1. 設(shè)集合，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】.
故選：B
2. 已知為實數(shù)，則實數(shù)等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因為為實數(shù)，
則，∴
故選：B.
3. 命題“若，則”的否定是（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C. 存在一個實數(shù)，滿足，但
D. 對任意實數(shù)，滿足，但
【答案】C
【解析】命題“若，則”的否定是存在一個實數(shù)，滿足，但.
故選：C
4. 汽車經(jīng)過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中汽車的行駛路程看作時間的函數(shù)，其圖象可能是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】汽車啟動加速過程，隨時間增加路程增加的越來越快，漢使圖像是凹形，然后勻速運動，路程是均勻增加即函數(shù)圖像是直線，最后減速并停止，其路程仍在增加，只是增加的越來越慢即函數(shù)圖像是凸形．故選A．
5. 明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（如圖）．假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做逆時針勻速圓周運動，筒車轉(zhuǎn)輪的中心O到水面的距離h為1.5m，筒車的半徑r為2.5m，筒轉(zhuǎn)動的角速度為，如圖所示，盛水桶M（視為質(zhì)點）的初始位置距水面的距離為3m，則3s后盛水桶M到水面的距離近似為（ ）（，）．
A. 4.5mB. 4.0mC. 3.5mD. 3.0m
【答案】B
【解析】根據(jù)題意，建立如下所示平面直角坐標(biāo)系：
根據(jù)題意，盛水桶M到水面的距離與時間滿足：；
因為筒轉(zhuǎn)動的角速度為，故；
又；，解得，則；
又當(dāng)時，，則，，則；
故當(dāng)時，.
故選：B.
6. 數(shù)列的通項公式為，則當(dāng)該數(shù)列的前項和取得最小值時，的值為（ ）
A. 5B. 7C. 7或8D. 6或7
【答案】D
【解析】由，得當(dāng)時，數(shù)列遞減，當(dāng)時，數(shù)列遞增，
由，得，因此，當(dāng)時，，
所以當(dāng)該數(shù)列前項和取得最小值時，的值為6或7.
故選：D
7. 已知，，，則，，的大小關(guān)系為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】依題意，，
，
因此，所以.
故選：C
8. 若直線通過點，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A. 當(dāng)且時，存在唯一的值，使得
B. 當(dāng)且時，存在兩個值，使得
C. 當(dāng)且時，無最大值
D. 當(dāng)時，存在無數(shù)個值，使得
【答案】C
【解析】當(dāng)時，點的軌跡是以原點為圓心，1為半徑的圓，
對于A，當(dāng)時，直線，點到直線的距離，
直線與圓相切，因此值存在且唯一，A正確；
對于B，當(dāng)時，直線，點到直線的距離，
直線與圓相交，因此值有兩個，B正確；
對于C，當(dāng)且時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)且僅當(dāng)時，函數(shù)取最大值，因此有最大值，C錯誤；
對于D，由選項C知，當(dāng)，時，，使得的所有角均有，即；
當(dāng)，時，，令，取點，
直線的斜率，而每個點，存在唯一點，
因此存在無數(shù)個值，使得，D正確.
故選：C
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 關(guān)于，的方程，下列說法正確的是（ ）
A. 若，則該方程表示橢圓，其焦點在軸上
B. 若，則該方程表示圓，其半徑為
C. 若，則該方程表示橢圓，其焦點在軸上
D. 若，，則該方程表示兩條直線
【答案】ACD
【解析】對于A，當(dāng)時，，，
方程表示橢圓，其焦點軸上，A正確；
對于B，當(dāng)時，方程表示圓，其半徑為，B錯誤；
對于C，當(dāng)時，，，
方程表示橢圓，其焦點在軸上，C正確；
對于D，，，方程表示兩條直線，D正確.
故選：ACD
10. 記實數(shù)，，，中的最大數(shù)為，最小數(shù)為.已知函數(shù)，，其中，，分別為內(nèi)角，，的對邊，且，則下列說法正確的是（ ）
A. 當(dāng)時，的最小值為
B. 若的圖象關(guān)于直線對稱，則
C. “”是“為等邊三角形”的充要條件
D. “”是“為等邊三角形”的必要不充分條件
【答案】BD
【解析】對于A，當(dāng)時，，當(dāng)或時，取最小值0，A錯誤；
對于B，當(dāng)時，圖象的對稱軸為，不符合題意；
當(dāng)時，圖象對稱軸，不符合題意；
當(dāng)時，圖象對稱軸，由，得，B正確；
對于CD，為等邊三角形，則，；
取，，此時，而是不是等邊三角形，
所以“”是“為等邊三角形”的必要不充分條件，C錯誤，D正確.
故選：BD
11. 已知函數(shù)，，則下列說法正確的是（ ）
A. 函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象只有一條公切線
B. 函數(shù)的圖象上任一點關(guān)于直線的對稱點都在函數(shù)的圖象上
C. 當(dāng)時，恒成立
D. 函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象和直線分別交于，兩點，則的最小值為
【答案】BCD
【解析】對于A，設(shè)直線與函數(shù)的圖象相切于點，
與的圖象相切于點，，
因為，，所以，，
則，消去得，，
令，則，
設(shè)，則，
令，得；令，得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，，且時，，
所以存在，使得，
所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
又，，
所以方程有兩個不相等的實數(shù)根，
則函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有兩條公切線，故A錯誤；
對于B，函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，圖象關(guān)于直線對稱，
所以函數(shù)的圖象上任一點關(guān)于直線的對稱點都在函數(shù)的圖象上，故B正確；
對于C，由，得，
由于，則，
設(shè)，，則，
因為函數(shù)和在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又，，
所以存在，使得，即，
所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則，
所以，
所以當(dāng)時，恒成立，故C正確；
對于D，由，，
設(shè)，，其中，且，
所以，設(shè)，
則，
當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
即的最小值為，故D正確.
