1．一個做直線運動的質(zhì)點的位移s（m）與時間t（s）的關(guān)系式為s＝100t﹣5t2，則該質(zhì)點的瞬時速度為0m/s時，t＝（ ）
A．50sB．20sC．10sD．5s
2．已知函數(shù)f（x）在點x＝2處的切線方程為2x+y﹣1＝0，則f′（2）+f（2）＝（ ）
A．﹣5B．﹣3C．3D．5
3．若函數(shù)y＝f（x）在x＝x0處可導，則等于（ ）
A．f′（x0）B．2f′（x0）C．﹣2f′（x0）D．0
4．已知函數(shù)f（x）＝x（x﹣c）2在x＝2處有極大值，則c的值為（ ）
A．3B．6C．3或6D．2或6
5．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（ ）
A．（﹣∞，1）B．（0，1）C．（1，e）D．（1，+∞）
6．若曲線y＝e2ax在點（0，1）處的切線與直線x+2y+1＝0垂直，則a＝（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
7．已知函數(shù)f（x）及其導函數(shù)f′（x）的定義域均為（0，+∞），若xf′（x）＜2f（x），則（ ）
A．4e2f（2）＜16f（e）＜e2f（4）
B．e2f（4）＜4e2f（2）＜16f（e）
C．e2f（4）＜16f（e）＜4e2f（2）
D．16f（e）＜e2f（4）＜4e2f（2）
8．若點P是曲線y＝lnx﹣x2上任意一點，則點P到直線l：x+y﹣6＝0的距離的最小值為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題9-11，每題6分，共18分。
（多選）9．下列求導運算正確的是（ ）
A．
B．
C．（csx）'＝﹣sinx
D．
（多選）10．關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的有（ ）
A．函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點對稱
B．函數(shù)f（x）在（﹣∞，2）上單調(diào)遞增，在（2，+∞）上單調(diào)遞減
C．若方程f（x）＝t恰有一個實數(shù)根，則
D．若?x∈R，都有f（x）＞m，則m≤﹣2
（多選）11．在數(shù)學中，布勞威爾不動點定理是拓撲學里一個非常重要的不動點定理，此定理得名于荷蘭數(shù)學家魯伊茲?布勞威爾，簡單的講就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)f（x），存在一個實數(shù)x0使得f（x0）＝x0，那么我們稱該函數(shù)為“不動點”函數(shù)，x0為函數(shù)的不動點．現(xiàn)新定義：若x0滿足f（x0）＝﹣x0，則稱x0為f（x）的次不動點．設(shè)函數(shù)f（x）＝ex+1+e﹣x﹣1+x2+x+a，若f（x）在區(qū)間（﹣2，1）上存在次不動點，則a的取值可以是（ ）
A．﹣1B．e2+e﹣2+4C．﹣e2﹣e﹣2﹣3D．﹣e2﹣e﹣2﹣1
三、填空12-14，每題5分，共15分。
12．若函數(shù)f（x）的導函數(shù)為f′（x），且滿足f（x）＝2f′（1）lnx+x，則f（e）＝ ．
13．燒水時，水溫隨著時間的推移而變化．假設(shè)水的初始溫度為20℃，加熱后的溫度函數(shù)T（t）＝100﹣ke﹣0.1t（k是常數(shù)，t表示加熱的時間，單位：min），加熱到第10min時，水溫的瞬時變化率是 ℃/min．
14．若函數(shù)f（x）＝aex+csx在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍為 ．
四、解答題15-19，共77分。
15．已知函數(shù)f（x）＝x2+x﹣3lnx．
（1）求曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）求f（x）的極值．
16．已知函數(shù)f（x）＝ex（x2﹣ax﹣a）．
（Ⅰ）若曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．
17．已知函數(shù)f（x）＝2x3﹣ax2+12x+b在x＝2處取得極小值5．
（1）求實數(shù)a，b的值；
（2）當x∈[0，3]時，求函數(shù)f（x）的最小值．
18．（17分）已知函數(shù)f（x）＝x3﹣3lnx．
（1）求f（x）的最小值；
（2）設(shè)，證明：f（x）≤g（x）．
