注意事項：
1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
4．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 已知集合，則中所含元素的個數(shù)為（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】通過解不等式求得，進而得即可得答案.
【詳解】，，
故選：B.
2. 復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)，則，利用復(fù)數(shù)的加法以及復(fù)數(shù)相等可求出、的值，可得出復(fù)數(shù)，即可得出結(jié)果.
【詳解】設(shè)，則，
所以，，
所以，解得，，故，即復(fù)數(shù)的虛部為.
故選：A.
3. 已知是單位向量，且，在上的投影向量為，則與的夾角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)投影向量的定義，求得，又由，求得，即可由夾角公式求得夾角.
【詳解】若在上的投影向量為，即，
由，則有，即，可得，
又由，
則有，解可得：，
設(shè)與的夾角為，則，
又由，則；
故選：D
4. 已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項和為，，則的值為（ ）
A. 5B. 10C. 9D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式和求和公式，列方程求解即可.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，且，
當時，不符合題意，故，
又因為，
所以，即，
解得，所以，
故選：A
5. 若，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用切化弦，再利用二倍角公式化簡，最后可求解余弦值，然后再求正切值即可.
【詳解】由，
又因為，所以得：
，
則，
即，
故選：C .
6. 已知正三棱錐底面邊長為，且其側(cè)面積是底面積的倍，則此正三棱錐的體積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)頂點在底面的射影點為，延長交于點，則為的中點，連接，根據(jù)題意求出、的長，可求出的長，再利用錐體的體積公式可求得該正三棱錐的體積.
【詳解】在正三棱錐中，設(shè)頂點在底面的射影點為，則為正的中心，
延長交于點，則為的中點，連接，
因為正的邊長為，為的中點，則，
因為，則，
則，
，
由題意可知，正三棱錐的側(cè)面積為，則，
即，故，
因為為正的中心，則，
因為平面，平面，則，
所以，，
因此，該三棱錐的體積為.
故選：D.
7. 若雙曲線與雙曲線漸近線相同，則稱雙曲線與雙曲線為“共漸雙曲線”.設(shè)為雙曲線右支上一點，分別為雙曲線的左頂點和右焦點，為等邊三角形，雙曲線與雙曲線為“共漸雙曲線”，且雙曲線的焦距為16，則雙曲線的標準方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由題意，結(jié)合雙曲線定義，可得，，結(jié)合，可得，即得漸近線，進而可得，結(jié)合焦距即可求解.
【詳解】
由題意：，
設(shè)為雙曲線的左焦點，由雙曲線的定義，故，
由于，
化為，故，
則進而可得，
故雙曲線的漸近線方程為，
因此的漸近線方程為，即，
由于焦距為，解得，
故的方程為.
故選：C
8. 已知函數(shù)的定義域為，存在常數(shù)，使得對任意，都有，當時，，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的最小值為（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知條件得出函數(shù)的周期為，再根據(jù)給定區(qū)間解析式得出函數(shù)單調(diào)區(qū)間，再列出不等式，求解即可得的最小值
【詳解】存在常數(shù)，使得對任意，都有，
函數(shù)的周期是
當時，，且
即，
函數(shù)在和單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，
當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
，即，
故選：
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 下列說法正確的是（ ）
A. 隨機變量，則
B. 隨機變量，則當時概率最大
C. 從裝有2個紅球和2個白球的口袋內(nèi)任取2個球，“至少有一個紅球”與“至少有一個白球”是互斥事件
D. 袋中裝有2個紅球和2個白球，這些球除顏色外完全相同，從中一次性摸出2個球，則摸到紅球的個數(shù)服從超幾何分布
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用二項分布期望公式計算判斷A；利用二項分布概率公式，結(jié)合二項式系數(shù)的性質(zhì)判斷B；利用互斥事件的定義判斷C；利用超幾何分布的定義判斷D.
【詳解】對于A，隨機變量，則，A正確；
對于B，隨機變量，則，
，由二項式系數(shù)的性質(zhì)知，當時，最大，B正確；
對于C，“至少有一個紅球”與“至少有一個白球”的事件可以同時發(fā)生，
即取出的兩球為一紅一白的事件，因此它們不互斥，C錯誤；
對于D，設(shè)摸出紅球個數(shù)為，則，符合超幾何分布，D正確.
故選：ABD
10. 已知圓，則下列說法正確的是（ ）
A. 若圓與軸相切，則
B. 若直線平分圓的周長，則
C. 圓的圓心到原點的距離的最小值為
D. 圓與圓可能外切
【答案】BCD
【解析】
【分析】對于A，根據(jù)直線與圓相切條件列方程，求方程解判斷；對于B，根據(jù)圓心在直線上，列方程求解判斷；對于C，根據(jù)兩點間距離公式得距離函數(shù)，求函數(shù)最小值判斷；對于D，根據(jù)兩圓外切條件列方程，用方程特解判斷.
