考試說明：
1．本試卷共150分．考試時(shí)間120分鐘．
2．請(qǐng)將各題答案填在答題卡上．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知集合和集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分別解一元二次不等式和分式不等式，再求交集即得.
【詳解】由可得，即，
由，解得：，即，
故.
故選：C.
2. 已知為虛數(shù)單位，則的虛部為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)條件，利用指數(shù)冪運(yùn)算及虛數(shù)單位的運(yùn)算，即可求解.
【詳解】因?yàn)?，所以的虛部為?br>故選：D.
3. 已知點(diǎn)是角終邊上一點(diǎn)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)角的終邊經(jīng)過某點(diǎn)的三角函數(shù)值及二倍角公式即可求解.
【詳解】依題意可得，
所以.
故選：A
4. 已知平面向量，滿足：，，則在方向上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意求出的坐標(biāo)，再根據(jù)投影向量的公式計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>又因?yàn)?，兩式相減可得，
所以，
所以在方向上的投影向量為，
故選：A.
5. 某同學(xué)將英文單詞“”中字母的順序記錯(cuò)了，則該同學(xué)寫錯(cuò)的情況有（ ）
A. 種B. 種C. 種D. 種
【答案】D
【解析】
【分析】先求出英文單詞“”中字母所有排列，即可求解.
【詳解】因?yàn)椤啊敝凶帜腹灿蟹N排法，所以該同學(xué)寫錯(cuò)的情況有種，
故選：D.
6. 已知，，，成等差數(shù)列，，，，，成等比數(shù)列，則（ ）
A. 54B. C. 或54D. 或27
【答案】B
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列、等比數(shù)列定義列式計(jì)算得解.
【詳解】由，，，成等差數(shù)列，得公差，
由，，，，成等比數(shù)列，得，
而，解得，
所以.
故選：B
7. 已加直線與雙曲線的漸近線分別交于M，N兩點(diǎn)，P為弦MN的中點(diǎn)，若直線OP（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的方程為，則（ ）
A. B. 4C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】聯(lián)立直線與漸近線方程求得坐標(biāo)，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到坐標(biāo)，即可求解；
【詳解】
由雙曲線方程易得漸近線方程：，聯(lián)立，
解得：，即
解得：，即
所以點(diǎn)
由題意可知，
解得：
故選：B
8. 已知函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象始終在函數(shù)圖象的上方，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】將已知不等式變形為，可得出，令，利用導(dǎo)數(shù)求出的取值范圍，可得出，然后分、、三種情況討論，在第一種情況下，直接驗(yàn)證即可；在第二、三種情況下，結(jié)合參變量分離法可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】由題意可知，對(duì)任意的，，即，即，
因?yàn)?，故，故?br>令，其中，則，
由可得，由可得，所以，
由題意可得恒成立，
當(dāng)時(shí)，顯然該不等式成立，此時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，則，令，其中，則，
由可得，由可得，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，；
當(dāng)時(shí)，則，令，其中，則，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則.
綜上所述，，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：D.
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 已知正四棱臺(tái)上底面的邊長(zhǎng)為2，下底面邊長(zhǎng)為4，棱臺(tái)的體積為56，則下列說法正確的是（ ）
A. 該四棱臺(tái)高為3B. 該四棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)為
C. 該四棱臺(tái)的側(cè)面積為D. 該四棱臺(tái)一定不存在內(nèi)切球
【答案】BC
【解析】
【分析】利用正四棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合體積公式、側(cè)面積公式，計(jì)算判斷ABC；結(jié)合球的結(jié)構(gòu)特征判斷D.
【詳解】對(duì)于A，設(shè)該四棱臺(tái)的高為，則，解得，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，該四棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)，B正確；
對(duì)于C，該四棱臺(tái)的斜高為，側(cè)面積為，C正確；
對(duì)于D，若該四棱臺(tái)有內(nèi)切球，內(nèi)切球必與兩底相切，球的直徑為四棱臺(tái)的高6，
而該球的直徑一定小于正四棱臺(tái)下底邊長(zhǎng)4，矛盾，因此該四棱臺(tái)不存在內(nèi)切球，D錯(cuò)誤.
故選：BC
10. 已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A. 函數(shù)的最小正周期為
B. 函數(shù)在上的值域?yàn)?br>C. 將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱
D. 若方程在上恰好有一個(gè)根，則m的取值范圍為
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)，再結(jié)合正弦函數(shù)圖象與性質(zhì)逐項(xiàng)求解判斷.
