1．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）如圖，從航拍無人機(jī)看一棟樓頂部的仰角為，看這棟樓底部的俯角為，無人機(jī)與樓的水平距離為，則這棟樓的高度為（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】過點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)題意可得，然后分別在和中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，最后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【詳解】解：過點(diǎn)作，垂足為，
根據(jù)題意可得，在中，，
，
在中，，
，
．
故則這棟樓的高度為．
故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的定義，根據(jù)題目的已知條件作出正確的輔助線是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有三點(diǎn)，，，則（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】如圖，取格點(diǎn)D，連接，，則B在上，由，，，證明，可得．
【詳解】解：如圖，取格點(diǎn)D，連接，，則B在上，

∵，，，
∴，，，
∴，
∴；
故選C
【點(diǎn)睛】本題考查的是坐標(biāo)與圖形，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，作出合適的輔助線構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)鍵．
3．（2023·山東日照·統(tǒng)考中考真題）日照燈塔是日照海濱港口城市的標(biāo)志性建筑之一，主要為日照近海及進(jìn)出日照港的船舶提供導(dǎo)航服務(wù)．?dāng)?shù)學(xué)小組的同學(xué)要測量燈塔的高度，如圖所示，在點(diǎn)B處測得燈塔最高點(diǎn)A的仰角，再沿方向前進(jìn)至C處測得最高點(diǎn)A的仰角，，則燈塔的高度大約是（ ）（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】在中，得出，設(shè)，則，，在中，根據(jù)正切得出，求解即可得出答案．
【詳解】解：在中，，
，
設(shè)，則，，
在中，，
，
，
燈塔的高度AD大約是．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形中的仰俯角問題，解題的關(guān)鍵是弄清有關(guān)的直角三角形中的有關(guān)角的度數(shù)．
4．（2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）學(xué)校開放日即將來臨，負(fù)責(zé)布置的林老師打算從學(xué)校圖書館的頂樓拉出一條彩旗繩到地面，如圖所示．已彩旗繩與地面形成角（即）、彩旗繩固定在地面的位置與圖書館相距32米（即米），則彩旗繩的長度為（ ）

A．米B．米C．米D．米
【答案】D
【分析】根據(jù)余弦值的概念即鄰邊與斜邊之比，即可求出答案.
【詳解】解：表示的是地面，表示是圖書館，
，
為直角三角形，
（米）.
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，涉及到余弦值，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握余弦值的概念.
二、解答題
5．（2023·遼寧盤錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，一人在道路上騎行，BD段是坡路，其余為平路．當(dāng)他路過A，B兩點(diǎn)時(shí)，一架無人機(jī)從空中的C點(diǎn)處測得A，B兩點(diǎn)的俯角分別為30°和45°，，，，點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)在同一平面內(nèi)，CE是無人機(jī)到平路DF的距離，求CE的長．（結(jié)果精確到整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：，，，）
【答案】的長約為
【分析】延長交于點(diǎn)，過點(diǎn)B作，垂足為G，可得，，從而，，設(shè)，則，分別在直角和直角中求出的長，最后利用平角定義可得，從而在中，求出的長，再利用線段的和差關(guān)系計(jì)算即可解答 ．
【詳解】解：如圖，延長交于點(diǎn)，過點(diǎn)B作，垂足為G，
由題意得：，，
，，
設(shè)，
，
則，
在中，，
在中，，
，
解得：，
,
，
，
在中，，
，
，
，
的長約為．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用——仰角俯角問題，根據(jù)已知條件結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解決問題的關(guān)鍵．
6．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）某商店窗前計(jì)劃安裝如圖1所示的遮陽棚，其截面圖如圖2所示．在截面圖中，墻面垂直于地面，遮陽棚與墻面連接處點(diǎn)距地面高，即，遮陽棚與窗戶所在墻面垂直，即．假設(shè)此地正午時(shí)太陽光與地面的夾角恰為(若經(jīng)過點(diǎn)的光線恰好照射在地面點(diǎn)處，則)，為使正午時(shí)窗前地面上能有寬的陰影區(qū)域，即，求遮陽棚的寬度．(結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：)

【答案】遮陽棚的寬度約為
【分析】過點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)垂直定義可得，從而可得四邊形是矩形，然后利用矩形的性質(zhì)可得，，，從而可得，在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，從而利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
【詳解】解：過點(diǎn)作，垂足為，

