湖北省公安縣第三中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、單選題（本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分。在每小題給出的四個選項中，只有一
項是符合題目要求的。）
1．已知集合，則（）
A． B． C． D．
2．的值是（）
A． B． C． D．
3．函數(shù) 的零點所在的區(qū)間是（）
A． B． C． D．
4．已知，，，則、、的大小關(guān)系為（）
A． B． C． D．
5．如圖，在扇形中，，，則下列說法正確的個數(shù)是（）
① ； ② 的長等于；
③扇形的周長為； ④扇形的面積為 .
A．1 個 B．2 個 C．3 個 D．4 個
6．已知函數(shù) 是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，若
，則實數(shù) 的取值范圍為（）
A． B． C． D．
7．冪函數(shù) 在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，則
的值（）
A．恒大于 0 B．恒小于 0 C．等于 0 D．無法判斷
8．已知函數(shù) ，，的零點分別為，，，
則（）
A． B． C． D．
1
二、多選題（本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分。在每小題給出的選項中，有多項符合
題目要求。全部選對的得 6 分，部分選對的得部分分。）
9．下列說法錯誤的有（）
A．命題“ ”的否定是“ ”
B．是的必要不充分條件
C．的單調(diào)遞減區(qū)間為
D．函數(shù) 且的圖象恒過定點．
10．下列結(jié)論中正確的是（）
A．若角的終邊過點，則
B．若是第二象限角，則為第一象限或第三象限角
C．若，，則
D．對任意，恒成立
11．已知函數(shù) ，則（）
A．的定義域為
B．在區(qū)間上單調(diào)遞增
C．的圖象關(guān)于點對稱
D．
三、填空題（本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分。）
12．計算：．
13．已知，，則的值為 .
14．設(shè)函數(shù) ，若關(guān)于的函數(shù) 恰好有
五個零點，則實數(shù) 的取值范圍是．
四、解答題（本題共 5 小題，共 77 分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）
2
15．（13 分）已知角以軸的非負(fù)半軸為始邊，點在角的終邊上，且
，
(1)求及的值；
(2)求的值．
16．（15 分）已知冪函數(shù) 是定義在 R 上的偶函數(shù)．
(1)求函數(shù) 的解析式；
(2)當(dāng) 時，求函數(shù) 的最大值，并求對應(yīng)的自變量
的值．
17．（15 分）已知函數(shù) ．
(1)若在區(qū)間上單調(diào)遞減，求的取值范圍．
(2)求關(guān)于的不等式的解集．
3
18．（17 分）已知函數(shù) （且）．
(1)求的定義域；
(2)若當(dāng) 時，函數(shù) 在有且只有一個零點，求實數(shù) 的范圍；
(3)是否存在實數(shù) ，使得當(dāng) 的定義域為時，值域為，若存在，
求出實數(shù) 的范圍；若不存在，請說明理由．
19．（17 分）已知偶函數(shù) 和奇函數(shù) 的定義域均為，且．
(1)求函數(shù) 和的解析式；
(2)若，不等式恒成立，求實數(shù) 的取值范圍；
(3)若，且在上的最小值為，求
的值．
4
《公安三中 2024 級高一下學(xué)期開學(xué)考試（數(shù)學(xué)）試卷》參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D C B D C A B CD BD
題號 11
答案 BCD
1．A
【分析】先求，再結(jié)合交集的定義求結(jié)論.
【詳解】因為集合，
所以，
所以 .
故選：A.
2．D
【分析】由題意利用誘導(dǎo)公式求解即可.
【詳解】 .
故選： .
3．C
【分析】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)零點存在性定理判斷即可.
【詳解】因為函數(shù) 在上單調(diào)遞減，
又，，，
所以，
所以函數(shù) 有唯一零點，且在內(nèi).
故選：C
4．B
【分析】由指對函數(shù)的單調(diào)性得到、、與 0 和 1 的大小關(guān)系即可得結(jié)論.
【詳解】∵ ，即在定義域上單調(diào)遞增，且，∴
，
∵ ，即在定義域上單調(diào)遞增，且，∴ ，
5
∵ ，即在定義域上單調(diào)遞減，且，∴
∴ .
