偏離程度．稱(chēng)為隨機(jī)變量的方差，并稱(chēng)其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差．
（1）隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度．越大，表明平均偏離程度越大，的取值越分散．反之，越小，的取值越集中在附近．，（2）方差也是一個(gè)常數(shù)，它不具有隨機(jī)性，方差的值一定是非負(fù)．
3．兩個(gè)特殊分布的期望與方差
常用結(jié)論
若，其中是常數(shù)，是隨機(jī)變量，則
（1），其中為常數(shù)；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）若相互獨(dú)立，則．
集合
自然數(shù)集
正整數(shù)集
整數(shù)集
有理數(shù)集
實(shí)數(shù)集
符號(hào)
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
表示
關(guān)系
文字語(yǔ)言
符號(hào)語(yǔ)言
圖形語(yǔ)言
基本關(guān)系
子集
集合A的所有元素都是集合B的元素（則）
或
真子集
集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一個(gè)元素不屬于A
或
相等
集合A，B的元素完全相同
空集
不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集
集合的并集
集合的交集
集合的補(bǔ)集
圖形語(yǔ)言
符號(hào)語(yǔ)言
“若p，則q”為真命題
“若p，則q”為假命題
推出關(guān)系
p?q
p?q
條件關(guān)系
p是q的充分條件
q是p的必要條件
p不是q的充分條件
q不是p的必要條件
定理關(guān)系
判定定理給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的充分條件
性質(zhì)定理給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的必要條件
關(guān)系
方法
做差法
與0比較
做商法
與1比較
或
或
性質(zhì)
性質(zhì)內(nèi)容
對(duì)稱(chēng)性
傳遞性
可加性
可乘性
同向
可加性
同向同正
可乘性
可乘方性
增函數(shù)
減函數(shù)
定義
一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋绻麑?duì)于定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值
當(dāng)時(shí)，都有，那么就說(shuō)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)
當(dāng)時(shí)，都有，那么就說(shuō)函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)
圖象描述
自左向右看圖象是上升的
自左向右看圖象是下降的
前提
設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果存在?shí)數(shù)滿足
條件
對(duì)于任意，都有；存在，使得
對(duì)于任意，都有；存在，使得
結(jié)論
為最大值
為最小值
奇偶性
定義
圖象特點(diǎn)
偶函數(shù)
如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，那么函數(shù)是偶函數(shù)
關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)
奇函數(shù)
如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，那么函數(shù)是奇函數(shù)
關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
函數(shù)
定義域
值域
奇偶性
奇函數(shù)
偶函數(shù)
奇函數(shù)
非奇非偶函數(shù)
奇函數(shù)
單調(diào)性
在R上單調(diào)遞增
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
在R上單調(diào)遞增
在上單調(diào)遞增
在和上單調(diào)遞減
圖象
過(guò)定點(diǎn)
（1，1）
一般式
，圖象的對(duì)稱(chēng)軸是，頂點(diǎn)坐標(biāo)是
頂點(diǎn)式
，圖象的對(duì)稱(chēng)軸是，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（m，n）
零點(diǎn)式
，其中是方程的兩根，圖象的對(duì)稱(chēng)軸是
函數(shù)
圖象（拋物線）
定義域
值域
對(duì)稱(chēng)軸
頂點(diǎn)坐標(biāo)
奇偶性
當(dāng)時(shí)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)是非奇非偶函數(shù)
單調(diào)性
在上是減函數(shù)；
在上是增函數(shù)
在上是增函數(shù)；
在上是減函數(shù)
圖象
定義域
值域
性質(zhì)
過(guò)定點(diǎn)（0，1），即時(shí)，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，
在上是增函數(shù)
在上是減函數(shù)
圖象
性質(zhì)
定義域：
值域：
當(dāng)時(shí)，，即過(guò)定點(diǎn)（1，0）
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，
在上是增函數(shù)
在上是減函數(shù)
二次函數(shù)的圖象
與軸的交點(diǎn)
無(wú)
零點(diǎn)個(gè)數(shù)
2
1
0
