一、解答題
1．（2023·河南·統(tǒng)考中考真題）綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組用木板自制了一個(gè)測(cè)高儀測(cè)量樹高，測(cè)高儀為正方形，，頂點(diǎn)A處掛了一個(gè)鉛錘M．如圖是測(cè)量樹高的示意圖，測(cè)高儀上的點(diǎn)D，A與樹頂E在一條直線上，鉛垂線交于點(diǎn)H．經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)A距地面，到樹的距離，．求樹的高度（結(jié)果精確到）．
【答案】樹的高度為
【分析】由題意可知，，，易知，可得，進(jìn)而求得，利用即可求解．
【詳解】解：由題意可知，，，
則，
∴，
∵，，
則，
∴，
∵，則，
∴，
∴，
答：樹的高度為．
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，得到是解決問題的關(guān)鍵．
2．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）渝昆高速鐵路的建成，將會(huì)顯著提升宜賓的交通地位．渝昆高速鐵路宜賓臨港長(zhǎng)江公鐵兩用大橋（如圖），橋面采用國(guó)內(nèi)首創(chuàng)的公鐵平層設(shè)計(jì)．為測(cè)量左橋墩底到橋面的距離，如圖．在橋面上點(diǎn)處，測(cè)得到左橋墩的距離米，左橋墩所在塔頂?shù)难鼋?，左橋墩底的俯角，求的長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到米．參考數(shù)據(jù)：，）

【答案】的長(zhǎng)度米
【分析】上截取，使得，設(shè)，在中，，，則，進(jìn)而即可求解．
【詳解】解：如圖所示，上截取，使得，

∴，
∵
∴，
設(shè)，在中，，
∴
又
∴
∴
即米
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）暑假期間，小明與小亮相約到某旅游風(fēng)景區(qū)登山，需要登頂高的山峰，由山底A處先步行到達(dá)處，再由處乘坐登山纜車到達(dá)山頂處．已知點(diǎn)A，B．D，E，F(xiàn)在同一平面內(nèi)，山坡的坡角為，纜車行駛路線與水平面的夾角為（換乘登山纜車的時(shí)間忽略不計(jì)）

(1)求登山纜車上升的高度；
(2)若步行速度為，登山纜車的速度為，求從山底A處到達(dá)山頂處大約需要多少分鐘（結(jié)果精確到）
（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】(1)登山纜車上升的高度
(2)從山底A處到達(dá)山頂處大約需要
【分析】（1）過B點(diǎn)作于C，于E，則四邊形是矩形，在中，利用含30度的直角三角形的性質(zhì)求得的長(zhǎng)，據(jù)此求解即可；
（2）在中，求得的長(zhǎng)，再計(jì)算得出答案．
【詳解】（1）解：如圖，過B點(diǎn)作于C，于E，則四邊形是矩形，
在中，，，
∴，
∴，
答：登山纜車上升的高度；
（2）解：在中，，，
∴，
∴從山底A處到達(dá)山頂處大約需要：
，
答：從山底A處到達(dá)山頂處大約需要.
【點(diǎn)睛】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確掌握直角三角形的邊角關(guān)系是解題關(guān)鍵．
4．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）如圖1是我國(guó)第一個(gè)以“龍”為主題的主題公園——“蘭州龍?jiān)础保疤m州龍?jiān)础钡摹褒垺弊种黝}雕塑以紫銅鑄造，如巨龍騰空，氣勢(shì)如虹，屹立在黃河北岸．某數(shù)學(xué)興趣小組開展了測(cè)量“龍”字雕塑CD高度的實(shí)踐活動(dòng)．具體過程如下：如圖2，“龍”字雕塑CD位于垂直地面的基座BC上，在平行于水平地面的A處測(cè)得、，．求“龍”字雕塑的高度．（B，C，D三點(diǎn)共線，．結(jié)果精確到0.1m）（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）

【答案】“龍”字雕塑的高度為．
【分析】在和中，分別求得和的長(zhǎng)，據(jù)此求解即可.
【詳解】解：在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴,
答：“龍”字雕塑的高度為．
【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
5．（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東方向，距離燈塔的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東方向上的B處．這時(shí)，B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)（結(jié)果取整數(shù)）？（參考數(shù)據(jù)：．）

【答案】B處距離燈塔P大約有．
【分析】在中，求出的長(zhǎng)，再在中，求出即可．
【詳解】解：設(shè)與燈塔P的正東方向相交于點(diǎn)C，
根據(jù)題意，得，，；
在中，
∵，
∴；
在中，，
∵，
∴，
答：B處距離燈塔P大約有．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用－方向角問題，結(jié)合航海中的實(shí)際問題，將解直角三角形的相關(guān)知識(shí)有機(jī)結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際生活的思想．
6．（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）為了防洪需要，某地決定新建一座攔水壩，如圖，攔水壩的橫斷面為梯形，斜面坡度是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比．已知斜坡長(zhǎng)度為20米，，求斜坡的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到米）（參考數(shù)據(jù)：）

【答案】斜坡的長(zhǎng)約為10米
【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，利用正弦函數(shù)求得，在中，利用勾股定理即可求解．
【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形是矩形，
在中，，
．
∴．
∵，
∴在中，（米）．
答：斜坡的長(zhǎng)約為10米．
【點(diǎn)睛】此題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，掌握坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
7．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）“游張家界山水，逛七十二奇樓”成為今年旅游新特色．某數(shù)學(xué)興趣小組用無(wú)人機(jī)測(cè)量奇樓的高度，測(cè)量方案如圖：先將無(wú)人機(jī)垂直上升至距水平地面225m的P點(diǎn)，測(cè)得奇樓頂端A的俯角為，再將無(wú)人機(jī)沿水平方向飛行200m到達(dá)點(diǎn)Q，測(cè)得奇樓底端B的俯角為，求奇樓的高度．（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：，，）

【答案】
【分析】延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，根據(jù)題意得出，，再由等腰直角三角形得出，然后解直角三角形即可．
【詳解】解：延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，
則

由題意得，，，
在中，，
則
∴，
在中，，
解得，
∴奇樓的高度約為．
【點(diǎn)睛】題目主要考查解三角形的應(yīng)用，理解題意，作出輔助線是解題關(guān)鍵．
8．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）如圖所示是消防員攀爬云梯到小明家的場(chǎng)景．已知，，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的仰角為，則樓的高度為多少？（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：）

【答案】樓的高度為
【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，依題意可得，在，根據(jù)，求得，進(jìn)而根據(jù)，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，

∵，
∴
在中，，，
∵，
∴
∴，
答：樓的高度為．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
9．（2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）2023年5月30日，神舟十六號(hào)載人飛船發(fā)射取得圓滿成功，3名航天員順利進(jìn)駐中國(guó)空間站，如圖中的照片展示了中國(guó)空間站上機(jī)械臂的一種工作狀態(tài)，當(dāng)兩臂，兩臂夾角時(shí)，求A，B兩點(diǎn)間的距離．(結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)，，)

【答案】
【分析】連接，作作于D，由等腰三角形“三線合一”性質(zhì)可知，，，在中利用求出，繼而求出即可．
【詳解】解：連接，作于D，

∵，，
∴是邊邊上的中線，也是的角平分線，
∴，，
在中，，，
∴，
∴
∴
答：A，B兩點(diǎn)間的距離為．
【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角的性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用等知識(shí)，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
10．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）我國(guó)航天事業(yè)捷報(bào)頻傳，2023年5月30日，被譽(yù)為“神箭”的長(zhǎng)征二號(hào)F運(yùn)載火箭托舉神舟十六號(hào)載人飛船躍入蒼穹中國(guó)空間站應(yīng)用與發(fā)展階段首次載人發(fā)射任務(wù)取得圓滿成功，如圖（九），有一枚運(yùn)載火箭從地面處發(fā)射，當(dāng)火箭到達(dá)處時(shí)，地面處的雷達(dá)站測(cè)得距離是，仰角為．，火箭直線到達(dá)處，此時(shí)地面處雷達(dá)站測(cè)得處的仰角為．求火箭從到處的平均速度（結(jié)果精確到）．（參考數(shù)據(jù)：）

【答案】火箭從到處的平均速度為
【分析】根據(jù)題意得出，，，，分別解，，求得，進(jìn)而根據(jù)路程除以時(shí)間即可求解．
【詳解】解：依題意，得，，，，
在中，，
，
在中，，
∴，
∴火箭從到處的平均速度為，
答：火箭從到處的平均速度為．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
11．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）圖1是某款籃球架，圖2是其示意圖，立柱垂直地面，支架與交于點(diǎn)，支架交于點(diǎn)，支架平行地面，籃筺與支架在同一直線上，米，米，．

(1)求的度數(shù)．
(2)某運(yùn)動(dòng)員準(zhǔn)備給籃筐掛上籃網(wǎng)，如果他站在発子上，最高可以把籃網(wǎng)掛到離地面米處，那么他能掛上籃網(wǎng)嗎？請(qǐng)通過計(jì)算說明理由．（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】(1)
(2)該運(yùn)動(dòng)員能掛上籃網(wǎng)，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余即可求解；
（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，根據(jù)題意得出，解，求得，根據(jù)與比較即可求解．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴．
（2）該運(yùn)動(dòng)員能掛上籃網(wǎng)，理由如下．
如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，

