考生注意：
1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.
2．答題前、考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚.
3．考生作答時、請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.
4．本卷命題范圍：人教A版必修第一冊，必修第二冊第六章~第七章第2節(jié).
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 若復(fù)數(shù)，則（ ）
A. 2B. C. 10D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求得復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的模的意義可求得的值.
【詳解】因，
所以.
故選：D.
2. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合交集的定義，將集合中元素代入不等式驗證求解.
【詳解】集合，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以.
故選：C
3. 已知平面向量，，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用向量垂直的坐標(biāo)表示，列式求出.
【詳解】向量，，由，得，
所以.
故選：A
4. 已知，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)比較大小.
【詳解】依題意，，
所以.
故選：B
5. 在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用同角公式及正弦定理列式求解.
【詳解】在中，由，得，
由正弦定理得，所以.
故選：A
6. 如圖，為了測量M，N兩點之間的距離，某數(shù)學(xué)興趣小組的甲、乙、丙三位同學(xué)分別在N點、距離M點600米處的P點、距離P點200米處的G點進(jìn)行觀測．甲同學(xué)在N點測得，乙同學(xué)在P點測得，丙同學(xué)在G點測得，則M，N兩點間的距離為（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用余弦定理列式計算得解.
【詳解】由，得，而，，
由余弦定理得（米）.
故選：C
7. 如圖，某八角樓空窗的邊框呈正八邊形．已知正八邊形的邊長為4，O是線段的中點，P為正八邊形內(nèi)的一點（含邊界），則的最大值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量數(shù)量積的幾何意義，即投影向量的意義計算即得.
【詳解】
如圖過點作直線，交于點，
因，又，
則，而即在直線上投影的數(shù)量，
要使取最大值，則需使在直線上投影的數(shù)量最大，
由圖知，當(dāng)點與點或重合時投影向量的數(shù)量最大.
因，由對稱性知，，
在中，，因，解得，
則，故的最大值為.
故選：B.
8 已知，，且，，則（ ）
A. 1B. 3C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性分析出，代入求解即可.
【詳解】令，則在定義域上單調(diào)遞增.
則，，
所以，則有，故.
故選：D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 下列說法正確的是（ ）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，，則D. 若，，則
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)向量的相關(guān)概念，可得答案.
【詳解】向量為矢量，既有大小又有方向，不等比較大小，故A錯誤；
相等向量方向與大小都相同，所以也共線，也具有傳遞性，故BD正確；
當(dāng)時，向量不一定共線，故C錯誤.
故選：BD.
10. 已知，均為復(fù)數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 若，則B. 若，則是實數(shù)
C. 若，則是純虛數(shù)D. 若，則
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算計算可判斷ABC，利用賦值法計算可判斷D.
【詳解】因為，，所以，故A正確；
設(shè)，則 ，
所以，故B正確；
設(shè)，則，所以，
解得，所以 是純虛數(shù)，故C正確；
，
則
但，故D錯誤.
故選：ABC
11. 已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則下列說法正確的是（ ）
A. 若，則是等腰三角形
B. 若，則是銳角三角形
C. 若，，則面積的最大值為
D. 若，則
【答案】BC
【解析】
【分析】利用正弦定理邊化角，再利用二倍角的正弦化簡判斷A；利用余弦定理推理判斷B；利用余弦定理及三角形面積公式求解判斷C；舉例說明判斷D.
【詳解】對于A，由及正弦定理得，即，
則或，即或，是等腰或直角三角形，A錯誤；
對于B，由，得，則是的最大內(nèi)角，
又，則，為銳角，是銳角三角形，B正確；
對于C，由，及余弦定理得，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因此，C正確；
對于D，取，滿足，而，則，即，D錯誤.
故選：BC
三、填空題；本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知向量與的夾角為，且，，則在上的投影向量為________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義，利用投影向量的公式，可得答案.
【詳解】由題意可得在上的投影向量為.
故答案為：.
13. 已知，則的值為________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)對數(shù)運(yùn)算法則求出，將化為，再利用齊次式弦化切即可求得答案.
【詳解】，
.
故答案為：.
14. 在中，D是的中點，點E滿足，與交于點O，則的值為________；若，則的值是________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用表示向量，再利用共線向量定理的推論求得；利用表示向量，再利用數(shù)量積的運(yùn)算律求得.