故選：B.
5．D
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合角度制與弧度制的互化，以及扇形的弧長與面積公式，逐項判定，
即可求解.
【詳解】因為，根據(jù)角度制與弧度制的互化，可得，所以①正確；
由扇形的弧長公式，可得的長度為，所以②正確
所以扇形的周長為，所以③正確；
由扇形的面積公式，可得扇形的面積為，所以④正確.
故選：D.
6．C
【分析】由偶函數(shù)的單調(diào)性可得在上單調(diào)遞增，然后將不等式化簡，結(jié)合對數(shù)
函數(shù)的單調(diào)性求解，即可得到結(jié)果.
【詳解】因為定義在 R 上的偶函數(shù) 在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞
增，
所以不等式即，即，解得，
所以實數(shù) 的取值范圍為．
故選：C
7．A
【分析】根據(jù)題意求出函數(shù)解析式，再由奇偶性與單調(diào)性判斷即可．
【詳解】由函數(shù) 是冪函數(shù)，可得，解得或
.
當(dāng) 時，；當(dāng) 時， .
因為函數(shù) 在上是單調(diào)遞增函數(shù)，故 .
又，所以，所以，則 .
6
故選：A.
8．B
【分析】根據(jù)零點的定義及指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)冪函數(shù)的性質(zhì)直接判斷.
【詳解】易知函數(shù) ，，在定義域內(nèi)都是增函數(shù)，
又，即，可得；
且中，
令，即，
，，的大小順序為：，
故選：B.
9．CD
【分析】根據(jù)全稱量詞的命題的否定求法求所給命題的否定判斷 A，根據(jù)充分條件和必要條
件的定義判斷 B，根據(jù)反比例函數(shù)的單調(diào)性判斷 C，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷 D.
【詳解】對于 A，易知命題“ ”的否定是“ ”，故 A
正確；
對于 B，不能推出，充分性不成立，能推出，必要性成立，
故是的必要不充分條件，故 B 正確；
對于 C，的單調(diào)減區(qū)間為，不能用并集符號，故 C 錯誤；
對于 D，由且可令，解得，
又，故函數(shù) 的圖象恒過定點，故 D 不正確．
故選：CD.
10．BD
【詳解】對于 A，當(dāng) 時，，而，故 A 錯
誤；
對于 B，若是第二象限角，則為第一象限或第三象限角，故 B 正確；
對于 C，由兩邊取平方，，
7
可得，
因，則，故，
由可得，故 C 錯誤；
對于 D，因，則，故 .
故選：BD.
11．BCD
【分析】首先求出函數(shù)的定義域判斷 A，根據(jù)對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷 B，根據(jù)
判斷 C，根據(jù)函數(shù)的對稱性及單調(diào)性判斷 D.
【詳解】對于函數(shù) ，則，解得且，
所以函數(shù)的定義域為，故 A 錯誤；
當(dāng) 時，，
因為在上單調(diào)遞增，且，
又在定義域上單調(diào)遞增，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故 B 正確；
因為
，
所以的圖象關(guān)于點對稱，故 C 正確；
因為，所以，
又，
所以，即，
所以，所以，即，故 D 正
確.
故選：BCD
8
12．1
【分析】利用換底公式、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)計算可得.
【詳解】
．
故答案為：1．
13．
【分析】由題意可得可得，，再根據(jù)
，計算求得結(jié)果．
【詳解】由，，可得，，
．
.
故答案為： .
14．
【分析】畫出的圖象，利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的知識來求得正確答案.
【詳解】作出函數(shù) 的圖象，如圖，
9
令，則方程化為
，則或
若關(guān)于的函數(shù) 恰好有五個零點，
則方程和，分別有 2 和 3 個根，結(jié)合圖象可知，有兩個根，
則此時
.
故答案為：．
【點睛】方法點睛：
對于復(fù)雜函數(shù)的零點問題，通過換元法將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題是一種常用方法.同時，結(jié)
合函數(shù)圖象來分析根的分布情況，能更直觀地解決問題.
