藝考生專題講義47 直線與曲線的最值問題-2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)藝體生一輪復(fù)習(xí)試題

這是一份藝考生專題講義47 直線與曲線的最值問題-2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)藝體生一輪復(fù)習(xí)試題，共10頁。學(xué)案主要包含了最值問題，綜合運用等內(nèi)容，歡迎下載使用。
一.圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：
1.是幾何法，即利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解；
2.是代數(shù)法，即把要求最值的幾何量或代數(shù)式表示為某個(些)參數(shù)的函數(shù)，然后利用函數(shù)、不等式的知識等進(jìn)行求解
二．解決圓錐曲線中的范圍或最值問題時，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)出明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值．在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時常從以下幾個方面考慮：
①利用判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；
②利用已知參數(shù)的范圍，求出新參數(shù)的范圍，解題的關(guān)鍵是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系；
③利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；
④利用函數(shù)值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍．
精講精練
題型一 最值問題
【例1】(2024·漠河市高級中學(xué)高三月考(文))如圖，已知橢圓上一點，右焦點為，直線交橢圓于點，且滿足， ．
(1)求橢圓的方程；
(2)若直線與橢圓相交于兩點，求四邊形面積的最大值．
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)為橢圓上一點，
又 ，可得，，即
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.
(2)由(1)知，，直線的方程為，
聯(lián)立 ，整理得：，
解得：，
設(shè)點，到直線的距離為和，
則，，
直線與橢圓相交于兩點，
聯(lián)立，整理得：，解得：.
.
設(shè)四邊形面積為，則.
設(shè)，則，
當(dāng)，即，即時，四邊形面積有最大值.
【舉一反三】
1．(2024·四川成都市·高三二模(理))已知橢圓：經(jīng)過點，其長半軸長為2．
(Ⅰ)求橢圓C的方程；
(Ⅱ)設(shè)經(jīng)過點的直線與橢圓相交于，兩點，點關(guān)于軸的對稱點為，直線與軸相交于點，求△的面積的取值范圍．
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).
【解析】(Ⅰ)由已知，即橢圓的方程為．
∵橢圓經(jīng)過點，
∴，解得．
∴橢圓的方程為．
(Ⅱ)由題意，直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，，．
由，消去，得．
∵，
∴，．
∵為點關(guān)于軸的對稱點，
∴．
∴直線的方程為，即．
令，則．
∴．
∴△的面積．
令，則．
∴．
∵，
∴．
∴△的面積的取值范圍為．
2．(2024·浙江省寧海中學(xué)高三月考)已知點，在直線：上(在上方)，，，斜率為的直線交拋物線：于點，，直線交拋物線于點，.
(1)求的取值范圍；
(2)若，求的取值范圍.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)由題意可設(shè)：，由于與拋物線，直線均有交點，
故，，
聯(lián)立與的方程得到，得，
而，得到，
得，
由于與拋物線、直線均有交點，故得，
綜上，.
(2)設(shè)，，，，則
，，
故，
記，到直線的距離分別為，
則，
設(shè)：，其中，與拋物線聯(lián)立得
，由韋達(dá)定理得，
同理設(shè)：，由韋達(dá)定理得
故
，
由(1)可知，，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)，即等
故的取值范圍是.
題型二 綜合運用
【例2】(2024·浙江高三其他模擬)如圖，橢圓的左頂點為，離心率為，長軸長為4，橢圓和拋物線有相同的焦點，直線與橢圓交于，兩點，與拋物線交于，兩點．
(1)求拋物線的方程；
(2)若點，滿足，，求的取值范圍．
【答案】(1)；(2)．
【解析】(1)因為橢圓的離心率為，長軸長為4，，所以，，
因為橢圓和拋物線有相同的焦點，所以，即，
所以拋物線的方程為．
(2)由(1)知橢圓，
由得，
，得，．
設(shè)，，
則，
所以．
易知，所以．
由得．
，得．
設(shè)，，
則，
所以，
所以．
所以
，，
易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以
【舉一反三】
1．(2024·遼寧鐵嶺市·高三一模)已知橢圓方程，直線與軸相交于點，過右焦點的直線與橢圓交于，兩點．
(1)若過點的直線與垂直，且與直線交于點，線段中點為，求證：．
(2)設(shè)點的坐標(biāo)為，直線與直線交于點，試問是否垂直，若是，寫出證明過程，若不是，請說明理由．
【答案】(1)證明見解析；(2)是垂直；證明見解析．
【解析】(1)由橢圓方程為知，右焦點坐標(biāo)，
直線方程為，點坐標(biāo)．
由知，直線斜率不為0，
故設(shè)直線的方程為，
從而，直線的方程為，
令得，點坐標(biāo)為，
故直線的方程來，
聯(lián)立方程組，消去得：，
設(shè)，，
即，，
從而，線段的中點，
，
綜上可知，．
(2)
(ⅰ)當(dāng)直線的斜率為0時，點即為點，從而．
(ⅱ)當(dāng)直線的斜率不為0時，
由(1)知，，，
所以，則，
直線的方程為，
又，令，得，
所以點的坐標(biāo)為，即．
2．(2024·浙江期末)如圖，已知A，B，C，D是拋物線上四個不同的點，且，設(shè)直線與直線相交于點P，設(shè)．
(1)求證：A，P，B三點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；
(2)當(dāng)直線經(jīng)過點，且時，若面積的為，求直線的方程．
【答案】(1)證明見解析；(2)．
【解析】(1)由題意，點A，B，C，D是拋物線上四個不同的點，
設(shè)，
因為．所以，即，化簡得：， ①
因為，所以，解得，
因為，，所以，
于是，所以， ②
由①②可知，即A，P，B三點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．
(2)設(shè)直線的方程為，代入，得，
所以，且，所以，
由(1)可知，且，可得，
同理．
由，得，即，
同理可得，
所以是方程的兩個實根，于是，
又因為，，所以，解得，
設(shè)線段的中點為M，則，
所以，
于是，
因為面積的為，所以，解得，
所以直線的方程為
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