注意事項：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級、考場號、座位號、考生號填寫在答題卡上.
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 直線的傾斜角為（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)直線的方程可得出其傾斜角.
【詳解】因為直線，其中為常數(shù)，故直線的傾斜角為.
故選：A.
2. 在空間直角坐標(biāo)系中，點與點關(guān)于（ ）對稱
A. 平面B. 軸C. 平面D. 平面
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)點坐標(biāo)直接可得解.
【詳解】易得點與點關(guān)于平面對稱．
故選：C．
3. 在四面體中，，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量的加法、減法及數(shù)乘運算化簡即可逐項判斷得解.
【詳解】
在中，，在中，，
故
.
故選：A.
4. 已知，直線的方向向量與直線的方向向量共線，則這兩條直線之間的距離為（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)兩直線平行可得的值，再根據(jù)平行線之間的距離公式求解即可.
詳解】由題意可得，所以，解得，
故兩直線方程分別為，，
故這兩條平行線之間的距離為.
故選：B.
5. 已知雙曲線的對稱中心為坐標(biāo)原點的一個焦點為，若點分別在的兩條漸近線上，且滿足四邊形為正方形，則的離心率為（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)四邊形為正方形可得漸近線方程，即可求解離心率.
【詳解】由題意知四邊形為正方形，由于點分別在的兩條漸近線上，
可知的兩條漸近線互相垂直，故漸近線方程為，
所以該雙曲線的實半軸長和虛半軸長相等，即,
故雙曲線的離心率為．
故選：B．
6. 圓與圓的公共弦長為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出公共弦的方程，再利用垂徑定理求出弦長.
【詳解】兩圓方程作差可得兩圓交點所在的直線方程為，
又因為圓心到直線的距離，
故兩圓公共弦長為．
故選：C．
7. 某中學(xué)高二年級入學(xué)進行了一場為期一周的軍訓(xùn)，在軍訓(xùn)過程中，教官根據(jù)班級表現(xiàn)從各個維度進行評分，最終評出“先進集體”“作風(fēng)優(yōu)良班級”“紀(jì)律優(yōu)良班級”“素質(zhì)優(yōu)良班級”四個獎項．已知總共有三個班級獲獎，其中有兩個班級均獲得了“先進集體”，剩余三個獎項每個獎項均只有一個班級獲得，則所有的頒獎方式有（ ）
A. 57種B. 60種C. 114種D. 120種
【答案】A
【解析】
【分析】利用間接法，結(jié)合分步乘法計數(shù)原理可得解.
【詳解】設(shè)獲獎的三個班級分別為，，，首先分配“先進集體”獎，有（種）可能；
繼續(xù)分配“作風(fēng)優(yōu)良班級”“紀(jì)律優(yōu)良班級”“素質(zhì)優(yōu)良班級”這三個獎項，每個獎項分別有，，三種可能，于是有（種）可能，相乘一共有（種）可能，
其中一個班級一個獎項都不獲得，也就是分配“作風(fēng)優(yōu)良班級”“紀(jì)律優(yōu)良班級”“素質(zhì)優(yōu)良班級”這三個獎項時均分配到兩個獲得“先進集體”獎的班級，共有（種）可能；
兩者相減得所有的頒獎方式有（種）．
故選：A．
8. 對于次二項式，取，可以得到．類比此方法，可以求得（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】取分別賦值，作差后化簡即可得解.
【詳解】由題意可得，
令，得，
令，得，
兩式作差，可得，
故．
故選：B．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知，，這三條直線有唯一公共點，則實數(shù)的可能取值有（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】聯(lián)立直線與，可得兩直線交點坐標(biāo)，代入，可得解.
【詳解】由題意可得這三條直線交于同一點，聯(lián)立，
解得直線和直線的交點坐標(biāo)為，
把交點坐標(biāo)代入直線的方程可得，
解得或，
故選：AC．
10. 記，其二項展開式為，，則下列說法正確的是（ ）
A. 若的二項展開式中存在常數(shù)項，則一定是7的倍數(shù)
B. 若的二項展開式中存在常數(shù)項，則一定是6的倍數(shù)
C. 若是奇數(shù)，則的二項展開式中第項為系數(shù)最大的項
D. 若是偶數(shù)，則的二項展開式中第項為二項式系數(shù)最大的項
【答案】AD
【解析】
【分析】寫出的二項展開式的通項，根據(jù)選項分別研究指數(shù)，系數(shù)，二項式系數(shù)，然后判斷即可．
【詳解】若存在常數(shù)項，設(shè)第項為常數(shù)項，即為常數(shù)項，
所以是常數(shù)，即，即，
又因為為正整數(shù)，故一定是7的倍數(shù)，故A正確，B錯誤；
對于C，設(shè)，則，
二項展開式的第項為，其系數(shù)為，不能確定正負，故C錯誤；
對于D，設(shè)，則，
二項展開式的第項為，其二項式系數(shù)是最大的，故D正確．
故選：AD．
11. 如圖，在多面體中，是以角為直角的等腰直角三角形，，是等邊三角形，平面平面，是空間中的一點，滿足，則下列說法正確的是（ ）

A.
B. 在上的投影向量為
C. 直線上的點到直線的最短距離為2
D. 平面與平面所成角的余弦值為
【答案】BD
【解析】
【分析】取的中點為，連接，．因為是等邊三角形，可得，又平面平面，所以平面，建立空間直角坐標(biāo)系，再利用投影向量的定義，線線距離和面面夾角即可求得結(jié)果.