19．（17分）設(shè)a＞0，函數(shù)f（x）＝aex+x2+ax+a+1，g（x）＝lnx+ax+a．
（Ⅰ）若f′（0）＝2，求a的值；
（Ⅱ）求證：f（x）恰有1個極小值點，g（x）恰有1個零點；
（Ⅲ）若x1是f（x）的極值點，x2是g（x）的零點，求證：x1＝﹣ax2﹣a．
參考答案
一、單選1-8，每題5分，共40分。
1．一個做直線運動的質(zhì)點的位移s（m）與時間t（s）的關(guān)系式為s＝100t﹣5t2，則該質(zhì)點的瞬時速度為0m/s時，t＝（ ）
A．50sB．20sC．10sD．5s
【分析】根據(jù)題意，求出函數(shù)的導數(shù)，令s′＝0，求出t的值，即可得答案．
解：根據(jù)題意，s＝100t﹣5t2，則s′＝100﹣10t，
若該質(zhì)點的瞬時速度為0m/s，即s′＝100﹣10t＝0，解可得t＝10．
故選：C．
【點評】本題考查導數(shù)的計算，注意導數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．
2．已知函數(shù)f（x）在點x＝2處的切線方程為2x+y﹣1＝0，則f′（2）+f（2）＝（ ）
A．﹣5B．﹣3C．3D．5
【分析】由已知結(jié)合導數(shù)的幾何意義求解即可．
解：∵函數(shù)f（x）在點x＝2處的切線方程為2x+y﹣1＝0，
∴f′（2）＝﹣2，且2×2+f（2）﹣1＝0，得f（2）＝﹣3，
∴f′（2）+f（2）＝﹣5．
故選：A．
【點評】本題考查導數(shù)的幾何意義及應用，是基礎(chǔ)題．
3．若函數(shù)y＝f（x）在x＝x0處可導，則等于（ ）
A．f′（x0）B．2f′（x0）C．﹣2f′（x0）D．0
【分析】利用導數(shù)的定義求解即可．
解：∵函數(shù)y＝f（x）在x＝x0處可導，
∴．
故選：C．
【點評】本題考查了導數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．
4．已知函數(shù)f（x）＝x（x﹣c）2在x＝2處有極大值，則c的值為（ ）
A．3B．6C．3或6D．2或6
【分析】對函數(shù)f（x）＝x（x﹣c）2求導，利用函數(shù)的導函數(shù)與極值的關(guān)系，令導函數(shù)等于0即可解出c的值．
解：f′（x）＝（x﹣c）2+2x（x﹣c），
f′（2）＝（2﹣c）2+2×2（2﹣c）＝0，
解得c＝6或2．
驗證知當c＝2時，函數(shù)在x＝2處有極小值，舍去
故c＝6
故選：B．
【點評】本題主要考查了函數(shù)在某點取得極值的條件，對函數(shù)求導，令導函數(shù)等于0即可解出c的值，由于本題明確指出在該點出取到極大值，故需對求出的c的值進行驗證，如本題，c＝2必需舍去，做題時要注意考慮周詳．
5．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（ ）
A．（﹣∞，1）B．（0，1）C．（1，e）D．（1，+∞）
【分析】對函數(shù)求導，令導函數(shù)小于零，解得x的范圍即可得到減區(qū)間．
解：函數(shù)的定義域為（0，+∞），
令，
解得x＞1，
則函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（1，+∞）．
故選：D．
【點評】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
6．若曲線y＝e2ax在點（0，1）處的切線與直線x+2y+1＝0垂直，則a＝（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
【分析】由切線與直線垂直可得切線斜率為2，再對曲線求導，根據(jù)導數(shù)的幾何意義結(jié)合條件即得．
解：直線x+2y+1＝0的斜率為，
由題設(shè)知：y＝e2ax在（0，1）處的切線的斜率為2，而y′＝2a?e2ax，
∴y′|x＝0＝2a＝2，可得a＝1．
故選：C．
【點評】本題考查利用導數(shù)求切線的方法，屬于基礎(chǔ)題．
7．已知函數(shù)f（x）及其導函數(shù)f′（x）的定義域均為（0，+∞），若xf′（x）＜2f（x），則（ ）
A．4e2f（2）＜16f（e）＜e2f（4）
B．e2f（4）＜4e2f（2）＜16f（e）
C．e2f（4）＜16f（e）＜4e2f（2）
D．16f（e）＜e2f（4）＜4e2f（2）
【分析】設(shè)，利用導數(shù)得到函數(shù)單調(diào)性，從而求解．
解：∵xf′（x）＜2f（x），
∴，