15．(1) ；； (2)
【分析】（1）根據(jù)正弦函數(shù)的定義可求的值，再根據(jù)定義可求；
（2）利用誘導(dǎo)公式和弦切互化法可求三角函數(shù)式的值.
【詳解】（1）因為點角的終邊上，且，
根據(jù)三角函數(shù)定義，則，
解得或（舍），
所以．
（2）則
，
16．(1) (2)當(dāng) 時，函數(shù) 的最大值為 7
【分析】（1）由冪函數(shù)的定義和函數(shù)的奇偶性，求出的值，得函數(shù)解析式；
（2）求出函數(shù) 的解析式，由定義域結(jié)合解析式，利用配方法求最值.
【詳解】（1）根據(jù)題意可得，即，
10
所以，解得，又函數(shù) 是定義在上的偶函數(shù)，
所以，即函數(shù) 的解析式為．
（2）由（1）可知
因，所以，當(dāng) 時，，函數(shù) 的最大值為 7．
17．(1) (2)答案見解析．
【分析】（1）討論當(dāng) 和時，函數(shù) 在上單調(diào)遞減的情況即可得出結(jié)論；
（2）解，即解不等式，分類討論當(dāng) 和的情況，在
的情況下，再討論，，，以及時的解集，從而得出結(jié)論.
【詳解】（1）當(dāng) 時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，滿足題意；
當(dāng) 時，由在上單調(diào)遞減可得，解得．
綜上，．
（2），
1）當(dāng) 時，由解得；
2）當(dāng) 時，方程的兩根為，
當(dāng) 時，，解不等式得；
當(dāng) 時，，解不等式得或；
當(dāng) 時，，解不等式得或；
當(dāng) 時，由得．
綜上，當(dāng) 時，不等式解集為；
當(dāng) 時，不等式解集為；
當(dāng) 時，不等式解集為；
11
當(dāng) 時，不等式解集為；
當(dāng) 時，不等式解集為．
18．(1) ； (2) (3)存在，
【分析】（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于 0 求解即可；
（2）先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性求出函數(shù)的值域即可得解；
（3）假設(shè)存在，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則確定函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性計算值域，根據(jù)方程
有兩不等根建立不等式組求參數(shù)取值范圍.
【詳解】（1）由，得或．
的定義域為；
（2）令，
因函數(shù) 在上單調(diào)遞減，則在上為增函數(shù)，
又，在上為減函數(shù)；
函數(shù) 在有且只有一個零點，
即在上有且只有一個解，
函數(shù) 在上的值域為，
的范圍是．
（3）假設(shè)存在這樣的實數(shù) ，使得當(dāng) 的定義域為時，值域為
，
由且，可得．
又由（2）知在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)．
則在上為減函數(shù)，得．
即在上有兩個互異實根，
因，
12
即，有兩個大于 3 的相異零點．
則．
結(jié)合，故存在這樣的實數(shù) 符合題意．
19．(1) (2) (3)2
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到，結(jié)合題目條件得到方程組，求出答
案；
（2）由題意得到，令，由基本不等式得，分
和兩種情況，參變分離，得到，變形后，由基本不等式得到
，求出；
（3），令，由單調(diào)性得到，故
在上的最小值為，分和兩種情況，根據(jù)函
數(shù)單調(diào)性得到最小值，從而得到方程，求出 .
【詳解】（1）由題，，則有，
又因為偶函數(shù) 和奇函數(shù) ，所以，
所以聯(lián)立，解得．
（2）因為，
由，
可得，即，
令，其中，
當(dāng)且僅當(dāng) ，即時等號成立，
所以，故恒成立，其中，
13
當(dāng) 時，，此時，恒成立，
當(dāng) 時，，，
令，
當(dāng)且僅當(dāng) ，即時，等號成立，；
（3）
，
令，顯然其在上單調(diào)遞增，故，
由題意得在上的最小值為，
當(dāng) 時，在上單調(diào)遞增，
故當(dāng) ，即時，取得最小值，最小值為，
令，解得，不成立，
當(dāng) 時，在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，
故當(dāng) 時，取得最小值，最小值為，
令，解得或（舍去），綜上： .
14

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