注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級、考場號、座位號、考生號填寫在答題卡上．
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知隨機(jī)變量X，Y的組樣本觀測值都落在經(jīng)驗(yàn)回歸直線上，則隨機(jī)變量X，Y的樣本相關(guān)系數(shù)為（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)線性相關(guān)系數(shù)的意義分析求解即可.
【詳解】因?yàn)闃颖居^測值都在直線上，
則線性相關(guān)性最強(qiáng)，可知，
且，可知隨機(jī)變量X，Y滿足負(fù)相關(guān)，所以樣本相關(guān)系數(shù)為．
故選：D．
2. 雙曲線的漸近線方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】對于焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，其漸近線方程為.
【詳解】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，，
所以雙曲線的漸近線方程為.
故選：B.
3. 已知是等比數(shù)列，若，則的公比（ ）
A. 4B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)及基本量計(jì)算求解即可.
【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，，
所以，又，所以，則.
故選：B.
4. 已知矩形的邊所在直線的方程為，頂點(diǎn)，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由，求出邊所在直線方程，再聯(lián)立直線，組成的方程組，方程組的解即為頂點(diǎn)的坐標(biāo).
【詳解】因?yàn)?，邊所在直線的方程為，
設(shè)所在直線方程為，因?yàn)檫^，
所以，所以所在直線方程為，
由解得，即頂點(diǎn)的坐標(biāo)為.
故選：A.
5. 現(xiàn)有4個(gè)紅色教育基地和2個(gè)勞動(dòng)實(shí)踐基地，甲、乙兩人分別從這6個(gè)基地中各選取1個(gè)基地研學(xué)（每個(gè)基地均可重復(fù)選?。?，則在甲、乙兩人中至少一人選擇紅色教育基地研學(xué)的條件下，甲、乙兩人中一人選擇紅色教育基地研學(xué)、另一人選擇勞動(dòng)實(shí)踐基地研學(xué)的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)相應(yīng)事件，根據(jù)古典概型結(jié)合組合數(shù)求，進(jìn)而求條件概率.
詳解】由題意可知：甲、乙兩人從6個(gè)基地中各選一個(gè)進(jìn)行研學(xué)有（種）情況，
至少一人選擇紅色教育基地研學(xué)有（種）情況，
設(shè)“甲、乙兩人中至少一人選擇紅色教育基地研學(xué)”，則，
甲、乙兩人中一人選擇紅色教育基地研學(xué)、另一人選擇勞動(dòng)實(shí)踐基地研學(xué)，有（種）情況，
設(shè)“甲、乙兩人中一人選擇紅色教育基地研學(xué)、另一人選擇勞動(dòng)實(shí)踐基地研學(xué)”，則，
所以．
故選：C．
6. 若存在，使得直線與圓相切，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)直線與圓相切可得圓心到直線的距離等于半徑，即可得解.
【詳解】由圓可得，圓心，半徑，
由題意得，，則，
解得或.
故選：D.
7. 在正四棱柱中，分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)為上底面的中心，則直線與夾角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出向量的坐標(biāo)，根據(jù)向量夾角公式求解.
【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，
于是，
故直線與夾角的余弦值為.
故選：A.
8. 已知除以13所得余數(shù)為m，除以14所得余數(shù)為n，則（ ）
A. 1B. C. 13D. 14
【答案】C
【解析】
【分析】由，，結(jié)合二項(xiàng)式定理即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以除以13所得余數(shù)為1，則；
因?yàn)椋?br>所以除以14所得余數(shù)為13，則，因此．
故選：C
二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A.
B.
C.
D. 數(shù)列中有且僅有一個(gè)最小項(xiàng)
【答案】BC
【解析】
【分析】先根據(jù)已知條件列出關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程組，求解出和，再據(jù)此求出通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式，最后根據(jù)這些公式判斷各個(gè)選項(xiàng)的正確性.
【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，
由題意可知，解得錯(cuò)誤；
由上得正確；
由得，，C正確；
，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)或時(shí)，和的值均最小，D錯(cuò)誤.
故選：BC.
10. 已知隨機(jī)變量，，且，，則下列說法正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】應(yīng)用正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望及方差計(jì)算判斷A，根據(jù)正態(tài)分布對稱性計(jì)算判斷B，C，應(yīng)用正態(tài)分布方差判斷D.
【詳解】對于A選項(xiàng)，由得，，，則，A正確；
對于B選項(xiàng)，由，得，，
由正態(tài)分布的對稱性可知，B錯(cuò)誤；
對于C選項(xiàng)，由得，，C正確；
對于D選項(xiàng)，由于X與Y均服從正態(tài)分布，且，，
所以X的正態(tài)曲線較“矮胖”，隨機(jī)變量分布比較分散，Y的正態(tài)曲線較“高瘦”，隨機(jī)變量分布比較集中，因此，D正確．
故選：ACD．
11. 已知點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A. 曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱
B.