設(shè)，則g（x）在（0，+∞） 上單調(diào)遞減，
∴g（2）＞g（e）＞g（4），
∴，即4e2f（2）＞16f（e）＞e2f（4），故C正確．
故選：C．
【點評】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．
8．若點P是曲線y＝lnx﹣x2上任意一點，則點P到直線l：x+y﹣6＝0的距離的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合導數(shù)的幾何意義，以及點到直線的距離公式，即可求解．
解：直線l：x+y﹣6＝0，
則直線l的斜率為﹣1，
y＝lnx﹣x2，
則y'＝，
令，解得x＝1（負值舍去），
當x＝1時，y＝﹣1，
故平行于直線l：x+y﹣6＝0且與直線y＝lnx﹣x2相切的切點坐標為（1，﹣1），
所以點P到直線l：x+y﹣6＝0的距離的最小值為：＝．
故選：B．
【點評】本題主要考查利用導數(shù)研究曲線上某點切線的方程，屬于中檔題．
二、多選題9-11，每題6分，共18分。
（多選）9．下列求導運算正確的是（ ）
A．
B．
C．（csx）'＝﹣sinx
D．
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合導數(shù)的求導法則，即可求解．
解：，
，故AB錯誤；
（csx）'＝﹣sinx，故C正確；
＝，故D正確．
故選：CD．
【點評】本題主要考查導數(shù)的運算，屬于基礎(chǔ)題．
（多選）10．關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的有（ ）
A．函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點對稱
B．函數(shù)f（x）在（﹣∞，2）上單調(diào)遞增，在（2，+∞）上單調(diào)遞減
C．若方程f（x）＝t恰有一個實數(shù)根，則
D．若?x∈R，都有f（x）＞m，則m≤﹣2
【分析】根據(jù)題意，依次分析選項：對于A，求出f（﹣1﹣x）的表達式，分析f（x）與f（﹣1﹣x）的關(guān)系，可得A錯誤，對于B，由導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可得B正確，對于C，舉出反例可得C錯誤，對于D，分析f（x）的值域，可得D正確，綜合可得答案．
解：根據(jù)題意，依次分析選項：
對于A，函數(shù)，f（﹣1﹣x）＝，f（x）≠﹣f（﹣1﹣x），
則f（x）的圖象不關(guān)于點（﹣，0）對稱，A錯誤；
對于B，f′（x）＝＝＝，
在區(qū)間（﹣∞，2）上，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
在區(qū)間（2，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，B正確；
對于C，＝0，解可得x＝﹣，
當t＝0時，方程f（x）＝t恰有一個實數(shù)根，C錯誤；
對于D，當x＞﹣時，f（x）＞0，
當x＜﹣時，f（x）＜0，此時f（x）＝﹣，
又由x2+1﹣（x2++）＝＞0，則f（x）＝﹣＞﹣2，
則有f（x）＞﹣2，
故若?x∈R，都有f（x）＞m，則m≤﹣2，D正確．
故選：BD．
【點評】本題考查函數(shù)的單調(diào)性，涉及函數(shù)與方程的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．
（多選）11．在數(shù)學中，布勞威爾不動點定理是拓撲學里一個非常重要的不動點定理，此定理得名于荷蘭數(shù)學家魯伊茲?布勞威爾，簡單的講就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)f（x），存在一個實數(shù)x0使得f（x0）＝x0，那么我們稱該函數(shù)為“不動點”函數(shù)，x0為函數(shù)的不動點．現(xiàn)新定義：若x0滿足f（x0）＝﹣x0，則稱x0為f（x）的次不動點．設(shè)函數(shù)f（x）＝ex+1+e﹣x﹣1+x2+x+a，若f（x）在區(qū)間（﹣2，1）上存在次不動點，則a的取值可以是（ ）
A．﹣1B．e2+e﹣2+4C．﹣e2﹣e﹣2﹣3D．﹣e2﹣e﹣2﹣1
【分析】由題意可得，ex+1+e﹣x﹣1+x2+x+a＝﹣x在（﹣2，1）上有解，即ex+1+e﹣（x+1）+（x+1）2＝1﹣a有解，然后換元構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求最值即可．
