1．不等式的解集是（ ）
A．B．或x>2C．或x>1D．
2．在下列集合E到集合F的對應中，不能構成E到F的函數(shù)的是（ ）
A．B．
C．D．
3．函數(shù)的定義域為（ ）
A．B．C．D．
4．下列各組函數(shù)是同一組函數(shù)的是（ ）
A．與
B．與
C．與
D．與
5．若，則（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．函數(shù)，若對任意，都有成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函數(shù)為奇函數(shù)，則等于（ ）
A．B．1C．0D．2
8．對于任意實數(shù)x，不等式恒成立，則實數(shù)a取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
二、填空題（本大題共3小題）
9．已知函數(shù)，則 .
10．已知函數(shù)在上是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為 ．
11．記實數(shù)的最小數(shù)為，若，則函數(shù)的最大值為 ．
三、解答題（本大題共5小題）
12．已知函數(shù)
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)求關于的不等式解集.（其中）
13．已知 .
(1)若，試證明在內單調遞增；
(2)若且在內單調遞減，求a的取值范圍.
14．如圖，斜坡AB長130米，坡度現(xiàn)計劃在斜坡中點D處挖去部分坡體修建一個平行于水平線CA的平臺DE和一條新的斜坡BE.
(1)若修建的斜坡BE的坡角為求平臺DE的長；（結果保留根號）
(2)斜坡AB正前方一座建筑物QM上懸掛了一幅巨型廣告MN，小明在D點測得廣告頂部M的仰角為他沿坡面DA走到坡腳A處，然后向大樓方向繼續(xù)行走10米來到P處，測得廣告底部N的仰角為此時小明距大樓底端Q處30米.已知B、C、A、M、Q在同一平面內，C、A、P、Q在同一條直線上，求廣告MN的長度.（參考數(shù)據(jù):sin33）
15．已知函數(shù)是奇函數(shù)，且
(1)求的值；
(2)判斷函數(shù)在上的單調性，并加以證明；
(3)若函數(shù)滿足不等式，求實數(shù)的取值范圍．
16．設函數(shù)，其中a>0.
(1)若 x=1是關于 的不等式的解，求 的取值范圍；
(2)若對任意的，不等式恒成立，求 的取值范圍；
(3)求函數(shù) 在 上的最小值.
參考答案
1．【答案】A
【分析】求解一元二次方程的解，可得不等式的解.
【詳解】根據(jù)題意，方程的解為，
所以不等式的解集是.
故選A.
2．【答案】D
【分析】利用函數(shù)的定義一一判定選項即可.
【詳解】根據(jù)函數(shù)的定義可知，中的每一個元素在中都有唯一的元素與之對應，
顯然A、B、C符合題意，
而D選項中，E中的元素在中有兩個元素對應，不符合函數(shù)的定義.
故選D.
3．【答案】A
【分析】利用函數(shù)有意義列出不等式求解即得.
【詳解】函數(shù)有意義，則，解得，
所以原函數(shù)的定義域為.
故選A.
4．【答案】C
【分析】根據(jù)題意，利用同一函數(shù)的判定方法，結合函數(shù)的定義域與對應關系，逐項判定，即可求解.
【詳解】對于A中，由函數(shù)的定義為，
函數(shù)的定義域為 ，
兩個函數(shù)的定義域不同，所以不是同一組函數(shù)，所以A不符合題意；
對于B中，由函數(shù)與函數(shù)，
其中兩個函數(shù)的定義域不同，所以不是同一組函數(shù)，所以B不符合題意；
對于C中，函數(shù)與，兩個函數(shù)的定義域與對應關系都相同，
所以兩個函數(shù)是同一組函數(shù)，所以C符合題意；
對于D中，函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為，
兩個函數(shù)的定義域不同，所以不是同一組函數(shù)，所以D不符合題意.
故選C.
5．【答案】C
【分析】求解一元二次不等式解得的范圍；再整理化簡目標式即可.
【詳解】將不等式因式分解得，
即或，
無解或，
所以
故選C.
6．【答案】A
【分析】利用函數(shù)單調性的變形式即可判斷函數(shù)單調性，然后根據(jù)分段函數(shù)的性質即可求解.
【詳解】因為對任意，都有成立，
可得在上是單調遞減的，
則，解得.
故選A.
7．【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件，利用奇函數(shù)的定義求出值即可.
【詳解】依題意，當時，，則，
而當時，，因此，則，，
當時，，則，
又，于是，，
所以，所以.
故選C.
8．【答案】D
【分析】分類討論，利用判別式小于0，即可得到結論
【詳解】當，即時，，恒成立；
當時，，解之得，
綜上可得
故選D.
9．【答案】15
【分析】代值求解可得.
