一、單選題（本大題共8小題）
1．若函數(shù) fx 滿足 f′3=1 ，則 limf3-f3+ΔxΔx= （ ）
A．1B．2C． -1 D． -2
2．函數(shù) fx 的圖像如圖所示，下列數(shù)值排序正確的是（ ）
A． f′1＞f′2＞f′3＞0 B． f′1＜f′2＜f′3＜0
C． 0＜f′1＜f′2＜f′3 D． f′1＞f′2＞0＞f′3
3．某中學(xué)為了弘揚(yáng)我國(guó)二十四節(jié)氣文化，特制作出“立春”“雨水”“驚蟄”“春分”“清明”“谷雨”六張知識(shí)展板放置在六個(gè)并列的文化櫥窗里，要求“立春”和“春分”兩塊展板相鄰，且“清明”和“驚蟄”兩塊展板不相鄰，則不同的放置方式種數(shù)為（ ）
A．24B．48C．144D．240
4．已知曲線 y=x2-lnx 在點(diǎn) A 處的切線與直線 x+y-2=0 垂直，則點(diǎn) A 的橫坐標(biāo)為（ ）
A． -2 B． -1 C．2D．1
5．已知函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
6．若函數(shù) fx=12x2+kx+lnx 在區(qū)間 1,+∞ 上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù) k 的取值范圍是（ ）
A． -∞,-2 B． -∞,-1 C． -2,+∞ D． -2,+∞
7．已知函數(shù) fx=kx2-2x+lnx ， f1=-32 ，若 2f2a2-a＜-3 ，則 a 的取值范圍為（ ）
A． -1,12 B． -12,1
C． -12,0∪12,1 D． a=1b=12
8．已知 fx 為定義在 R 上的可導(dǎo)函數(shù)， f′x 為其導(dǎo)函數(shù)，且 fx＜f′x 恒成立，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則（ ）
A． f2024＜ef2025 B． ef2024＜f2025
C． ef2024=f2025 D． ef2024＞f2025
二、多選題（本大題共3小題）
9．下列函數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（ ）
A． ln2024′=12024 B． tanx′=1cs2x
C． x3+x-1′=3x2-x-2 D． xe2x′=x+1e2x
10．函數(shù) y=fx 的導(dǎo)函數(shù) y=f′x 的圖象如圖所示，下列命題中正確的是（ ）
A． -3 是函數(shù) y=fx 的極值點(diǎn)B． y=fx 在區(qū)間 -3,1 上單調(diào)遞增
C． -1 是函數(shù) y=fx 的最小值點(diǎn)D． y=fx 在 x=0 處切線的斜率小于零
11．已知函數(shù) fx=ex+sinx ， f′x 為 fx 的導(dǎo)函數(shù)，則（ ）
A．曲線 y=fx 在 0,f0 處的切線方程為 y=x+1
B． fx 在區(qū)間 0,+∞ 上單調(diào)遞增
C． fx 在區(qū)間 -π,0 上有極小值
D． f′x 在區(qū)間 -π,+∞ 上有兩個(gè)零點(diǎn)
三、填空題（本大題共3小題）
12．方程 C12x-1=C125x-5 的解為__________.
13．已知函數(shù) fx=x3+ax2+bx+a2 在 x=1 處取得極小值10，則 ba 的值為 ___.
14．若函數(shù) fx=lnx+ax2-2x 在區(qū)間 1,2 內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是_______．
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知函數(shù) fx=-x3+x+1,gx=e-2x+1 .
(1)求曲線 y=fx 過點(diǎn) 1,1 處的切線；
(2)若曲線 y=fx 在點(diǎn) 1,1 處的切線與曲線 y=gx 在 x=tt∈R 處的切線平行，求 t 的值.
16．已知函數(shù).
(1)若在上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若，求在上的值域.
17．已知函數(shù) fx=a2x-lnx,gx=bx-x2 ，且曲線 y=gx 在點(diǎn) 1,g1 處的切線與直線 y=x+1 垂直.
(1)求 b ；
(2)討論函數(shù) hx=fx+gx 的單調(diào)性；
18．已知某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品的固定成本為400萬元，每生產(chǎn) x 萬件，需另投入成本 px 萬元，假設(shè)該企業(yè)年內(nèi)共生產(chǎn)該產(chǎn)品 x 萬件，并且全部銷售完，每1件的銷售收入為100元，且 px=1150x3+50x,0＜x＜60101x+6400x-1860,x?60
(1)求出年利潤(rùn) y （萬元）關(guān)于年生產(chǎn)零件 x （萬件）的函數(shù)關(guān)系式（注：年利潤(rùn) = 年銷售收入 - 年總成本）；
(2)將年產(chǎn)量 x 定為多少萬件時(shí)，企業(yè)所獲年利潤(rùn)最大.