，
，
四邊形是矩形，
，，，
，
在中，，
，
遮陽棚的寬度約為
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
7．（2023·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）如圖，小穎家所在居民樓高為，從樓頂A處測得另一座大廈頂部C的仰角是，而大廈底部D的俯角是．

(1)求兩樓之間的距離．
(2)求大廈的高度．
（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，）
【答案】(1)兩樓之間的距離約為
(2)大廈的高度為
【分析】（1）過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，易得，根據(jù)，即可求解：
（2）易證四邊形為矩形，則，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出，最后根據(jù)，即可求解．
【詳解】（1）解：過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，
根據(jù)題意可得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
解得：，
答：兩樓之間的距離約為．

（2）解：根據(jù)題意可得：，
∴四邊形為矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
答：大廈的高度為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確畫出輔助線，構(gòu)造直角三角形，掌握解直角三角形的方法和步驟．
8．（2023·陜西·統(tǒng)考中考真題）一天晚上，小明和爸爸帶著測角儀和皮尺去公園測量一景觀燈（燈桿底部不可到達(dá)）的高．如圖所示，當(dāng)小明爸爸站在點(diǎn)處時(shí)，他在該景觀燈照射下的影子長為，測得；當(dāng)小明站在爸爸影子的頂端處時(shí)，測得點(diǎn)的仰角為．已知爸爸的身高，小明眼睛到地面的距離，點(diǎn)、、在同一條直線上，，，．求該景觀燈的高．（參考數(shù)據(jù)：，，

【答案】
【分析】過點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)題意可得：，，然后設(shè)，在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，從而求出的長，再根據(jù)垂直定義可得，從而證明字模型相似三角形，最后利用相似三角形的性質(zhì)可得，從而列出關(guān)于的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【詳解】解：過點(diǎn)作，垂足為，

由題意得：，，
設(shè)，
在中，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
該景觀燈的高約為．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，相似三角形的應(yīng)用，中心投影，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
9．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，是某校教學(xué)樓正廳一角處擺放的“教學(xué)樓平面示意圖”展板，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組想要測量此展板的最高點(diǎn)到地面的高度．他們繪制了圖2所示的展板側(cè)面的截面圖，并測得，，，，底座四邊形為矩形，．請幫助該數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組求出展板最高點(diǎn)A到地面的距離．（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，）

【答案】
【分析】過點(diǎn)A作于點(diǎn)G，與直線交于點(diǎn)H，過點(diǎn)B作于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作于點(diǎn)N，分別解作出的直角三角形即可解答．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作于點(diǎn)G，與直線交于點(diǎn)H，過點(diǎn)B作于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作于點(diǎn)N，

∴四邊形，四邊形均為矩形，
∴，，，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
答：展板最高點(diǎn)A到地面的距離為．
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，正確作出輔助線構(gòu)造出直角三角形，熟練通過解直角三角形求相應(yīng)未知量是解題的關(guān)鍵．
10．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題）圖1是某越野車的側(cè)面示意圖，折線段表示車后蓋，已知，，，該車的高度．如圖2，打開后備箱，車后蓋落在處，與水平面的夾角．

(1)求打開后備箱后，車后蓋最高點(diǎn)到地面的距離；
(2)若小琳爸爸的身高為，他從打開的車后蓋處經(jīng)過，有沒有碰頭的危險(xiǎn)?請說明理由．
（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，）
【答案】(1)車后蓋最高點(diǎn)到地面的距離為
(2)沒有危險(xiǎn),詳見解析
【分析】（1）作，垂足為點(diǎn)，先求出的長，再求出的長即可；
（2）過作，垂足為點(diǎn)，先求得，再得到，再求得，從而得出到地面的距離為，最后比較即可．
【詳解】（1）如圖，作，垂足為點(diǎn)

在中
∵，
∴
∴
∵平行線間的距離處處相等
∴
答：車后蓋最高點(diǎn)到地面的距離為．
（2）沒有危險(xiǎn)，理由如下：
過作，垂足為點(diǎn)

∵，
∴
∵
∴
在中，
∴．
∵平行線間的距離處處相等
∴到地面的距離為．
∵
∴沒有危險(xiǎn)．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
11．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考中考真題）如圖，l是南北方向的海岸線，碼頭A與燈塔B相距24千米，海島C位于碼頭A北偏東方向．一艘勘測船從海島C沿北偏西方向往燈塔B行駛，沿線勘測石油資源，勘測發(fā)現(xiàn)位于碼頭A北偏東方向的D處石油資源豐富．若規(guī)劃修建從D處到海岸線的輸油管道，則輸油管道的最短長度是多少千米？（結(jié)果保留根號(hào)）