【詳解】取的中點為，連接，．因為是等邊三角形，所以，
因為平面平面，平面平面，所以平面，
因為是以角為直角的等腰直角三角形，所以，
故以點為坐標(biāo)原點，的方向分別為軸、軸、軸的正方向
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，
因為，
所以，故，
故A錯誤．
，，
故在上的投影向量為，故B正確．
因為，若直線上的點到直線的最短距離為2，
則是直線與直線的公垂線．連接，則，
則為等腰三角形，，不可能垂直，
故不是直線與直線的公垂線，故C錯誤．
設(shè)平面的法向量為，則，即
不妨令，則，，則，
易知平面的一個法向量為，
故平面與平面所成角余弦值為，故D正確．
故選：BD．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知空間向量，，則______．
【答案】
【解析】
【分析】先利用空間向量減法和乘法法則求出的坐標(biāo)，再計算其模即得答案.
【詳解】由題意可得，
故．
故答案為：.
13. ______．（用數(shù)字作答）
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)組合數(shù)的運算公式直接計算.
【詳解】，
故答案為：.
14. 已知橢圓的左、右焦點分別為，，圓與在第一象限內(nèi)交于點，直線與的另一個交點為，若，則直線的斜率為______．
【答案】##
【解析】
【詳解】由已知，可知圓是以為直徑的圓，
則，即，
設(shè)，則，由橢圓的定義可得，，
故，
而，故，
故，解得，
則，
故直線的斜率為，
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知圓經(jīng)過，，三點.
（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程，并說明的圓心坐標(biāo)與半徑；
（2）過點作圓的切線，且直線的斜率存在，求的一般式方程.
【答案】（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)圓的一般方程，代入三點坐標(biāo)，求出圓的一般方程，再化為標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）直線設(shè)點斜式方程，利用圓心到切線的距離等于半徑求解.
【小問1詳解】
由題意可設(shè)圓的一般方程為，
代入三點坐標(biāo)可得，解得，
所以圓的一般方程為，
則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
易得圓心為，半徑.
【小問2詳解】
因為過點的切線的斜率存在，
所以設(shè)切線的方程為，即，
則圓心到切線的距離，解得，
故的一般式方程為.
16. 在以為坐標(biāo)原點的平面直角坐標(biāo)系中，點在拋物線上，過點的直線交于兩點．
（1）求的準(zhǔn)線方程；
（2）求直線，的斜率之積．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）將點代入拋物線方程，求出得解；
（2）設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，求出，，得解.
【小問1詳解】
把點代入拋物線方程，可得，
解得或（舍去），
故拋物線的方程為，其準(zhǔn)線方程為．
【小問2詳解】
設(shè)，，直線的方程為，
聯(lián)立，可得，
則，
故，
故直線的斜率之積為．
17. 如圖，在四棱錐中，平面平面，，，點是線段的中點．
（1）求異面直線與所成角的余弦值；
（2）求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，即可建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角求解，
（2）求解平面法向量，即可利用向量的夾角求解.
【小問1詳解】
取的中點，連接．
因，所以．
因為平面平面，平面平面，平面，
故平面．
以為坐標(biāo)原點，的方向分別為軸、軸、軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A1,0,0，，，，，
故，，
故，
故異面直線與所成角的余弦值為．
【小問2詳解】
由（1）得，，
設(shè)平面的法向量為，則即
易知，令，則，即．
設(shè)直線與平面所成的角為，易得，
則，
故直線與平面所成角的正弦值為．
18. 現(xiàn)有體積均相同但質(zhì)量均不同的紅球個、白球個、黑球個，將這個小球放入恰好能容納個小球的圓柱形卡槽內(nèi)．
（1）若同種顏色的球必須相鄰，試問共有多少種不同的放法？
（2）若個白球互不相鄰，且質(zhì)量最大的白球不能放在卡槽的兩端，試問共有多少種不同的放法？
（3）若個紅球之間有且僅有白球和黑球各個，試問共有多少種不同的放法？
【答案】（1）；
（2）；
（3）；
【解析】
【分析】（1）利用捆綁法可得解；
（2）利用插空法結(jié)合特殊元素法可得解；
（3）根據(jù)特殊元素特殊位置法，結(jié)合捆綁法可得解.
【小問1詳解】
個紅球全排列有種方法，個白球全排列有種方法，個黑球全排列有種方法，
同種顏色的球捆綁在一起進行全排列有種方法，
所以共有種不同的放法；
【小問2詳解】
先排紅球和黑球，共有種方法，
且質(zhì)量最大的白球不在卡槽的兩端，則有種方法，
最后排剩余的個白球有種方法，
所以共有種不同的放法；
【小問3詳解】
兩個紅球的放法有種，
接著任選個白球、個黑球放入兩個紅球中間，有種方法，
再將這個小球捆綁在一起與剩余的個小球進行全排列有種，
所以共有種不同的放法.
19. 已知過點的直線與橢圓交于兩點．當(dāng)直線垂直于軸時，．
（1）求的方程．
（2）探究是否存在實數(shù)，使得為定值．若存在，求出該定值；若不存在，說明理由．
【答案】（1）
（2）存在，定值為
【解析】
【分析】（1）將時，用表示縱坐標(biāo)，再由解出即可；
（2）設(shè)出直線的方程為，用韋達定理表示出，若為定值，則結(jié)果要與無關(guān)，從而求出實數(shù)．
【小問1詳解】
將代入的方程，得，即，
所以，解得，
所以橢圓的方程為．
【小問2詳解】
存．
①當(dāng)不垂直于軸時，設(shè)直線的方程為，Ax1,y1，Bx2,y2，
聯(lián)立得，
所以，，
又，，
所以，
所以，
若為定值，則，解得，
代入得；
②當(dāng)垂直于軸時，由①知，不妨令，，有．
綜上所述，存在使得為定值．
【點睛】定值問題需要找到變化的量，如本題的，用表示出目標(biāo)代數(shù)式，若為定值，則需與無關(guān)（消去，沒有），從而求解．

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