19．已知函數(shù)，.
(1)若曲線在處切線過原點(diǎn)，求的值；
(2)若在上最小值為1，求的值；
(3)當(dāng)時(shí)，若，都有，求整數(shù)的最小值.
參考答案
1．【答案】C
【詳解】由題設(shè) limf3-f3+ΔxΔx=-limf3+Δx-f33+Δx-3=-f′3=-1 .
故選C.
2．【答案】A
【詳解】由函數(shù) fx 的圖像可知，
∵ 當(dāng) x?0 時(shí)， fx 單調(diào)遞增，
∴f′1＞0 ， f′2＞0 ， f′3＞0 .
∵ 隨著 x 的增大，曲線在每個(gè)點(diǎn)處的斜率在逐漸減小，即導(dǎo)函數(shù)是單調(diào)遞減的，
∴f′1＞f′2＞f′3＞0 .
故選A.
3．【答案】C
【詳解】將“立春”和“春分”兩塊展板看成一個(gè)整體，與“雨水”“谷雨”兩塊展板進(jìn)行全排列，再將“清明”和“驚蟄”兩塊展板插空，
所以不同的放置方式種數(shù)為 A22A33A42=2×6×12=144 ．
故選C.
4．【答案】D
【詳解】設(shè) fx=x2-lnx ，點(diǎn) Ax0,y0 ，則 f′x=2x-1x ，
由在點(diǎn) A 處的切線與直線 x+y-2=0 垂直可得 f′x0=1 ，
即 2x0-1x0=1 ，又 x0＞0 ， ∴x0=1 .
故選D.
5．【答案】A
【詳解】令，即得，即方程有三個(gè)零點(diǎn)，
即直線與曲線有三個(gè)不同的交點(diǎn)，
可得，
所以當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，有極小值為，
當(dāng)時(shí)，有極大值為，
當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，，
所以作出函數(shù)的圖象如圖所示，
所以數(shù)形結(jié)合可知，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選A.
【方法總結(jié)】函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，方程的根，均可歸結(jié)為函數(shù)的零點(diǎn)問題．此類問題往往通過函數(shù)的單調(diào)性、極值等，利用零點(diǎn)存在性定理判斷，常見類型及解法如下：
(1)證明或討論函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，一般借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，或?qū)⒑瘮?shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題；
(2)已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，求參數(shù)的取值范圍，一般分離參數(shù)或構(gòu)造函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合思想求解．
6．【答案】D
【詳解】由已知得 f′x=x+k+1x ，
∵ 函數(shù) fx=12x2+kx+lnx 在區(qū)間 1,+∞ 上單調(diào)遞增，
∴f′x?0 在區(qū)間 1,+∞ 上恒成立．
∴k?-x+1x 對(duì)于 x∈1,+∞ 恒成立．
而由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知 y=-x+1x 在區(qū)間 1,+∞ 上單調(diào)遞減，
∴-x+1x＜-2,∴k?-2 ．
∴k 的取值范圍是 -2,+∞ ．
故選D.
7．【答案】C
【詳解】 f1=k-2=-32 ，得 k=12 ，
所以 fx=12x2-2x+lnx ， f′x=x-2+1x=x2-2x+1x=x-12x?0 ， x＞0 ，
所以函數(shù) fx 在 0,+∞ 單調(diào)遞增，
所以 2f2a2-a＜-3 ，即 f2a2-a＜-32 ，即 f2a2-a＜f1 ，
即 2a2-a＜1 ，且 2a2-a＞0 ，得 -12＜a＜0 且 12＜a＜1 .
故選C.
8．【答案】B
【詳解】根據(jù)題意知 fx＜f′x ，即 f′x-fx＞0 ，構(gòu)造函數(shù) gx=fxex ，
可得 g′x=f′x-fxex ，因?yàn)?f′x-fx＞0 ，所以 g′x＞0 ，
所以 gx 在 R 上單調(diào)遞增，
則 f2024e2024＜f2025e2025 ，兩邊同乘 e2025 ，即 ef2024＜f2025 ．
故選B.
9．【答案】BC
【詳解】對(duì)于 A,ln2024′=0，A 錯(cuò)誤；
對(duì)于 B，tanx′=sinxcsx′=cs2x+sin2xcs2x=1cs2x，B 正確；
對(duì)于 C，x3+x-1′=3x2-x-2，C 正確；
對(duì)于 D，xe2x′=e2x+2xe2x=1+2xe2x，D 錯(cuò)誤.
故選BC.
