2022-2023學(xué)年陜西省西安市長安區(qū)第一中學(xué)高一上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，則的真子集的個(gè)數(shù)是（    ）A．7 B．8 C．15 D．16【答案】C【分析】求出集合中元素個(gè)數(shù)，從而可得集合的真子集的個(gè)數(shù)．【詳解】集合，集合中4個(gè)元素，的真子集的個(gè)數(shù)是．故選：C．2．下列函數(shù)中，其定義域和值域不同的函數(shù)是（    ）A．  B．  C．  D． 【答案】D【分析】由冪函數(shù)性質(zhì)可得解.【詳解】A中定義域和值域都是；B中 ,定義域和值域都是；C中定義域和值域都是；D中定義域?yàn)?/span>R，值域?yàn)?/span>故選：D【點(diǎn)睛】本題考查冪函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.3．若非零實(shí)數(shù)，滿足，則下列不等式中一定成立的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，再舉出反例即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)?/span>，所以，即，所以，故B正確；當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；，故C錯(cuò)誤；，故D錯(cuò)誤.故選：B.4．已知，則下列判斷正確的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可比較、與的大小關(guān)系，由此可得出結(jié)論.【詳解】，即.故選：C.5．已知，冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則是的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】等價(jià)于 ，∵冪函數(shù)在上單調(diào)遞減， 且 ，解得 ，∴是的的必要不充分條件，故選B6．若角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)是，則等于（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由終邊與單位圓的交點(diǎn)縱坐標(biāo)，結(jié)合誘導(dǎo)公式可得， 再結(jié)合誘導(dǎo)公式及同角關(guān)系即可求值.【詳解】由角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)是得，故.故選：A7．函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在定理得出，代入可得選項(xiàng).【詳解】由題可知：函數(shù)單調(diào)遞增，若 一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則需：，即，解得，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查零點(diǎn)存在定理，屬于基礎(chǔ)題.8．已知函數(shù)，給出下述論述，其中正確的是（    ）A．當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?/span>B．一定有最小值C．當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?/span>D．若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】A【分析】對于AC:直接求出定義域，即可判斷；對于B:取特殊情況，a=0時(shí)，值域?yàn)?/span>R，否定結(jié)論；對于D:取特殊情況，a=-4時(shí)否定結(jié)論.【詳解】對A，當(dāng)時(shí)，解有，故A正確；對B，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，此時(shí)值域?yàn)?/span>，故B錯(cuò)誤；對C，由A，的定義域?yàn)?/span>，故C錯(cuò)誤；對D，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時(shí)在上單調(diào)遞增，所以對稱軸，解得，但當(dāng)時(shí)，在處無定義，故D錯(cuò)誤.故選：A.9．科學(xué)家以里氏震級來度量地震的強(qiáng)度，若設(shè)I為地震時(shí)所散發(fā)出來的相對能量程度，則里氏震級可定義為.2021年6月22日下午甲市發(fā)生里氏3.1級地震，2020年9月2日乙市發(fā)生里氏4.3級地震，則乙市地震所散發(fā)出來的能量與甲市地震所散發(fā)出來的能量的比值為（    ）A．2 B．10 C．100 D．10000【答案】C【分析】根據(jù)對數(shù)運(yùn)算結(jié)合題意運(yùn)算求解.【詳解】設(shè)乙市地震所散發(fā)出來的能量為，甲市地震所散發(fā)出來的能量為，則，，兩式作差得，故，則.故選：C.10．設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出分段函數(shù)在上得解析式，進(jìn)而根據(jù)解析式做出函數(shù)圖象，由于函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)的圖象與直線在區(qū)間內(nèi)有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合即可求出結(jié)果.【詳解】若，則，所以，故，其圖象如圖： 函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)的圖象與直線在區(qū)間內(nèi)有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，于是，.故選：C. 二、多選題11．如圖是三個(gè)對數(shù)函數(shù)的圖象，則（    ）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象可判斷出，再判斷各選項(xiàng)即可得．【詳解】由對數(shù)函數(shù)圖象得，令，，由已知圖象得，；而是增函數(shù)，.故選：ABC．12．已知均為實(shí)數(shù)，則下列命題正確的是（    ）A．若則.B．若則.C．若，則D．若，則【答案】AD【分析】由不等式的性質(zhì)，逐個(gè)判斷選項(xiàng).【詳解】若，則，又，則，A選項(xiàng)正確；若，滿足，但，不成立，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；若，，滿足，但，不成立，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；，則，又，∴，即，D選項(xiàng)正確.故選：AD13．已知，，那么的可能值為（    ）A． B． C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)題干條件和同角三角函數(shù)的平方關(guān)系建立方程組，求出正弦和余弦，進(jìn)而求出正切值.【詳解】因?yàn)?/span>①，又sin2α+cos2α=1②，聯(lián)立①②，解得或，因?yàn)?/span>，所以或．故選：BD14．下列說法正確的有（    ）A．的最小值為2B．若正數(shù)為實(shí)數(shù)，若，則的最大值為3C．已知，則的最小值為D．設(shè)為實(shí)數(shù)，若，則的最大值為.【答案】CD【分析】對于A，利用特值法即可判斷；對于B，利用換“1”法，結(jié)合基本不等式，即可判斷；對于C，利用配湊法，結(jié)合基本不等式，即可判斷；對于D，化簡為，進(jìn)而利用基本不等式的性質(zhì)，得到，再令，計(jì)算即可判斷.【詳解】對于A，取，則，故最小值不是，故A錯(cuò)誤；對于B，由得，，因?yàn)?