（總分150分 考試時間120分鐘）
注意事項：
1.本試卷中所有試題必須作答在答題紙上規(guī)定的位置，否則不給分.
2.答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答題紙上.
3.作答非選擇題時必須用黑色字跡0.5毫米簽字筆書寫在答題紙的指定位置上，作答選擇
題必須用2B鉛筆在答題紙上將對應(yīng)題目的選項涂黑.如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，請保持答題紙清潔，不折疊、不破損.
第Ⅰ卷（選擇題 共58分）
一、單項選擇題：（本大題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請在答題紙的指定位置填涂答案選項.）
1.求的值為（ ）
A.9B.18C.24D.30
2.已知空間四面體中，對空間內(nèi)任一點，滿足，則下列條件中能確定點，，，共面的是（ ）
A.B.C.D.
3.已知隨機變量服從兩點分布，若，則（ ）
A.0.6B.0.3C.0.2D.0.4
4.已知的展開式共有9項，則（ ）
A.6B.7C.8D.9
5.設(shè)為實數(shù)，若直線垂直于平面，且的方向向量為，平面的法向量為，則的值為（ ）
A.1B.2C.D.
6.從裝有4個紅球，2個白球的袋子中，不放回地依次抽取兩個小球，在第一次抽到白球的條件下，第二次抽到白球的概率為（ ）
A.B.C.D.
7.用4種不同的顏色給如圖所示的4塊區(qū)域上色，要求相鄰2塊涂不同的顏色，問有（ ）種不同的涂法？
A.24B.48C.96D.120
8.如圖，在棱長均為2的正四棱錐中，為棱的中點，則下列判斷正確的是（ ）
A.平面，且到平面的距離為
B.與平面不平行，且與平面所成角大于30°
C.與平面不平行，且與平面所成角小于30°
D.與平面不平行，且與平面所成角等于30°
二、多項選擇題：（本大題共3個小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分，請在答題紙的指定位置填涂答案選項.）
9.一個不透明箱子中有大小形狀均相同的兩個紅球、兩個白球，從中不放回地任取2個球，每次取1個.記事件為“第次取到的球是紅球（）”，事件為“兩次取到的球顏色相同”，事件為“兩次取到的球顏色不同”，則（ ）
A.與不互斥B.
C.D.與相互獨立
10.甲、乙、丙、丁、戊5人參加完某項活動后合影留念，則（ ）
A.甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有12種排法
B.5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左邊，共有48種排法
C.5人站成一排，甲不在兩端，共有72種排法
D.5人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有78種排法
11.在三棱錐中，已知，，點，分別是，的中點，則（ ）
A.
B.三棱錐的外接球的表面積為
C.異面直線，所成的角的余弦值是
D.三棱錐的體積為
第Ⅱ卷（非選擇題 共92分）
三、填空題：（本大題共3小題，每小題5分，計15分.不需要寫出解答過程，請把答案寫在答題紙的指定位置上.）
12.設(shè)離散型隨機變量滿足，則______.
13.設(shè)，則______.
14.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點，向量，平面，則點到平面的距離為______.
四、解答題：（本大題共5小題，共77分，請在答題紙指定的區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
15.（本小題滿分13分）已知向量，，.
（1）當(dāng)時，若向量與垂直，求實數(shù)的值；
（2）若向量與向量，共面，求實數(shù)的值.
16.（本小題滿分15分）把稱為的二項展開式所有項的二項式系數(shù)之和，其中是正整數(shù).
（1）若的所有項的二項式系數(shù)的和為64，求展開式的常數(shù)項；
（2）若展開式中第2項系數(shù)為12，求的展開式中的系數(shù).
17.（本小題滿分15分）（1）已知某中學(xué)召開會議，要求數(shù)學(xué)組的6名老師中至少有1人參加會議，問共有多少種不同的安排方法？（請用數(shù)字作答）
（2）已知某中學(xué)需要選派6名老師去甲、乙、丙三所學(xué)校支教，每名老師只能去一所學(xué)校.若甲校安排1名老師，乙校安排2名老師，丙校安排3名老師，問共有多少種不同的安排方法？（請用數(shù)字作答）
18.（本小題滿分17分）如圖，在四棱錐中，面面，，且，，，，，為的中點.
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值；
（3）在線段上是否存在一點，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
19.（本小題滿分17分）從甲、乙、丙、丁4人中隨機抽取3個人去做傳球訓(xùn)練.訓(xùn)練規(guī)則是確定一人第一次將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，每次必須將球傳出.
（1）記甲乙丙三人中被抽到的人數(shù)為隨機變量，求的分布列；
（2）若剛好抽到甲乙丙三個人相互做傳球訓(xùn)練，且第1次由甲將球傳出，記次傳球后球在甲手中的概率為，，
①直接寫出，，的值；
②求與的關(guān)系式（），并求（）.
2023/2024學(xué)年度第二學(xué)期
聯(lián)盟校期中考試高二年級數(shù)學(xué)試題參考答案
第Ⅰ卷
一、單選題
二、多選題
三、填空題
12. 13.15 14.
四、解答題
15.【解析】（1）因為，所以.即
，因為，所以，即
（2）因為向量與向量，共面，所以設(shè)（，）.
因為，
所以
所以實數(shù)的值為.
16.【解析】（1）
，令得
即
（2），則，即，所以的系數(shù)為
17.【解析】（1）
（2）
18、【解析】（1）過作，垂足為，則，
以為坐標(biāo)原點，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
如圖所示：
則，，，，
，，，，
設(shè)平面的一個法向量為
，，
則，令，解得：.
因為，所以
又平面，所以平面.
（2）設(shè)平面的一個法向量為，
因為,，
所以，令，解得.
所以.
即平面與平面所成銳二面角的余弦值
（3）假設(shè)線段上存在一點，設(shè)，，.
因為，所以
則
因為平面的一個法向量
所以，
整理得：，
所以，因為，所以.
所以存在，且
19.【解析】（1）可能取值為2、3，
，
所以隨機變量的分布列為：
（2）若剛好抽到甲乙丙三個人相互做傳球訓(xùn)練，且次傳球后球在甲手中的概率為，，
則有，，，
記表示事件“經(jīng)過次傳球后，球在甲手中”，
所以
即，，
所以，且
所以數(shù)列表示以為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以所以
即次傳球后球在甲手中的概率是.題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案
A
B
D
C
A
C
B
C
D
9
10
11
AD
ACD
ABC
2
3

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