【答案】千米
【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，由垂線段最短可得的長即為所求，先求出，再根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)可得，然后在中，解直角三角形可得的長，從而可得的長，最后利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可得．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

由垂線段最短可知，的長即為所求，
由題意得：，千米，
，，，
，
是等腰直角三角形，
，
在中，千米，千米，
千米，
在中，千米，
答：輸油管道的最短長度是千米．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、垂線段最短、含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握解直角三角形的方法是解題關(guān)鍵．
12．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）圖1是某住宅單元樓的人臉識(shí)別系統(tǒng)（整個(gè)頭部需在攝像頭視角圍內(nèi)才能被識(shí)別），其示意圖如圖2，攝像頭的仰角、俯角均為，攝像頭高度，識(shí)別的最遠(yuǎn)水平距離．

(1)身高的小杜，頭部高度為，他站在離攝像頭水平距離的點(diǎn)C處，請問小杜最少需要下蹲多少厘米才能被識(shí)別．
(2)身高的小若，頭部高度為，踮起腳尖可以增高，但仍無法被識(shí)別．社區(qū)及時(shí)將攝像頭的仰角、俯角都調(diào)整為（如圖3），此時(shí)小若能被識(shí)別嗎？請計(jì)算說明．（精確到，參考數(shù)據(jù)）
【答案】(1)
(2)能，見解析
【分析】（1）根據(jù)正切值求出長度，再利用三角形全等可求出，最后利用矩形的性質(zhì)求出的長度，從而求出蹲下的高度．
（2）根據(jù)正切值求出長度，再利用三角形全等可求出，最后利用矩形的性質(zhì)求出的長度，即可求出長度，與踮起腳尖后的高度進(jìn)行比較，即可求出答案．
【詳解】（1）解：過點(diǎn)作的垂線分別交仰角、俯角線于點(diǎn)，，交水平線于點(diǎn)，如圖所示，

在中，．
．
，
．
．
，，
小杜下蹲的最小距離．
（2）解：能，理由如下：
過點(diǎn)作的垂線分別交仰角、俯角線于點(diǎn)，，交水平線于點(diǎn)，如圖所示，

在中，．
，
，
．
，
．
小若墊起腳尖后頭頂?shù)母叨葹椋?br>小若頭頂超出點(diǎn)N的高度．
小若墊起腳尖后能被識(shí)別．
【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有銳角三角函數(shù)中的正切值、矩形的性質(zhì)、三角形的全等，解題的關(guān)鍵在于是否能根據(jù)生活實(shí)際題結(jié)合數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)．解題的重點(diǎn)在于熟練掌握相關(guān)概念、性質(zhì)和全等方法．
13．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）【問題背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如圖，即）．小軍測量某建筑物高度的方法如下：在地面點(diǎn)E處平放一面鏡子，經(jīng)調(diào)整自己位置后，在點(diǎn)D處恰好通過鏡子看到建筑物AB的頂端A．經(jīng)測得，小軍的眼睛離地面的距離，，，求建筑物AB的高度．

【活動(dòng)探究】
觀察小軍的操作后，小明提出了一個(gè)測量廣告牌高度的做法（如圖）：他讓小軍站在點(diǎn)D處不動(dòng)，將鏡子移動(dòng)至處，小軍恰好通過鏡子看到廣告牌頂端G，測出；再將鏡子移動(dòng)至處，恰好通過鏡子看到廣告牌的底端A，測出．經(jīng)測得，小軍的眼睛離地面距離，，求這個(gè)廣告牌AG的高度．

【應(yīng)用拓展】
小軍和小明討論后，發(fā)現(xiàn)用此方法也可測量出斜坡上信號(hào)塔AB的高度．他們給出了如下測量步驟（如圖）：①讓小軍站在斜坡的底端D處不動(dòng)（小軍眼睛離地面距離），小明通過移動(dòng)鏡子（鏡子平放在坡面上）位置至E處，讓小軍恰好能看到塔頂B；②測出；③測出坡長；④測出坡比為（即）．通過他們給出的方案，請你算出信號(hào)塔AB的高度（結(jié)果保留整數(shù)）．