∵，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
∴，
∴該運(yùn)動(dòng)員能掛上籃網(wǎng)．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，直角三角形的兩個(gè)銳角互余，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
12．（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考中考真題）教室里的投影儀投影時(shí)，可以把投影光線，及在黑板上的投影圖像高度抽象成如圖所示的，．黑板上投影圖像的高度，與的夾角，求的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到1cm．參考數(shù)據(jù)：，，）

【答案】的長(zhǎng)約為
【分析】在中，由，再代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：在中，，，，
∴
．
∴的長(zhǎng)約為．
【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，熟練的利用銳角的正切求解直角三角形的邊長(zhǎng)是解本題的關(guān)鍵．
13．（2023·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）為弘揚(yáng)革命傳統(tǒng)精神，清明期間，某校組織學(xué)生前往懷化市烈士陵園緬懷革命先烈．大家被革命烈士紀(jì)念碑的雄偉壯觀震撼，想知道紀(jì)念碑的通高（碑頂?shù)剿降孛娴木嚯x），于是師生組成綜合實(shí)踐小組進(jìn)行測(cè)量．他們?cè)诘孛娴狞c(diǎn)用測(cè)角儀測(cè)得碑頂?shù)难鼋菫?，在點(diǎn)處測(cè)得碑頂?shù)难鼋菫?，已知，測(cè)角儀的高度是（、、在同一直線上），根據(jù)以上數(shù)據(jù)求烈士紀(jì)念碑的通高．（，結(jié)果保留一位小數(shù)）

【答案】烈士紀(jì)念碑的通高約為米
【分析】根據(jù)題意，四邊形是矩形，米，米，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得出，，等角對(duì)等邊得出，進(jìn)而解，求得，最后根據(jù)，即可求解．
【詳解】解：依題意，四邊形是矩形，米，米，
∵
∴
∴，
∴米，
在中，
∴米
∴米
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
14．（2023·新疆·統(tǒng)考中考真題）烽燧即烽火臺(tái)，是古代軍情報(bào)警的一種措施，史冊(cè)記載，夜間舉火稱“烽”，白天放煙稱“燧”．克孜爾尕哈烽燧是古絲綢之路北道上新疆境內(nèi)時(shí)代最早、保存最完好、規(guī)模最大的古代烽燧（如圖1）．某數(shù)學(xué)興趣小組利用無(wú)人機(jī)測(cè)量該烽燧的高度，如圖2，無(wú)人機(jī)飛至距地面高度米的A處，測(cè)得烽燧的頂部C處的俯角為，測(cè)得烽燧的底部B處的俯角為，試根據(jù)提供的數(shù)據(jù)計(jì)算烽燧的高度．（參數(shù)據(jù)：，，，，，）

【答案】米
【分析】過點(diǎn)A作的平行線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，過點(diǎn)C作，根據(jù)題意得出邊形為矩形，，再由正切函數(shù)求解即可．
【詳解】解：過點(diǎn)A作的平行線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，過點(diǎn)C作，如圖所示：

根據(jù)題意得：四邊形為矩形，，
∴，
∴，
∵，
∴米，
∴米．
【點(diǎn)睛】題目主要考查解三角形的應(yīng)用，理解題意，結(jié)合圖形求解是解題關(guān)鍵．
15．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）某實(shí)踐探究小組想測(cè)得湖邊兩處的距離，數(shù)據(jù)勘測(cè)組通過勘測(cè)，得到了如下記錄表：
數(shù)據(jù)處理組得到上面數(shù)據(jù)以后做了認(rèn)真分析．他們發(fā)現(xiàn)不需要勘測(cè)組的全部數(shù)據(jù)就可以計(jì)算出A、B之間的距離．于是數(shù)據(jù)處理組寫出了以下過程，請(qǐng)補(bǔ)全內(nèi)容．
已知：如圖，在中，．_________．（從記錄表中再選一個(gè)條件填入橫線）

求：線段的長(zhǎng)．（為減小結(jié)果的誤差，若有需要，取，取，取進(jìn)行計(jì)算，最后結(jié)果保留整數(shù)．）
【答案】米，線段的約長(zhǎng)為77米；米，線段的約長(zhǎng)為77米
【分析】填入數(shù)據(jù)米．作于點(diǎn)D，在和中，解直角三角形即可求解．
【詳解】（1）當(dāng)填入米時(shí)：
已知：如圖，在中，．米．（從記錄表中再選一個(gè)條件填入橫線）

求：線段的長(zhǎng)．
解：作于點(diǎn)D，

在中，，，
∴，，
在中，，，
∴，
∴，
∴(米)，
答：線段的約長(zhǎng)為77米．
（2）當(dāng)填入米時(shí)：
已知：如圖，在中，．米．（從記錄表中再選一個(gè)條件填入橫線）

求：線段的長(zhǎng)．
解：作于點(diǎn)D，

在中，，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴(米)，
答：線段的約長(zhǎng)為77米．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-其他問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
16．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）為建設(shè)美好公園社區(qū)，增強(qiáng)民眾生活幸福感，某社區(qū)服務(wù)中心在文化活動(dòng)室墻外安裝避陽(yáng)篷，便于社區(qū)居民休憩．如圖，在側(cè)面示意圖中，遮陽(yáng)篷長(zhǎng)為米，與水平面的夾角為，且靠墻端離地高為米，當(dāng)太陽(yáng)光線與地面的夾角為時(shí)，求陰影的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到米；參考數(shù)據(jù)：）

【答案】米
【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則四邊形是矩形，在中，求得，進(jìn)而求得，根據(jù)，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則四邊形是矩形，

依題意， ，（米）
在中，（米），（米），則（米）
∵（米）
∴（米）
∵，
∴（米）
∴（米）．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
17．（2023·貴州·統(tǒng)考中考真題）貴州旅游資源豐富．某景區(qū)為給游客提供更好的游覽體驗(yàn)，擬在如圖①景區(qū)內(nèi)修建觀光索道．設(shè)計(jì)示意圖如圖②所示，以山腳為起點(diǎn)，沿途修建、兩段長(zhǎng)度相等的觀光索道，最終到達(dá)山頂處，中途設(shè)計(jì)了一段與平行的觀光平臺(tái)為．索道與的夾角為，與水平線夾角為，兩處的水平距離為，，垂足為點(diǎn)．（圖中所有點(diǎn)都在同一平面內(nèi)，點(diǎn)在同一水平線上）

(1)求索道的長(zhǎng)（結(jié)果精確到）；
(2)求水平距離的長(zhǎng)（結(jié)果精確到）．
（參考數(shù)據(jù)：，，，）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)的余玄直接求解即可得到答案；
（2）根據(jù)、兩段長(zhǎng)度相等及與水平線夾角為求出C到的距離即可得到答案；
【詳解】（1）解：∵兩處的水平距離為，索道與的夾角為，
∴；
（2）解：∵、兩段長(zhǎng)度相等，與水平線夾角為，
∴，，
∴；

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形解決實(shí)際應(yīng)用題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握幾種三角函數(shù)．
18．（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）鄂州市蓮花山是國(guó)家級(jí)風(fēng)景區(qū)，元明塔造型獨(dú)特，是蓮花山風(fēng)景區(qū)的核心景點(diǎn)，深受全國(guó)各地旅游愛好者的青睞．今年端午節(jié)，景區(qū)將舉行大型包粽子等節(jié)日慶祝活動(dòng)．如圖2，景區(qū)工作人員小明準(zhǔn)備從元明塔的點(diǎn)G處掛一條大型豎直條幅到點(diǎn)E處，掛好后，小明進(jìn)行實(shí)地測(cè)量，從元明塔底部F點(diǎn)沿水平方向步行30米到達(dá)自動(dòng)扶梯底端A點(diǎn)，在A點(diǎn)用儀器測(cè)得條幅下端E的仰角為；接著他沿自動(dòng)扶梯到達(dá)扶梯頂端D點(diǎn)，測(cè)得點(diǎn)A和點(diǎn)D的水平距離為15米，且；然后他從D點(diǎn)又沿水平方向行走了45米到達(dá)C點(diǎn)，在C點(diǎn)測(cè)得條幅上端G的仰角為．（圖上各點(diǎn)均在同一個(gè)平面內(nèi)，且G，C，B共線，F(xiàn)，A，B共線，G、E、F共線，，）．

(1)求自動(dòng)扶梯的長(zhǎng)度；
(2)求大型條幅的長(zhǎng)度．（結(jié)果保留根號(hào)）
【答案】(1)25米
(2)米
【分析】（1）過D作于M，由可得，求出的長(zhǎng)，利用勾股定理即可求解；
（2）過點(diǎn)D作于N，則四邊形是矩形，得，，由已知計(jì)算得出的長(zhǎng)度，解直角三角形得出的長(zhǎng)度，在中求得的長(zhǎng)度，利用線段的和差，即可解決問題．
【詳解】（1）解：過D作于M，如圖：

在中，，
∵(米)，
∴(米)，
由勾股定理得(米)
（2）如圖，過點(diǎn)D作于N，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴(米)，(米)，
由題意，(米)，
∵，
∴，
∴(米)，（米），
由題意，，(米)，
∴，
∴(米)，
∴米
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用一仰角俯角問題、勾股定理、矩形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
19．（2023·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）一艘船由A港沿北偏東60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，則A，C兩港之間的距離為多少km？
【答案】50
【分析】根據(jù)題意畫出圖形，易證是直角三角形，利用勾股定理即可求解．
【詳解】如圖，根據(jù)題意，得，，，，