【詳解】對于A，圓的圓心為，半徑為，因為圓與軸相切，，解得：或，故A錯誤；
對于B，因為直線平分圓的周長，所以圓的圓心在直線上，，解得：，故B正確；
對于C，圓的圓心到原點的距離，所以當時，最小值為，故C正確；
對于D，圓的圓心為，半徑為，故圓與圓外切的條件為，當時，等式成立，故D正確.
故選：BCD.
11. 已知數(shù)列滿足：，是數(shù)列的前項和，，下列命題正確的是（ ）
A. B. 數(shù)列是遞減數(shù)列
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】選項A. 設(shè)，求出其導(dǎo)函數(shù)得出其單調(diào)性，可得，設(shè)，求出其導(dǎo)函數(shù)，得出其單調(diào)性，可得，從而可判斷A；選項B. 設(shè),求出其導(dǎo)數(shù)，借助于選項A中構(gòu)造的函數(shù)結(jié)論，可得其單調(diào)性，從而可判斷B；選項C. 由可判斷C；選項D：由選項B證明結(jié)果數(shù)列是遞增數(shù)列，所以，由選項A中得到的結(jié)論可得，從而可判斷選項D.
【詳解】由題意，則，
設(shè)，則，
所以在上的單調(diào)遞減，所以，即，
當時，可得，即，
設(shè)，則，
所以在上的單調(diào)遞增，所以，
取，可得，即
所以，所以選項A正確.
設(shè)，則，
由上在上恒成立，則，
所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增.
所以數(shù)列是遞增數(shù)列，故選項B錯誤.
由，所以，所以選項C不正確.
由數(shù)列是遞增數(shù)列，所以，
由上，則，所以，
所以，故選項D正確.
故選： AD
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查數(shù)列與函數(shù)單調(diào)性相結(jié)合的應(yīng)用，考查數(shù)列單調(diào)性，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征和不等式的形式構(gòu)造函數(shù)，，以及，通過求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)性得到數(shù)列不等式、單調(diào)性和范圍.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 的展開式中的系數(shù)為____________．
【答案】-80
【解析】
【分析】在二項展開式的通項公式中，令的冪指數(shù)等于1，求的值，即可求得展開式中的系數(shù).
【詳解】，
令，則，
所以.
故答案為：-80
13. 函數(shù)最大值是____________．
【答案】
【解析】
【分析】利用求導(dǎo)來研究函數(shù)的單調(diào)性，從而可求閉區(qū)間上的最大值.
【詳解】由求導(dǎo)可得：，令，解得，
當時，，當時，，
所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，
由于當時，，當時，，
所以可知函數(shù)最大值為，
故答案為：.
14. 在中，，是所在平面內(nèi)一點，且，若存在點，使，則最大值為____________．
【答案】
【解析】
【分析】先根據(jù)判斷出點的軌跡，再結(jié)合建立合適的坐標系，求出的最大值.
【詳解】已知，變形可得，即.
根據(jù)向量共線定理可知，與共線，所以點在直線上.
以在直線為軸，的垂直平分線為軸建立平面直角坐標系.
設(shè)，，.
因為，根據(jù)兩點間距離公式可得：，
兩邊同時平方展開并化簡得：，
配方可得：，
所以點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓.
因為存在點，使，所以為點到直線的距離的最小值.
由點的軌跡可知，圓心到直線（軸）的距離為，圓的半徑為，所以的最大值為圓的半徑.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 內(nèi)角所對的邊分別為，點是的外接圓的圓心，，，．
（1）求該外接圓的面積；
（2）求．
【答案】（1）
（2）8
【解析】
【分析】（1）由已知條件求得角，再由正弦定理求得外接圓的半徑，從而求得外接圓得面積.
（2）取的中點，連接，，則，再由向量的數(shù)量積運算求解即可.
【小問1詳解】
由，得，
所以，所以，
由余弦定理得
，
由正弦定理得，所以，
所以圓的面積.
【小問2詳解】
取的中點，連接，，則，
所以
，
由余弦定理得
，
所以.
16. 已知相關(guān)變量和的散點圖如圖所示，擬用①，②（其中均為常數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)）兩個模型擬合，令，計算得如下數(shù)據(jù)：
（1）設(shè)和的相關(guān)系數(shù)為，和的相關(guān)系數(shù)為，請從相關(guān)系數(shù)的角度，選擇一個擬合程度更好的模型；
（2）根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程．（系數(shù)精確到0.01）
附：①相關(guān)系數(shù)，回歸直線中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，；②．
【答案】（1）模型的擬合程度更好
（2）
【解析】
【分析】（1）由題意計算相關(guān)系數(shù)，比較它們的大小即可判斷；
（2）先建立關(guān)于的線性回歸方程，再轉(zhuǎn)化為y關(guān)于的回歸方程；
【小問1詳解】
由題意進行數(shù)據(jù)分析：
，
則，因此從相關(guān)系數(shù)的角度，模型的擬合程度更好.