【答案】[問題背景] ；[活動(dòng)探究] ；[應(yīng)用拓展]
【分析】[問題背景]根據(jù)反射定理，結(jié)合兩個(gè)三角形相似的判定與性質(zhì)，列出相似比代值求解即可得到答案；
[活動(dòng)探究] 根據(jù)反射定理，結(jié)合兩個(gè)三角形相似的判定與性質(zhì)，運(yùn)用兩次三角形相似，列出相似比代值，作差求解即可得到答案；
[應(yīng)用拓展] 過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，證，得，再由銳角三角函數(shù)定義得，設(shè)，，則，，進(jìn)而由勾股定理求出，然后由相似三角形的性質(zhì)得，即可解決問題．
【詳解】解：[問題背景]如圖所示：

，，
，
，
，
，，，
，解得；
[活動(dòng)探究]如圖所示：

，
，
，
，
，，
，
，
，解得；
，
，
，
，
，，
，
，
，解得；
；
[應(yīng)用拓展] 如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
由題意得：，，
，
，
，
即，
，，
，
，
即，
，
，
，
由題意得：，
，
，，
設(shè)，，則，，
，
，
解得：（負(fù)值已舍去），
，，
，
，
同【問題背景】得：，
，
，
解得：，
，
答：信號(hào)塔的高度約為．
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形綜合，涉及相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)求線段長、勾股定理等知識(shí)，讀懂題意，熟練掌握相似三角形測高、三角函數(shù)測高的方法步驟是解決問題的關(guān)鍵．
14．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）小亮利用所學(xué)的知識(shí)對大廈的高度進(jìn)行測量，他在自家樓頂B處測得大廈底部的俯角是，測得大廈頂部的仰角是，已知他家樓頂B處距地面的高度為40米（圖中點(diǎn)A，B，C，D均在同一平面內(nèi)）．

(1)求兩樓之間的距離（結(jié)果保留根號(hào)）；
(2)求大廈的高度（結(jié)果取整數(shù)）．
（參考數(shù)據(jù)：，，，）
【答案】(1)米
(2)92米
【分析】（1）作于點(diǎn)E，利用三角函數(shù)解即可；
（2）先證四邊形是矩形，再利用三角函數(shù)解求出，進(jìn)而可求．
【詳解】（1）解：如圖，作于點(diǎn)E，則，

由題意知，，，
故，
即兩樓之間的距離為米；
（2）解：由題意知，
四邊形是矩形，
，，
中，，
，
，
即大廈的高度為92米．
【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，通過添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
15．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖，堤壩長為，坡度i為，底端A在地面上，堤壩與對面的山之間有一深溝，山頂D處立有高的鐵塔．小明欲測量山高，他在A處看到鐵塔頂端C剛好在視線上，又在壩頂B處測得塔底D的仰角為．求堤壩高及山高．（，，，小明身高忽略不計(jì)，結(jié)果精確到）

【答案】堤壩高為8米，山高為20米．
【分析】過B作于H，設(shè)，，根據(jù)勾股定理得到，求得，過B作于F，則，設(shè)，解直角三角形即可得到結(jié)論．
【詳解】解：過B作于H，

∵坡度i為，
∴設(shè)，，
∴，
∴，
∴，
過B作于F，
則，
設(shè)，
∵．
∴，
∴，
∵坡度i為，
∴，
∴，
∴（米），
∴（米），
答：堤壩高為8米，山高為20米．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-俯角仰角，解直角三角形的應(yīng)用-坡角坡度，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
16．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）幾位同學(xué)在老師的指導(dǎo)下到某景區(qū)進(jìn)行戶外實(shí)踐活動(dòng)，在登山途中發(fā)現(xiàn)該景區(qū)某兩座山之間風(fēng)景優(yōu)美，但路陡難行，為了便于建議景區(qū)管理處在這兩山頂間建觀光索道，他們分別在兩山頂上取A、B兩點(diǎn)，并過點(diǎn)B架設(shè)一水平線型軌道（如圖所示），使得，從點(diǎn)B出發(fā)按方向前進(jìn)20米到達(dá)點(diǎn)E，即米，測得．已知，，求A、B兩點(diǎn)間的距離．