∵
∴
∴
∴在中，
即A，C兩港之間的距離為50 km．
【點(diǎn)睛】本題考查方位角，勾股定理，根據(jù)題意畫出圖形，證明是直角三角形是解題的關(guān)鍵．
20．（2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）超速容易造成交通事故．高速公路管理部門在某隧道內(nèi)的兩處安裝了測(cè)速儀，該段隧道的截面示意圖如圖所示，圖中所有點(diǎn)都在同一平面內(nèi)，且在同一直線上．點(diǎn)、點(diǎn)到的距離分別為，且，在處測(cè)得點(diǎn)的俯角為，在處測(cè)得點(diǎn)的俯角為，小型汽車從點(diǎn)行駛到點(diǎn)所用時(shí)間為．

(1)求兩點(diǎn)之間的距離（結(jié)果精確到）；
(2)若該隧道限速80千米/小時(shí)，判斷小型汽車從點(diǎn)行駛到點(diǎn)是否超速？并通過計(jì)算說明理由．（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】(1)
(2)小型汽車從點(diǎn)行駛到點(diǎn)沒有超速
【分析】（1）證明四邊形為矩形，可得，結(jié)合，，，可得，，再利用線段的和差關(guān)系可得答案；
（2）先計(jì)算小型汽車的速度，再統(tǒng)一單位后進(jìn)行比較即可．
【詳解】（1）解：∵點(diǎn)、點(diǎn)到的距離分別為，
∴，，而，
∴，
∴四邊形為矩形，
∴，
由題意可得：，，，
∴，，
∴
（2）∵小型汽車從點(diǎn)行駛到點(diǎn)所用時(shí)間為．
∴汽車速度為，
∵該隧道限速80千米/小時(shí)，
∴，
∵，
∴小型汽車從點(diǎn)行駛到點(diǎn)沒有超速．
【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，理解俯角的含義，熟練的運(yùn)用銳角三角函數(shù)解題是關(guān)鍵．
21．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）為了增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)、錘煉學(xué)生意志，某校組織一次定向越野拉練活動(dòng)．如圖，A點(diǎn)為出發(fā)點(diǎn)，途中設(shè)置兩個(gè)檢查點(diǎn)，分別為點(diǎn)和點(diǎn)，行進(jìn)路線為．點(diǎn)在點(diǎn)的南偏東方向處，點(diǎn)在A點(diǎn)的北偏東方向，行進(jìn)路線和所在直線的夾角為．

(1)求行進(jìn)路線和所在直線的夾角的度數(shù)；
(2)求檢查點(diǎn)和之間的距離（結(jié)果保留根號(hào)）．
【答案】(1)行進(jìn)路線和所在直線的夾角為
(2)檢查點(diǎn)和之間的距離為
【分析】（1）根據(jù)題意得，，，再由各角之間的關(guān)系求解即可；
（2）過點(diǎn)A作，垂足為，由等角對(duì)等邊得出，再由正弦函數(shù)及正切函數(shù)求解即可．
【詳解】（1）解：如圖，根據(jù)題意得，，，
，
．
在中，，
．
答：行進(jìn)路線和所在直線的夾角為．
（2）過點(diǎn)A作，垂足為．

，
，
．
,
在中，
，
．
,
在中，，
，
．
答：檢查點(diǎn)和之間的距離為．
【點(diǎn)睛】題目主要考查解三角形的應(yīng)用，理解題意，作出相應(yīng)輔助線求解是解題關(guān)鍵．
22．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）今年“五一”長(zhǎng)假期間，小陳、小余同學(xué)和家長(zhǎng)去沙灘公園游玩，坐在如圖的椅子上休息時(shí)，小陳感覺很舒服，激發(fā)了她對(duì)這把椅子的好奇心，就想出個(gè)問題考考同學(xué)小余，小陳同學(xué)先測(cè)量，根據(jù)測(cè)量結(jié)果畫出了圖1的示意圖（圖2）．在圖2中，已知四邊形是平行四邊形，座板與地面平行，是等腰三角形且，，靠背，支架，扶手的一部分．這時(shí)她問小余同學(xué)，你能算出靠背頂端點(diǎn)距地面（）的高度是多少嗎？請(qǐng)你幫小余同學(xué)算出結(jié)果（最后結(jié)果保留一位小數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：，，）

【答案】
【分析】方法一：過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，由平行四邊形的性質(zhì)可得，進(jìn)而求得，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，進(jìn)而求得，過作于點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形三線合一可得，進(jìn)而求得，利用求解即可；
方法二：過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形三線合一可得，進(jìn)而求得，，過作于，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，進(jìn)而求得，根據(jù)求解即可．
【詳解】解：方法一：
過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，

四邊形是平行四邊形，，
，
，
過點(diǎn)作于點(diǎn)，
由題意知，，
，
又，
，
過作于點(diǎn)，
，，
,
，
靠背頂端點(diǎn)距地面高度為
；
方法二：
如圖，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，

，，
，
又，
，
，
，
過作于，
由題意知，，
，
又，
，
靠背頂端點(diǎn)距地面高度為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，正確作出輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
23．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）無(wú)人機(jī)在實(shí)際生活中的應(yīng)用廣泛，如圖所示，某人利用無(wú)人機(jī)測(cè)最大樓的高度，無(wú)人機(jī)在空中點(diǎn)P處，測(cè)得點(diǎn)P距地面上A點(diǎn)80米，點(diǎn)A處俯角為，樓頂C點(diǎn)處的俯角為，已知點(diǎn)A與大樓的距離為70米（點(diǎn)A，B，C，P在同一平面內(nèi)），求大樓的高度（結(jié)果保留根號(hào)）

【答案】大樓的高度為．
【分析】如圖，過作于，過作于，而，則四邊形是矩形，可得，，求解，，可得，，可得．
【詳解】解：如圖，過作于，過作于，而，

則四邊形是矩形，
∴，，
由題意可得：，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴大樓的高度為．
【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的判定與性質(zhì)，解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，理解仰角與俯角的含義是解本題的關(guān)鍵．
24．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）人工海產(chǎn)養(yǎng)殖合作社安排甲、乙兩組人員分別前往海面A，B養(yǎng)殖場(chǎng)捕撈海產(chǎn)品，經(jīng)測(cè)量，A在燈塔C的南偏西方向，B在燈塔C的南偏東方向，且在A的正東方向，米．

(1)求B養(yǎng)殖場(chǎng)與燈塔C的距離（結(jié)果精確到個(gè)位）；
(2)甲組完成捕撈后，乙組還未完成捕撈，甲組決定前往B處協(xié)助捕撈，若甲組航行的平均速度為600米/每分鐘，請(qǐng)計(jì)算說明甲組能否在9分鐘內(nèi)到達(dá)B處？（參考數(shù)據(jù)：，）
【答案】(1)2545米
(2)能，說明過程見解析
【分析】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，先根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定可得米，再解直角三角形即可得；
（2）先解直角三角形求出的長(zhǎng)，從而可得的長(zhǎng)，再根據(jù)時(shí)間等于路程除以速度即可得．
【詳解】（1）解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

由題意得：，
，
米，
米，
答：養(yǎng)殖場(chǎng)與燈塔的距離為2545米．
（2）解：米，
米，
則甲組到達(dá)處所需時(shí)間為（分鐘）分鐘，
所以甲組能在9分鐘內(nèi)到達(dá)處．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握解直角三角形的方法是解題關(guān)鍵．
25．（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）東昌湖西岸的明珠大劇院，隔湖與遠(yuǎn)處的角樓、城門樓、龍堤、南關(guān)橋等景觀遙相呼應(yīng)．如圖所示，城門樓B在角樓A的正東方向處，南關(guān)橋C在城門樓B的正南方向處．在明珠大劇院P測(cè)得角樓A在北偏東方向，南關(guān)橋C在南偏東方向（點(diǎn)A，B，C，P四點(diǎn)在同一平面內(nèi)）．求明珠大劇院到龍堤的距離（結(jié)果精確到）．
（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）

【答案】明珠大劇院到龍堤的距離為．
【分析】如圖，首先證明四邊形是矩形，可得，，然后解直角三角形求出，，進(jìn)而得出關(guān)于的方程，求出即可解決問題．
【詳解】解：如圖，由題意得，，，，，，，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，
∴，即，
∵，，
∴，
解得：，
∴，
答：明珠大劇院到龍堤的距離為．

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，矩形的判定和性質(zhì)，正確理解銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
26．（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）“一縷清風(fēng)銀葉轉(zhuǎn)”，某市20臺(tái)風(fēng)機(jī)依次矗立在云遮霧繞的山脊之上，風(fēng)葉轉(zhuǎn)動(dòng)，風(fēng)能就能轉(zhuǎn)換成電能，造福千家萬(wàn)戶．某中學(xué)初三數(shù)學(xué)興趣小組，為測(cè)量風(fēng)葉的長(zhǎng)度進(jìn)行了實(shí)地測(cè)量．如圖，三片風(fēng)葉兩兩所成的角為，當(dāng)其中一片風(fēng)葉與塔干疊合時(shí)，在與塔底D水平距離為60米的E處，測(cè)得塔頂部O的仰角，風(fēng)葉的視角．