【小問2詳解】
先建立關(guān)于的線性回歸方程.
由，得，即.
由于
所以關(guān)于的線性回歸方程為，
所以，則.
17. 已知函數(shù)
（1）若，求曲線在點處的切線方程；
（2）試討論的單調(diào)性．
【答案】（1）.
（2）見解析
【解析】
【分析】（1）先求導(dǎo)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，最后利用點斜式求出切線方程；
（2）先求導(dǎo)，再分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求出.
【小問1詳解】
當，，
所以，
所以，又，
所以曲線在點處的切線方程為，
即.
【小問2詳解】
因為，
所以.
當時，，令，得，
令，得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
當時，令，解得或.
當時，，所以在上單調(diào)遞增.
當時，，令，解得或，
令，解得，
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
當時，，令，解得或，
令，解得，
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
綜上所述：當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當時， 在上單調(diào)遞增，
當時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
18. 如圖，圓臺下底面圓的直徑為，是圓上異于、的點，、是圓臺上底面圓上的兩點，是的中點，，.
（1）證明：平面．
（2）求四面體的外接球的表面積；
（3）求直線與平面所成角的正弦值的最大值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）推導(dǎo)出，，利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；
（2）將三棱錐補成正三棱柱，設(shè)正的中心為點，正的中心為，則的中點為外接球球心，計算出正外接圓的半徑，可得出外接球的半徑為，再結(jié)合球體表面積公式可得出結(jié)果；
（3）以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸，過點作垂直于底面的垂線為軸，建立空間直角坐標系，設(shè)點，利用空間向量法結(jié)合基本不等式可求得直線與平面所成角的正弦值的最大值.
【小問1詳解】
因為，，所以，，所以，，
因為為圓的一條直徑，是圓上異于、的點，則，
因為，、平面，，故平面.
【小問2詳解】
因平面，且為正三角形，
將三棱錐補成正三棱柱，
設(shè)正的中心為點，正的中心為，則的中點為外接球球心，
的外接圓半徑為，，
所以，外接球的半徑為，
因此，四面體的外接球的表面積為.
【小問3詳解】
因為平面，，
以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸，過點作垂直于底面的垂線為軸，建立如下圖所示的空間直角坐標系，
則、、，
設(shè)點，連接、，
因為，所以，，，
易知平面的一個法向量為，
設(shè)直線與平面所成的角為，
則，
不妨設(shè)，，
則，
設(shè)，則，
則
，
當且僅當時，即當時，等號成立，
因此，直線與平面所成角的正弦值的最大值為.
19. 已知橢圓的右焦點為，右頂點為，直線與軸交于點，且．
（1）求橢圓的方程．
（2）設(shè)點為直線上的動點，過作的兩條切線，分別交軸于點．
①證明：直線的斜率成等差數(shù)列．
②設(shè)經(jīng)過三點，是否存在點，使得？若存在，求；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）
（2）①證明見解析；②存在，
【解析】
【分析】（1）結(jié)合題意可得，分和討論可得，繼而可求解.
（2）①設(shè)，易知過且與相切的直線斜率存在，方程設(shè)為，聯(lián)立直線與橢圓方程，由可得，設(shè)直線的斜率分別為，由韋達定理、斜率公式及等差數(shù)列的定義即可證明；②由已知求出直線和直線的中垂線方程，繼而可得點坐標，由，列出方程，即可求解.
【小問1詳解】
由右焦點知，
，所以，
若，則，即，方程無解；
若，則，所以，
所以，
所以橢圓的方程為.
【小問2詳解】
①設(shè)，易知過且與相切的直線斜率存在，方程設(shè)為，
聯(lián)立方程，
消得，
，即，
設(shè)直線的斜率分別為，
所以，，
，
所以，
即直線的斜率成等差數(shù)列.
②直線的方程為，令，得，
所以，同理可得，
所以的中垂線為，
中點為，
所以直線的中垂線為，
聯(lián)立，解得，
所以，
所以，，
，即，
所以，即，
所以，解得，所以，所以.
所以存在點，使得，此時.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題②的解題關(guān)鍵是求出圓心的坐標，圓的兩條弦的垂直平分線的交點即圓心。由已知求出直線和直線的中垂線方程，聯(lián)立兩直線方程可得圓心的坐標，由，結(jié)合韋達定理列出方程，即可求解.20
66
770
200
14
460
4.20
3125000
0.308
21500

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