江蘇省鹽城市五校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期第一次月考（3月）數(shù)學(xué)試題（含解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 在三棱柱中，為棱上點(diǎn)并且設(shè)，，，則（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)向量加法的三角形法則，將轉(zhuǎn)化為，再結(jié)合已知條件將用、、表示出來(lái)，進(jìn)而得出的表達(dá)式;
【詳解】
在三棱柱中，
，
故選：B.
2. 從集合中任取兩個(gè)不同數(shù)組成復(fù)數(shù)，其中虛數(shù)有（）
A. 14個(gè)B. 9個(gè)C. 12個(gè)D. 16個(gè)
【答案】D
【解析】
【分析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可.
【詳解】根據(jù)題意，若復(fù)數(shù)表示虛數(shù)，則；
第一步，從中任取一個(gè)數(shù)作為，共有4種方法；
第二步，在剩下4個(gè)數(shù)中任取一個(gè)作為，共有4種方法，
所以共有種.
故選：D.
3. 若，，則（）
A. 25B. C. D. 29
【答案】B
【解析】
【分析】先根據(jù)向量的加法、數(shù)乘運(yùn)算法則分別求出與的坐標(biāo)，再根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算直接計(jì)算即可.
【詳解】已知，，
所以，，
所以，
所以 .
故選：B.
4. 已知平面的一個(gè)法向量為，則軸與平面所成角的大小為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由線面的夾角公式求解即可；
【詳解】依題意軸的方向向量可以為，設(shè)軸與平面所成角為，則，因?yàn)?，所以?br>故選：A
5. 已知兩平面的法向量分別為，，則兩平面的夾角為（）
A. B. C. 或D.
【答案】A
【解析】
【分析】通過(guò)向量夾角公式求出兩平面法向量的夾角，再根據(jù)兩平面夾角與法向量夾角的關(guān)系求出兩平面的夾角.
【詳解】因?yàn)閮善矫娴姆ㄏ蛄糠謩e為，.
又，，
所以cs=m→?n→|m→||n→|=?11×2=22.
所以兩平面的夾角為.
故選：A.
6. 已知空間中三點(diǎn)，，，則以，為鄰邊的平行四邊形的面積為（）
A. B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出與的坐標(biāo)，再利用向量的數(shù)量積公式求出兩向量夾角的余弦值，進(jìn)而求出正弦值，最后根據(jù)平行四邊形面積公式求出面積.
【詳解】已知，，，根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算可得，.
根據(jù)向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算：可得.
根據(jù)向量模長(zhǎng)公式：可得，.
根據(jù)向量夾角公式可得.
因?yàn)?
根據(jù)平行四邊形面積公式，可得.
則鄰邊的平行四邊形的面積為.
故選：B.
7. 在正三棱錐中，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算，用表示，再用空間向量數(shù)量積運(yùn)算即可.
【詳解】根據(jù)題意可作圖，
因?yàn)辄c(diǎn)是棱的中點(diǎn)，所以,
因?yàn)?，所?
則,
由題意，都是等邊三角形，
所以，
故
故選：A.
8. 將邊長(zhǎng)為的正方形沿對(duì)角線折成直二面角，則下列結(jié)論不正確的是（）
A. B. 是等邊三角形
C. 點(diǎn)與平面的距離為D. 與所成的角為
【答案】D
【解析】
【分析】對(duì)于選項(xiàng)A：取的中點(diǎn)，連接.運(yùn)用正方形性質(zhì)和直線與平面垂直的判定定理，可得平面.再用直線與平面垂直的性質(zhì)，所以，判斷A.
對(duì)于選項(xiàng)B：已知正方形邊長(zhǎng)為，能得到.由于二面角是直的，且，運(yùn)用線面垂直性質(zhì)，結(jié)合用勾股定理算出，又，三邊相等，是等邊三角形. 判斷B.
對(duì)于選項(xiàng)C：運(yùn)用等體積法，先算出的體積，再算出的面積，根據(jù)體積公式就能求出. 判斷C.
對(duì)于選項(xiàng)D：建立坐標(biāo)系，得出、、、的坐標(biāo)，進(jìn)而得到向量、，用求向量夾角的方法算出余弦值，結(jié)合異面直線夾角范圍，可知夾角是，不是，判斷D.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，取的中點(diǎn)，連接.
因?yàn)檎叫?，所?br>又，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理，可得平面.
而平面，根據(jù)直線與平面垂直的性質(zhì)，所以，故選項(xiàng)A正確.
對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)檎叫芜呴L(zhǎng)為，所以.
由于二面角是直二面角，即平面平面，且，平面平面，
根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，可得平面，而平面，則.
在中，根據(jù)勾股定理，可得.
又，三邊相等，所以是等邊三角形，故選項(xiàng)B正確.
對(duì)于選項(xiàng)C，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為.
根據(jù)三棱錐體積公式，，，
所以..
由，即，解得，故選項(xiàng)C正確.
對(duì)于選項(xiàng)D，分別以所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系.
則，，，.，.
設(shè)與所成的角為，根據(jù)向量的夾角公式.