(1)已知α，β兩角和的余弦公式為： ，請(qǐng)利用公式計(jì)算；
(2)求風(fēng)葉的長(zhǎng)度．
【答案】(1)
(2)風(fēng)葉的長(zhǎng)度為米
【分析】（1）根據(jù)題中公式計(jì)算即可；
（2）過點(diǎn)A作，連接，，先根據(jù)題意求出，再根據(jù)等腰對(duì)等邊證明，結(jié)合第一問的結(jié)論用三角函數(shù)即可求，再證明四邊形是矩形，即可求出．
【詳解】（1）解：由題意可得：，
∴；
（2）解：過點(diǎn)A作，連接，，如圖所示，

由題意得：米，，
∴米，，
∵三片風(fēng)葉兩兩所成的角為，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴米，
∵，，
∴，
由（1）得：，
∴米，
∴米，
∵，，，
∴四邊形是矩形，
∴米，
∵三片風(fēng)葉兩兩所成的角為，且三片風(fēng)葉長(zhǎng)度相等，
∴，
∴米，
∴風(fēng)葉的長(zhǎng)度為米．
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意和作出輔助線是關(guān)鍵．
27．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）2023年5月30日，“神舟十六號(hào)”航天飛船成功發(fā)射．如圖，飛船在離地球大約的圓形軌道上，當(dāng)運(yùn)行到地球表面P點(diǎn)的正上方F點(diǎn)時(shí)，從中直接看到地球表面一個(gè)最遠(yuǎn)的點(diǎn)是點(diǎn)Q．在中，．
（參考數(shù)據(jù)：）

(1)求的值（精確到）；
(2)在中，求的長(zhǎng)（結(jié)果取整數(shù)）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在中，利用余弦函數(shù)即可求解；
（2）先求得的度數(shù)，再利用弧長(zhǎng)公式即可求解．
【詳解】（1）解：由題意可知，，
，
，
在中，；
（2）解：，
，
的長(zhǎng)為
．
【點(diǎn)睛】本題考查了求余弦函數(shù)的值，弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．
28．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組為了測(cè)量古樹的高度，采用了如下的方法：先從與古樹底端在同一水平線上的點(diǎn)A出發(fā)，沿斜面坡度為的斜坡前進(jìn)到達(dá)點(diǎn)，再沿水平方向繼續(xù)前進(jìn)一段距離后到達(dá)點(diǎn)．在點(diǎn)處測(cè)得古樹的頂端的俯角為，底部的俯角為，求古樹的高度（參考數(shù)據(jù)：，，，計(jì)算結(jié)果用根號(hào)表示，不取近似值）．

【答案】古樹的高度為
【分析】延長(zhǎng)，交于點(diǎn)G，過點(diǎn)B作于點(diǎn)F，根據(jù)斜面的坡度為，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理得出，求出，證明四邊形為矩形，得出，根據(jù)三角函數(shù)求出，，最后求出結(jié)果即可．
【詳解】解：延長(zhǎng)，交于點(diǎn)G，過點(diǎn)B作于點(diǎn)F，如圖所示：

則，
∵斜面的坡度為，
∴設(shè)，則，
在中，根據(jù)勾股定理得：，
即，
解得：，負(fù)值舍去，
即，
∵為水平方向，為豎直方向，
∴，
∵，
∴四邊形為矩形，
∴，
∵，
∴在中，，
∵，
∴在中，，
∴．
答：古樹的高度為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，數(shù)形結(jié)合，熟練掌握三角函數(shù)的定義．
29．（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）2023年3月，水利部印發(fā)《母親河復(fù)蘇行動(dòng)河湖名單（2022－2025年）》，我省境內(nèi)有汾河、桑干河、洋河、清漳河、濁漳河、沁河六條河流入選．在推進(jìn)實(shí)施母親河復(fù)蘇行動(dòng)中，需要砌筑各種駁岸（也叫護(hù)坡）．某?！熬C合與實(shí)踐”小組的同學(xué)把“母親河駁岸的調(diào)研與計(jì)算”作為一項(xiàng)課題活動(dòng)，利用課余時(shí)間完成了實(shí)踐調(diào)查，并形成了如下活動(dòng)報(bào)告．請(qǐng)根據(jù)活動(dòng)報(bào)告計(jì)算和的長(zhǎng)度（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，）．
【答案】的長(zhǎng)約為的長(zhǎng)約為
【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，首先根據(jù)的三角函數(shù)值求出，，然后得到四邊形是矩形，進(jìn)而得到，然后在中利用的三角函數(shù)值求出，進(jìn)而求解即可．
【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，

∴．
由題意得，在中，．
∴．
∴．
由題意得，，四邊形是矩形．
∴．
∵，
∴．
∴在中，．
∵．
∴．
∴，
∴．
答：的長(zhǎng)約為的長(zhǎng)約為．
【點(diǎn)睛】本題是解直角三角形的應(yīng)用，考查了矩形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，關(guān)鍵是理解坡度的含義，構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助線便于在直角三角形中求得相關(guān)線段．
30．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，在某交叉路口，一貨車在道路①上點(diǎn)A處等候“綠燈”一輛車從被山峰遮擋的道路②上的點(diǎn)B處由南向北行駛．已知，，線段的延長(zhǎng)線交直線于點(diǎn)D．
(1)求的大?。?br>(2)若在點(diǎn)B處測(cè)得點(diǎn)O在北偏西方向上，其中米．問該轎車至少行駛多少米才能發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A處的貨車？（當(dāng)該轎車行駛至點(diǎn)D處時(shí)，正好發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A處的貨車）
【答案】(1)
(2)轎車至少行駛24米才能發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A處的貨車
【分析】（1）由得到，由得到，由得到，即可得到的大??；
（2）由得到，在中求得，由勾股定理得到，由得到，即可得到答案．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即的大小為；
（2）解：∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即轎車至少行駛24米才能發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A處的貨車．
【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形、勾股定理、垂直定義和平行線的性質(zhì)、方位角的的定義等知識(shí)，讀懂題意，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)和銳角三角形函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
31．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）某中學(xué)依山而建，校門A處有一坡角的斜坡，長(zhǎng)度為30米，在坡頂B處測(cè)得教學(xué)樓的樓頂C的仰角，離B點(diǎn)4米遠(yuǎn)的E處有一個(gè)花臺(tái)，在E處測(cè)得C的仰角，的延長(zhǎng)線交水平線于點(diǎn)D，求的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）．

【答案】的長(zhǎng)為米
【分析】作于點(diǎn)，首先根據(jù)坡度求出，并通過矩形的判定確定出，然后通過解三角形求出，即可相加得出結(jié)論．
【詳解】解：如圖所示，作于點(diǎn)，則由題意，四邊形為矩形，

∵在中，，，，
∴，
∵四邊形為矩形，
∴，
由題意，，，，，
∴為等腰直角三角形，，
設(shè)，則，
在中，，
∴，即：，
解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是上述方程的解，且符合題意，
∴，
∴，
∴的長(zhǎng)為米．
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，準(zhǔn)確構(gòu)造出直角三角形并求解是解題關(guān)鍵．
32．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）某校學(xué)生開展綜合實(shí)踐活動(dòng)，測(cè)量某建筑物的高度，在建筑物附近有一斜坡，坡長(zhǎng)米，坡角，小華在C處測(cè)得建筑物頂端A的仰角為，在D處測(cè)得建筑物頂端A的仰角為．（已知點(diǎn)A，B，C，D在同一平面內(nèi)，B，C在同一水平線上）

(1)求點(diǎn)D到地面的距離；
(2)求該建筑物的高度．
【答案】(1)5米
(2)米
【分析】（1）過點(diǎn)D作，根據(jù)坡角的概念及含直角三角形的性質(zhì)分析求解；
（2）通過證明，然后解直角三角形分析求解．
【詳解】（1）解：過點(diǎn)D作，

由題意可得，
∴在Rt中，，
即點(diǎn)D到地面的距離為5米；
（2）如圖，

由題意可得，，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴在Rt中，，即，
解得，
在Rt中，，即，
解得，
答：該建筑物的高度為15米．
【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角、坡度坡角問題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．
33．（2023·天津·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐活動(dòng)中，要利用測(cè)角儀測(cè)量塔的高度．
如圖，塔前有一座高為的觀景臺(tái)，已知，點(diǎn)E，C，A在同一條水平直線上．

某學(xué)習(xí)小組在觀景臺(tái)C處測(cè)得塔頂部B的仰角為，在觀景臺(tái)D處測(cè)得塔頂部B的仰角為．
(1)求的長(zhǎng)；
(2)設(shè)塔的高度為h（單位：m）．
①用含有h的式子表示線段的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）；
②求塔的高度（取0.5，取1.7，結(jié)果取整數(shù)）．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可；
（2）①分別在和中，利用銳角三角函數(shù)定義求得，，進(jìn)而可求解；
②過點(diǎn)作，垂足為．可證明四邊形是矩形，得到，．在中，利用銳角三角函數(shù)定義得到，然后求解即可．
【詳解】（1）解：在中，，
∴．
即的長(zhǎng)為．
（2）解：①在中，，
∴．
在中，由，，，
則.
∴．
即的長(zhǎng)為．
②如圖，過點(diǎn)作，垂足為．
根據(jù)題意，，
∴四邊形是矩形．
∴，．
可得．
在中，，，
∴．即．
∴．
答：塔的高度約為．
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，涉及含30度角的直角三角形的性質(zhì)、矩形判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)，理解題意，掌握作輔助線構(gòu)造直角三角形解決問題是解答的關(guān)鍵．
34．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考中考真題）如圖，燈塔A周圍9海里內(nèi)有暗礁．一漁船由東向西航行至B處，測(cè)得燈塔A在北偏西58°方向上，繼續(xù)航行6海里后到達(dá)C處，測(cè)得燈塔A在西北方向上．如果漁船不改變航線繼續(xù)向西航行，有沒有觸礁的危險(xiǎn)？
（參考數(shù)據(jù)：）