【詳解】，.
故答案為：15.
10．【答案】
【分析】將看作一個整體，將函數(shù)表達式利用配方法整理，即可得出函數(shù)的單調遞減區(qū)間，再根據(jù)是函數(shù)單調遞減區(qū)間的子集，即可建立不等式求解．
【詳解】∵，
∴的單調減區(qū)間是．
又在上是減函數(shù)，
∴，即．
∴所求實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：．
11．【答案】
【分析】由題意在同一個坐標系中，分別作出三個函數(shù)的圖象，再按要求得到的圖象，結合圖象易得函數(shù)的最大值．
【詳解】
如圖所示，在同一個坐標系中，分別作出函數(shù)的圖象，
而的圖象即是圖中勾勒出的實紅線部分，
要求的函數(shù)的最大值即圖中最高點的縱坐標.
由聯(lián)立解得，，故所求函數(shù)的最大值為．
故答案為：．
12．【答案】(1)
(2)答案見解析.
【分析】（1）令，則，即可得；
（2）將不等式轉化為，比較和的大小解不等式即可.
【詳解】（1）由題意，函數(shù)，
令，
則，
所以.
（2）由（1）知，
即不等式轉化為，
則，
當時，不等式的解集為或；
當時，不等式的解集為或；
當時，不等式的解集為；
綜上所述，當時，不等式的解集為或；
當時，不等式的解集為或；
當時，不等式的解集為.
13．【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)定義法證明函數(shù)單調性的基本步驟，逐步進行證明即可；
（2）作差通分，根據(jù)已知可將問題轉化為恒成立問題，分析即可得a取值范圍.
【詳解】（1）證明：設，
則.
∵，∴，，
∴，即，
∴在內單調遞增.
（2）設，則
.
∵，，
∴，
∴要使，只需恒成立，
若，則當時，，
當時，，
∴.
綜上所述，a的取值范圍為.
14．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)平行線的性質可知，然后利用特殊角的三角函數(shù)值可求出的長度，最后利用求解即可；
（2）過點作、，先通過求出的長度，在中，求出的長度，最后利用求解.
【詳解】（1）過作，垂足為，
因為，所以，因為為AB中點 所以為中點，
在，,
設，，則,
所以 即 ，，
所以，，
因為在中，，
所以，
所以，
所以平臺DE的長為（）米，
（2）過作、，垂足分別為、，
所以四邊形為矩形，所以，
因為，，所以，
因為為AB中點，所以為中點即，
所以，
因為在中，，
在中，，
所以.
所以廣告的長度約為米.
15．【答案】(1)
(2)單調遞增，證明見解析
(3)
【分析】（1）利用和可求得，檢驗可知滿足題意；
（2）利用函數(shù)單調性的定義判斷并證明即可;
（3）利用單調性及定義域列出不等式即可
【詳解】（1）因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，
則，解得，
所以函數(shù)，
檢驗：，故函數(shù)為奇函數(shù)，
所以；
（2）在上單調遞增．
證明如下：對于任意，且，
則，
由，得，
又，
所以，即，
故函數(shù)在上單調遞增；
（3）不等式，
是增函數(shù)，且，所以，解得，
所以t的取值范圍是.
16．【答案】(1)
(2)
(3)答案見解析
【分析】（1）運用代入法進行求解即可；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調性，結合任意性的定義進行求解即可；
（3）根據(jù)對勾函數(shù)的單調性分類討論進行求解即可.
【詳解】（1）因為x=1是關于的不等式的解，
所以，因此的取值范圍為；
（2）因為對任意的 ，不等式恒成立，
所以有成立，
因為，
對于對勾函數(shù)在單調遞減，在上單調遞增，
當時，即時，，
當時，即時，.
對于二次函數(shù)的對稱軸為，開口向上，顯然，
當時，，
綜上，
當時，由，所以，
當時，由，顯然無實數(shù)解，
故的取值范圍為；
（3）因為，
所以對勾函數(shù)在單調遞減，在上單調遞增，
當時，即時，，
當時，即時，.
【關鍵點撥】本題的關鍵是由不等式恒成立，轉化為.
