一、填空題（本大題共10小題）
1．拋物線的準(zhǔn)線方程為 ．
2．對(duì)任意實(shí)數(shù)，直線總經(jīng)過(guò)定點(diǎn) ．（寫(xiě)出該定點(diǎn)坐標(biāo)）
3．橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為 ．
4．若向量是直線的一個(gè)法向量，則直線的傾斜角為 ．（用反三角表示）
5．已知方程表示圓，則的取值范圍為 ．
6．平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且的法向量，則到平面的距離為 ．
7．雙曲線與雙曲線共漸近線且過(guò)點(diǎn)，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
8．已知橢圓方程為，點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)，定點(diǎn)在軸上，點(diǎn)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)點(diǎn)恰與點(diǎn)重合，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
9．如圖，長(zhǎng)方體中，，，，為底面的中心，點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，線段的長(zhǎng)為 ．
10．在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)均位于拋物線上，點(diǎn)為的焦點(diǎn)，若，直線的斜率為，則使成立的實(shí)數(shù)的值為 ．
二、單選題（本大題共4小題）
11．在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，則點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于（ ）
A．軸對(duì)稱(chēng)B．平面對(duì)稱(chēng)C．軸對(duì)稱(chēng)D．平面對(duì)稱(chēng)
12．如圖，共頂點(diǎn)的橢圓①，②與雙曲線③，④的離心率分別為，，，，其大小關(guān)系為（ ）
A．B．
C．D．
13．著名的古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德一生最為滿(mǎn)意的一個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)就是“圓柱容球”定理：把一個(gè)球放在一個(gè)圓柱形的容器中，如果蓋上容器的上蓋后，球恰好與圓柱的上、下底面和側(cè)面相切（該球也被稱(chēng)為圓柱的內(nèi)切球），那么此時(shí)圓柱的內(nèi)切球體積與圓柱體積之比為定值，則該定值為（ ）．
A．B．C．D．
14．設(shè)直線的方程為，兩不同定點(diǎn)、，點(diǎn)滿(mǎn)足，記，若，且線段與直線有交點(diǎn)，則（ ）
A．B．
C．D．
三、解答題（本大題共6小題）
15．已知橢圓的方程為，、為其左、右焦點(diǎn)．
(1)求橢圓的離心率；
(2)若直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為，求的值．
16．如圖，這是某圓弧形山體隧道的示意圖，其中底面AB的長(zhǎng)為16米，最大高度CD的長(zhǎng)為4米，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系．