【答案】漁船沒有觸礁的危險(xiǎn)
【分析】過點(diǎn)作，分別解和，求出的長(zhǎng)，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：過點(diǎn)作，由題意，得：，，，
設(shè)，

在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴漁船沒有觸礁的危險(xiǎn)．
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用—方向角問題．解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造直角三角形．
35．（2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）永州市道縣陳樹湘紀(jì)念館中陳列的陳樹湘雕像高2.9米（如圖1所示），寓意陳樹湘為中國(guó)革命“斷腸明志”犧牲時(shí)的年齡為29歲．如圖2，以線段代表陳樹湘雕像，一參觀者在水平地面上D處為陳樹湘雕拍照，相機(jī)支架高0.9米，在相機(jī)C處觀測(cè)雕像頂端A的仰角為，然后將相機(jī)架移到處拍照，在相機(jī)M處觀測(cè)雕像頂端A的仰角為，求D、N兩點(diǎn)間的距離（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：）
【答案】1.5
【分析】如圖，，，四邊形，四邊形是矩形，四邊形是矩形，中，，，，中，，，所以，進(jìn)一步求得，所以．
【詳解】如圖，米，米
四邊形，四邊形是矩形，四邊形是矩形
∴米，
∵中，，
∴米，
∴米
∵中，，
∴
∴米
∴米
∴米
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，矩形的判定和性質(zhì)，觀察圖形，確定組合圖形中，通過直角三角形、矩形之間的位置關(guān)系確定線段間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
36．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）為了滿足市民的需求，我市在一條小河兩側(cè)開辟了兩條長(zhǎng)跑鍛煉線路，如圖；①；②．經(jīng)勘測(cè)，點(diǎn)B在點(diǎn)A的正東方，點(diǎn)C在點(diǎn)B的正北方千米處，點(diǎn)D在點(diǎn)C的正西方千米處，點(diǎn)D在點(diǎn)A的北偏東方向，點(diǎn)E在點(diǎn)A的正南方，點(diǎn)E在點(diǎn)B的南偏西方向．（參考數(shù)據(jù)：

(1)求AD的長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到1千米）
(2)由于時(shí)間原因，小明決定選擇一條較短線路進(jìn)行鍛煉，請(qǐng)計(jì)算說明他應(yīng)該選擇線路①還是線路②？
【答案】(1)AD的長(zhǎng)度約為千米
(2)小明應(yīng)該選擇路線①，理由見解析
【分析】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)題意可得四邊形是矩形，進(jìn)而得出，然后解直角三角形即可；
（2）分別求出線路①和線路②的總路程，比較即可．
【詳解】（1）解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，

由題意可得：四邊形是矩形，
∴千米，
∵點(diǎn)D在點(diǎn)A的北偏東方向，
∴，
∴千米，
答：AD的長(zhǎng)度約為千米；
（2）由題意可得：，，
∴路線①的路程為：（千米），
∵，，，
∴為等腰直角三角形，
∴，
∴，
由題意可得，
∴，
∴，，
所以路線②的路程為：千米，
∴路線①的路程路線②的路程，
故小明應(yīng)該選擇路線①．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)的相關(guān)定義，掌握特殊角三角函數(shù)值是解本題的關(guān)鍵．
37．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）四邊形不具有穩(wěn)定性，工程上可利用這一性質(zhì)解決問題．如圖是某籃球架的側(cè)面示意圖，為長(zhǎng)度固定的支架，支架在處與立柱連接（垂直于，垂足為），在處與籃板連接（所在直線垂直于），是可以調(diào)節(jié)長(zhǎng)度的伸縮臂（旋轉(zhuǎn)點(diǎn)處的螺栓改變的長(zhǎng)度，使得支架繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，從而改變四邊形的形狀，以此調(diào)節(jié)籃板的高度）．已知，測(cè)得時(shí)，點(diǎn)離地面的高度為．調(diào)節(jié)伸縮臂，將由調(diào)節(jié)為，判斷點(diǎn)離地面的高度升高還是降低了？升高（或降低）了多少？（參考數(shù)據(jù)：）

【答案】點(diǎn)離地面的高度升高了，升高了．
【分析】如圖，延長(zhǎng)與底面交于點(diǎn)，過作于，則四邊形為矩形，可得，證明四邊形是平行四邊形，可得，當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，則，，從而可得答案．
【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)與底面交于點(diǎn)，過作于，則四邊形為矩形，
∴，

∵，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
當(dāng)時(shí)，則，
此時(shí)，，
∴，
當(dāng)時(shí)，則，
∴，
而，，
∴點(diǎn)離地面的高度升高了，升高了．
【點(diǎn)睛】本題考查的是平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，理解題意，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．
38．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）隨著科技的發(fā)展，無(wú)人機(jī)已廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)生活，如代替人們?cè)诟呖諟y(cè)量距離和高度．圓圓要測(cè)量教學(xué)樓的高度，借助無(wú)人機(jī)設(shè)計(jì)了如下測(cè)量方案：如圖，圓圓在離教學(xué)樓底部米的C處，遙控?zé)o人機(jī)旋停在點(diǎn)C的正上方的點(diǎn)D處，測(cè)得教學(xué)樓的頂部B處的俯角為，長(zhǎng)為米．已知目高為米．

(1)求教學(xué)樓的高度．
(2)若無(wú)人機(jī)保持現(xiàn)有高度沿平行于的方向，以米/秒的速度繼續(xù)向前勻速飛行，求經(jīng)過多少秒時(shí)，無(wú)人機(jī)剛好離開圓圓的視線．
【答案】(1)教學(xué)樓的高度為米
(2)無(wú)人機(jī)剛好離開視線的時(shí)間為12秒
【分析】（1）過點(diǎn)B作于點(diǎn)G，根據(jù)題意可得：，米，，通過證明四邊形為矩形，得出米，進(jìn)而得出米，最后根據(jù)線段之間的和差關(guān)系可得，即可求解；
（2）連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)H，先求出米，進(jìn)而得出，則，則米，即可求解．
【詳解】（1）解：過點(diǎn)B作于點(diǎn)G，
根據(jù)題意可得：，米，，
∵，，，
∴四邊形為矩形，
∴米，
∵，，
∴，
∴，
∴米，
∵長(zhǎng)為米，
∴（米），
答：教學(xué)樓的高度為米．
（2）解：連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)H，
∵米，米，
∴米，
∵米， ，
∴，
∴，米，
∴（米），
∵無(wú)人機(jī)以米/秒的速度飛行，
∴離開視線的時(shí)間為：（秒），
答：無(wú)人機(jī)剛好離開視線的時(shí)間為12秒．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確畫出輔助線，構(gòu)造直角三角形，熟練掌握解直角三角形的方法和步驟．
39．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考中考真題）風(fēng)電項(xiàng)目對(duì)于調(diào)整能源結(jié)構(gòu)和轉(zhuǎn)變經(jīng)濟(jì)發(fā)展方式具有重要意義．某電力部門在一處坡角為的坡地新安裝了一架風(fēng)力發(fā)電機(jī)，如圖1．某校實(shí)踐活動(dòng)小組對(duì)該坡地上的這架風(fēng)力發(fā)電機(jī)的塔桿高度進(jìn)行了測(cè)量，圖2為測(cè)量示意圖．已知斜坡長(zhǎng)16米，在地面點(diǎn)處測(cè)得風(fēng)力發(fā)電機(jī)塔桿頂端點(diǎn)的仰角為，利用無(wú)人機(jī)在點(diǎn)的正上方53米的點(diǎn)處測(cè)得點(diǎn)的俯角為，求該風(fēng)力發(fā)電機(jī)塔桿的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，）

【答案】該風(fēng)力發(fā)電機(jī)塔桿的高度為32米
【分析】過點(diǎn)P作于點(diǎn)F，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，先根據(jù)含角直角三角形的性質(zhì)得出，設(shè)米，則米，進(jìn)而得出米，證明四邊形為矩形，則米，米，根據(jù)線段之間的和差關(guān)系得出米，最后根據(jù)，列出方程求解即可．
【詳解】解：過點(diǎn)P作于點(diǎn)F，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，
根據(jù)題意可得：、垂直于水平面，，，，
∴，
∵米，
∴（米），
設(shè)米，則米，
∵，，
∴米，
∵，，，
∴四邊形為矩形，
∴米，米，
∵米，
∴米，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
答：該風(fēng)力發(fā)電機(jī)塔桿的高度為32米．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確畫出輔助線，構(gòu)造直角三角形，熟練掌握解直角三角形的方法和步驟．
40．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）如圖1，某人的一器官后面處長(zhǎng)了一個(gè)新生物，現(xiàn)需檢測(cè)到皮膚的距離（圖1）．為避免傷害器官，可利用一種新型檢測(cè)技術(shù)，檢測(cè)射線可避開器官?gòu)膫?cè)面測(cè)量．某醫(yī)療小組制定方案，通過醫(yī)療儀器的測(cè)量獲得相關(guān)數(shù)據(jù)，并利用數(shù)據(jù)計(jì)算出新生物到皮膚的距離．方案如下：
請(qǐng)你根據(jù)上表中的測(cè)量數(shù)據(jù)，計(jì)算新生物處到皮膚的距離．（結(jié)果精確到）（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）
【答案】新生物處到皮膚的距離約為
【分析】過點(diǎn)作，垂足為，在，用 與的正切值表示出，在中，用和的正切值表示出，由，聯(lián)立求解即可．
【詳解】解：過點(diǎn)作，垂足為．
由題意得，，，
在中，．
在中，．