10．【答案】AB
【詳解】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象可知：當(dāng) x∈-∞,-3 時(shí)， f′x＜0 ，在 x∈-3,1 時(shí)， f′x?0,∴ 函數(shù) y= fx 在 -∞,-3 上單調(diào)遞減，在 -3,1 上單調(diào)遞增，故B正確；
則 -3 是函數(shù) y=fx 的極小值點(diǎn)，故A正確；
∵ 在 -3,1 上單調(diào)遞增， ∴-1 不是函數(shù) y=fx 的最小值點(diǎn)，故C不正確；
∵ 函數(shù) y=fx 在 x=0 處的導(dǎo)數(shù)大于 0,∴ 切線的斜率大于零，故D不正確．
故選AB.
11．【答案】BC
【詳解】依題意， f′x=ex+csx ，
對(duì)于 A，f′0=2 ， f0=1 ，所求切線方程為 y=2x+1，A 錯(cuò)誤；
對(duì)于B，當(dāng) x＞0 時(shí)， f′x=ex+csx＞1+csx?0 ， fx 在區(qū)間 0,+∞ 上單調(diào)遞增，B正確；
對(duì)于 C，y=ex,y=csx 在 -π,0 上都單調(diào)遞增，則函數(shù) f′x 在 -π,0 上單調(diào)遞增，
f′-π=e-π-1＜0 ， f′0=2 ，則存在唯一 x0∈-π,0 ，使得 f′x0=0 ，
當(dāng) -π＜x＜x0 時(shí)， f′x＜0 ；當(dāng) x0＜x＜0 時(shí)， f′x＞0 ，因此 fx 在 x0 處取得極小值，C正確；
對(duì)于D，由選項(xiàng)C知， f′x 在 -π,0 上有唯一零點(diǎn)，又 f′0=2 ，
當(dāng) x＞0 時(shí)， f′x=ex+csx＞1+csx?0 ，即 ?x?0 ， f′x＞0 ，
因此 f′x 在區(qū)間 -π,+∞ 上有1零點(diǎn)，D錯(cuò)誤.
故選BC.
12．【答案】1或3（只寫一個(gè)不得分）
【詳解】由 C12x-1=C125x-5 及組合數(shù)的性質(zhì)，得 x-1=5x-50?x-1?120?5x-5?12x∈Z 或 x-1+5x-5=120?x-1?120?5x-5?12x∈Z ，
整理得 x=11?x?131?x?175x∈Z 或 x=31?x?131?x?175x∈Z ，解得 x=1 或 x=3 ，所以該方程的解為1或3.
13．【答案】 -114
【詳解】 f′x=3x2+2ax+b ，由題意 f′1=3+2a+b=0f1=1+a+b+a2=10 ，
解得 a=-3b=3 或 a=4b=-11 ，
若 a=-3,b=3 ， f′x=3x2-6x+3=3x-12 ， x=1 不是極值點(diǎn)，舍去．
若 a=4,b=-11 時(shí)， f′x=3x2+8x-11=x-13x+11 ，
當(dāng) -113＜x＜1 時(shí)， f′x＜0 ，當(dāng) x＜-113 或 x＞1 時(shí)， f′x＞0 ，
x=-113 是極大值點(diǎn)， x=1 是極小值點(diǎn)，滿足題意．
∴ ba=-114 ．
14．【答案】 38,+∞
【詳解】∵ fx=lnx+ax2-2x ，∴ f′x=1x+2ax-2 ，
∵ fx 在區(qū)間 1,2 內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，
∴ f′x＞0 在 x∈1,2 上有解，故 a＞1x-12x2 在 x∈1,2 上有解，
令 gx=1x-12x2 ，則 g′x=-1x2+1x3=1-xx3 ，
∵ x∈1,2 ，∴ g′x＜0 ，即 gx 在 1,2 上為減函數(shù)，
∴ gx＞g2=12-18=38 ，故 a＞38 ．
15．【答案】(1) 2x+y-3=0 或 x-4y+3=0
(2) t=12
【詳解】（1）由導(dǎo)數(shù)公式得 f′x=-3x2+1 ，
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為 x0,y0 ，設(shè)切線方程為： y-1=kx-1
由題意可得： y0-1=kx0-1y0=-x03+x0+1k=-3x02+1 ，
所以 x0=1y0=1k=-2 或 x0=-12y0=58k=14 ，
從而切線方程為 2x+y-3=0 或 x-4y+3=0 .
（2）由(1)可得：曲線 y=fx 在點(diǎn) 1,1 處的切線方程為 y=-2x+3 ,
由 g′x=-2e-2x+1 ，可得曲線 y=gx 在 x=tt∈R 處的切線斜率為 g′t=-2e-2t+1 ，
由題意可得 -2e-2t+1=-2 ， 從而 t=12 ，
此時(shí)切點(diǎn)坐標(biāo)為 12,1 ，曲線 y=gx 在 x=12 處的切線方程為 y-1=-2x-12 ，
即 y=-2x+2 ，故符合題意，所以 t=12 .