解：根據(jù)題意，若f（x）在區(qū)間（﹣2，1）上存在次不動點，
則f（x）＝﹣x在區(qū)間（﹣2，1）上有解，
即ex+1+e﹣x﹣1+x2+x+a＝﹣x，
即ex+1+e﹣（x+1）+（x+1）2＝1﹣a有解，
令t＝x+1，t∈（﹣1，2），則1﹣a＝t2+et+e﹣t，
令函數(shù)g（t）＝t2+et+e﹣t，g′（t）＝2t+et﹣e﹣t且單調(diào)遞增，
當t∈（0，2）時，g′（t）＞0，
所以g（t）在（0，2）上單調(diào)遞增，
g（﹣t）＝t2+et+e﹣t＝g（t），
所以g（t）為偶函數(shù)，
所以g（t）在（﹣1，0）上單調(diào)遞減，
g（t）min＝g（0）＝2，g（t）＜g（2）＝4+e2+e﹣2，
故1﹣a∈[2，4+e2+e﹣2），a∈（﹣e2﹣e﹣2﹣3，﹣1]，
則﹣1∈（﹣e2﹣e﹣2﹣3，﹣1]，﹣e2﹣e﹣2﹣1∈（﹣e2﹣e﹣2﹣3，﹣1]．
故選：AD．
【點評】本題屬于新概念題，考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及導數(shù)的綜合運用，屬于中檔題．
三、填空12-14，每題5分，共15分。
12．若函數(shù)f（x）的導函數(shù)為f′（x），且滿足f（x）＝2f′（1）lnx+x，則f（e）＝ ﹣2+e ．
【分析】由求導計算公式求出f′（1），再代入求出f（e）即可．
解：由f（x）＝2f′（1）lnx+x，得，
令x＝1，則，解得f′（1）＝﹣1，
所以f（x）＝﹣2lnx+x，f（e）＝﹣2+e．
故答案為：﹣2+e．
【點評】本題主要考查了函數(shù)的求導公式的應用，屬于基礎(chǔ)題．
13．燒水時，水溫隨著時間的推移而變化．假設(shè)水的初始溫度為20℃，加熱后的溫度函數(shù)T（t）＝100﹣ke﹣0.1t（k是常數(shù)，t表示加熱的時間，單位：min），加熱到第10min時，水溫的瞬時變化率是 ℃/min．
【分析】根據(jù)公式和已知條件直接求解即可
解：因為水的初始溫度為20℃，所以T（0）＝100﹣k＝20，解得k＝80，所以T′（t）＝8e﹣0.1t，
則，所以加熱到第10min時，水溫的瞬時變化率是．
故答案為：．
【點評】本題主要考查導數(shù)的應用，屬于基礎(chǔ)題．
14．若函數(shù)f（x）＝aex+csx在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍為 （﹣∞，] ．
【分析】由函數(shù)f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減，得到f'（x）≤0在區(qū)間上恒成立，再求出a的取值范圍即可．
解：因為函數(shù)f（x）＝aex+csx在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以f'（x）＝aex﹣sinx≤0在區(qū)間上恒成立，所以只需a≤（）min．
令g（x）＝，x∈，則g'（x）＝，
當x∈時，g'（x）≤0恒成立，且僅當x＝時取等號，
所以g（x）在上單調(diào)遞減，
所以g（x）min＝g（）＝，所以a≤（）min＝，
所以實數(shù)a的取值范圍為（﹣∞，]．
故答案為：（﹣∞，]．
【點評】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，利用不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，考查了轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)思想，屬中檔題．
四、解答題15-19，共77分。
15．已知函數(shù)f（x）＝x2+x﹣3lnx．
（1）求曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）求f（x）的極值．
【分析】（1）求導，根據(jù)導數(shù)的幾何意義求得切線的斜率，再利用點斜式寫出切線方程即可；
（2）先判斷函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，再求極值即可．
解：（1）f（x）＝x2+x﹣3lnx的定義域為（0，+∞），
f'（x）＝2x+1﹣，
所以曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為k＝f′（1）＝0，
因為f（1）＝1+1﹣0＝2，所以切點為（1，2），
