一、單選題（本大題共8小題）
1．已知數(shù)列，則該數(shù)列的第211項為（ ）
A．B．421C．D．423
2．已知點是點在坐標平面內(nèi)的射影，則（ ）
A．B．10C．D．100
3．已知數(shù)列滿足，其前項和為，則（ ）
A．B．C．D．
4．若直線與互相平行，則（ ）
A．B．3C．或3D．
5．對于等差數(shù)列和等比數(shù)列，我國古代很早就有研究成果，北宋科學(xué)家沈括首創(chuàng)的“隙積術(shù)”就與高階等差級數(shù)求和有關(guān).現(xiàn)有一貨物堆，從上向下查，第一層有2個貨物，第二層比第一層多3個，第三層比第二層多4個，以此類推，記第層貨物的個數(shù)為，則（ ）
A．210B．209C．211D．207
6．經(jīng)過點所作曲線的切線有（ ）
A．1條B．2條C．3條D．4條
7．如圖，在三棱柱中，側(cè)面為菱形，側(cè)面為矩形，平面平面，，為的中點，，，若點到直線的距離為2，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
8．已知拋物線的準線與坐標軸的交點為，為拋物線的焦點，點在拋物線上，且，當最大時，點恰好在以，為焦點的雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．下列導(dǎo)數(shù)運算正確的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知圓與直線，點在圓上，點在直線上，則（ ）
A．直線與圓相離
B．過點的直線被圓截得的弦長的最小值為
C．
D．從點向圓引切線，切線長的最小值是
11．如圖，在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別是棱，的中點，P在線段上，Q在底面內(nèi)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．三棱錐的體積為定值
B．若平面，則點Q的軌跡長度為
C．存在平面
D．平面截以P為球心，PQ長為半徑的球所得的截面面積的取值范圍為
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知雙曲線的兩個焦點為，，雙曲線上有一點，若，則 .
13．已知某商品成本與銷量的函數(shù)關(guān)系式為，單價與銷量的函數(shù)關(guān)系式為，則當利潤最大時， .
14．若正整數(shù)，的公約數(shù)只有1，則稱，互質(zhì).對于正整數(shù)，是小于或等于的正整數(shù)中與互質(zhì)的數(shù)的個數(shù).函數(shù)以其首名研究者歐拉的名字命名，稱為歐拉函數(shù)，例如，則 .若數(shù)列的前項和為，則 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知函數(shù).
(1)若在上不單調(diào)，求實數(shù)的取值范圍；
(2)若，求在上的值域.
16．圖1是直角梯形，，，，，，，以為折痕將折起，使點到達點的位置，且二面角的平面角為，如圖2.
(1)證明：；
(2)求平面與平面夾角的余弦值.
17．已知函數(shù)在上沒有極值.
(1)求實數(shù)的取值范圍；
(2)若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
18．已知橢圓上一點到兩焦點的距離之和為.
(1)求橢圓的方程；
(2)不經(jīng)過點的直線與軸垂直，與橢圓交于，兩點，若直線與橢圓的另一交點為，則直線是否過定點？若過定點，請求出定點坐標；若不過定點，請說明理由.
19．數(shù)列擴充是指在一個有窮數(shù)列中按一定規(guī)則插入一些項得到一個新的數(shù)列，擴充的次數(shù)記為次擴充后的新數(shù)列記為，項數(shù)記為，所有項的和記為.擴充規(guī)則為每相鄰兩項之間插入這兩項的和，如：數(shù)列經(jīng)過一次擴充后得到數(shù)列.已知數(shù)列.
(1)求；
(2)求；
(3)求數(shù)列的前項和.
參考答案
1．【答案】B
【詳解】該數(shù)列的通項公式為，
所以.
故選：B
2．【答案】B
【詳解】由題意得，則，
故選：B.
3．【答案】C
【詳解】因為是周期為4的周期數(shù)列，且，
所以，則.
故選：C
4．【答案】A
【詳解】由題意知，所以或.
當時，兩直線重合，不符合題意；
當時，兩直線平行.
故選：A
5．【答案】B
【詳解】因為，
所以，則.
故選：B.
6．【答案】C
【詳解】因為，所以曲線在點處的切線方程為.
將代入，得.
因為，所以方程有兩個不同的根，且根不為0，
所以方程共有3個不同的根，
即經(jīng)過點所作曲線的切線有3條.
故選：C.
7．【答案】D
【詳解】取的中點，連接，則，因為平面平面，
且平面與平面交于，所以平面.
如圖，以為坐標原點，分別以，的方向為軸、軸的正方向建立空間直角坐標系.設(shè)，
則，，，，所以，，
所以點到直線的距離，
解得.因為，，
所以，
即異面直線與所成角的余弦值為.
故選：D
8．【答案】B
【詳解】過點作準線的垂線交準線于點，則，由可得，設(shè)，則.
