一、單選題（本大題共8小題）
1．已知等差數(shù)列滿足，則（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．雙曲線的漸近線方程為（ ）
A．B．C．D．
3．若直線的一個方向向量為，則直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
4．已知圓，則圓的圓心到坐標原點的距離為（ ）
A．1B．C．D．
5．已知平行六面體，滿足，，，．若的中點為，則的長度為（ ）
A．2B．C．D．4
6．已知點，，點滿足，同時滿足，則點到軸的距離為（ ）
A．B．C．1D．
7．在空間直角坐標系中，有一個三棱柱，其中，，，則點到平面的距離為（ ）
A．1B．C．D．2
8．已知拋物線的焦點為，圓．如圖，過點的直線與拋物線和圓的交點依次為，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，公比為，前項和為．若，，則下列說法正確的是（ ）
A．B．
C．D．數(shù)列為等比數(shù)列
10．如圖，在棱長為4的正方體中，是線段上的動點，則下列說法正確的是（ ）
A．存在點使得平面
B．無論點的位置，總有平面
C．若是的中點，則到平面的距離為
D．若直線與平面所成角的正弦值為，則
11．已知橢圓的左、右焦點分別為，過點的直線交橢圓于，兩點，則下列說法正確的是（ ）
A．弦長的取值范圍為
B．若、兩點的中點為，則直線的斜率為
C．若點在第一象限，滿足的面積為1，則
D．若弦的中垂線與軸交于點，則
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知數(shù)列的前項和為，且，則 ．
13．已知過點有兩條直線與圓相切，切點分別為，，則 ．
14．某同學設計了一種小游戲，規(guī)則如下：從第二局起，每一局將上一局中一個白球變成一個白球和一個黑球，一個黑球變成一個白球和兩個黑球．按如此規(guī)律，若初始第一局為一個白球，則第七局游戲后所得白球與黑球的總數(shù)為 ．
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知等差數(shù)列的首項為，公差，等比數(shù)列的首項為，公比為，且滿足，，．
(1)求數(shù)列與的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和．
16．已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，其縱坐標為，且．
(1)求的值；
(2)直線與拋物線相交于兩點，若，求面積的最大值．
17．如圖，正六邊形的邊長為2，將梯形沿翻折至，形成多面體，其中為的中點，連接．