(1)求該圓弧所在圓的方程；
(2)若某種汽車(chē)的寬約為2.5米，高約為1.6米，車(chē)輛行駛時(shí)兩車(chē)的間距要求不小于0.5米以保證安全，同時(shí)車(chē)頂不能與隧道有剮蹭，則該隧道最多可以并排通過(guò)多少輛該種汽車(chē)？（將汽車(chē)看作長(zhǎng)方體）
17．如圖，平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，，．
(1)求該平行六面體的表面積；
(2)記在底面上的射影為，，，，求證：，并求側(cè)棱與底面的所成角；
(3)求異面直線與的所成角．
18．已知雙曲線，，分別為其左、右焦點(diǎn)，為其左頂點(diǎn)．設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)的直線與的右支交于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)位于第一象限內(nèi)．當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，．
(1)求雙曲線的方程；
(2)設(shè)直線，分別與直線交于，兩點(diǎn)，問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)，使右焦點(diǎn)恒位于以線段為直徑的圓上？若存在，求出的值，若不存在，說(shuō)明理由；
(3)是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求出的值，若不存在，說(shuō)明理由．
19．帶著數(shù)學(xué)的眼光看世界，則生活中處處有數(shù)學(xué)．以一種常見(jiàn)的生活用品——酒杯為例，根據(jù)其造型，不妨將其抽象為開(kāi)口向上的拋物線，并假設(shè)其內(nèi)壁足夠光滑.
(1)將一定長(zhǎng)度，質(zhì)量分布均勻，各處粗細(xì)相等的小木棍丟入酒杯中，想要研究小木棍自然靜止下來(lái)后所處位置的特征．查閱資料后可知，物理中有被稱(chēng)為“重心最低”的原理．試將該物理原理抽象為這一拋物線酒杯模型中的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，并借助之給出研究結(jié)論.
【注】①請(qǐng)將“抽象出的數(shù)學(xué)問(wèn)題：XXX……”與“問(wèn)題解答：XXX……”分開(kāi)書(shū)寫(xiě)，不明確問(wèn)題直接開(kāi)始解答的不得分；
②自行定義必要的字母記號(hào)，并配以相應(yīng)的圖形說(shuō)明．
(2)將許多長(zhǎng)短不一（但均足夠長(zhǎng)）的小木棍丟入酒杯中，待它們?nèi)孔匀混o止后，發(fā)現(xiàn)它們?nèi)拷粎R于同一點(diǎn)，請(qǐng)解釋該現(xiàn)象．
20．已知橢圓.
(1)已知橢圓的離心率為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)已知直線過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)且垂直于軸，記與的交點(diǎn)分別為A、B，A、 B兩點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為、，若四邊形是正方形，求正方形的內(nèi)切圓的方程；
(3)設(shè)О為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q兩點(diǎn)都在橢圓上，若是等腰直角三角形，其中是直角，點(diǎn)Р在第一象限，且O、P、Q三點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蚺帕?，求b的最大值.
參考答案
1．【答案】
【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為；故填.
2．【答案】
【詳解】由直線，化簡(jiǎn)可得對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，
所以，所以定點(diǎn)為.
故答案為：.
3．【答案】
【詳解】由，得，則，
因?yàn)檫^(guò)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，
所以的周長(zhǎng)為
.
故答案為：
4．【答案】
【詳解】因?yàn)橄蛄渴侵本€的一個(gè)法向量，
所以直線的一個(gè)方向向量為，
所以直線l的斜率，設(shè)直線的傾斜角為，
則，又，
所以直線l的傾斜角.
故答案為：.
5．【答案】
【詳解】若方程表示圓，則，
解得，故的取值范圍為，
故答案為:.
6．【答案】
【詳解】因?yàn)槠矫娼?jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，
又平面的法向量，
所以點(diǎn)到平面的距離.
故答案為：
7．【答案】
【詳解】設(shè)雙曲線的方程為，，
代入點(diǎn)，得，即，
所以雙曲線方程為，整理為.
故答案為：
8．【答案】
【詳解】橢圓方程為，則圓的右頂點(diǎn)
設(shè)，則，，
則，
所以，，
當(dāng)恰與點(diǎn)重合時(shí)，取得最小值，
即要使時(shí)取最小值，則必有，所以.
故答案為：.
9．【答案】
【詳解】如圖以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則
，，
則，
設(shè)，則，
因?yàn)椤?，所以，得?br>所以（），則，
設(shè)點(diǎn)到的距離為，則
，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)的面積取得最小值，
所以，
所以
故答案為：
10．【答案】
【詳解】由題意可知：，不妨設(shè)點(diǎn)在x軸上方，
取的中點(diǎn)，過(guò)分別作直線平行與x軸，分別交于點(diǎn)，
因?yàn)?，由正弦定理可得?br>設(shè)，則，
則，且，
可得，
又因?yàn)橹本€的斜率為，則直線的傾斜角為，
可得，，
則，可得，即x軸，
則，可得直線的斜率為，
設(shè)，則，
則，，
整理可得，解得，
又因?yàn)椋?br>且，可得，
即，所以.
故答案為：.
11．【答案】C
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)和的縱坐標(biāo)相等，其余兩個(gè)坐標(biāo)互為相反數(shù)，
所以點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng).
故選：C
12．【答案】C
【解析】先根據(jù)橢圓越扁離心率越大判斷，的大小，再由雙曲線開(kāi)口越大離心率越大判斷，的大小，最后根據(jù)橢圓離心率大于0小于1，拋物線離心率大于1進(jìn)行判斷可得答案.
【詳解】解：根據(jù)橢圓越扁離心率越大，可得，
根據(jù)雙曲線開(kāi)口越大離心率越大，可得，
故可得：，
故選：C.
13．【答案】D
【分析】根據(jù)已知條件可得，結(jié)合圓柱與球的體積公式計(jì)算即可.
【詳解】設(shè)圓柱的母線長(zhǎng)為l，內(nèi)切球的半徑為r，如圖所示，