所以曲線在（1，f（1））處的切線方程為y＝2．
（2）f'（x）＝2x+1﹣＝＝，定義域為（0，+∞），
當x＝1時，f'（x）＝0；
當x＞1時，f'（x）＞0，所以函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
當0＜x＜1時，f′（x）＜0，所以函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，
所以極小值為f（1）＝2，無極大值．
【點評】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，熟練掌握導數(shù)的幾何意義，函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．
16．已知函數(shù)f（x）＝ex（x2﹣ax﹣a）．
（Ⅰ）若曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．
【分析】（Ⅰ）對f（x）求導，求出切線的斜率f'（1），再根據(jù)曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求出a的值；
（Ⅱ）對f（x）求導，分a＝﹣2，a＜﹣2和a＞﹣2三種情況，求出f（x）的單調(diào)區(qū)間即可．
解：（Ⅰ）由f（x）＝ex（x2﹣ax﹣a），得f′（x）＝ex[x2+（2﹣a）x﹣2a]，
∵f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，∴f′（1）＝0，
∴e（3﹣3a）＝0，解得a＝1，經(jīng)檢驗a＝1符合題意．
（Ⅱ）∵f′（x）＝ex[x2+（2﹣a）x﹣2a]，令f'（x）＝0，解得x＝﹣2或x＝a．
當a＝﹣2時，∵f′（x）＝ex（x+2）2≥0，當且僅當x＝﹣2時，f'（x）＝0，
∴f（x）在區(qū)間（﹣∞，+∞）上單調(diào)遞增．
當a＜﹣2時，隨x的變化，f'（x）和f（x）的變化情況如下表所示．
∴f（x）在區(qū)間（﹣∞，a）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（a，﹣2）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（﹣2，+∞）上單調(diào)遞增．
當a＞﹣2時，隨x的變化，f'（x），f（x）的變化情況如下表所示．
∴f（x）在區(qū)間（﹣∞，﹣2）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（﹣2，a）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（a，+∞）上單調(diào)遞增．
綜上，當a＝﹣2時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，+∞），無單調(diào)遞減區(qū)間；
當a＜﹣2時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，a），（﹣2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（a，﹣2）；
當a＞﹣2時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，﹣2），（a，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣2，a）．
【點評】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的切線方程，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．
17．已知函數(shù)f（x）＝2x3﹣ax2+12x+b在x＝2處取得極小值5．
（1）求實數(shù)a，b的值；
（2）當x∈[0，3]時，求函數(shù)f（x）的最小值．
【分析】（1）對f（x）求導，根據(jù)函數(shù)f（x）在x＝2處取得極小值5，列方程求出a，b的值即可；
（2）對f（x）求導，判斷f（x）在[0，3]上的單調(diào)性，再求出f（x）的最小值即可．
解：（1）由f（x）＝2x3﹣ax2+12x+b，得f'（x）＝6x2﹣2ax+12，
因為f（x）在x＝2處取極小值5，所以f（2）＝24﹣4a+12＝0，解得a＝9，
此時f'（x）＝6x2﹣18x+12x＝6（x﹣1）（x﹣2），