16．【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）因?yàn)?，所?
因?yàn)樵谏喜粏握{(diào)，所以方程有兩個(gè)不同的根，
則，解得或，
即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
（2）因?yàn)?，所?
由，得或，由，得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
因?yàn)?，，?br>所以在上的值域?yàn)?
17．【答案】(1) b=1
(2)答案見解析
【詳解】（1） g′x=b-2x ，故 g′1=b-2 ，又 y=x+1 斜率為1，故 b-2=-1 ，解得 b=1 .
（2）因?yàn)?b=1 ，故 hx=-x2+2a+1x-alnxx＞0 ，
則 h′x=-2x+2a+1-ax=-2x-1x-ax ，
當(dāng) a?0 時(shí)， x-a＞0,x＞0 ，
故在 0,12 上， h′x＞0,hx 單調(diào)遞增；
在 12,+∞ 上， h′x＜0,hx 單調(diào)遞減；
當(dāng) 0＜a＜12 時(shí)，令 h′x=0 有 x1=12,x2=a ，且 x2＜x1 ，
故在 0,a 上， h′x＜0,hx 單調(diào)遞減；
在 a,12 上， h′x＞0,hx 單調(diào)遞增；
在 12,+∞ 上， h′x＜0,hx 單調(diào)遞減.
當(dāng) a=12 時(shí)， h′x?0,hx 在 0,+∞ 單調(diào)遞減；
當(dāng) a＞12 時(shí)，在 0,12 上， h′x＜0,hx 單調(diào)遞減；
在 12,a 上， h′x＞0,hx 單調(diào)遞增；
在 a,+∞ 上， h′x＜0,hx 單調(diào)遞減.
綜上，當(dāng) a?0 時(shí)， hx 在 0,12 h′x＞0,hx 單調(diào)遞增，在 12,+∞ h′x＜0,hx 單調(diào)遞減；
當(dāng) 0＜a＜12 時(shí)， hx 在 0,a 和 12,+∞ 單調(diào)遞減，在 a,12 單調(diào)遞增；
當(dāng) a=12 時(shí)， hx 在 0,+∞ 單調(diào)遞減；
當(dāng) a＞12 時(shí)， hx 在 0,12 和 a,+∞ 單調(diào)遞減，在 12,a 單調(diào)遞增.
18．【答案】(1) y=-1150x3+50x-400,0＜x＜601460-x+6400x,x?60
(2)80萬件
【詳解】（1）由題意得，總售價(jià)固定為 100x ，
當(dāng)產(chǎn)量不足60萬箱時(shí)， y=100x-px-400=-1150x3+50x-400 .
當(dāng)產(chǎn)量不小于60萬箱時(shí)， y=100x-px-400=1460-x+6400x .
則 y=-1150x3+50x-400,0＜x＜601460-x+6400x,x?60
（2）設(shè) fx=-1150x3+50x-400,0＜x＜601460-x+6400x,x?60 ，
當(dāng) 0＜x＜60 時(shí)， f′x=-150x+50x-50 ，令 f′x=0 ，得 x=50 ，
得 fx 在 0,50 上單調(diào)遞增，在 50,60 上單調(diào)遞減，
則 fx?f50=38003 ；
當(dāng) x?60 時(shí)，由基本不等式有 1460-x+6400x?1460-2x?6400x=1300
當(dāng)且僅當(dāng) x=6400x ，即 x=80 時(shí)取等號(hào)；
又因?yàn)?1300＞38003 ，所以當(dāng) x=80 時(shí)，所獲利潤(rùn)最大，最大值為1300萬元
19．【答案】(1)；
(2)或；
(3)1.
【詳解】（1）因?yàn)?，所以切點(diǎn)為.
又，所以.
所以函數(shù)在處的切線方程為：.
因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，所以：.
（2）因?yàn)?，，所?
若，在上恒成立，
所以在上的最小值為.
若，由；由.
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞增，
由（舍去）.
當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
由（舍去）.
當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞減，
由.
綜上可知：或.
（3）當(dāng)時(shí)，，
.
設(shè)，
則.
若，則在上恒成立，所以在單調(diào)遞增，所以不可能恒成立；
若，由；由.
所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
此時(shí)，只需.
設(shè)，，則在上恒成立.
所以在單調(diào)遞減，且，
因?yàn)?，所?
所以整數(shù)的最小值為1.

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2022-2023學(xué)年山東省威海市乳山市銀灘高級(jí)中學(xué)高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

2022-2023學(xué)年山東省威海市乳山市銀灘高級(jí)中學(xué)高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）
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