一、填空題（本大題共12小題）
1．某古典概型的樣本空間，事件，則 .
2．完成下列任務(wù)所獲得的數(shù)據(jù)是觀測(cè)數(shù)據(jù)還是實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù) .
某旅游公司為開(kāi)發(fā)新的旅游產(chǎn)品，調(diào)查了5000名客戶對(duì)于旅游目的地的偏好.
3．正四棱錐底面邊長(zhǎng)和高均為分別是其所在棱的中點(diǎn)，則棱臺(tái)的體積為 .
4．已知事件A與事件B互相獨(dú)立，且，，則 .
5．已知直線l與平面，“l(fā)與內(nèi)無(wú)數(shù)條直線平行”是“”的 條件.
6．某校高一共有學(xué)生240人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取80人進(jìn)行體能測(cè)試；若這80人中有35人是男生，則該校高一男生共有 人.
7．現(xiàn)利用隨機(jī)數(shù)表法從編號(hào)為00，01，02，…，18，19的20支水筆中隨機(jī)選取6支，選取方法是從下列隨機(jī)數(shù)表第1行的第9個(gè)數(shù)字開(kāi)始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來(lái)的第6支水筆的編號(hào)為 .
95226000 49840128 66175168 39682927 43772366 27096623
92583556 43890890 06482834 59741458 29778149 64608925
8．下列說(shuō)法正確的序號(hào)是 .
①用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從含有50個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為5的樣本，則某個(gè)個(gè)體被抽到的概率是0.1；
②已知一組數(shù)據(jù)1，2，m，6，7的平均數(shù)為4，則這組數(shù)據(jù)的方差是5；
③數(shù)據(jù)27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位數(shù)是23；
④數(shù)據(jù)8.1，8.1，8.9，5.3，8.2，9.8，6.5的極差為4.5
9．已知直線l，m和平面，，且，，則下列命題中正確的是 .
①若，則 ②若，則
③若，則 ④若，則
10．在三棱錐中，平面，，若點(diǎn)A，B，C，D均在球O的表面上，且，則球O的表面積為 .
11．如圖是表示一個(gè)正方體表面的一種平面展開(kāi)圖，圖中的四條線段??和在原正方體中相互異面的有 對(duì)
12．甲乙兩人下棋，每局兩人獲勝的可能性一樣.某一天兩人要進(jìn)行一場(chǎng)五局三勝的比賽，最終勝者贏得1000元獎(jiǎng)金.甲連勝兩局后，因?yàn)橛衅渌露兄贡荣?甲應(yīng)分 元獎(jiǎng)金才公平.
二、單選題（本大題共4小題）
13．下列關(guān)于散點(diǎn)圖的說(shuō)法中，正確的是（ ）
A．任意給定統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，都可以繪制散點(diǎn)圖B．從散點(diǎn)圖中可以看出兩個(gè)量是否具有一定的關(guān)系
C．從散點(diǎn)圖中可以看出兩個(gè)量的因果關(guān)系D．從散點(diǎn)圖中無(wú)法看出數(shù)據(jù)的分布情況
14．?dāng)S一顆骰子，設(shè)事件：落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)，事件：落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)，事件：落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是的倍數(shù)，事件：落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是．則下列每對(duì)事件中，不是互斥事件的為（ ）
A．與B．與C．與D．與
15．如圖，已知分別是正方體的棱和的中點(diǎn)，由點(diǎn)確定的平面截該正方體所得截面為（ ）
A．三角形B．四邊形C．五邊形D．六邊形
16．如圖，已知正三棱柱，E，F(xiàn)分別是棱上的點(diǎn)．記與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（ ）
A．B．C．D．
三、解答題（本大題共5小題）
17．如圖，底面是正方形的直棱柱中，，.
(1)求直線與平面ABCD所成角的正切值；
(2)求證：.
18．某行業(yè)主管部門(mén)為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產(chǎn)情況，隨機(jī)調(diào)查了100個(gè)企業(yè)，得到這些企業(yè)第一季度相對(duì)于前一年第一季度產(chǎn)值增長(zhǎng)率y的頻數(shù)分布表.
(1)估計(jì)這類企業(yè)中產(chǎn)值增長(zhǎng)率不低于40%的企業(yè)占比；
(2)求這類企業(yè)產(chǎn)值增長(zhǎng)率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）.（精確到0.01）
19．如圖，已知圓錐的底面半徑，經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)軸SO的截面是等邊三角形SAB，點(diǎn)Q為半圓弧的中點(diǎn)，點(diǎn)P為母線SA的中點(diǎn).