【詳解】函數(shù)
，
對(duì)于A，函數(shù)的最小正周期為，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，，則，B正確；
對(duì)于C，，是偶函數(shù)，C正確；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞增，函數(shù)值從1增大到，
在上遞減，函數(shù)值從減小到，程在上恰好有一個(gè)根，
即直線與函數(shù)在上的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，，即，D正確.
故選：BCD
11. 已知為拋物線的焦點(diǎn)，，為拋物線上兩動(dòng)點(diǎn)，分別過作拋物線的切線，兩切線交于點(diǎn)，則（ ）
A.
B. 若直線的傾斜角為，則
C. 直線的方程為
D. 點(diǎn)的坐標(biāo)為
【答案】ACD
【解析】
【分析】對(duì)于A，利用拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，結(jié)合條件，即可求解；對(duì)于B，由選項(xiàng)條件，設(shè)直線方程為，聯(lián)立拋物線方程，利用根與系數(shù)間的關(guān)系，即可求解；對(duì)于C，設(shè)過點(diǎn)的拋物線的切線方程為，聯(lián)立拋物線方和，消得到，利用，得到，即可求解；對(duì)于D，利用選項(xiàng)C的中結(jié)果，可得兩切線方程，聯(lián)立求出交點(diǎn)，即可求解.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)闉閽佄锞€的焦點(diǎn)，則，解得，所以選項(xiàng)A正確，
對(duì)于選項(xiàng)B，由選項(xiàng)A知，，又直線的傾斜角為，設(shè)直線方程為，
由，消得，則，，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤，
對(duì)于選項(xiàng)C，由題可設(shè)在點(diǎn)的拋物線的切線方程為，
由，消得到，則，
又，則，解得，
所以在點(diǎn)的拋物線的切線方程為，即，所以選項(xiàng)C正確，
對(duì)于選項(xiàng)D，由選項(xiàng)C知，在點(diǎn)的拋物線的切線方程為，
同理可得在的切線方程為，
由，解得，，所以點(diǎn)，故選項(xiàng)D正確，
故選：ACD.
【點(diǎn)晴】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴，本題的關(guān)鍵在于選項(xiàng)C，設(shè)出在的拋物線的切線方程，聯(lián)立拋物線方程，利用直線與拋物的位置關(guān)系，得出斜率與間的關(guān)系.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)出冪函數(shù)的解析式，代入求出參數(shù)值即可.
【詳解】依題意，設(shè)，由函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，得，解得，
所以.
故答案為：
13. 已知100個(gè)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為14，標(biāo)準(zhǔn)差為4，其中，，則這40個(gè)數(shù)據(jù)的方差為__________.
【答案】17.56
【解析】
【分析】由平均值和方差的公式計(jì)算.
【詳解】由題意得的平均數(shù)是，方差為；
設(shè)這40個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，
則，解得；
故，解得.
故答案為：17.56
14. 若為正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，則數(shù)列為__________數(shù)列（從“等差”和“等比”二者中選一個(gè)填到橫線上）；若數(shù)列滿足：，（），則數(shù)列的通項(xiàng)公式為__________.
【答案】 ①. 等差 ②.
【解析】
【分析】根據(jù)條件，解得，利用等差數(shù)列的定義，即可求解；由條件得到，利用累加法得到當(dāng)時(shí)，，令，利用錯(cuò)位相減法，即可求解.
【詳解】由，即，
解得或（舍），所以為常數(shù)，
又，故數(shù)列為以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，
則，得到，
當(dāng)時(shí)，，
令①，則②，
由①②得到，
所以，得到時(shí)，，
又時(shí)，，滿足，所以，
故答案為：等差，.
【點(diǎn)晴】方法點(diǎn)晴，數(shù)列求和常用的方法技巧：
（1）倒序相加：用于等差數(shù)列、與二項(xiàng)式系數(shù)、對(duì)稱性相關(guān)聯(lián)的數(shù)列的求和；
（2）錯(cuò)位相減：用于等差數(shù)列與等比數(shù)列的積數(shù)列的求和；
（3）分組求和：用于若干個(gè)等差或等比數(shù)列的和或差數(shù)列的求和．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，，過且斜率為的直線與橢圓分別交于M，N兩點(diǎn).
（1）當(dāng)時(shí)，求的面積；
（2）若直線OM的斜率與直線ON的斜率滿足，求橢圓C的方程.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）把代入，求出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求出三角形面積.
（2）設(shè)橢圓右焦點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理及斜率坐標(biāo)公式列式求解.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)，直線，
由消去得，設(shè)，
則，，
所以的面積為.