∵，
∴，
∴．
答：新生物處到皮膚的距離約為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形，通過三角函數(shù)求解線段是求解本題的關(guān)鍵．
41．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）蓮花湖濕地公園是當(dāng)?shù)厝嗣裣矏鄣男蓍e景區(qū)之一，里面的秋千深受孩子們喜愛．如圖所示，秋千鏈子的長(zhǎng)度為，當(dāng)擺角恰為時(shí)，座板離地面的高度為，當(dāng)擺動(dòng)至最高位置時(shí)，擺角為，求座板距地面的最大高度為多少？（結(jié)果精確到；參考數(shù)據(jù)：，，，，，）

【答案】座板距地面的最大高度為．
【分析】過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作于點(diǎn)F，利用和的余弦值求出，，然后利用線段的和差和矩形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】如圖所示，過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作于點(diǎn)F，

由題意可得，四邊形和四邊形是矩形，
∴，，
∵秋千鏈子的長(zhǎng)度為，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∴座板距地面的最大高度為．
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題．
42．（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）如圖1是某紅色文化主題公園內(nèi)的雕塑，將其抽象成加如圖2所示的示意圖，已知點(diǎn)，，，均在同一直線上，，測(cè)得．（結(jié)果保小數(shù)點(diǎn)后一位）

(1)連接，求證：；
(2)求雕塑的高（即點(diǎn)E到直線BC的距離）．
（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】(1)見解析
(2)雕塑的高約為米
【分析】（1）根據(jù)等邊對(duì)等角得出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出，進(jìn)而得出，即可得證；
（2）過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，在中，得出，則，在中，根據(jù)，即可求解．
【詳解】（1）解：∵，
∴
∵
即
∴
即
∴；
（2）如圖所示，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，

在中，
∴，
∴
∴
在中，，
∴
（米）．
答：雕塑的高約為米．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
43．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）某綜合實(shí)踐研究小組為了測(cè)量觀察目標(biāo)時(shí)的仰角和俯角，利用量角器和鉛錘自制了一個(gè)簡(jiǎn)易測(cè)角儀，如圖1所示．

(1)如圖2，在點(diǎn)觀察所測(cè)物體最高點(diǎn)，當(dāng)量角器零刻度線上兩點(diǎn)均在視線上時(shí)，測(cè)得視線與鉛垂線所夾的銳角為，設(shè)仰角為，請(qǐng)直接用含的代數(shù)式示．
(2)如圖3，為了測(cè)量廣場(chǎng)上空氣球離地面的高度，該小組利用自制簡(jiǎn)易測(cè)角儀在點(diǎn)分別測(cè)得氣球的仰角為，為，地面上點(diǎn)在同一水平直線上，，求氣球離地面的高度．（參考數(shù)據(jù)：，）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）如圖所示，鉛垂線與水平線相互垂直，從而利用直角三角形中兩銳角互余即可得到答案；
（2）根據(jù)題意，，在中，，由等腰直角三角形性質(zhì)得到；在中，，由，解方程即可得到答案．
【詳解】（1）解：如圖所示：

由題意知，
在中，，則，即，
；
（2）解：如圖所示：

，
在中，，由等腰直角三角形性質(zhì)得到，
在中，，
由，
即，
解得，
氣球離地面的高度．
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，涉及直角三角形性質(zhì)、等腰直角三角形性質(zhì)和正切函數(shù)測(cè)高等，熟練掌握解直角三角形的方法及相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解決問題的關(guān)鍵．
44．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）漁灣是國(guó)家“AAAA”級(jí)風(fēng)景區(qū)，圖1是景區(qū)游覽的部分示意圖．如圖2，小卓從九孔橋處出發(fā)，沿著坡角為的山坡向上走了到達(dá)處的三龍?zhí)镀俨?，再沿坡角為的山坡向上走了到達(dá)處的二龍?zhí)镀俨迹笮∽繌奶幍木趴讟虻教幍亩執(zhí)镀俨忌仙母叨葹槎嗌倜?？（結(jié)果精確到）
（參考數(shù)據(jù)：）

【答案】
【分析】過點(diǎn)作，垂足為，在中，根據(jù)求出，過點(diǎn)作，垂足為，在中，根據(jù)求出，進(jìn)而求解即可．
【詳解】過點(diǎn)作，垂足為．
在中，，
∴．
過點(diǎn)作，垂足為．

在中，，
∴．
∵，
∴．
答：從處的九孔橋到處的二龍?zhí)镀俨忌仙母叨燃s為．
【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用一坡度坡角問題，熟練利用銳角三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．
45．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）為了美化環(huán)境，提高民眾的生活質(zhì)量，市政府在三角形花園邊上修建一個(gè)四邊形人工湖泊，并沿湖泊修建了人行步道．如圖，點(diǎn)在點(diǎn)的正東方向170米處，點(diǎn)在點(diǎn)的正北方向，點(diǎn)都在點(diǎn)的正北方向，長(zhǎng)為100米，點(diǎn)在點(diǎn)的北偏東方向，點(diǎn)在點(diǎn)的北偏東方向．

(1)求步道的長(zhǎng)度．
(2)點(diǎn)處有一個(gè)小商店，某人從點(diǎn)出發(fā)沿人行步道去商店購(gòu)物，可以經(jīng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)，也可以經(jīng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)，請(qǐng)通過計(jì)算說明他走哪條路較近．結(jié)果精確到個(gè)位）
（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】(1)200米
(2)這條路較近，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)中的正弦值即可求出答案．
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)中的正切值、余弦值分別求出和的長(zhǎng)度，比較和即可求出答案．
【詳解】（1）解：由題意得，過點(diǎn)作垂直的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，如圖所示，

點(diǎn)在點(diǎn)的正東方向170米處，點(diǎn)在點(diǎn)的正北方向，點(diǎn)都在點(diǎn)的正北方向，
，，
，
，
為矩形.
.
米，
米.
在中，米.
故答案為：200米.
（2）解：這條路較近，理由如下：
，，
.
米，，
在中，米.
米.
為矩形，米，
米.
在中，米.
米.
結(jié)果精確到個(gè)位，
米.
米.
.
從這條路較近.
故答案為：這條路較近.
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，涉及到銳角三角函數(shù)正弦、余弦、正切，矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于構(gòu)建直角三角形利用三角函數(shù)求邊長(zhǎng).
46．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）圖1是某住宅單元樓的人臉識(shí)別系統(tǒng)（整個(gè)頭部需在攝像頭視角圍內(nèi)才能被識(shí)別），其示意圖如圖2，攝像頭的仰角、俯角均為，攝像頭高度，識(shí)別的最遠(yuǎn)水平距離．

(1)身高的小杜，頭部高度為，他站在離攝像頭水平距離的點(diǎn)C處，請(qǐng)問小杜最少需要下蹲多少厘米才能被識(shí)別．
(2)身高的小若，頭部高度為，踮起腳尖可以增高，但仍無(wú)法被識(shí)別．社區(qū)及時(shí)將攝像頭的仰角、俯角都調(diào)整為（如圖3），此時(shí)小若能被識(shí)別嗎？請(qǐng)計(jì)算說明．（精確到，參考數(shù)據(jù)）
【答案】(1)
(2)能，見解析
【分析】（1）根據(jù)正切值求出長(zhǎng)度，再利用三角形全等可求出，最后利用矩形的性質(zhì)求出的長(zhǎng)度，從而求出蹲下的高度．
（2）根據(jù)正切值求出長(zhǎng)度，再利用三角形全等可求出，最后利用矩形的性質(zhì)求出的長(zhǎng)度，即可求出長(zhǎng)度，與踮起腳尖后的高度進(jìn)行比較，即可求出答案．
【詳解】（1）解：過點(diǎn)作的垂線分別交仰角、俯角線于點(diǎn)，，交水平線于點(diǎn)，如圖所示，

在中，．
．
，
．
．
，，
小杜下蹲的最小距離．
（2）解：能，理由如下：
過點(diǎn)作的垂線分別交仰角、俯角線于點(diǎn)，，交水平線于點(diǎn)，如圖所示，

在中，．
，
，
．
，
．
小若墊起腳尖后頭頂?shù)母叨葹椋?br>小若頭頂超出點(diǎn)N的高度．
小若墊起腳尖后能被識(shí)別．
【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有銳角三角函數(shù)中的正切值、矩形的性質(zhì)、三角形的全等，解題的關(guān)鍵在于是否能根據(jù)生活實(shí)際題結(jié)合數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)．解題的重點(diǎn)在于熟練掌握相關(guān)概念、性質(zhì)和全等方法．
47．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，是同一水平線上的兩點(diǎn)，無(wú)人機(jī)從點(diǎn)豎直上升到點(diǎn)時(shí)，測(cè)得到點(diǎn)的距離為點(diǎn)的俯角為，無(wú)人機(jī)繼續(xù)豎直上升到點(diǎn)，測(cè)得點(diǎn)的俯角為．求無(wú)人機(jī)從點(diǎn)到點(diǎn)的上升高度（精確到）．參考數(shù)據(jù)：，．