C. 的最小值為
D. 曲線與軸的非負(fù)半軸、直線所圍成區(qū)域的面積大于
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)坐標(biāo)特點(diǎn)即可判斷選項(xiàng)A，將曲線的方程配方即可判斷選項(xiàng)B，代入特殊值即可判斷選項(xiàng)C，根據(jù)的范圍，即可判斷選項(xiàng)D.
【詳解】將方程中的分別換為，
方程仍成立，則曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱，A正確；
方程化為，
所以，解得，B正確；
在方程中，令，解得，或，
當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，，C錯(cuò)誤；
曲線在第一象限上的最高點(diǎn)為，且經(jīng)過原點(diǎn)，
又，故時(shí)，，
所以曲線與軸的非負(fù)半軸，直線所圍成區(qū)域的面積，D正確.
故選：ABD
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知，向量，若，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，建立方程，可得答案.
【詳解】由得，，
解得，所以.
故答案為：.
13. 已知圓與圓的相交弦所在直線為，若與拋物線交于兩點(diǎn)，則__________.
【答案】5
【解析】
【分析】由圓與圓的方程相減可得直線的方程，進(jìn)而得到直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理及拋物線定義求解即可.
【詳解】由圓與圓的方程相減得，相交弦所在直線的方程為，
又知拋物線的焦點(diǎn)為，則直線經(jīng)過焦點(diǎn)，
設(shè)，
由，得，所以，
由拋物線定義可知，.
故答案為：5.
14. 數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則的前項(xiàng)和為__________（用含的式子表示）.
【答案】
【解析】
【分析】利用錯(cuò)位相減法即得.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，①
則，②
由①-②得，
，
故.
故答案為：
四、解答題：本大題共5個(gè)小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 為了解學(xué)生性別與掌握消防安全知識(shí)情況的關(guān)系，某校組織了消防安全知識(shí)測試，在高二年級中隨機(jī)抽取600名學(xué)生統(tǒng)計(jì)其測試成績，如下表（單位：人）：
（1）將上表中數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整；
（2）從該校高二年級的學(xué)生中有放回地隨機(jī)抽取2次，每次抽取1名學(xué)生，以頻率作為概率，估計(jì)這2次抽取的學(xué)生的測試成績?nèi)剂己玫母怕剩?br>（3）試問是否有99.9%的把握判斷消防安全知識(shí)測試成績與性別有關(guān)？
附：，．
【答案】（1）填表見解析
（2）
（3）有99.9%的把握判斷消防安全知識(shí)測試成績與性別有關(guān)
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知填寫表格即可；
（2）應(yīng)用獨(dú)立事件概率乘積公式計(jì)算即可；
（3）先計(jì)算，再與臨界值比較即可判斷相關(guān)性即可.
【小問1詳解】
【小問2詳解】該校高二年級600名學(xué)生中測試成績良好的頻率為，，
故估計(jì)這2次抽取的學(xué)生的測試成績?nèi)剂己玫母怕蕿椋?br>【小問3詳解】
根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算．
因?yàn)?，所以?9.9%的把握判斷消防安全知識(shí)測試成績與性別有關(guān)．
16. 如圖，四棱錐的底面為菱形，，且側(cè)面是邊長為2的等邊三角形，取的中點(diǎn)，連接.

（1）證明：平面；
（2）證明：為直角三角形；
（3）若，求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析；
（2）證明見解析； （3）.
【解析】
【分析】（1）因?yàn)闉榈冗吶切蔚倪叺闹悬c(diǎn)，所以，又四邊形為菱形，且，所以，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)即可證明；
（2）因?yàn)椋矫?，所以平面，所以，即可證明；
（3）由（1）可知，平面平面，所以可得為等邊三角形，取的中點(diǎn)，連接，則，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行于的直線為軸，直線分別為軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.
【小問1詳解】
證明：因?yàn)閭?cè)面是等邊三角形，為的中點(diǎn)，所以，
因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，且，所以?br>又，平面，平面，
所以平面.
【小問2詳解】
證明：因?yàn)椋矫?，所以平面?br>又平面，所以，
故為直角三角形.
【小問3詳解】
因?yàn)槠矫?，故由?）可知，
平面平面，易求，又，
所以為等邊三角形，
取的中點(diǎn)，連接，則，
因?yàn)闉槠矫媾c平面的交線，平面，
所以平面.
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行于的直線為軸，直線分別為軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，
則，，，
設(shè)平面法向量為，
由
取，得.
設(shè)直線與平面所成的角為，
則，
故直線與平面所成角的正弦值為.