令，則，
當，即時，取到最大值，此時.
不妨設(shè)，因為雙曲線的焦點坐標為，
所以可設(shè)雙曲線的方程為，將代入上式，求得.
設(shè)該雙曲線的離心率為，則，所以.
故選：B.
9．【答案】AC
【詳解】令，，
因為，，所以，故A正確；
因為為常數(shù)，所以，故B錯誤；
令，，
因為，，所以，故C正確；
因為，所以，故D錯誤.
故選：AC.
10．【答案】ACD
【詳解】圓的標準方程為，圓心為，半徑，圓心到直線的距離，所以直線與圓相離，故A正確；
因為點在圓內(nèi)部，且，所以過點的直線被圓截得的弦長的最小值為，故B不正確；
因為圓心到直線的距離，所以，故C正確；
從點向圓引切線，設(shè)切點為，連接，則，則，
易知當時，取得最小值，由A知，即圓心到直線的距離7，此時取得最小值，
即，故D正確.
故選：ACD
11．【答案】ABD
【詳解】對于A，由，得的面積為定值，
由平面平面，得三棱錐的高為定值2，
，A正確；
對于B，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，
設(shè)平面的法向量為，，
則，令，得，
設(shè)，，
，，則，
由平面，
得，
即點的軌跡方程為，令，得；令，得.
又點在底面內(nèi)，
因此點的軌跡長度即為兩點間的距離，B正確；
對于C，若存在平面，則，由，
得，，因此不存在平面，C錯誤；
對于D，由平面，得點到平面的距離為定值，
而，則，
而，則該球的半徑，
截面圓的半徑滿足，
則截面面積的取值范圍為，D正確.
故選：ABD
12．【答案】18
【詳解】因為，所以，
可得，
因為，，所以，或，
因為，所以舍去，故.
故答案為：.
13．【答案】14
【詳解】設(shè)利潤為，則.
因為，所以當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當時，，函數(shù)單調(diào)遞減.故當時，利潤取得極大值，也是最大值.
故利潤最大時，.
故答案為：14.
14．【答案】 6
【詳解】由題意可知：小于或等于的正整數(shù)中與互質(zhì)的數(shù)有，
所以.
因為2為質(zhì)數(shù)，在不超過的正整數(shù)中，所有偶數(shù)的個數(shù)為，所以.
因為3為質(zhì)數(shù)，在不超過的正整數(shù)中，所有能被3整除的正整數(shù)的個數(shù)為，
所以，所以，
所以數(shù)列是等比數(shù)列，
所以.
故答案為：6；
15．【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因為，所以.
因為在上不單調(diào)，所以方程有兩個不同的根，
則，解得或，
即實數(shù)的取值范圍是.
（2）因為，所以.
由，得或，由，得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
因為，，，
所以在上的值域為.
16．【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）證明：取的中點，連接，，.
在梯形中，可知，所以，為正三角形，所以，.
因為，且，平面，所以平面.
因為平面，所以.
（2）解：由（1）知二面角的平面角為，即.
如圖，以為坐標原點，分別以，的方向為軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，
則，，，，.
設(shè)平面的法向量為，
因為，，
所以令，得.
設(shè)平面的法向量為，因為，，
所以令，得.
因為，
所以平面與平面夾角的余弦值為.
17．【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因為，所以.
因為在上沒有極值，且，所以在上恒成立.
設(shè)，則.
當時，，當時，，當時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當時，要證，只需證對恒成立，
因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以；
當時，要證，只需證對恒成立，
因為在上單調(diào)遞減，且，所以.
故.
（2）由（1）知在上單調(diào)遞增.
因為，所以，即.
設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，
所以等價于.
因為，所以，
所以，所以恒成立.
令，則，
當時，，當時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，
所以，即，故的取值范圍為.
18．【答案】(1)
(2)過定點，
【詳解】（1）由題知，
把代入橢圓的方程得，計算得，
故橢圓的方程為.
（2）由題知直線的斜率不為零，設(shè)直線的方程為，
設(shè)，，，
聯(lián)立方程組消去整理得，
則，.
直線的方程為.
由橢圓的對稱性可知，若存在符合的定點，則該定點一定在軸上.
令，得
.
故直線過定點.
19．【答案】(1)
(2)，
(3)
【詳解】（1）因為，所以；
（2）因為數(shù)列經(jīng)每一次擴充后是在原數(shù)列的相鄰兩項中增加一項，
所以經(jīng)第次擴充后增加的項數(shù)為，
所以，所以.
因為，所以是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，
所以，所以.
設(shè)第次擴充后數(shù)列的各項為，則+2.
因為每一次擴充是在原數(shù)列的相鄰兩項中增加這兩項的和，
所以，
所以.
因為，所以是首項為3，公比為3的等比數(shù)列，故.
（3）因為，
所以
令，則，
兩式相減得，
所以，
故.

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