【答案】無(wú)人機(jī)從點(diǎn)到點(diǎn)的上升高度約為米
【分析】解，求得，，在中，求得，根據(jù)，即可求解．
【詳解】解：依題意，，，，
在中，，
∴，，
在中，，
∴
（米）
答：無(wú)人機(jī)從點(diǎn)到點(diǎn)的上升高度約為米．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
48．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）如圖，某工廠為了提升生產(chǎn)過程中所產(chǎn)生廢氣的凈化效率，需在氣體凈化設(shè)備上增加一條管道，已知，，求管道的總長(zhǎng)．

【答案】18m
【分析】如圖：過點(diǎn)作于點(diǎn)，由題意易得，進(jìn)而求得，再通過解直角三角形可得，然后求出即可解答．
【詳解】解：如圖：過點(diǎn)作于點(diǎn)，
由題意，得，
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．即管道的總長(zhǎng)為．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，理解題意求得是解答本題的關(guān)鍵．
49．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）根據(jù)背景素材，探索解決問題．
注：測(cè)量時(shí)，以答題紙上的圖上距離為準(zhǔn)，并精確到1．
【答案】規(guī)劃一：[任務(wù) 1]選擇點(diǎn)和點(diǎn)；，，，測(cè)得圖上；[任務(wù) 2]；[任務(wù) 3]發(fā)射塔的實(shí)際高度為米；規(guī)劃二：[任務(wù) 1]選擇點(diǎn)和點(diǎn)．[任務(wù) 2]；[任務(wù) 3]發(fā)射塔的實(shí)際高度為米；
【分析】規(guī)劃一：[任務(wù) 1]選擇點(diǎn)和點(diǎn),根據(jù)正切的定義求得三個(gè)角的正切值，測(cè)得圖上
[任務(wù) 2]如圖1，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)．根據(jù)，，得出，．由，解得，根據(jù)，得出，即可求解；
[任務(wù)3 ]測(cè)得圖上，設(shè)發(fā)射塔的實(shí)際高度為米．由題意，得，解得，
規(guī)劃二：[任務(wù) 1]選擇點(diǎn)和點(diǎn)．根據(jù)正切的定義求得三個(gè)角的正切值，測(cè)得圖上；
[任務(wù) 2]如圖2，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則，設(shè)．根據(jù)，，得出，．根據(jù)，得出，然后根據(jù)，得出，進(jìn)而即可求解．
[任務(wù) 3]測(cè)得圖上，設(shè)發(fā)射塔的實(shí)際高度為米．由題意，得，解得，即可求解．
【詳解】解：有以下兩種規(guī)劃，任選一種作答即可．
規(guī)劃一：
[任務(wù) 1]選擇點(diǎn)和點(diǎn)．
，，，測(cè)得圖上．
[任務(wù) 2]如圖1，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

則，設(shè)．
∵，，
∴，．
∵，
∴
解得，
∴．
∵，
∴，
∴．
[任務(wù)3 ]測(cè)得圖上，設(shè)發(fā)射塔的實(shí)際高度為米．
由題意，得，解得，
∴發(fā)射塔的實(shí)際高度為米．
規(guī)劃二：
[任務(wù) 1]選擇點(diǎn)和點(diǎn)．
，，，測(cè)得圖上．
[任務(wù) 2]如圖2，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則，設(shè)．

∵，，
∴，．
∵，
∴，解得，
∴．
∵，∴，
∴．
[任務(wù) 3]測(cè)得圖上，設(shè)發(fā)射塔的實(shí)際高度為米．
由題意，得，解得．
∴發(fā)射塔的實(shí)際高度為米．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
50．（2023·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）為測(cè)量學(xué)校后山高度，數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)過程如下：

(1)測(cè)量坡角
如圖1，后山一側(cè)有三段相對(duì)平直的山坡，山的高度即為三段坡面的鉛直高度之和，坡面的長(zhǎng)度可以直接測(cè)量得到，要求山坡高度還需要知道坡角大?。?br>如圖2，同學(xué)們將兩根直桿的一端放在坡面起始端A處，直桿沿坡面方向放置，在直桿另一端N用細(xì)線系小重物G，當(dāng)直桿與鉛垂線重合時(shí)，測(cè)得兩桿夾角的度數(shù)，由此可得山坡AB坡角的度數(shù)．請(qǐng)直接寫出之間的數(shù)量關(guān)系．
(2)測(cè)量山高
同學(xué)們測(cè)得山坡的坡長(zhǎng)依次為40米，50米，40米，坡角依次為；為求，小熠同學(xué)在作業(yè)本上畫了一個(gè)含角的（如圖3），量得．求山高．（，結(jié)果精確到1米）
(3)測(cè)量改進(jìn)
由于測(cè)量工作量較大，同學(xué)們圍繞如何優(yōu)化測(cè)量進(jìn)行了深入探究，有了以下新的測(cè)量方法．

如圖4，5，在學(xué)校操場(chǎng)上，將直桿NP置于的頂端，當(dāng)與鉛垂線重合時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)直桿，使點(diǎn)N，P，D共線，測(cè)得的度數(shù)，從而得到山頂仰角，向后山方向前進(jìn)40米，采用相同方式，測(cè)得山頂仰角；畫一個(gè)含的直角三角形，量得該角對(duì)邊和另一直角邊分別為厘米，厘米，再畫一個(gè)含的直角三角形，量得該角對(duì)邊和另一直角邊分別為厘米，厘米．已知桿高M(jìn)N為米，求山高．（結(jié)果用不含的字母表示）
【答案】(1)
(2)山高為69米
(3)山高的高為米
【分析】（1）利用互余的性質(zhì)即可求解；
（2）先求得，再分別在、、中，解直角三角形即可求解；
（3）先求得，，在和中，分別求得和的長(zhǎng)，得到方程，據(jù)此即可求解．
【詳解】（1）解：由題意得，

∴；
（2）解：在中，．

∴，
在中，，米，
∴(米)，
在中，，米，
∴(米)，
在中，，米，
∴(米)，
∴山高(米)，
答：山高為69米；
（3）解：如圖，由題意得，，

設(shè)山高，則，

在中，，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
解得，山高
答：山高的高為米．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，能夠正確地構(gòu)建出直角三角形，將實(shí)際問題化歸為解直角三角形的問題是解答此類題的關(guān)鍵．
二、填空題
51．（2023·廣西·統(tǒng)考中考真題）如圖，焊接一個(gè)鋼架，包括底角為的等腰三角形外框和3m高的支柱，則共需鋼材約______m（結(jié)果取整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：，，）

【答案】21
【分析】根據(jù)解直角三角形及等腰三角形的性質(zhì)可進(jìn)行求解．
【詳解】解：∵是等腰三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴共需鋼材約為；
故答案為21．
【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形，熟練掌握三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．
52．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）如圖，將的∠AOB按圖擺放在一把刻度尺上，頂點(diǎn)O與尺下沿的端點(diǎn)重合，OA與尺下沿重合，OB與尺上沿的交點(diǎn)B在尺上的讀數(shù)為2cm，若按相同的方式將的∠AOC放置在該尺上，則OC與尺上沿的交點(diǎn)C在尺上的讀數(shù)約為____cm
（結(jié)果精確到0.1 cm，參考數(shù)據(jù)：，，）

【答案】2.7．
【詳解】解直角三角形的應(yīng)用，等腰直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值．
過點(diǎn)B作BD⊥OA于D，過點(diǎn)C作CE⊥OA于E．

在△BOD中，∠BDO=90°，∠DOB=45°，∴BD=OD=2cm．
∴CE=BD=2cm．
在△COE中，∠CEO=90°，∠COE=37°，
∵，∴OE≈2.7cm．
∴OC與尺上沿的交點(diǎn)C在尺上的讀數(shù)約為2.7cm．
53．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）《周禮考工記》中記載有：“……半矩謂之宣（xuān），一宣有半謂之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），問題：圖（1）為中國(guó)古代一種強(qiáng)弩圖，圖（2）為這種強(qiáng)弩圖的部分組件的示意圖，若矩，欘，則______度．

【答案】
【分析】根據(jù)矩、宣、欘的概念計(jì)算即可．
【詳解】解：由題意可知，
矩，
欘宣矩，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了新概念的理解，直角三角形銳角互余，角度的計(jì)算；解題的關(guān)鍵是新概念的理解，并正確計(jì)算．
54．（2023·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）2023年岳陽(yáng)舉辦以“躍馬江湖”為主題的馬拉松賽事．如圖，某校數(shù)學(xué)興趣小組在處用儀器測(cè)得賽場(chǎng)一宣傳氣球頂部處的仰角為，儀器與氣球的水平距離為20米，且距地面高度為1.5米，則氣球頂部離地面的高度是_________米（結(jié)果精確到0.1米，）．