17 已知正項(xiàng)數(shù)列中，.
（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)，證明：.
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）由遞推公式構(gòu)造得到即可求證；
（2）由（1）等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求解；
（3）由（2）得到，通過即可求證；
【小問1詳解】
由得，
，
則，
因?yàn)?，所以?br>又，故數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列.
【小問2詳解】
由（1）可知，，
故.
【小問3詳解】
由（2）得，，
當(dāng)時(shí)，，不等式成立；
當(dāng)時(shí)，，不等式成立；
當(dāng)時(shí)，，
所以
，
綜上可知，.
18. 已知橢圓的下焦點(diǎn)為，其離心率為.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（直線與坐標(biāo)軸不垂直），過作軸的垂線，垂足分別為，若直線與交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，列出的方程求解；
（2）設(shè)出直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，可得，求出直線與方程，求出交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，得證.
【小問1詳解】
由題意可知，，
解得，
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
【小問2詳解】
設(shè)直線的方程為，
，則，
由，得，且，
則，
易知直線與的斜率均存在，
則直線的方程為①，
直線的方程為②，
聯(lián)立①②消去得，
，
故點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值.
19. 某平臺(tái)統(tǒng)計(jì)了某地區(qū)一家新能源汽車銷售店2024年8月至2024年12月份每月的汽車銷售量Y（單位：萬輛），得到如下數(shù)據(jù)：
（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知，Y與X具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，求Y關(guān)于X的經(jīng)驗(yàn)回歸方程．
（2）該銷售店為了提高銷售量，2025年1月開展優(yōu)惠活動(dòng)月．該店設(shè)置了一個(gè)抽獎(jiǎng)箱，箱內(nèi)放有分別標(biāo)有字母A，B，C，D的4個(gè)小球，且小球的質(zhì)地、大小均相同．店家準(zhǔn)備了兩種摸球方案，每位客戶自主選擇一個(gè)方案抽獎(jiǎng)：
方案一：客戶從抽獎(jiǎng)箱內(nèi)隨機(jī)抽取1個(gè)小球，若小球標(biāo)有字母A，則獲得購車優(yōu)惠，抽獎(jiǎng)結(jié)束；否則，不能獲得優(yōu)惠，并將抽出的小球放回抽獎(jiǎng)箱內(nèi)，搖勻后繼續(xù)隨機(jī)抽取1個(gè)小球，且每位客戶至多抽取3次．
方案二：客戶從抽獎(jiǎng)箱內(nèi)有放回地抽取k（，）次，每次抽取1個(gè)小球，放回?fù)u勻后再進(jìn)行下一次抽取，若至少出現(xiàn)兩次小球標(biāo)有字母A或B，則獲得購車優(yōu)惠；否則，不能獲得優(yōu)惠．
（ⅰ）已知客戶甲選擇方案一抽獎(jiǎng)，設(shè)表示甲抽取小球的次數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；
（ⅱ）若客戶選擇方案二獲得購車優(yōu)惠的概率比方案一獲得購車優(yōu)惠的概率大，求k的最小值．
附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為，．
【答案】（1）
（2）（?。┓植剂幸娊馕?；期望為；（ⅱ）4
【解析】
【分析】（1）先計(jì)算，得出回歸方程；
（2）（?。┫葢?yīng)用獨(dú)立事件概率乘積求出概率，再寫出分布列計(jì)算數(shù)學(xué)期望即可；（ⅱ）先分別求出方案一及方案二概率再作商比較大小得出函數(shù)單調(diào)性即可求出參數(shù)的最小值.
【小問1詳解】
由表中數(shù)據(jù)可知，，
，
，
，所以，
則，
故Y關(guān)于X的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為．
【小問2詳解】
（?。┯深}意可知，的可能取值為1，2，3，
，，．
所以的分布列為
則．
（ⅱ）客戶從抽獎(jiǎng)箱內(nèi)隨機(jī)抽取1個(gè)小球，抽出標(biāo)有字母A或B的概率為，
客戶選擇方案一獲得購車優(yōu)惠的概率為，
客戶選擇方案二獲得購車優(yōu)惠的概率為，
由題意可知，，整理得．
令，，則，
所以數(shù)列遞減數(shù)列．
又，，故k的最小值為4．測試成績
性別
良好
不夠良好
總計(jì)
男生
150
300
女生
100
總計(jì)
350
600
0.100
0.010
0.001
2.706
6.635
10.828
測試成績
性別
良好
不夠良好
總計(jì)
男生
150
150
300
女生
200
100
300
總計(jì)
350
250
600
月份
8月
9月
10月
11月
12月
月份代碼X
1
2
3
4
5
銷售量Y
1
1.6
1.8
2.6
3
1
2
3
P

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