函數(shù)模型
函數(shù)解析式
一次函數(shù)模型
二次函數(shù)模型
指數(shù)函數(shù)模型
對(duì)數(shù)函數(shù)模型
冪函數(shù)模型
“對(duì)勾”函數(shù)模型
函數(shù)
在上的單調(diào)性
單調(diào)遞增
單調(diào)遞增
單調(diào)遞增
增長(zhǎng)速度
越來(lái)越快
越來(lái)越慢
相對(duì)平穩(wěn)
圖象的變化
隨的增大，逐漸表現(xiàn)為與軸平行
隨的增大，逐漸表現(xiàn)為與軸平行
隨值變化而各有不同
值的比較
存在一個(gè)，當(dāng)時(shí)，有
基本初等函數(shù)
導(dǎo)函數(shù)
角的弧度數(shù)公式
（弧長(zhǎng)用表示）
角度與弧度的換算
弧長(zhǎng)公式
弧長(zhǎng)
扇形面積公式
公式
-
二
三
四
五
六
角
正弦
sin
cs
cs
余弦
cs
sin
正切
tanα
口訣
函數(shù)名不變，符號(hào)看象限
函數(shù)名改變，符號(hào)看象限
函數(shù)
圖象
定義域
值域
[-1，1]
[-1，1]
周期性
奇偶性
奇函數(shù)
偶函數(shù)
奇函數(shù)
遞增區(qū)間
遞減區(qū)間
無(wú)
對(duì)稱(chēng)中心
對(duì)稱(chēng)軸方程
無(wú)
為銳角
為鈍角或直角
圖形
關(guān)系式
解的個(gè)數(shù)
一解
兩解
一解
一解
運(yùn)算
定義
法則（或幾何意義）
運(yùn)算律
加法
求兩個(gè)向量和的運(yùn)算
三角形法則平行四邊形法則
①交換律
②結(jié)合律
減法
求與的相反向量的和的運(yùn)算叫做與的差
三角形法則
數(shù)乘
求實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算
（1）
（2）當(dāng)時(shí)，與的方向相同；當(dāng)時(shí)，與的方向相同；
當(dāng)時(shí)，
結(jié)論
幾何表示
坐標(biāo)表示
模
數(shù)量積
夾角
的充要條件
的充要條件
與的關(guān)系
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）
分類(lèi)原則
類(lèi)型
滿足條件
按項(xiàng)數(shù)分類(lèi)
有窮數(shù)列
項(xiàng)數(shù)有限
無(wú)窮數(shù)列
項(xiàng)數(shù)無(wú)限
按項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系分類(lèi)
遞增數(shù)列
其中
遞減數(shù)列
常數(shù)列
通項(xiàng)公式和遞推公式的異同點(diǎn)
不同點(diǎn)
相同點(diǎn)
通項(xiàng)公式
可根據(jù)某項(xiàng)的序號(hào)的值，直接代入求出
都可確定一個(gè)數(shù)列，也都可求出數(shù)列的任意一項(xiàng)
遞推公式
可根據(jù)第一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）的值，通過(guò)一次（或多次）賦值，逐項(xiàng)求出數(shù)列的項(xiàng)，直至求出所需的，也可通過(guò)變形轉(zhuǎn)化，直接求出
名稱(chēng)
棱柱
棱錐
棱臺(tái)
圖形
底面
互相平行且全等
多邊形
互相平行且相似
側(cè)棱
平行且相等
相交于一點(diǎn)，但不一定相等
延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)
側(cè)面形狀
平行四邊形
三角形
梯形
名稱(chēng)
圓柱
圓錐
圓臺(tái)
球
圖形
母線
互相平行且相等，垂直于底面
相交于一點(diǎn)
延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)
軸截面
全等的矩形
全等的等腰三角形
全等的等腰梯形
圓
側(cè)面展開(kāi)圖
矩形
扇形
扇環(huán)
名稱(chēng)幾何體
表面積
體積
柱體（棱柱和圓柱）
底
錐體（棱錐和圓錐）
底
臺(tái)體（棱臺(tái)和圓臺(tái)）
球
名稱(chēng)幾何體
表面積
體積
柱體（棱柱和圓柱）
表面積底
錐體（棱錐和圓錐）
表面積側(cè)底
臺(tái)體（棱臺(tái)和圓臺(tái)）
表面積側(cè)上下
球
直線與直線
直線與平面
平面與平面
平行關(guān)系
圖形語(yǔ)言
符號(hào)語(yǔ)言
相交關(guān)系
圖形語(yǔ)言
符號(hào)語(yǔ)言
獨(dú)有關(guān)系
圖形語(yǔ)言
符號(hào)語(yǔ)言
是異面直線
文字語(yǔ)言
圖形表示
符號(hào)表示
判定定理
平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線平行于此平面
性質(zhì)定理
一條直線和一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行
文字語(yǔ)言
圖形表示
符號(hào)表示
判定定理
一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行
性質(zhì)定理
兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面
如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行
，
文字語(yǔ)言
圖形表示
符號(hào)表示
判定定理
一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直
性質(zhì)定理
兩直線垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行
名稱(chēng)
方程
適用條件
點(diǎn)斜式
不含垂直于軸的直線
斜截式
不含垂直于軸的直線
兩點(diǎn)式
不含直線和直線
截距式