【答案】9.5
【分析】通過解直角三角形，求出，再根據(jù)求出結(jié)論即可．
【詳解】解：根據(jù)題意得，四邊形是矩形，
∴
在中，
∴,
∴
故答案為：9.5
【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題．此題難度適中，注意能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形是解此題的關(guān)鍵．
55．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）為發(fā)展城鄉(xiāng)經(jīng)濟(jì)，建設(shè)美麗鄉(xiāng)村，某鄉(xiāng)對(duì)地和地之間的一處垃圾填埋場(chǎng)進(jìn)行改造，把原來(lái)地去往地需要繞行到地的路線，改造成可以直線通行的公路．如圖，經(jīng)勘測(cè)，千米，，，則改造后公路的長(zhǎng)是___________千米（精確到千米；參考數(shù)據(jù)：，，，）．

【答案】
【分析】如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，分別解，求得，進(jìn)而即可求解．
【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

在中，，，，
∴，
在中，，，，
∴，
∴（千米）
改造后公路的長(zhǎng)是千米，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
56．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組要測(cè)量一建筑物的高度，如圖，他們?cè)诮ㄖ锴暗钠降厣线x擇一點(diǎn)，在點(diǎn)和建筑物之間選擇一點(diǎn)，測(cè)得．用高的測(cè)角儀在處測(cè)得建筑物頂部的仰角為，在處測(cè)得仰角為，則該建筑物的高是_________．

【答案】
【分析】結(jié)合三角形外角和等腰三角形的判定求得，然后根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值解直角三角形．
【詳解】解：由題意可得：四邊形，四邊形，四邊形均為矩形，

∴，，
在Rt中，，
在Rt中，，
∴，
∴，
∴，
在Rt中，，即，
解得，
∴
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用--仰角俯角問題，要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．
57．（2023·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）如圖，無(wú)人機(jī)在空中處測(cè)得某校旗桿頂部的仰角為，底部的俯角為，無(wú)人機(jī)與旗桿的水平距離為，則該校的旗桿高約為___________．（，結(jié)果精確到0.1）

【答案】13.8
【分析】解直角三角形，求得和的長(zhǎng)，即可解答．
【詳解】解：根據(jù)題意可得，
在中，，
，
在中，，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用-俯角仰角，含有30度角的直角三角形的邊長(zhǎng)特征，熟練解直角三角形是解題的關(guān)鍵．
58．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題）綜合實(shí)踐課上，航模小組用航拍無(wú)人機(jī)進(jìn)行測(cè)高實(shí)踐．如圖，無(wú)人機(jī)從地面的中點(diǎn)A處豎直上升30米到達(dá)B處，測(cè)得博雅樓頂部E的俯角為，尚美樓頂部F的俯角為，己知博雅樓高度為15米，則尚美樓高度為_____________米．（結(jié)果保留根號(hào)）

【答案】
【分析】過點(diǎn)E作于點(diǎn)M，過點(diǎn)F作于點(diǎn)N，首先證明出四邊形是矩形，得到，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，進(jìn)而得到，然后利用角直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出，即可求解．
【詳解】如圖所示，過點(diǎn)E作于點(diǎn)M，過點(diǎn)F作于點(diǎn)N，

由題意可得，四邊形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵博雅樓頂部E的俯角為，
∴，
∴，
∴，
∵點(diǎn)A是的中點(diǎn)，
∴，
由題意可得四邊形是矩形，
∴，
∵尚美樓頂部F的俯角為，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
∴解得，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，銳角三角函數(shù)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，學(xué)會(huì)用構(gòu)建方程的思想思考問題．
59．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，桔棒是一種原始的汲水工具，它是在一根豎立的架子上加上一根細(xì)長(zhǎng)的杠桿，末端懸掛一重物，前端懸掛水桶．當(dāng)人把水桶放入水中打滿水以后，由于杠桿末端的重力作用，便能輕易把水提升至所需處，若已知：杠桿米，，支架米，可以繞著點(diǎn)O自由旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖所示位置時(shí)，此時(shí)點(diǎn)B到水平地面的距離為___________米．（結(jié)果保留根號(hào)）

【答案】
【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，易得四邊形為矩形，分別解，，求出的長(zhǎng)，利用進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，

∵，
∴，
∴，
∴四邊形為矩形，
∴，
∵，，
∴，
在中，，，
∴；
∴，
在中，，，
∴；
∴（米）；
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，矩形的性質(zhì)與判定．解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造直角三角形．
60．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）一漁船在海上A處測(cè)得燈塔C在它的北偏東60°方向，漁船向正東方向航行12海里到達(dá)點(diǎn)B處，測(cè)得燈塔C在它的北偏東45°方向，若漁船繼續(xù)向正東方向航行，則漁船與燈塔C的最短距離是____________海里．

【答案】
【分析】過點(diǎn)作交于點(diǎn)，利用特殊角的三角函數(shù)值，列方程即可解答．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，

由題意可知,，
設(shè)為x，
，，
根據(jù)，可得方程，
解得，
漁船與燈塔C的最短距離是海里，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了解解直角三角形-方位角問題，熟知特殊角度的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
實(shí)踐探究活動(dòng)記錄表
活動(dòng)內(nèi)容 測(cè)量湖邊A、B兩處的距離
成員 組長(zhǎng)：××× 組員：××××××××××××
測(cè)量工具 測(cè)角儀，皮尺等
測(cè)量示意圖

說明：因?yàn)楹匒、B兩處的距離無(wú)法直接測(cè)量，數(shù)據(jù)勘測(cè)組在湖邊找了一處位置C．可測(cè)量C處到A、B兩處的距離．通過測(cè)角儀可測(cè)得的度數(shù)．
測(cè)量數(shù)據(jù)
角的度數(shù)
邊的長(zhǎng)度
米
米
課題
母親河駁岸的調(diào)研與計(jì)算
調(diào)查方式
資料查閱、水利部門走訪、實(shí)地查看了解
功能
駁岸是用來(lái)保護(hù)河岸，阻止河岸崩塌或沖刷的構(gòu)筑物
駁岸剖面圖

相關(guān)數(shù)據(jù)及說明，圖中，點(diǎn)A，B，C，D，E在同一豎直平面內(nèi)，與均與地面平行，岸墻于點(diǎn)A，，，，，
計(jì)算結(jié)果
交流展示
課題
檢測(cè)新生物到皮膚的距離
工具
醫(yī)療儀器等
示意圖

說明
如圖2，新生物在處，先在皮膚上選擇最大限度地避開器官的處照射新生物，檢測(cè)射線與皮膚的夾角為；再在皮膚上選擇距離處的處照射新生物，檢測(cè)射線與皮膚的夾角為．
測(cè)量數(shù)據(jù)
，，
測(cè)算發(fā)射塔的高度
背
景
素
材
某興趣小組在一幢樓房窗口測(cè)算遠(yuǎn)處小山坡上發(fā)射塔的高度（如圖1）．他們通過自制的測(cè)傾儀（如圖2）在，，三個(gè)位置觀測(cè)，測(cè)傾儀上的示數(shù)如圖3所示．



經(jīng)討論，只需選擇其中兩個(gè)合適的位置，通過測(cè)量、換算就能計(jì)算發(fā)射塔的高度．
問題解決
任務(wù)1
分析規(guī)劃
選擇兩個(gè)觀測(cè)位置：點(diǎn)_________和點(diǎn)_________
獲取數(shù)據(jù)
寫出所選位置觀測(cè)角的正切值，并量出觀測(cè)點(diǎn)之間的圖上距離．
任務(wù)2
推理計(jì)算
計(jì)算發(fā)射塔的圖上高度．
任務(wù)3
換算高度
樓房實(shí)際寬度為米，請(qǐng)通過測(cè)量換算發(fā)射塔的實(shí)際高度．

相關(guān)試卷

2023年全國(guó)中考數(shù)學(xué)真題分類匯編：專題22 銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用（共60題）（原卷版）：

這是一份2023年全國(guó)中考數(shù)學(xué)真題分類匯編：專題22 銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用（共60題）（原卷版），共31頁(yè)。試卷主要包含了解答題，填空題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2023年全國(guó)中考數(shù)學(xué)真題分類匯編：專題22 銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用（共30題）（解析版）：

這是一份2023年全國(guó)中考數(shù)學(xué)真題分類匯編：專題22 銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用（共30題）（解析版），共41頁(yè)。試卷主要包含了單選題，解答題，填空題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2023年全國(guó)中考數(shù)學(xué)真題分類匯編：專題06 一次方程（組）及其應(yīng)用（共22題）（解析版）：

這是一份2023年全國(guó)中考數(shù)學(xué)真題分類匯編：專題06 一次方程（組）及其應(yīng)用（共22題）（解析版），共17頁(yè)。試卷主要包含了單選題，填空題，問人數(shù)，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

專題22 銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用（共60題）--2023年中考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編

專題22 銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用（共60題）--2023年中考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編
2023中考數(shù)學(xué)真題專項(xiàng)匯編特訓(xùn) 專題22銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用(共60題)(原卷版+解析)

2023中考數(shù)學(xué)真題專項(xiàng)匯編特訓(xùn) 專題22銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用(共60題)(原卷版+解析)
專題22 銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用（共60題）-2023年中考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編（全國(guó)通用）

專題22 銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用（共60題）-2023年中考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編（全國(guó)通用）
專題22 銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用（60題）-2023年全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編（全國(guó)通用）

專題22 銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用（60題）-2023年全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編（全國(guó)通用）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
中考專區(qū)
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部