(1)求此圓錐的側(cè)面積；
(2)求異面直線PQ與SO所成角的余弦值.
20．有4個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球.
(1)寫(xiě)出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間Ω；
(2)事件A表示“第一次取出的球的數(shù)字是1”，事件B表示“兩次取出的球的數(shù)字之和是5”.判斷事件A和事件B是否相互獨(dú)立，并說(shuō)明理由.
21．如圖所示，四棱錐的底面是平行四邊形，分別是棱上.

(1)若分別是棱的中點(diǎn)，求證：平面；
(2)設(shè)底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，，，二面角的正切值為，若，求的最小值.
參考答案
1．【答案】/0.5
【詳解】.
故答案為：.
2．【答案】觀測(cè)數(shù)據(jù)
【詳解】由題意可知是通過(guò)調(diào)查觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)，所以是觀測(cè)數(shù)據(jù).
故答案為：觀測(cè)數(shù)據(jù)
3．【答案】
【詳解】分別是其所在棱的中點(diǎn)，則正四棱錐底面邊長(zhǎng)和高均為，
，，
故.
故答案為：.
4．【答案】/
【詳解】因?yàn)槭录嗀與事件B互相獨(dú)立，且，，
則.
故答案為：.
5．【答案】必要非充分
【詳解】若l與內(nèi)無(wú)數(shù)條直線平行，則或，
若，則l與內(nèi)無(wú)數(shù)條直線平行，
所以“l(fā)與內(nèi)無(wú)數(shù)條直線平行”是“”的必要非充分條件.
故答案為：必要非充分
6．【答案】105
【詳解】依題意，分層抽樣的抽樣比為：，所以該校男生的人數(shù)為：.
故答案為：105
7．【答案】14
【詳解】由題意可知，符合題意的編號(hào)依次為01，17，09，08，06，14，
故選出來(lái)的第6支水筆的編號(hào)為14.
故答案為：14
8．【答案】①③④
【詳解】對(duì)于①，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從含有50個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為5的樣本，
則某個(gè)個(gè)體被抽到的概率是，故①正確；
對(duì)于②，由這組數(shù)據(jù)1，2，m，6，7的平均數(shù)為4，可得，解得，
則數(shù)據(jù)為的方差為，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，數(shù)據(jù)27，12，14，30，15，17，19，23按從小到大排列為：12，14，15，17，19，23，27，30，
因，故第70百分位數(shù)是順數(shù)第六個(gè)數(shù)，即23，故③正確；
對(duì)于④，樣本的極差為，故④正確.
故答案為：①③④.
9．【答案】①④
【詳解】由直線l，m和平面，，且，，知：
在①中，若，則由線面垂直的性質(zhì)得，而，所以，故①正確；
在②中，若，顯然由可得，，此時(shí)不成立，故②錯(cuò)誤；
在③中，若，則l與m相交、平行或異面，故③錯(cuò)誤；
在④中，若，則，，故④正確.
故答案為：①④
10．【答案】
【詳解】
由題意可知三棱錐的頂點(diǎn)都為棱長(zhǎng)為1的正方體的頂點(diǎn)，
將三棱錐補(bǔ)成正方體，棱長(zhǎng)為1，
故其該正方體的外接球的直徑為，
即三棱錐的外接球的直徑為，則三棱錐的外接球的半徑為，
則球O的表面積為.
故答案為：.
11．【答案】3
【詳解】如圖，將各點(diǎn)在原圖中標(biāo)記出來(lái)，觀察發(fā)現(xiàn)，在、、和四條線中，
相互異面的只有3對(duì)：和、和、和.
故答案為：3.
12．【答案】875
【詳解】甲連勝兩局后，
乙最后獲勝的情況為后面三局必須乙勝，其概率為：，
即甲最終獲勝的概率為，乙最終獲勝的概率為，
故甲分得獎(jiǎng)金元才公平.
故答案為：875.
13．【答案】B
【詳解】散點(diǎn)圖不適合用于展示百分比占比的數(shù)據(jù)，另外數(shù)據(jù)量較少的數(shù)據(jù)也不適合用散點(diǎn)圖表示，故A錯(cuò)誤；
散點(diǎn)圖能看出兩個(gè)量是否具有一定關(guān)系，但是并一定是因果關(guān)系，故B正確，C錯(cuò)誤；
散點(diǎn)圖中能看出數(shù)據(jù)的分布情況，故D錯(cuò)誤.
故選：B
14．【答案】B
【分析】判斷選項(xiàng)中的兩個(gè)事件是否可以同時(shí)發(fā)生即可.
【詳解】對(duì)于A，“落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”與“落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”不可能同時(shí)發(fā)生，
∴，事件與事件互斥，故選項(xiàng)A不正確；
對(duì)于B，“落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”與“落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是的倍數(shù)”同時(shí)發(fā)生即“落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是”，
∴“落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是”，事件與事件不是互斥事件，故選項(xiàng)B正確；
對(duì)于C，“落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”與“落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是” 不可能同時(shí)發(fā)生，
∴，事件與事件互斥，故選項(xiàng)C不正確；
對(duì)于D，“落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是的倍數(shù)”與“落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)是” 不可能同時(shí)發(fā)生，
∴，事件與事件互斥，故選項(xiàng)D不正確.
故選：B.
15．【答案】D
【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)，
的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，
由正方體的性質(zhì)可知，
由中位線性質(zhì)可知，
所以，，
所以，由點(diǎn)確定的平面即為截面，其為六邊形．
故選：D．
16．【答案】A
【詳解】如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)作于，連接，
則，，，
，，，
所以，
故選：A．
17．【答案】(1)；
(2)證明見(jiàn)解析
【詳解】（1）平面，
為直線與平面ABCD所成的角，
在中，，
直線與平面ABCD所成角的正切值為.
（2）證明：平面，平面，，
又四邊形為正方形，則，
∵，平面，
平面，
平面，.
18．【答案】(1)；
(2)平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值分別為0.30，0.17.
【詳解】（1）根據(jù)產(chǎn)值增長(zhǎng)率頻數(shù)表得，所調(diào)查的100個(gè)企業(yè)中產(chǎn)值增長(zhǎng)率不低于的企業(yè)為：，
用樣本頻率分布估計(jì)總體分布得這類企業(yè)中產(chǎn)值增長(zhǎng)率不低于的企業(yè)比例為.
（2）企業(yè)產(chǎn)值增長(zhǎng)率的平均數(shù)
，
產(chǎn)值增長(zhǎng)率的方差
，
產(chǎn)值增長(zhǎng)率的標(biāo)準(zhǔn)差，
這類企業(yè)產(chǎn)值增長(zhǎng)率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值分別為0.30，0.17.
19．【答案】(1)；
(2)
【詳解】（1）因?yàn)閳A錐的底面半徑，
經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)軸SO的截面是等邊，可得，
所以圓錐的側(cè)面積為.
（2）以為原點(diǎn)，所在的直線為x軸，所在的直線為y軸，所在的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