/span>，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等式成立，故的最小值為3，故B錯(cuò)誤；對于C，已知，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，故的最小值為正確，故C正確；對于D，，可得，則，令，則，解得，，故此時(shí)，的最大值為，故D正確；故選：CD 三、雙空題15．使命題“若，則”為真命題的一組的值分別為__________，__________.【答案】     1（答案不唯一）     2（答案不唯一）【分析】若原命題都是真命題，則必有，故可得或時(shí)，原命題為真命題，取任一組有效值即可.【詳解】若命題“若，則”為真命題，則必有，故滿足或，故可取或.故答案為：1，2 四、填空題16．化簡：若，則__________.【答案】【分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式中的平方和關(guān)系進(jìn)行化簡，再結(jié)合已知角的范圍，比較出大小關(guān)系進(jìn)行化簡即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以，原式.故答案為：17．函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn)，且點(diǎn)在冪函數(shù)的圖像上，則__________.【答案】125【分析】由得，求出的值以及的值，得到定點(diǎn)的坐標(biāo)．再設(shè)出冪函數(shù)的表達(dá)式，利用點(diǎn)在冪函數(shù)的圖像上，求出冪函數(shù)的表達(dá)式即可得出答案．【詳解】函數(shù)，由，當(dāng)，即時(shí)，，點(diǎn)的坐標(biāo)是．冪函數(shù)的圖像過點(diǎn)，所以，解得；所以冪函數(shù)為，則．故答案為：12518．設(shè)關(guān)于的不等式，只有有限個(gè)整數(shù)解，且0是其中一個(gè)解，則全部不等式的非負(fù)整數(shù)解的和為__________.【答案】6【分析】可設(shè)，根據(jù)函數(shù)圖像為拋物線，結(jié)合題意求出的值，再解對應(yīng)的不等式，從而求出不等式的非負(fù)整數(shù)解的和．【詳解】設(shè)，不合題意，∴，函數(shù)圖像為拋物線．對于任意一個(gè)給定的值，其拋物線只有在開口向下的情況下才能滿足時(shí)整數(shù)解只有有限個(gè)，所以．因?yàn)?/span>0為其中的一個(gè)解，所以，解得，又因?yàn)?/span>，所以或，當(dāng)時(shí)不等式為，解不等式得，因?yàn)?/span>為非負(fù)整數(shù)，所以；當(dāng)時(shí)不等式為，解不等式得；因?yàn)?/span>為非負(fù)整數(shù)，所以0，1，2，3；綜上知，全部不等式的非負(fù)整數(shù)解的和為．故答案為：6 五、解答題19．已知函數(shù)（且），．（1）若，求的取值范圍；（2）求不等式的解集．【答案】（1）；（2） ．【分析】（1）根據(jù)求出的值，由得出的范圍，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果；（2）由對數(shù)的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得的范圍.【詳解】（1）函數(shù)（且），，，函數(shù)．若，，故的取值范圍為．（2）不等式，即，，解得，故不等式的解集為．20．（1）計(jì)算的值.（2）已知，是第三象限角，求的值.【答案】（1）13 ；（2）【分析】（1）利用換底公式將原式中的每個(gè)對數(shù)都化成常用對數(shù)，然后進(jìn)行計(jì)算即可．（2）利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行化簡求值.【詳解】（1）．（2），.21．已知關(guān)于的不等式的解集為或．(1)求的值；(2)當(dāng)，且滿足＝1時(shí)，有恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式的解集，利用韋達(dá)定理可列出方程組，即得；（2）利用基本不等式求得的最小值，根據(jù)恒成立可得，即得.【詳解】（1）因?yàn)椴坏仁?/span>的解集為或，所以1和2是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根且，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)滿足條件，所以；（2）由（1）知，于是有，故，（當(dāng)時(shí)等號成立）依題意有，即，解得，所以的取值范圍為.22．已知函數(shù)是上的偶函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明；(3)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值.【答案】(1)(2)單調(diào)遞增，理由見解析；(3). 【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)單調(diào)性的定義進(jìn)行判斷證明即可；（3）根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)是上的偶函數(shù)，所以有，因?yàn)?/span>，所以；（2）由（1）可知：，即，該函數(shù)單調(diào)遞增，理由如下：設(shè)是上任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，即，，因?yàn)?/span>，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；（3）由（2）可知：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，而函數(shù)是偶函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，因?yàn)?/span>，，所以.23．某研究所開發(fā)了一種抗病毒新藥，用小白鼠進(jìn)行抗病毒實(shí)驗(yàn)．已知小白鼠服用1粒藥后，每毫升血液含藥量（微克）隨著時(shí)間（小時(shí)）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為．當(dāng)每毫升血液含藥量不低于4微克時(shí)，該藥能起到有效抗病毒的效果．(1)若小白鼠服用1粒藥，多長時(shí)間后該藥能起到有效抗病毒的效果？(2)某次實(shí)驗(yàn)：先給小白鼠服用1粒藥，6小時(shí)后再服用1粒，請問這次實(shí)驗(yàn)該藥能夠有效抗病毒的時(shí)間為多少小時(shí)？【答案】(1)小時(shí)(2)小時(shí) 【分析】（1）根據(jù)，代入第一段解析式中求不等式即可.（2）根據(jù)分段函數(shù)的函數(shù)值要不低于4，分段求解即可.【詳解】（1）設(shè)服用1粒藥，經(jīng)過小時(shí)能有效抗病毒，即血液含藥量須不低于4微克，可得，           解得，                                       所以小時(shí)后該藥能起到有效抗病毒的效果．（2）設(shè)經(jīng)過小時(shí)能有效抗病毒，即血液含藥量須不低于4微克；若，藥物濃度，                        解得，                                       若，藥物濃度，         化簡得，所以；                若，藥物濃度，                解得，所以；                          綜上，                                      所以這次實(shí)驗(yàn)該藥能夠有效抗病毒的時(shí)間為小時(shí)． 

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