【答案】A、B兩點(diǎn)間的距離為500米．
【分析】如圖，過作于，由，設(shè)，則，可得，而，可得，結(jié)合，即，再建立方程求解即可．
【詳解】解：如圖，過作于，

∵，即，
設(shè)，則，
∴，而，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
解得：，
∴（米），
答：A、B兩點(diǎn)間的距離為500米．
【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，作出合適的輔助線構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)鍵．
17．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考中考真題）某風(fēng)景區(qū)觀景纜車路線如圖所示，纜車從點(diǎn)出發(fā)，途經(jīng)點(diǎn)后到達(dá)山頂，其中米，米，且段的運(yùn)行路線與水平方向的夾角為，段的運(yùn)行路線與水平方向的夾角為，求垂直高度．（結(jié)果精確到米，參考數(shù)據(jù)：，，）

【答案】垂直高度約為米
【分析】過點(diǎn)作于，作于，則四邊形為矩形，在中利用正弦函數(shù)求出長度，在中，，可以求出長度，即可求出．
【詳解】解：過點(diǎn)作于，作于，則四邊形為矩形，

，
在中，，，
則（米），
米，
在中，，米，
則米，
米．
答：垂直高度約為米．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答時(shí)需要過點(diǎn)作于，作于，然后根據(jù)特殊四邊形和直角三角形中的邊角關(guān)系進(jìn)行計(jì)算．
18．（2023·寧夏·統(tǒng)考中考真題）如圖，糧庫用傳送帶傳送糧袋，大轉(zhuǎn)動(dòng)輪的半徑為10cm，傳送帶與水平面成角．假設(shè)傳送帶與轉(zhuǎn)動(dòng)輪之間無滑動(dòng)，當(dāng)大轉(zhuǎn)動(dòng)輪轉(zhuǎn)時(shí)，傳送帶上點(diǎn)處的糧袋上升的高度是多少？（傳送帶厚度忽略不計(jì)）

【答案】糧袋上升的高度是cm
【分析】先求出糧袋移動(dòng)的距離，再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：如圖，設(shè)大轉(zhuǎn)動(dòng)輪轉(zhuǎn)時(shí)，糧袋移動(dòng)到點(diǎn)，

則：，
過點(diǎn)作，于點(diǎn)，
∴，
∴，即：糧袋上升的高度是cm．
【點(diǎn)睛】本題考查求弧長，含30度的直角三角形．解題的關(guān)鍵是掌握糧袋移動(dòng)的距離為大輪轉(zhuǎn)動(dòng)的距離．
19．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）小王同學(xué)學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)后，通過觀察廣場的臺(tái)階與信號(hào)塔之間的相對位置，他認(rèn)為利用臺(tái)階的可測數(shù)據(jù)與在點(diǎn)，處測出點(diǎn)的仰角度數(shù)，可以求出信號(hào)塔的高．如圖，的長為，高為．他在點(diǎn)處測得點(diǎn)的仰角為，在點(diǎn)處測得點(diǎn)的仰角為，在同一平面內(nèi)．你認(rèn)為小王同學(xué)能求出信號(hào)塔的高嗎？若能，請求出信號(hào)塔的高；若不能，請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：，，，結(jié)果保留整數(shù)）
【答案】能求出信號(hào)塔的高，信號(hào)塔的高為；
【分析】過作，垂足為，根據(jù)勾股定理及等腰直角三角形的性質(zhì)，進(jìn)而設(shè)根據(jù)銳角三角函數(shù)解答即可．
【詳解】解：過作，垂足為，
∵，，
∴四邊形是矩形，
∴，．
∵的長為，高為，
∴．
∴在中，()．
∵，，
∴．
∴．
∴設(shè)．
∴，．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
即信號(hào)塔的高為．
∴能求出信號(hào)塔的高，信號(hào)塔的高為．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，等腰直角三角形性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，掌握銳角三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．
20．（2023·遼寧營口·統(tǒng)考中考真題）為了豐富學(xué)生的文化生活，學(xué)校利用假期組織學(xué)生到素質(zhì)教育基地A和科技智能館B參觀學(xué)習(xí)，學(xué)生從學(xué)校出發(fā)，走到C處時(shí)，發(fā)現(xiàn)A位于C的北偏西方向上，B位于C的北偏西方向上，老師將學(xué)生分成甲乙兩組，甲組前往A地，乙組前往B地，已知B在A的南偏西方向上，且相距1000米，請求出甲組同學(xué)比乙組同學(xué)大約多走多遠(yuǎn)的路程（參考數(shù)據(jù)：，）