，，.
則，因?yàn)楫惷嬷本€所成角的范圍是，所以，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選：D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 在正方體中，能作為空間的一個(gè)基底的一組向量有（）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)空間中不共面的三個(gè)向量可以作為空間向量的一個(gè)基底，從而求解.
【詳解】由題意得：如下圖所示：

對(duì)于A項(xiàng)：，，不共面，能作為空間的一個(gè)基底,故A項(xiàng)正確；
對(duì)于B項(xiàng)：，所以：，，共面，不能作為空間的一個(gè)基底,故B項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C項(xiàng)：，，不共面，能作為空間的一個(gè)基底,故C項(xiàng)正確；
對(duì)于D項(xiàng)：，
所以：，，共面，不能作為空間的一個(gè)基底,故D項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：AC.
10. 現(xiàn)有個(gè)編號(hào)為，，，不同的球和個(gè)編號(hào)為，，，，的不同的盒子，把球全部放入盒子內(nèi)，則下列說(shuō)法正確的是（）
A. 共有種不同的放法
B. 恰有一個(gè)盒子不放球，共有種放法
C. 每個(gè)盒子只放一個(gè)球，恰有個(gè)盒子編號(hào)與球的編號(hào)相同，不同放法有種
D. 將個(gè)不同的球換成相同的球，恰有一個(gè)空盒的放法有種
【答案】BCD
【解析】
【分析】對(duì)A，按照分步乘法原理可計(jì)算；對(duì)B，從5個(gè)盒子中選出4個(gè)盒子的排列；對(duì)C，先選定兩個(gè)盒子的編號(hào)與球的編號(hào)相同的球，再考慮剩下的兩個(gè)球不放進(jìn)自己編號(hào)的盒子放法；對(duì)D，即考慮哪個(gè)盒子為空的放法.
【詳解】對(duì)于A，每個(gè)球都有5種放法，共有種放法，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，把球全部放入盒子內(nèi)，恰有一個(gè)盒子不放球，則有4個(gè)盒子每個(gè)盒子放1個(gè)球，有種放法，故B正確；
對(duì)于C，每個(gè)盒子內(nèi)只放一個(gè)球，恰有2個(gè)盒子的編號(hào)與球的編號(hào)相同，不同的放法有種放法，故C正確；
對(duì)于D，將4個(gè)不同的球換成相同的球，恰有一個(gè)空盒，即有4個(gè)盒子每個(gè)盒子放1個(gè)球的放法有5種，故D正確.
故選：BCD.
11. 如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，且點(diǎn)滿足，則下列說(shuō)法正確的是（）
A. 若平面，則最小值為
B. 若平面，則
C. 若，則到平面的距離為
D. 若，時(shí)，直線與平面所成角為，則
【答案】AD
【解析】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，可得到各點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)于A，求出平面的法向量，根據(jù)線面平行可得，再借助基本不等式即可得解；對(duì)于B，借助空間向量計(jì)算即可；對(duì)于C，利用點(diǎn)到平面距離公式計(jì)算即可；對(duì)于D，利用空間向量夾角公式計(jì)算即可.
【詳解】如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則有
，
則，，
對(duì)于A：
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，
令，則，故
因?yàn)?，平面?br>所以，得，
又因?yàn)?，所以?br>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值為，故A正確；
對(duì)于B：，則，
若平面，則有，即，
解得，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：若，則，
則到平面的距離為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：，當(dāng)，時(shí)，，
則
，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故，即，故D正確.
故選：AD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知空間中有三點(diǎn)，則A到直線的距離為_(kāi)_．
【答案】
【解析】
【分析】應(yīng)用向量法求點(diǎn)線距離即可.
【詳解】由題設(shè)，則A到直線的距離.
故答案為：
13. 用排列數(shù)表示且___．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)排列數(shù)公式確定已知式對(duì)應(yīng)的排列數(shù)即可.
【詳解】由，且都為正整數(shù)，
對(duì)于，有，，即排列數(shù)表示為.
故答案為：
14. 已知長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)為側(cè)面內(nèi)任一點(diǎn)（含邊界），且點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到面的距離相等，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，則三棱錐的體積的最大值為_(kāi)_________．
【答案】##
【解析】
【分析】構(gòu)建合適的空間直角坐標(biāo)系，若且，可得，再應(yīng)用向量法求到面的距離的最大值，最后應(yīng)用三棱錐的體積公式求最大體積.
【詳解】由題意，構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，
若且，則，整理得，
由，，是面的一個(gè)法向量，
則，取，則，
又，則到面的距離，
綜上，，故時(shí)，
顯然是邊長(zhǎng)為等邊三角形，故，
所以三棱錐的體積的最大值為.
故答案為：
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 有5名同學(xué)站成一排拍照．
（1）若甲乙必須站一起，則共有多少種不同的排法？
（2）若最左端只能排甲或乙，且最右端不能排甲，則共有多少種不同的排法？
【答案】（1）48 （2）42
【解析】
【分析】（1）捆綁法進(jìn)行求解；（2）分甲排左端和乙排左端兩種情況進(jìn)行求解，再求和即可.