故選：BCD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知向量，，，則____________.
【答案】
【解析】已知，，則.
已知，，則.
. ，.
.
故答案為：.
13. 過雙曲線的右頂點A作斜率為的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為B、若，則雙曲線的離心率是______．
【答案】
【解析】直線l：y=﹣x+a與漸近線l1：bx﹣ay=0交于B（，），
l與漸近線l2：bx+ay=0交于C（，），
∵A（a，0），
∴=（﹣，），=（，﹣），
∵，
∴﹣=，
∴b=2a，
∴c2﹣a2=4a2，
∴e2==5，∴e=．
14. 某工廠去年12月試產(chǎn)1050個某款電子產(chǎn)品，產(chǎn)品合格率為90%.從今年1月開始，工廠在接下來的若干年中將正式生產(chǎn)這款產(chǎn)品.1月按去年12月的產(chǎn)量和產(chǎn)品合格率生產(chǎn)，以后每月的產(chǎn)量都在前一個月的基礎(chǔ)上提高，產(chǎn)品合格率比前一個月增加，那么從正式生產(chǎn)這款產(chǎn)品算起，在第__________個月，月不合格品的數(shù)量達(dá)到最大.
【答案】5或6
【解析】設(shè)從今年1月起，各月的產(chǎn)量及不合格率分別構(gòu)成數(shù)列，bn．
由題意，知，
，其中，2，…，24，
則從今年1月起，各月不合格產(chǎn)品的數(shù)量是
．
由通項公式列表，
觀察發(fā)現(xiàn)，數(shù)列先遞增，在第6項以后遞減，所以只要設(shè)法證明當(dāng)時，遞減，
由，得．
所以，當(dāng)時，單調(diào)遞減．
所以在第5或6個月，月不合格品的數(shù)量達(dá)到最大.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 設(shè)的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且.
（1）求的值；
（2）若，當(dāng)取得最大值時，求的面積.
解：（1）在中，由及正弦定理，得
，
因此，
所以.
（2）由（1）知，，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
因此當(dāng)，，即時，取得最大值，
此時，由，得，所以的面積.
16. 已知向量，.若存在不同時為零的實數(shù)和，使得，，且.
（1）求的解析式；
（2）求（1）中的在上的極值.
解：（1）因為，，
所以，
又因為，所以
，
所以，
所以；
（2）由（1）得，
當(dāng)或時，，當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
由題可得，
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，
所以沒有極大值，也沒有極小值；
當(dāng)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以在時有極小值，為，沒有極大值.
綜上所述，當(dāng)，沒有極大值，也沒有極小值；
當(dāng)，有極小值為，沒有極大值.
17. 已知數(shù)列是等差數(shù)列，，.
（1）若，求的通項公式；
（2）若，證明：中的任意不同的三項均不能成等比數(shù)列.
解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，
依題意，解得，
所以.
（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，
則，解得，
所以，
假設(shè)存在，且兩兩不相等，使得，
所以，
，
，
由于兩兩不相等，上式兩邊不同時為，且是整數(shù)，
是無理數(shù)，兩邊不相等，所以假設(shè)不成立，
所以中的任意不同的三項均不能成等比數(shù)列.
18. 已知函數(shù)，.
（1）求的單調(diào)區(qū)間與極值.
（2）當(dāng)且時，證明：.
（3）設(shè)函數(shù)，若和的圖象有兩個交點，求實數(shù)的取值范圍.
解：（1）首先對求導(dǎo)，得，
令，即，解方程，得，
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，
那么在處取得極小值，
故函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為，函數(shù)極小值為，無極大值；
（2）設(shè)，對求導(dǎo)得,
由（1）知在單調(diào)遞增，
因為，且，所以,
又因為，所以，即,
所以在上單調(diào)遞增，，即；
（3）因為，和的圖象有兩個交點，
所以方程有兩個解，
整理得，
當(dāng)時，，顯然無解.
當(dāng)，參變分離，即.
設(shè)，導(dǎo)數(shù).
令，即，因為，，所以，解得或.
當(dāng)時，，，函數(shù)單調(diào)遞增.
當(dāng)時，，，函數(shù)單調(diào)遞減.
當(dāng)時，，，函數(shù)單調(diào)遞減.
當(dāng)時，，，函數(shù)單調(diào)遞增.
當(dāng)時，.
當(dāng)時，.
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
當(dāng)時，且.
因為函數(shù)與直線有兩個交點.
所以
19. 已知平面內(nèi)的線段及點，任取上一點，線段長度的最小值稱為點到線段的距離，記作.
（1）求點到線段的距離；
（2）設(shè)是長度為2的線段，求點的集合所表示的圖形面積；
（3）求出到兩條線段，距離相等的點的集合，其中，，，，.
解：（1）設(shè)是線段上一點，
則，
當(dāng)時，.
（2）設(shè)線段的端點分別為，不妨取，點集由如下曲線圍成，
其面積為.
（3）根據(jù)題意，可得線段AB,CB的方程分別為
設(shè)，根據(jù)定義：
若，則不可能成立，若，
則恒成立，此時；
若，只有時符合題意，此時；
若，只有時符合題意，此時；
若，只有時符合題意，此時；
綜上，
.n
1
2
3
4
5
6
7
105.0
105.8
106.5
107.0
107.2
107.2
106.9
n
8
9
10
11
12
13
14
106.4
105.5
104.2
102.6
100.6
98.1
95.0

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