【答案】甲組同學(xué)比乙組同學(xué)大約多走米的路程
【分析】過B點(diǎn)作于點(diǎn)D，根據(jù)題意有：，，，進(jìn)而可得，，，結(jié)合直角三角形的知識(shí)可得（米），（米），（米），即有（米），問題隨之得解．
【詳解】如圖，過B點(diǎn)作于點(diǎn)D，

根據(jù)題意有：，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵（米），
∴（米），
∵在中，，（米），
∴（米），
∴（米），
∴（米），
∴（米），
即（米），
答：甲組同學(xué)比乙組同學(xué)大約多走米的路程．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用以及方位角的知識(shí)，正確理解方位角，是解答本題的關(guān)鍵．
21．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，某育苗基地為了能夠最大限度地遮擋夏季炎熱的陽光和充分利用冬天的光照，計(jì)劃在苗圃正上方搭建一個(gè)平行于地面的遮陽蓬．已知苗圃的（南北）寬米，該地區(qū)一年中正午時(shí)刻太陽光與地平面的最大夾角是，最小夾角是．求遮陽蓬的寬和到地面的距離．
參考數(shù)據(jù)：，，，，，．

【答案】米，米．
【分析】過點(diǎn)D作于F，解，得，解，得，所以，解得米，從而得米，再由矩形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)D作于F，

在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
解得：(米)，
∴(米)，
∴(米)，
∵
∴矩形，
∴米，米．
答：遮陽蓬的寬為7.5米，到地面的距離為4.2米．
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，通過作輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
22．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）徐州電視塔為我市的標(biāo)志性建筑之一，如圖，為了測量其高度，小明在云龍公園的點(diǎn)處，用測角儀測得塔頂?shù)难鼋?，他在平地上沿正對電視塔的方向后退至點(diǎn)處，測得塔頂?shù)难鼋牵魷y角儀距地面的高度，求電視塔的高度（精確到．（參考數(shù)據(jù)：）

【答案】
【分析】先證四邊形是矩形，四邊形是平行四邊形，得，然后在和中，解直角三角形以及由構(gòu)造方程求解即可得解．
【詳解】解：∵，，，，
∴四邊形是矩形，，
∴，，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴電視塔的高度．
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，坡度坡角問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練解直角三角形，屬于中考常考題型．
23．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）暑假期間，小明與小亮相約到某旅游風(fēng)景區(qū)登山，需要登頂高的山峰，由山底A處先步行到達(dá)處，再由處乘坐登山纜車到達(dá)山頂處．已知點(diǎn)A，B．D，E，F(xiàn)在同一平面內(nèi)，山坡的坡角為，纜車行駛路線與水平面的夾角為（換乘登山纜車的時(shí)間忽略不計(jì)）

(1)求登山纜車上升的高度；
(2)若步行速度為，登山纜車的速度為，求從山底A處到達(dá)山頂處大約需要多少分鐘（結(jié)果精確到）
（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】(1)登山纜車上升的高度
(2)從山底A處到達(dá)山頂處大約需要
【分析】（1）過B點(diǎn)作于C，于E，則四邊形是矩形，在中，利用含30度的直角三角形的性質(zhì)求得的長，據(jù)此求解即可；
（2）在中，求得的長，再計(jì)算得出答案．
【詳解】（1）解：如圖，過B點(diǎn)作于C，于E，則四邊形是矩形，
在中，，，
∴，
∴，
答：登山纜車上升的高度；
（2）解：在中，，，
∴，
∴從山底A處到達(dá)山頂處大約需要：
，
答：從山底A處到達(dá)山頂處大約需要.
【點(diǎn)睛】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確掌握直角三角形的邊角關(guān)系是解題關(guān)鍵．
24．（2023·貴州·統(tǒng)考中考真題）貴州旅游資源豐富．某景區(qū)為給游客提供更好的游覽體驗(yàn)，擬在如圖①景區(qū)內(nèi)修建觀光索道．設(shè)計(jì)示意圖如圖②所示，以山腳為起點(diǎn)，沿途修建、兩段長度相等的觀光索道，最終到達(dá)山頂處，中途設(shè)計(jì)了一段與平行的觀光平臺(tái)為．索道與的夾角為，與水平線夾角為，兩處的水平距離為，，垂足為點(diǎn)．（圖中所有點(diǎn)都在同一平面內(nèi)，點(diǎn)在同一水平線上）