所以f（x）在（1，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增，
所以f（x）在x＝2時取極小值，符合題意，
所以a＝9，f（x）＝2x3﹣9x2+12x+b．
又f（2）＝4+b＝5，所以b＝1，
所以a＝9，b＝1．
（2）f（x）＝2x3﹣9x2+12x+1，所以f'（x）＝6（x﹣1）（x﹣2），
f（x）和f'（x）隨著x的變化情況如下表所示．
所以x∈[0，3]時，f（x）min＝f（0）＝1．
【點評】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，利用導數(shù)求函數(shù)在給定區(qū)間上的最值，屬基礎(chǔ)題．
18．（17分）已知函數(shù)f（x）＝x3﹣3lnx．
（1）求f（x）的最小值；
（2）設(shè)，證明：f（x）≤g（x）．
【分析】（1）對f（x）求導，判斷f（x）的單調(diào)性，再求出最小值即可；
（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)證得h（x）≥0恒成立，從而得證．
解：（1）因為f（x）＝x3﹣3lnx，x＞0，則，
令f′（x）＜0，得0＜x＜1；令f′（x）＞0，得x＞1；
所以f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
所以f（x）的最小值為f（1）＝1﹣3ln1＝1．
（2）證明：因為，
所以由f（x）≤g（x），得，即，
令，則，
令h′（x）＜0，得0＜x＜1；令h′（x）＞0，得x＞1；
所以h（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
則h（x）≥h（1）＝ln1+1﹣1＝0，即恒成立，
所以f（x）≤g（x）．
【點評】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，利用綜合法證明不等式，考查了函數(shù)思想，屬中檔題．
19．（17分）設(shè)a＞0，函數(shù)f（x）＝aex+x2+ax+a+1，g（x）＝lnx+ax+a．
（Ⅰ）若f′（0）＝2，求a的值；
（Ⅱ）求證：f（x）恰有1個極小值點，g（x）恰有1個零點；
（Ⅲ）若x1是f（x）的極值點，x2是g（x）的零點，求證：x1＝﹣ax2﹣a．
【分析】（I）求出f（x）導數(shù)，即可求出；
（Ⅱ）根據(jù)零點存在性定理即可判斷f′（x）和g（x）有唯一零點；
（Ⅲ）轉(zhuǎn)化可得x1和lnx2是h（x）＝aex+x+a的零點，再根據(jù)h（x）有唯一零點可得x1＝lnx2即可證明．
解：（I）因為f′（x）＝aex+x+a，所以f′（0）＝2a＝2，解得a＝1；
證明；（Ⅱ）因為f′（x）＝aex+x+a在R上單調(diào)遞增，且f′（﹣2a）＝ae﹣2a﹣a＝a（e﹣2a﹣1）＜0，f′（﹣a）＝ae﹣a＞0，
所以存在唯一x0∈（﹣2a，﹣a），f（x0）＝0，
當x∈（﹣∞，x0）時，f′（x0）＜0，f（x）單調(diào)遞減；當x∈（x0，+∞）時，f（x0）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
所以f（x）在x＝x0處取得極小值，所以f（x）恰有1個極小值點；
因為g（x）＝lnx+ax+a在（0，+∞）單調(diào)遞增，且g（e﹣2a）＝a（e﹣2a﹣1）＜0，g（1）＝2a＞0，
所以g（x）有唯一一個零點．
證明：（Ⅲ）因為x1是f（x）的極值點，所以，
令h（x）＝aex+x+a，則可得x1和lnx2是h（x）的零點，
由（Ⅱ）可知h（x）存在唯一零點，所以x1＝lnx2，即，
所以，即x1＝﹣ax2﹣a．
【點評】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，考查學生的運算能力，屬于中檔題．
x
（﹣∞，a）
a
（a，﹣2）
﹣2
（﹣2，+∞）
f'（x）
+
0
﹣
0
+
f（x）
單調(diào)遞增
f（a）
單調(diào)遞減
f（﹣2）
單調(diào)遞增
x
（﹣∞，﹣2）
﹣2
（﹣2，a）
a
（a，+∞）
f'（x）
+
0
﹣
0
+
f（x）
單調(diào)遞增
f（﹣2）
單調(diào)遞減
f（a）
單調(diào)遞增
x
0
（0，1）
1
（1，2）
2
（2，3）
3
f'（x）
+
0
﹣
0
+
f（x）
1
↑
極大值6
↓
極小值5
↑
10

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