【詳解】在中，由，得，則，
令，又D是的中點，則，
而共線，因此，解得，所以；
，于，所以.
故答案為：；
四、解荅題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 已知，復(fù)數(shù)．
（1）若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限，求的取值范圍；
（2）若z滿足，，求的值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）求出復(fù)數(shù)對應(yīng)點的坐標(biāo)，進(jìn)而列出不等式組求解.
（2）利用給定條件，結(jié)合復(fù)數(shù)相等求出，再利用復(fù)數(shù)除法及模的意義求解.
【小問1詳解】
復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，
由z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限，得，解得，
所以的取值范圍是.
【小問2詳解】
依題意，，
又，則，解得，
，
所以.
16. 在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
（1）求的值；
（2）若，的面積為，求邊上的高．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理化角為邊，推得，代入消元計算即得所求式的值；
（2）由的面積推得，結(jié)合（1）的結(jié)論求出，利用余弦定理求得，根據(jù)三角形面積公式即可求得邊上的高.
【小問1詳解】
由和余弦定理，
可得：，
化簡得，則得，
故；
【小問2詳解】
由可得，
由（1）已得，解得，
由余弦定理，
，解得，
設(shè)邊上的高邊上的高為，
則由，解得，
故邊上的高為.
17. 已知二次函數(shù)滿足，函數(shù)滿足，且不等式的解集為．
（1）求的解析式；
（2）若關(guān)于x的不等式對任意的恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）求出函數(shù)，設(shè)出的解析式，利用給定的解集求出參數(shù)得解析式.
（2）由（1）的結(jié)論，等價變形不等式，分離參數(shù)，利用指數(shù)函數(shù)值域及基本不等式求出最小值即可求解.
【小問1詳解】
由，得，則，
由二次函數(shù)滿足，設(shè)，
不等式，即，
依題意，是方程的二實根，且，
于是，解得，
所以的解析式為.
【小問2詳解】
由（1）知，，
不等式，
依題意，不等式對任意的恒成立，
而，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
因此，解得，
所以實數(shù)m的取值范圍是.
18. 如圖，在梯形中，，，，E、F分別為、的中點，且，P是線段上的一個動點．
（1）若，求的值；
（2）求的長；
（3）求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)向量的線性運(yùn)算，結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)，可得答案；
（2）利用同一組基底表示向量，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律，可得答案；
（3）利用同一組基底表示向量，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.
【小問1詳解】
由分別為的中點，則，，
由圖可得，則，
所以.
【小問2詳解】
由（1）可知，，
由，則，
，
可得，解得.
【小問3詳解】
由圖可得，
，
，
由，則.
19. 定義：若非零向量，函數(shù)的解析式滿足，則稱為的伴隨函數(shù)，為的伴隨向量．
（1）若向量為函數(shù)的伴隨向量，求；
（2）若函數(shù)為向量的伴隨函數(shù)，在中，，，且，求的值；
（3）若函數(shù)為向量的伴隨函數(shù)，關(guān)于x的方程在上有且僅有四個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用和角公式與誘導(dǎo)公式化簡，依題即得，求其模長即可；
（2）利用伴隨函數(shù)定義和題設(shè)條件求得，再由和角公式求得，借助于正弦定理和余弦定理即可求得；
（3）利用降冪公式根據(jù)將方程化成，根據(jù)和余弦值的符號分段化簡函數(shù)，作出其圖象，將方程的根的情況化成函數(shù)與函數(shù)的圖象在上的交點情況，結(jié)合圖象易得.
【小問1詳解】
因，
則，故.
【小問2詳解】
依題意，，
由可得，
因，則，故，解得
因，則，
又，代入解得①，
由正弦定理，，可得，
代入①，可得②，
又由余弦定理，，
可得③，
于是，
解得.
【小問3詳解】
依題意，，
由可得，
即，
當(dāng)或時，；
當(dāng)時，，
作出函數(shù)在上的圖象.
因方程在上有且僅有四個不相等的實數(shù)根
等價于函數(shù)與函數(shù)的圖象在上有四個交點.
由圖知，當(dāng)且僅當(dāng)時，兩者有四個交點.
故實數(shù)m的取值范圍為.

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