由題意可得，則，，，，，
則，，
所以，，，
所以，
設(shè)異面直線PQ與SO所成角的大小為，，
則，
故異面直線PQ與SO所成角的余弦值為.
20．【答案】(1)答案見(jiàn)解析
(2)事件A和事件B相互獨(dú)立，理由見(jiàn)解析
【詳解】（1）依題意試驗(yàn)的樣本空間為：
（2）事件A和事件B相互獨(dú)立，理由如下：
因?yàn)椋?br>所以，，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋允录嗀和事件B相互獨(dú)立.
21．【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)；
【詳解】（1）證明：取中點(diǎn)，連接，

因?yàn)榉謩e是棱的中點(diǎn)，
所以‖，，
因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅危?br>所以，‖，
所以，且，所以四邊形是平行四邊形，
所以，
因?yàn)槠矫妫矫妫?br>所以平面.
（2）因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，，?br>因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，平面?br>所以平面，
因?yàn)槠矫?，所以?br>因?yàn)椋?
所以二面角的平面角為，
所以，所以.
因?yàn)?，，?br>所以兩兩垂直，
所以以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則，，，，，
則，，
所以
，
所以，
設(shè)，則，
因?yàn)?，所?br>所以
所以
所以當(dāng)時(shí)，取到最小值.

y的分組
企業(yè)數(shù)
2
24
53
14
7

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