(1)求索道的長（結(jié)果精確到）；
(2)求水平距離的長（結(jié)果精確到）．
（參考數(shù)據(jù)：，，，）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)的余玄直接求解即可得到答案；
（2）根據(jù)、兩段長度相等及與水平線夾角為求出C到的距離即可得到答案；
【詳解】（1）解：∵兩處的水平距離為，索道與的夾角為，
∴；
（2）解：∵、兩段長度相等，與水平線夾角為，
∴，，
∴；

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形解決實(shí)際應(yīng)用題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握幾種三角函數(shù)．
25．（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）鄂州市蓮花山是國家級(jí)風(fēng)景區(qū)，元明塔造型獨(dú)特，是蓮花山風(fēng)景區(qū)的核心景點(diǎn)，深受全國各地旅游愛好者的青睞．今年端午節(jié)，景區(qū)將舉行大型包粽子等節(jié)日慶?；顒?dòng)．如圖2，景區(qū)工作人員小明準(zhǔn)備從元明塔的點(diǎn)G處掛一條大型豎直條幅到點(diǎn)E處，掛好后，小明進(jìn)行實(shí)地測量，從元明塔底部F點(diǎn)沿水平方向步行30米到達(dá)自動(dòng)扶梯底端A點(diǎn)，在A點(diǎn)用儀器測得條幅下端E的仰角為；接著他沿自動(dòng)扶梯到達(dá)扶梯頂端D點(diǎn)，測得點(diǎn)A和點(diǎn)D的水平距離為15米，且；然后他從D點(diǎn)又沿水平方向行走了45米到達(dá)C點(diǎn)，在C點(diǎn)測得條幅上端G的仰角為．（圖上各點(diǎn)均在同一個(gè)平面內(nèi)，且G，C，B共線，F(xiàn)，A，B共線，G、E、F共線，，）．

(1)求自動(dòng)扶梯的長度；
(2)求大型條幅的長度．（結(jié)果保留根號(hào)）
【答案】(1)25米
(2)米
【分析】（1）過D作于M，由可得，求出的長，利用勾股定理即可求解；
（2）過點(diǎn)D作于N，則四邊形是矩形，得，，由已知計(jì)算得出的長度，解直角三角形得出的長度，在中求得的長度，利用線段的和差，即可解決問題．
【詳解】（1）解：過D作于M，如圖：

在中，，
∵(米)，
∴(米)，
由勾股定理得(米)
（2）如圖，過點(diǎn)D作于N，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴(米)，(米)，
由題意，(米)，
∵，
∴，
∴(米)，（米），
由題意，，(米)，
∴，
∴(米)，
∴米
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用一仰角俯角問題、勾股定理、矩形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
26．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）如圖1是我國第一個(gè)以“龍”為主題的主題公園——“蘭州龍?jiān)础保疤m州龍?jiān)础钡摹褒垺弊种黝}雕塑以紫銅鑄造，如巨龍騰空，氣勢如虹，屹立在黃河北岸．某數(shù)學(xué)興趣小組開展了測量“龍”字雕塑CD高度的實(shí)踐活動(dòng)．具體過程如下：如圖2，“龍”字雕塑CD位于垂直地面的基座BC上，在平行于水平地面的A處測得、，．求“龍”字雕塑的高度．（B，C，D三點(diǎn)共線，．結(jié)果精確到0.1m）（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）

【答案】“龍”字雕塑的高度為．
【分析】在和中，分別求得和的長，據(jù)此求解即可.
【詳解】解：在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴,
答：“龍”字雕塑的高度為．
【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
27．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）為了增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)、錘煉學(xué)生意志，某校組織一次定向越野拉練活動(dòng)．如圖，A點(diǎn)為出發(fā)點(diǎn)，途中設(shè)置兩個(gè)檢查點(diǎn)，分別為點(diǎn)和點(diǎn)，行進(jìn)路線為．點(diǎn)在點(diǎn)的南偏東方向處，點(diǎn)在A點(diǎn)的北偏東方向，行進(jìn)路線和所在直線的夾角為．