【小問(wèn)1詳解】
將甲乙捆綁在一起，故方法數(shù)有種．
【小問(wèn)2詳解】
如果甲排左端，則方法數(shù)有種；
如果乙排左端，則方法數(shù)有種．
故總的方法數(shù)有種．
16. 如圖，正方體.
（1）用空間向量方法證明：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）構(gòu)建合適的空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量，根據(jù)及線面垂直的判定即可證結(jié)論；
（2）由（1）所得坐標(biāo)系，求得，應(yīng)用向量法求線面角的正弦值即可.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，以為原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖：
易知，
則，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，
令，則，即，又，即，
又平面，所以平面；
【小問(wèn)2詳解】
由（1）易知，則，
由（1）知平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)直線與平面所成的角為，
則，
即直線與平面所成角的正弦值為
17. 如圖，已知平行六面體.
（1）若，求的長(zhǎng)度；
（2）若，求與所成角的余弦值.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)條件，利用空間向量線性運(yùn)算、空間向量數(shù)量積的運(yùn)算及模長(zhǎng)的計(jì)算公式，即可求解；
（2）根據(jù)條件，先求出，，，再利用線線角的向量法，即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
由題知，又，
所以,
所以.
【小問(wèn)2詳解】
令，因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?br>，所以，
設(shè)與所成的角為，則，
即與所成角的余弦值為.
18. 如圖，在四棱錐中，平面平面，為的中點(diǎn)，，，，，．
（1）求到平面的距離；
（2）求直線與平面所成角的正弦值；
（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，說(shuō)明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）線段上存在點(diǎn)，是中點(diǎn)
【解析】
【分析】（1）作，以為原點(diǎn)，以，的方向分別為軸，軸的正方向，建立的空間直角坐標(biāo)系，先求出平面的法向量以及，再由公式即可求解.
（2）結(jié)合（1），再由向量夾角余弦值公式即可求解.
（3）“線段上存在點(diǎn)，使得平面”，則，而在第二問(wèn)中已經(jīng)求出，所以只需設(shè)，，待定系數(shù)即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)槠矫嫫矫?，，平面平面，所以平面?br>作，以為原點(diǎn)，以，的方向分別為軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則點(diǎn)，，，，，，
所以，，，
設(shè)平面的法向量為，
所以，即，，解得，
到平面的距離為
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知，平面的法向量為，
設(shè)直線與平面所成角為，
則直線與平面所成角的正弦值為：
n→>|=PE??n→PE??n→=48×14=77．
所以直線與平面所成角的正弦值為
【小問(wèn)3詳解】
“線段上存在點(diǎn)，使得平面”等價(jià)于“”．
因?yàn)椋O(shè)，，
則，．
由（2）知平面的法向量為，
所以．解得．
所以線段上存在點(diǎn)，即中點(diǎn)，使得平面．
19. 在空間直角坐標(biāo)系中，定義：過(guò)點(diǎn)，且方向向量為的直線的點(diǎn)方向式方程為；
過(guò)點(diǎn)，且法向量為的平面的點(diǎn)法向式方程為，將其整理為一般式方程為，其中．
（1）已知直線的點(diǎn)方向式方程為，平面的一般式方程為，求直線與平面所成角的余弦值；
（2）已知平面的一般式方程為，平面的一般式方程為，平面的一般式方程為，若，證明：；
（3）已知斜三棱柱中，側(cè)面所在平面經(jīng)過(guò)三點(diǎn)，側(cè)面所在平面的一般式方程為，側(cè)面所在平面的一般式方程為，求平面與平面夾角的余弦值．
【答案】（1）
（2）證明見(jiàn)解析（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給出結(jié)論，得到直線的方向向量和平面的法向量，利用空間向量求直線與平面所成的角的余弦值.
（2）求平面與交線的方向向量和平面的法向量，利用向量的方法，證明直線與平面平行.
（3）分別求平面與平面的法向量，利用空間向量求平面角的余弦值.
【小問(wèn)1詳解】
由直線的點(diǎn)方向式方程為可知直線的一個(gè)方向向量坐標(biāo)為
由平面的一般式方程為可知平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)直線與平面所成角為，
所以有，
所以，即直線與平面所成角的余弦值為．
【小問(wèn)2詳解】
由平面可知平面的一個(gè)法向量為，
由平面可知平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)兩平面交線的方向向量為，則，
令，則，可得，
由平面可知平面的一個(gè)法向量為，
因?yàn)?，即，且，所以?br>【小問(wèn)3詳解】
因平面經(jīng)過(guò)三點(diǎn)，可得，
設(shè)側(cè)面所在平面的法向量為
則，令，解得，可得，
由平面可知平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)平面與平面的交線（即直線）的方向向量為，
則，令，則，，可得，
由平面可知平面的一個(gè)法向量為，
由，則，解得，
即，
故平面與平面夾角的余弦值為
．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于理解題中給出的結(jié)論，并能利用結(jié)論解決問(wèn)題.

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