1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
第一部分（選擇題 共58分）
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 復數(shù)，則（ ）
A. 的實部為B. 的虛部為
C. 的虛部為D. 的虛部為1
【答案】C
【解析】
【分析】利用復數(shù)實部、虛部的定義逐項判斷得解.
【詳解】復數(shù)的實部為1，虛部為，ABD錯誤，C正確.
故選：C
2. ，其中，若，則x的值為
A. 8B. 4C. 2D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)即可得出，再根據(jù)，即可解出x的值．
【詳解】解：，且；
；
解得，或舍去．
故選B．
【點睛】考查向量坐標的定義，以及向量平行時的坐標關系．
3. 在中，角所對三條邊為，已知，則角（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由余弦定理計算角的余弦值，再結合角的范圍即可求角.
【詳解】，
所以，且，
所以.
故選：B.
4. 已知等邊的邊長為2，點、分別為的中點，若，則=（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】取為基底，利用平面向量基本定理表示出，進行數(shù)量積運算即可.
【詳解】在中，取為基底，則.
因為點、分別為的中點，
，
，
故選：A
5. 已知平面向量，且，則的值為（ ）
A. B. C. 2D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】由題意可得，利用向量的數(shù)量積的坐標表示可求得的值.
【詳解】因為，所以，所以，
又因為，所以，解得.
故選：A.
6. 已知向量 ，則在上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)在上的投影向量公式計算即可解決.
【詳解】由題意，
所以在上的投影向量為，
故選：A
7. 已知平面向量的夾角為，且，在中，，D為BC的中點，則等于（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】以為基底表示出向量，兩邊平方可求得.
【詳解】因為，
所以
；
因此.
故選：A
8. 如圖，在海面上有兩個觀測點，點B在D的正北方向，距離為2km，在某天觀察到某航船在C處，此時測得，5分鐘后該船行駛至A處，此時測得，，，則該船行駛的距離（ ）
A. kmB. kmC. kmD. km
【答案】A
【解析】
【分析】在中可得，在中由正弦定理可得，在中，由余弦定理可得.
【詳解】,
，
在中，，，則，
又因為，所以km.
在中，，，則.
由正弦定理，得AB=km，
在中，，由余弦定理得
，
即km，
故選：A.
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 下列各組向量中，可以作為基底的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)不共線的向量可以做基底判斷即可.
【詳解】A選項：，與共線，A錯誤；
B選項：，與不共線，B正確；
C選項：，與不共線，C正確；
D選項：，與共線，D錯誤；
故選：BC.
10. 已知向量，則（ ）
A.
B.
C. 與的夾角可能為
D. 向量與不可能垂直
【答案】AD
【解析】
【分析】利用平面向量的模長公式可判斷選項AB;利用向量夾角的計算可判斷選項C;利用向量垂直的坐標表示可判斷選項D.
【詳解】對于A:因為，所以，故A正確.
對于B:因為，所以,
當時, ，故B錯誤.
對于C:因為，二者不可能反向，所以與的夾角不可能為，故C錯誤.
對于D:因為
所以,
令,無解，所以向量與不可能垂直，故D正確.
故選：AD.
11. 《數(shù)書九章》是南宋時期杰出數(shù)學家秦九韶的著作，全書十八卷，共八十一個問題，分為九類，每類九個問題，《數(shù)書九章》中記錄了秦九韶的許多創(chuàng)造性成就，其中在卷五“三斜求積術”中提出了已知三角形三邊，，，求面積的公式，這與古希臘的海倫公式完全等價，其求法是：“以少廣求之，以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實；一為從隅，開平方得積．”若把以上這段文字寫成公式，即．現(xiàn)有滿足，且的面積，請運用上述公式判斷下列結論正確的是（ ）
A. 的周長為B. 三個內角，，滿足
C. 外接圓的直徑為D. 的中線的長為
【答案】ABC
【解析】
【分析】對于選項，由正弦定理得三角形三邊之比，由面積求出三邊，代入公式即可求出周長；
對于選項，根據(jù)余弦定理可求得的值為，可得，可得三個內角，，成等差數(shù)列；
對于選項，由正弦定理可得，外接圓直徑可得的值；
對于選項，由題意利用中線定理即可計算得解．
【詳解】由正弦定理可得．
設
，
解得的周長為，故A正確；
由余弦定理得，，
故B正確；
由正弦定理知，外接圓的直徑，故C正確；
由中線定理得，即，
，故D錯誤．
故選:ABC．
第二部分（非選擇題 共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知，且，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算律計算即可求解.