(1)求行進(jìn)路線和所在直線的夾角的度數(shù)；
(2)求檢查點(diǎn)和之間的距離（結(jié)果保留根號(hào)）．
【答案】(1)行進(jìn)路線和所在直線的夾角為
(2)檢查點(diǎn)和之間的距離為
【分析】（1）根據(jù)題意得，，，再由各角之間的關(guān)系求解即可；
（2）過點(diǎn)A作，垂足為，由等角對等邊得出，再由正弦函數(shù)及正切函數(shù)求解即可．
【詳解】（1）解：如圖，根據(jù)題意得，，，
，
．
在中，，
．
答：行進(jìn)路線和所在直線的夾角為．
（2）過點(diǎn)A作，垂足為．

，
，
．
,
在中，
，
．
,
在中，，
，
．
答：檢查點(diǎn)和之間的距離為．
【點(diǎn)睛】題目主要考查解三角形的應(yīng)用，理解題意，作出相應(yīng)輔助線求解是解題關(guān)鍵．
28．（2023·吉林·統(tǒng)考中考真題）某校數(shù)學(xué)活動(dòng)小組要測量校園內(nèi)一棵古樹的高度，王朵同學(xué)帶領(lǐng)小組成員進(jìn)行此項(xiàng)實(shí)踐活動(dòng)，記錄如下：
填寫人：王朵 綜合實(shí)踐活動(dòng)報(bào)告 時(shí)間：2023年4月20日
請結(jié)合圖①、圖④和相關(guān)數(shù)據(jù)寫出的度數(shù)并完成【步驟四】．
【答案】，
【分析】根據(jù)測角儀顯示的度數(shù)和直角三角形兩銳角互余即可求得的度數(shù)，證明四邊形是矩形得到，再解直角三角形求得的度數(shù)，即可求解．
【詳解】解：測角儀顯示的度數(shù)為，
∴，
∵，，，
∴，
∴四邊形是矩形，，

在中，，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用和矩形的判定與性質(zhì)，熟練掌握解直角三角形的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．
三、填空題
29．（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組對一電視發(fā)射塔的高度進(jìn)行了測量．如圖，在塔前C處，測得該塔頂端B的仰角為，后退（）到D處有一平臺(tái)，在高（）的平臺(tái)上的E處，測得B的仰角為．則該電視發(fā)射塔的高度為 ．（精確到．參考數(shù)據(jù)：）

【答案】55
【分析】如圖所示，過點(diǎn)E作于F，則四邊形是矩形，可得到；設(shè)，則，解得到，解得到，進(jìn)而建立方程
，解方程即可得到答案．
【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)E作于F，
由題意得，，
∴四邊形是矩形，
∴，
設(shè)，則，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案為：55．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，矩形的性質(zhì)與判定等等，正確理解題意作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
30．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）為發(fā)展城鄉(xiāng)經(jīng)濟(jì)，建設(shè)美麗鄉(xiāng)村，某鄉(xiāng)對地和地之間的一處垃圾填埋場進(jìn)行改造，把原來地去往地需要繞行到地的路線，改造成可以直線通行的公路．如圖，經(jīng)勘測，千米，，，則改造后公路的長是 千米（精確到千米；參考數(shù)據(jù)：，，，）．

【答案】
【分析】如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，分別解，求得，進(jìn)而即可求解．
【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

在中，，，，
∴，
在中，，，，
∴，
∴（千米）
改造后公路的長是千米，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
活動(dòng)任務(wù)：測量古樹高度
活動(dòng)過程
【步驟一】設(shè)計(jì)測量方案
小組成員討論后，畫出如圖①的測量草圖，確定需測的幾何量．

【步驟二】準(zhǔn)備測量工具
自制測角儀，把一根細(xì)線固定在半圓形量角器的圓心處，細(xì)線的另一端系一個(gè)小重物，制成一個(gè)簡單的測角儀，利用它可以測量仰角或俯角，如圖②所示準(zhǔn)備皮尺．

【步驟三】實(shí)地測量并記錄數(shù)據(jù)如圖③，王朵同學(xué)站在離古樹一定距離的地方，將這個(gè)儀器用手托起，拿到眼前，使視線沿著儀器的直徑剛好到達(dá)古樹的最高點(diǎn)．
如圖④，利用測角儀，測量后計(jì)算得出仰角．
測出眼睛到地面的距離．
測出所站地方到古樹底部的距離．
________．
．
．
【步驟四】計(jì)算古樹高度．（結(jié)果精確到）
（參考數(shù)據(jù)：）

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