則其軸截面如圖所示，
則，
所以圓柱的內(nèi)切球體積為，圓柱體積為，
所以圓柱的內(nèi)切球體積與圓柱體積之比為.
故選：D.
14．【答案】D
【詳解】設(shè),,代入直線的方程為中，
,
,
，
若，則，從而，與已知矛盾，
所以,所以,即,
又因?yàn)?，所?
故選:D
15．【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由橢圓的方程為，
可得，
所以；
（2）設(shè)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，
聯(lián)立方程組，
得，
則，
由于即，
解得.
16．【答案】(1)
(2)4輛
【詳解】（1）由圓的對(duì)稱(chēng)性可知，該圓弧所在圓的圓心在y軸上，
設(shè)該圓的半徑為r米，則，解得，
故該圓弧所在圓的方程為．
（2）設(shè)與該種汽車(chē)等高且能通過(guò)該隧道的最大寬度為d米，則，
解得．
若并排通過(guò)5輛該種汽車(chē)，則安全通行的寬度為，故該隧道不能并排通過(guò)5輛該種汽車(chē)．
若并排通過(guò)4輛該種汽車(chē)，則安全通行的寬度為．隧道能并排通過(guò)4輛該種汽車(chē)．
綜上所述，該隧道最多可以并排通過(guò)4輛該種汽車(chē)．
17．【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析，
(3)
【詳解】（1）底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，則,,
，，
所以，
所以該平行六面體的表面積.
（2）過(guò) 作 平面，連接 AM, HM, AE, HE, AH，
此時(shí)平面 ，，，平面，
面，
，，
，得證.
因?yàn)?，則,
則，
所以 ,
所以，所以，
因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>所以側(cè)棱與底面的所成角為.
所以，側(cè)棱與底面的所成角為.
（3）由題意，，
，
，
所以．
而，，
則
，
所以，
所以直線與所成角為.
18．【答案】(1)
(2)答案見(jiàn)解析
(3)答案見(jiàn)解析
【詳解】（1）因?yàn)楫?dāng)直線與軸垂直時(shí)，，
且點(diǎn)位于第一象限內(nèi)，所以設(shè)，
代入方程中得到，而，
解得，，則雙曲線的方程為.
（2）由上問(wèn)得雙曲線的方程為，
如圖，則點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，
又雙曲線漸近線為，顯然直線的斜率不為零，
故設(shè)其方程為，，
聯(lián)立雙曲線方程可得：，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，且恒成立
則，
，
；
又直線方程為：，令，則，
故點(diǎn)的坐標(biāo)為；直線方程為：，
令，則，故點(diǎn)的坐標(biāo)為；
若右焦點(diǎn)恒位于以線段為直徑的圓上，則，
則
，令，解得，
故存在，使右焦點(diǎn)恒位于以線段為直徑的圓上.
（3）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，
對(duì)曲線，令，解得，
故點(diǎn)的坐標(biāo)為，此時(shí)，
在三角形中，，故可得，
則存在常數(shù)，使得成立；
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，
此時(shí)直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，
則，，
假設(shè)存在常數(shù)，使得成立，即，
則一定有：，也即；
又；；
又點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足，則，
故
；
故假設(shè)成立，存在實(shí)數(shù)常數(shù)，使得成立；
綜上所述，存在常數(shù)，使得恒成立.
19．【答案】(1)答案見(jiàn)解析
(2)答案見(jiàn)解析
【詳解】（1）抽象出的數(shù)學(xué)問(wèn)題：
已知拋物線上有一條長(zhǎng)度為的動(dòng)弦，求中點(diǎn)到軸的距離的最小值.
問(wèn)題解答：
設(shè)，直線，
聯(lián)立得，，
，，，
所以，
解得，
中點(diǎn)，
則中點(diǎn)到軸的距離為
，
令，設(shè)，
①當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.
此時(shí)，
故直線，恒過(guò)拋物線的焦點(diǎn)；
②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則.
當(dāng)，即時(shí)，中點(diǎn)到軸的距離最小，最小值為.
此時(shí)斜率，即關(guān)于軸對(duì)稱(chēng).
回歸實(shí)際問(wèn)題，研究結(jié)論是：
當(dāng)木棍長(zhǎng)時(shí)，小木棍自然靜止下來(lái)后對(duì)應(yīng)木棍處于水平位置；
當(dāng)木棍長(zhǎng)時(shí)，小木棍自然靜止下來(lái)后對(duì)應(yīng)木棍通過(guò)拋物線焦點(diǎn).
（2）由題意，小木棍長(zhǎng)短不一，但均足夠長(zhǎng)，不妨認(rèn)為木棍長(zhǎng)度均滿(mǎn)足.
由（1）可知，當(dāng)時(shí)，小木棍自然靜止下來(lái)后對(duì)應(yīng)木棍通過(guò)拋物線焦點(diǎn).
故將許多長(zhǎng)短不一（但均足夠長(zhǎng)）的小木棍丟入酒杯中，待它們?nèi)孔匀混o止后，
它們?nèi)拷粎R于同一點(diǎn)，即拋物線的焦點(diǎn).
20．【答案】(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）由題意得，，所以，
所以，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）設(shè)右焦點(diǎn)，左焦點(diǎn)，
因?yàn)樗倪呅问钦叫危?br>不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，則，
所以，
由，得，
正方形的內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，
所以所求圓的方程為；
（3）設(shè)直線的傾斜角為，斜率為，
則直線的斜率為，
設(shè)，則，
聯(lián)立，得，
同理可得，
由得，
即，
整理得，
注意到且，
則要使上述關(guān)于的一元二次方程有正數(shù)解，
只需要，解得，
所以b的最大值為.

相關(guān)試卷

上海市長(zhǎng)寧區(qū)2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題：

這是一份上海市長(zhǎng)寧區(qū)2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題，共12頁(yè)。試卷主要包含了填空題，單選題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

上海市金山中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）：

這是一份上海市金山中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版），共25頁(yè)。

上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題：

這是一份上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題，共4頁(yè)。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷

上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷
上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期9月練習(xí)數(shù)學(xué)試題

上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期9月練習(xí)數(shù)學(xué)試題
2022-2023學(xué)年上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

2022-2023學(xué)年上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）
上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
期末專(zhuān)區(qū)
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專(zhuān)業(yè)更值得信賴(lài)
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部