【小問2詳解】
設(shè)，右焦點(diǎn)，則直線，
由消去得，
則，
，由，得，
即，因此，解得，
所以橢圓C的方程是.
16. 如圖，圓錐的底面直徑和母線長(zhǎng)度均為2，是底面圓上的一條弦.
（1）當(dāng)時(shí)，證明：；
（2）當(dāng)時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值.
【答案】（1）證明見詳解
（2）
【解析】
分析】（1）根據(jù)邊長(zhǎng)關(guān)系可證，，進(jìn)而可知線面垂直，進(jìn)而可得線線垂直；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面和平面的一個(gè)法向量，利用空間向量求解空間角即可.
【小問1詳解】
易知，，
是等腰直角三角形，
為的中點(diǎn)，，
又
，平面，平面
平面平面
．
【小問2詳解】
當(dāng)時(shí)，，
過點(diǎn)D作z軸平行于，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則
設(shè)平面的一個(gè)法向量為
則，令，則，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為
則，令，則，
設(shè)平面與平面的夾角為，
故平面與平面夾角的余弦值為.
17. 已知中，角的對(duì)邊分別是，.
（1）證明：成等差數(shù)列；
（2）若，內(nèi)切圓半徑為r，求r的最大值.
【答案】（1）證明見詳解
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理把已知條件化為角的關(guān)系，再由誘導(dǎo)公式得，由兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)后可得的正切值，從而得B角大小，進(jìn)而得證；
（2）利用余弦定理及基本不等式可得的范圍，利用面積相等可得，變形后再次利用基本不等式即可求解的范圍.
【小問1詳解】
，
，
，
，
，
，
，，即，
，，
，，
成等差數(shù)列；
【小問2詳解】
由余弦定理可得，即，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
因?yàn)椋?br>，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
即 ，
的取大值為 ．
18. 一顆質(zhì)地均勻的正四面體骰子，四個(gè)面分別印有數(shù)字1，2，3，4，記投擲完后，與地面接觸面上的數(shù)字為該次投擲的點(diǎn)數(shù)，連續(xù)隨機(jī)投擲三次，得到的點(diǎn)數(shù)分別是x，y，z.
（1）求為偶數(shù)的概率：
（2）記隨機(jī)變量，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【答案】（1）
（2）分布列見解析；
【解析】
【分析】（1）利用列舉法求出基本事件總數(shù)，兩次數(shù)字之和為偶數(shù)包含的基本事件個(gè)數(shù)為8，利用古典概型求概率．
（2）可取的值為，然后求出相應(yīng)的概率列出分布列，求出期望，從而可求解.
【小問1詳解】
由題意知，樣本空間，，共16個(gè)樣本點(diǎn)
設(shè)事件“為偶數(shù)”，則
，共8個(gè)樣本點(diǎn)，所以，即“為偶數(shù)”的概率為.
【小問2詳解】
連續(xù)隨機(jī)投擲三次，得到的點(diǎn)數(shù)共有種情況，
由題意可知的所有可能取值為，
當(dāng)時(shí)，有4種情況，概率為；
當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)數(shù)共有
18種情況，概率為；
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)數(shù)共有，
24種情況，概率為；
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)數(shù)共有
18種情況，
概率為；
所以的分布列是
所以數(shù)學(xué)期望.
19. 已知函數(shù)在單調(diào)遞增.
（1）求a的值；
（2）解不等式（為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)）；
（3）證明：.
【答案】（1）
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）由題意可得在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性后可得其最小值，再令，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得解；
（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得解；
（3）由（2）可得在上恒成立，令，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算可得，由（1）可得在上恒成立，令，可得，即可得證.
【小問1詳解】
，
由函數(shù)在單調(diào)遞增，則在上恒成立，
令，即在上恒成立，
若，則當(dāng)時(shí)，，不符；
故，，
當(dāng)，，當(dāng)，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則有，
令，則，
當(dāng)，，當(dāng)，，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則，
故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，恒成立，即；
【小問2詳解】
由，則，
，則，
令，
則，
故在上單調(diào)遞減，又，
故當(dāng)時(shí)，，
即不等式的解集為；
【小問3詳解】
由（2）知，在上恒成立，故，
令，則，
則，
有，，，
故，
由（1）知，在單調(diào)遞增，
又，故在上恒成立，
即有在上恒成立，
令，即有，
化簡(jiǎn)得，即，即，
則，又，
故，即.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用（1）、（2）中所得結(jié)論，將所要證明的問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)特點(diǎn)找突破口.
0
2
4
6

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