2024-2025學年安徽省六安市高一上學期入學考試數(shù)學檢測試題（二）
第I卷（選擇題）
一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）
1．命題“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知集合，，，則 （ ）
A．B．C．D．
3．已知x，，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
4．已知全集，集合或，，那么陰影部分表示的集合為（ ）
A．B．C．或D．
5．設集合，，，則下列關系中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
6．若集合中有且只有一個元素，則值的集合是（ ）
A．B．C．D．
7．已知命題，若命題是假命題，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
8．已知a，b均為非零實數(shù)，集合，則集合的真子集的個數(shù)為（ ）
A．2B．4C．3D．8
二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，選對但不全對得部分分，有選錯的得0分）
9．下列命題為真命題的是（ ）
A．B．是的必要不充分條件
C．集合與集合表示同一集合D．設全集為R，若，則
10．若是的必要不充分條件，則實數(shù)的值為（ ）
A．0B．C．D．3
11．由無理數(shù)引發(fā)的數(shù)學危機一直延續(xù)到19世紀直到1872年，德國數(shù)學家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)史稱戴德金分割，并把實數(shù)理論建立在嚴格的科學基礎上，才結束了無理數(shù)被認為“無理”的時代，也結束了持續(xù)2000多年的數(shù)學史上的第一次大危機所謂戴德金分割，是指將有理數(shù)集Q劃分為兩個非空的子集M與N，且滿足，，M中的每一個元素都小于N中的每一個元素，則稱為戴德金分割試判斷，對于任一戴德金分割，下列選項中，可能成立的是（ ）
A．M沒有最大元素，N有一個最小元素
B．M沒有最大元素，N也沒有最小元素
C．M有一個最大元素，N有一個最小元素
D．M有一個最大元素，N沒有最小元素
第II卷（非選擇題）
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12.若命題“，”為假命題，則實數(shù)的取值范圍為______.
13.已知集合，或，，若“”是“”的必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是___________．
14.某年級先后舉辦了數(shù)學、歷史、音樂講座，其中有75人聽了數(shù)學講座，68人聽了歷史講座，61人聽了音樂講座，17人同時聽了數(shù)學、歷史講座，12人同時聽了數(shù)學、音樂講座，9人同時聽了歷史、音樂講座，還有6人聽了全部講座，則聽講座人數(shù)為__________．
四、解答題（本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步棸）
15．（13分）
已知全集，集合，，求
16．（15分）
已知集合，．
(1)若，求實數(shù)a的取值范圍；
(2)若求實數(shù)a的取值范圍．
17．（15分）
已知或．
(1)若是的充分條件，求實數(shù)的取值范圍；
(2)若是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍．
18．（17分）
已知集合，．
(1)當時，求；
(2)若且，求實數(shù)m的值．
19．（17分）
已知n元有限集（，），若，則稱集合A為“n元和諧集”.
(1)寫出一個“二元和諧集”（無需寫計算過程）；
(2)若正數(shù)集是“二元和諧集”，試證明：元素，中至少有一個大于2；
(3)是否存在集合中元素均為正整數(shù)的“三元和諧集”？如果有，有幾個？請說明理由.
參考答案：
1．B
【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定即可得解.
【詳解】命題“”的否定是“”.
故選：B.
2．B
【分析】先化簡集合，再利用集合的并交補運算即可得解.
【詳解】因為，，
又，
所以，.
故選：B.
3．D
【分析】通過特例，結合充分必要條件的判定方法即可判斷.
【詳解】，而
同樣，而，所以充分性、必要性都不成立.
故選：D
4．B
【分析】陰影部分表示的集合為，根據(jù)補集定義求出，再根據(jù)交集定義即可求解.
【詳解】因為全集，集合或，
所以，
陰影部分表示的集合為，
故選：.
5．B
【分析】化簡集合，即可根據(jù)集合間關系求解.
【詳解】，，
中的元素為點，故，
故選：B
6．D
【分析】分是否為0兩種情況進行討論，結合二次方程根的情況列式求解即可.
【詳解】當時，，故符合題意；
當時，由題意，解得，符合題意，
滿足題意的值的集合是.
故選：D.
7．A
【分析】寫出，且為真命題，故由根的判別式得到不等式，求出實數(shù)的取值范圍.
【詳解】由題意得為真命題，
則，解得.
故選：A
8．CC
【分析】通過對、正負的討論，利用絕對值的定義去掉絕對值，然后進行計算，從而求出集合A的元素，由此得解.
【詳解】因為，
當，時，，
當，時，，，
當，時，，，
當，時，，，
故的所有值構成的集合為，則集合A的真子集的個數(shù)為3個.
故選：C.
9．ABD
【分析】對四個選項依次分析判斷其真?zhèn)?
【詳解】A項是特稱命題，是真命題，故正確；B項中推不出，反之若可以得到，是必要不充分條件，故正確；C項中第一個集合是點集，第二個集合是數(shù)集，這兩個集合不可能是同一個集合，故不正確；D項中若A是B的子集，由韋恩圖可知B的補集是A的補集的子集，故正確.
故選：ABD
【點睛】本題考查了特稱命題、充分條件和必要條件、集合的類型、集合的運算及集合間的關系，涉及的知識點較多，屬于新高考多選題型，解題時需要逐一判斷，要對每個選項準確判斷，具有一定的難度.