詳解】由題意知，，
由，得.
故答案為：
13. 記的內角的對邊分別為，若，則的面積為__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)余弦定理求出，再根據(jù)三角形面積公式即可求得.
【詳解】由余弦定理得，得，
所以.
故答案為：
14. 抗戰(zhàn)勝利紀功碑暨人民解放紀念碑，簡稱“解放碑”，位于重慶市渝中區(qū)解放碑商業(yè)步行街中心地帶，是抗戰(zhàn)勝利的精神象征，是中國唯一一座紀念中華民族抗日戰(zhàn)爭勝利的紀念碑．如圖：在解放碑的水平地面上的點處測得其頂點的仰角為?點處測得其頂點的仰角為，若米，且，則解放碑的高度__________米．
【答案】##
【解析】
【分析】設，由直角三角形三角函數(shù)定義可得，再在中利用余弦定理可解.
【詳解】設，則，
中：，則
得到米.
故答案為：
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 設，復數(shù).
（1）求m何值時，z為純虛數(shù)；
（2）若復數(shù)z在復平面內對應的點位于第四象限，求m的取值范圍.
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)純虛數(shù)的概念即可列出方程，進而求解即可；
（2）復平面內的點位于第四象限，則橫坐標大于0，同時縱坐標小于0，據(jù)此列出不等式求解即可.
【小問1詳解】
由解得或；
當時，是純虛數(shù)，
當時，為實數(shù)，
所以.
【小問2詳解】
因為在復平面內對應的點位于第四象限，
所以，解得
16. 已知．
（1）若，求；
（2）設，若，求的夾角．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）兩邊平方后，根據(jù)向量的數(shù)量積運算性質即可求解；
（2）兩邊平方后，根據(jù)向量的數(shù)量積運算性質即可求的，然后結合公式即可得解.
【小問1詳解】
由題意得，即，
又因為，所以，即；
【小問2詳解】
由題意得，即；
又，
所以，
所以，即，
所以，又
所以
17. 在中，角的對邊分別是，且．
（1）求角的大小；
（2）若，且，求的面積．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理邊化角，代入計算，即可得到結果；
（2）根據(jù)題意，由余弦定理結合三角形的面積公式代入計算，即可得到結果.
【小問1詳解】
因為，
所以根據(jù)正弦定理得，
因為，
所以，
即，
即．
因為，所以．
因為，所以．
【小問2詳解】
．
因為，所以①．
因為，
所以②．
聯(lián)立①②可得，解得（負根舍去），
故的面積為．
18. 如圖，在等腰梯形中，，，分別為，的中點，與交于點．
（1）令，，用，表示；
（2）求線段的長．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由向量的線性運算求解；
（2）利用三點共線，三點共線，求得，同時證明是等邊三角形，然后把平方可得．
【小問1詳解】
∵，分別為，的中點，
∴；
【小問2詳解】
設，
∵，分別為，的中點，
所以，
因為三點共線，三點共線，
所以，解得，
即，
由已知與平行且相等，因此是平行四邊形，
所以，是等邊三角形，
所以．
19. 已知為坐標原點，對于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的相伴特征向量，同時稱函數(shù)為向量的相伴函數(shù)．
（1）記向量的相伴函數(shù)為，若當且時，求的值；
（2）設，試求函數(shù)的相伴特征向量，并求出與同向的單位向量；
（3）已知為函數(shù)的相伴特征向量，若在中，，若點為該的外心，求的最大值．
【答案】（1）
（2），
（3）
【解析】
【分析】（1）由相伴函數(shù)的定義結合輔助角公式得函數(shù)的表達式，進一步解三角函數(shù)方程即可；
（2）利用兩角和差的余弦公式展開合并以及單位向量的定義即可依次得解；
（3）由題意依次得，外接圓的半徑，再結合向量的數(shù)量積運算即可得解.
【小問1詳解】
根據(jù)題意知，向量的相伴函數(shù)為，
當時，，
又，則，所以，故.
小問2詳解】
因為，
整理得到，故函數(shù)的相伴特征向量，
則與同向的單位向量為.
【小問3詳解】
由題意得，，
在中，，，因此，
設外接圓半徑為，根據(jù)正弦定理，，故，
所以 ，
，
，
代入可得，
所以當時，取得最大值．
【點睛】關鍵點點睛：第三問的關鍵在于，外接圓的半徑，再結合向量數(shù)量積的運算律即可順利得解.

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