(1)若點為的中點，證明：平面；
(2)若，求多面體的體積；
(3)若二面角的大小為，求平面與平面夾角的余弦值．
18．已知數(shù)列滿足，，是與的等比中項．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和；
(3)若數(shù)列對任意的，當時，都有成立，，求數(shù)列的前項和．
19．已知曲線的離心率為，分別為的左、右焦點，過點的直線與交于兩點，面積的最大值為，點為的左頂點．
(1)求曲線的方程；
(2)證明：為定值；
(3)已知雙曲線，若所在直線與雙曲線的左支分別交于點，點（均異于點），過點作的垂線，垂足為，證明：存在點使得為定值．
參考答案
1．【答案】B
【詳解】根據(jù)題意，因為，又因為數(shù)列為等差數(shù)列，
所以，，可得，所以．
故選：B
2．【答案】A
【詳解】根據(jù)題意，，可知，
所以漸近線方程為：．
故選：A
3．【答案】D
【詳解】根據(jù)題意：向量所在的直線斜率為，
設直線的傾斜角為，則，所以可得傾斜角為．
故選：D
4．【答案】B
【詳解】根據(jù)題意，圓可化為，
所以圓的圓心為，所以圓心到坐標原點的距離為．
故選：B
5．【答案】C
【詳解】根據(jù)題意，以，，為空間向量的一組基底，
所以，
，
所以，
可得，所以的長度為．
故選：C.
6．【答案】D
【詳解】根據(jù)題意可知，點滿足，設，
因為，所以可得，計算可得，，
又因為點滿足，所以，
計算可得，，所以點是兩個曲線的公共點，
聯(lián)立兩式相減可得，
代入圓可得，，所以點到軸的距離為．
故選：D.
7．【答案】C
【詳解】設平面的法向量，
則，令，則，，
則平面的一個法向量為，
因平面平面，則點到平面的距離等于點到平面的距離，即．
故選：C.
8．【答案】B
【詳解】根據(jù)題意，圓，可得，
所以該圓的圓心為，所以，，
所以，
設點，，易知斜率不為0，
設方程為：，
聯(lián)立拋物線方程消去可得：，
所以，又，
兩式相乘可得：，
所以，
因，當且僅當時等號成立．
即時，取得最小值.
故選：B
9．【答案】ACD
【詳解】根據(jù)題意，解得故A正確；
則，故B不正確；
，C正確；
因為，，所以，是等比數(shù)列，D正確．
故選：ACD
10．【答案】BCD
【詳解】在正方體中易知，與不垂直，故A不正確；
因為，又平面并且平面，
所以平面，故B正確；
正方體中易知，，不在平面內，在平面內，
所以平面，
所以到平面的距離即為到平面的距離，
在正方體中，易知平面平面，且相交于,
所以到平面的距離即為到的距離，
又因為點是的中點，所以點到直線的距離等于點到直線的距離，
又，，解得，故C正確；
設，所以，計算可得，
所以，
可得，
所以直線與平面所成角的正弦為，
所以，故D正確．
故選：BCD
11．【答案】AD
【詳解】根據(jù)題意，因為直線過橢圓的右焦點，
所以弦長的最短為通徑，弦長的最長為長軸，
所以過右焦點的通徑為，長軸為，
所以弦長的取值范圍為，故選項A正確；
，當時，，故選項B錯誤；
因為，計算可得，
所以，，
因為點在第一象限，所以，故選項C不正確；
設點、的中點為，
聯(lián)立，可得，
，，
所以，
所以點的坐標，
所以、兩點的中垂線方程為，
所以點的坐標為，所以，
利用弦長公式可得，
所以，故選項D正確.
故選：AD
12．【答案】
【詳解】根據(jù)題意，
故答案為：
13．【答案】
【詳解】根據(jù)題意，圓心，半徑為，
設直線與圓相切于點，如圖，
易知，，則，
所以，
則．
故答案為：.
14．【答案】233
【詳解】根據(jù)題意，假設第局中的白球總數(shù)為，第局中的黑球總數(shù)為，
第一局是1個白球，0個黑球，可知，，
第二局，原來的一個白球會變成1個白球和1個黑球，所以，，
第三局，每個白球和黑球都要變化，第二局有1個白球和1個黑球，
所以第三局的白球數(shù)應該是原來的白球數(shù)加上原來的黑球數(shù)，
同樣，黑球數(shù)是原來的白球數(shù)加上原來的黑球數(shù)的二倍，，，
根據(jù)此規(guī)律可得，，
所以，，，，，，，，
所以第7局后球的總數(shù)為．
故答案為：233.
15．【答案】(1)，；
(2)
【詳解】（1）因為，所以，
又因為，，所以，
計算可得，可得或3，
又因為，所以，
由此可得，
；
（2），
所以，
利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式計算可得，
．
16．【答案】(1)
(2)．
【詳解】（1）分析可得，點在拋物線上且縱坐標為，
代入拋物線方程，得點的橫坐標為，
因為，根據(jù)拋物線的定義可得，
，計算可得；
（2）由（1）可得拋物線方程：，設，，
聯(lián)立可得，
韋達定理可得，，，
所以弦長
，
直線的方程的一般式為，
所以點到直線的距離為，
所以的面積為，
因為，所以當時，取得最大值．

17．【答案】(1)證明見解析
(2)4
(3)．
【詳解】（1）因為，平面，平面，所以平面，
因為，平面，平面，所以平面，
又因為平面且，
所以平面平面，
因為平面，所以平面；

（2）取中點，連接，因為是正六邊形，
故是等邊三角形，所以，
同理，
又因為正六邊形的邊長為2，所以，
又因為，
所以，可得，
又因為，所以平面，
所以是三棱錐的高，
，
由題可得，
所以；
（3）以點為坐標原點，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

因為二面角的大小為，
所以，，，
所以，，
設平面的法向量為，
則，所以，令，得，
又平面的法向量為，
設直線與平面所成角的大小為，
，
所以平面與平面所成角的余弦值為．
18．【答案】(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）因為數(shù)列滿足，
所以數(shù)列為等差數(shù)列，設公差為，
，所以，
，即，解得，
則數(shù)列的通項公式為；
（2）由題意可得，
所以
；
（3）由題意可知，當時，，取，
則，即，①，
當時，，取，
此時，可以推出，②，
由①②可得：且，
所以，，
所以．
19．【答案】(1)；
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【詳解】（1）設曲線的半焦距為c，由離心率為，得，
由的最大值為，得，而，解得，，，
所以曲線的方程為.
（2）由（1）得，依題意，直線不垂直于軸，設，，
由消去得，則，，
則
，
所以為定值；
（3）

設，由（2）知，則，
①當直線斜率存在時，設其方程為，由直線不過點，得，
由消去得，
，且，，，
則，
整理得，
于是，
化簡得，即，而，則，符合題意，
直線：，過定點；
②當直線斜率不存在時，由對稱性，不妨令點在第二象限，直線的斜率為，
方程為，與方程聯(lián)立可得，同理得，此時直線也過點，
因此直線過定點，設該點為，
由，得在為直徑的圓上，圓的方程為，半徑為，
所以存在點使得為定值．

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