不含垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線
一般式
平面內(nèi)所有直線
定義
平面內(nèi)與定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合（軌跡）
標(biāo)準(zhǔn)方程
圓心：（a，b），半徑：
一般方程
圓心：，
半徑：
相離
相切
相交
圖形
量化
方程觀點(diǎn)
幾何觀點(diǎn)
位置關(guān)系
外離
外切
相交
內(nèi)切
內(nèi)含
公共點(diǎn)個(gè)數(shù)
0
1
2
1
0
的關(guān)系
公切線條數(shù)
4
3
2
1
0
標(biāo)準(zhǔn)方程
圖形
性質(zhì)
范圍
對(duì)稱(chēng)性
對(duì)稱(chēng)軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱(chēng)中心：原點(diǎn)
頂點(diǎn)
離心率
，且
的關(guān)系
位置關(guān)系
解的個(gè)數(shù)
的取值
相交
兩解
相切
一解
相離
無(wú)解
標(biāo)準(zhǔn)方程
圖形
性質(zhì)
范圍
或
或
對(duì)稱(chēng)性
對(duì)稱(chēng)軸：坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)中心：原點(diǎn)
頂點(diǎn)
頂點(diǎn)坐標(biāo)：，
頂點(diǎn)坐標(biāo)：，
漸近線
離心率
的關(guān)系
實(shí)虛軸
線段叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)；線段叫做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)；叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)
標(biāo)準(zhǔn)方程
的幾何意義：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離
圖形
頂點(diǎn)
對(duì)稱(chēng)軸
軸
軸
焦點(diǎn)
離心率
準(zhǔn)線方程
范圍
開(kāi)口方向
向右
向左
向上
向下
焦半徑（其中
共同點(diǎn)
（1）原點(diǎn)都在拋物線上；（2）焦點(diǎn)都在坐標(biāo)軸上；（3）準(zhǔn)線與焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸垂直，垂足與焦點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，它們與原點(diǎn)的距離都等于一次項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值的，即
不同點(diǎn)
（1）焦點(diǎn)在軸上時(shí)，方程的右端為，左端為；焦點(diǎn)在軸上時(shí)，方程的右端為，左端為；（2）開(kāi)口方向與軸（或軸）的正半軸相同，即焦點(diǎn)在軸（或軸）的正半軸上，方程的右端取正號(hào)；開(kāi)口方向與軸（或軸）的負(fù)半軸相同，即焦點(diǎn)在軸（或軸）的負(fù)半軸上，方程的右端取負(fù)號(hào)．
總計(jì)
總計(jì)
0．10
0．05
0．010
0．005
0．001
2．706
3．841
6．635
7．879
10．828
完成一件事的策略
完成這件事共有的方法
分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理
有兩類(lèi)不同方案1，在第1類(lèi)方案中有種不同的方法，在第2類(lèi)方案中有種不同的方法
種不同的方法
分步乘法計(jì)數(shù)原理
需要兩個(gè)步驟2，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法
種不同的方法
排列的定義
從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素
按照一定的順序排成一列，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)排列
組合的定義
合成一組，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)組合
排列數(shù)
組合數(shù)
定義
從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)
從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)
公式
性質(zhì)
名稱(chēng)
條件
結(jié)論
符號(hào)表示
包含關(guān)系
發(fā)生發(fā)生
事件包含事件（事件包含于事件）
相等關(guān)系
若且
事件與事件相等
并（和）事件
發(fā)生或發(fā)生
事件與事件的并事件（或和事件）
交（積）事件
發(fā)生且發(fā)生
事件與事件的交事件（或積事件）
互斥事件
為不可能事件
事件與事件互斥
對(duì)立事件
為不可能事件．為必然事件
事件與事件互為對(duì)立事件
，
名稱(chēng)
不同點(diǎn)
相同點(diǎn)
頻率計(jì)算公式
頻率計(jì)算中的均隨隨機(jī)試驗(yàn)的變化而變化，但隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，它們的比值逐漸趨近于概率值
都計(jì)算了一個(gè)比值
古典概型的概率計(jì)算公式
二是一個(gè)定值，對(duì)同一個(gè)隨機(jī)事件而言，都不會(huì)變化
．．．
．．．
．．．
．．．
0
1
0
1
．．．
m
．．．
．．．
．．．
．．．
．．．
．．．
．．．
．．．
．．．
分布
期望
方差
兩點(diǎn)分布
二項(xiàng)分布

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