10．BC
【分析】解方程，利用必要不充分條件的意義求出實數(shù)的值.
【詳解】由，得或.
解方程，得，
依題意，，，則或，解得或，
所以實數(shù)的值為或.
故選：BC
11．ABD
【分析】舉特例根據(jù)定義分析判斷，進而可得到結果．
【詳解】令，，顯然集合M中沒有最大元素，集合N中有一個最小元素，即選項A可能；
令，，顯然集合M中沒有最大元素，集合N中也沒有最小元素，即選項B可能；
假設答案C可能，即集合M、N中存在兩個相鄰的有理數(shù)，顯然這是不可能的；
令，，顯然集合M中有一個最大元素，集合N中沒有最小元素，即選項D可能.
故選：ABD．
a>1/4
a1
14.172
15．（13分）已知全集，集合，，求，．
【答案】；；
【難度】0.94
【知識點】交并補混合運算、交集的概念及運算、并集的概念及運算、補集的概念及運算
【分析】根據(jù)集合的交、并、補的運算，直接求解即可.
【詳解】因為全集，集合，，
則，，
所以；；．
16．（15分）已知集合，．
(1)若，求實數(shù)a的取值范圍；
(2)若，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【難度】0.85
【知識點】根據(jù)集合的包含關系求參數(shù)、根據(jù)并集結果求集合或參數(shù)
【分析】（1）分類討論B是否為空集計算即可；
（2）利用補集、并集的概念化條件為，計算即可.
【詳解】（1）若，則，即時，此時顯然符合題意；
若，則，要滿足，則，解得，
綜上所述實數(shù)a的取值范圍為；
（2）由題意可知若，則，
所以有，解之得，
則實數(shù)a的取值范圍.
17．（15分）已知或．
(1)若是的充分條件，求實數(shù)的取值范圍；
(2)若是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)或
(2)
【難度】0.85
【知識點】根據(jù)必要不充分條件求參數(shù)、充分條件的判定及性質
【分析】（1）先求出范圍，依題意是的充分條件，由集合之間的包含關系，列出不等式求解即可；
（2）先寫出的范圍，由p是的必要不充分條件，則表示的集合是所表示集合的真子集，列出不等式求解即可.
【詳解】（1）因為p：，所以p：，即，
因為p是q的充分條件，所以或，
解得或，即實數(shù)的取值范圍是或；
（2）依題意，：，由（1）知p：，
又p是的必要不充分條件，所以，
解得，即實數(shù)m的取值范圍是．
18．（17分）已知集合，．
(1)當時，求；
(2)若且，求實數(shù)m的值．
【答案】(1)
(2)或1
【難度】0.65
【知識點】根據(jù)交集結果求集合或參數(shù)、交集的概念及運算、并集的概念及運算
【分析】（1）根據(jù)集合的并集定義求解即可；
（2）由集合對兩端點的距離要求，可分三類情況考慮并驗證即得.
【詳解】（1）當時，，則；
（2）因為，，，且，
①當時，則，解得，
此時，此時，滿足題意；
②當時，有，解得，
則，此時，不滿足題意，舍去；
③當時，有，解得，
此時，，滿足題意．
綜上，實數(shù)m的值為或1．
19．（17分）已知n元有限集（，），若，則稱集合A為“n元和諧集”.
(1)寫出一個“二元和諧集”（無需寫計算過程）；
(2)若正數(shù)集是“二元和諧集”，試證明：元素，中至少有一個大于2；
(3)是否存在集合中元素均為正整數(shù)的“三元和諧集”？如果有，有幾個？請說明理由.
【答案】(1)
(2)證明過程見解析
(3)存在1個，，理由見解析
【分析】（1）令得到答案；
（2）利用反證法進行證明或者構造一元二次方程利用判別式法證明；
（3）設滿足要求，則，不妨設，則，從而求出，求出答案.
【詳解】（1）不妨令，此時，滿足要求；
（2）法一：假設命題不成立，即元素，均小于等于2，
因為，故可設，
，兩邊同時除以得，，
因為，所以，與矛盾，不合要求，
故假設不成立，元素，中至少有一個大于2；
法二；集合是“二元和諧集”，設，
則可以看成一元二次方程的兩正根，
則，解得：（舍）或，即，
所以至少有一個大于2.
（3）設正整數(shù)集為“三元和諧集”，
則，
不妨設，則，解得，
因為，故只有滿足要求，
綜上，滿足要求，其他均不合要求，
存在1個集合中元素均為正整數(shù)的“三元和諧集”，即.
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
D
B
B
D
A
CC
ABD
BC
題號
11









答案
ABD









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