一、單選題（本大題共8小題）
1．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A．B．C．D．
2．在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,化簡(jiǎn)
A．B．C．D．
3．已知之間的一組數(shù)據(jù)：
若與滿足回歸方程，則的值為（ ）
A．B．C．D．
4．已知直線與直線平行，則實(shí)數(shù)（ ）
A．B．1C．或1D．
5．如圖所示，直四棱柱底面是正方形，分別是的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（ ）
A．1B．C．D．
6．為解決“卡脖子”問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)7nm芯片國(guó)產(chǎn)化，讓中國(guó)制造走向世界，某公司兩個(gè)研發(fā)小組同時(shí)設(shè)計(jì)生產(chǎn)出了相同規(guī)格、相同數(shù)量的芯片，經(jīng)初步鑒定：組生產(chǎn)的芯片合格率為，B組生產(chǎn)的芯片合格率為，現(xiàn)公司決定再將這些產(chǎn)品送專家鑒定后量產(chǎn)，專家從這些芯片中隨機(jī)取一個(gè)，則該芯片合格的概率為（ ）
A．B．C．D．
7．如圖，湖面上有4個(gè)相鄰的小島，現(xiàn)要建3座橋梁，將這4個(gè)小島連通起來(lái)，則建設(shè)方案有（ ）
A．12種B．16種C．20種D．24種
8．已知橢圓的左焦點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，若在上存在關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，使得為正三角形，且，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，原點(diǎn)為O，為虛數(shù)單位，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，則或
B．若點(diǎn)Z的坐標(biāo)為，且是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則
C．若，則的虛部為
D．若，則點(diǎn)的集合所構(gòu)成的圖形的面積為
10．下列選項(xiàng)中正確的有（ ）
A．若兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則線性相關(guān)系數(shù)的值越接近于1
B．
C．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則
D．若數(shù)據(jù)的方差為8，則數(shù)據(jù)的方差為2
11．如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為是的中點(diǎn)，為正方形所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若到直線與直線的距離相等，則的軌跡為拋物線
B．若，則的中點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積為
C．若直線與平面所成的角為，則的軌跡為橢圓
D．若直線與直線所成的角為，則的軌跡為雙曲線
三、填空題（本大題共3小題）
12．的展開(kāi)式中的系數(shù)是 ．（用數(shù)字作答）
13．假設(shè)某廠包裝食鹽的生產(chǎn)線，正常情況下生產(chǎn)出來(lái)的食鹽質(zhì)量服從正態(tài)分布，對(duì)于的食鹽即為不合格，不合格食鹽出現(xiàn)的概率為0.05，現(xiàn)從這批食鹽中隨機(jī)抽取100包，用表示這100包中質(zhì)量位于區(qū)間的包數(shù)，則隨機(jī)變量的方差是 ．
14．如圖，畫(huà)在紙面上的拋物線過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)為9，沿軸將紙面折成平面角為的二面角后，空間中線段的長(zhǎng)為 ．
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且圓心在直線上.
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)求過(guò)點(diǎn)與圓相切的直線方程.
16．為了解某一地區(qū)新能源電動(dòng)汽車(chē)銷(xiāo)售情況，一機(jī)構(gòu)調(diào)查了該地區(qū)90位購(gòu)車(chē)車(chē)主的性別與購(gòu)車(chē)種類(lèi)情況，得到的數(shù)據(jù)如下表：
(1)在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)的前提下，能否認(rèn)為購(gòu)買(mǎi)電動(dòng)汽車(chē)與車(chē)主性別有關(guān)？
(2)在購(gòu)買(mǎi)電動(dòng)汽車(chē)的車(chē)主中按照性別進(jìn)行分層抽樣抽取7人，再?gòu)倪@7人中隨機(jī)抽取3人，記這3人中男性的人數(shù)為，求的分布列．
參考數(shù)據(jù)：，其中．
附表：
17．如圖，在三棱錐中，為等邊三角形，是的中點(diǎn)，，平面．
(1)求與平面所成角的正弦值；
(2)若平面于點(diǎn)，求二面角的余弦值．
18．為弘揚(yáng)中華民族的傳統(tǒng)美德，增強(qiáng)老年人的幸福感和歸屬感，某市開(kāi)展學(xué)生志愿服務(wù)活動(dòng)．現(xiàn)有來(lái)自甲，乙，丙，丁四個(gè)地區(qū)的學(xué)生各一名，分配到甲，乙，丙，丁四個(gè)地區(qū)的養(yǎng)老院進(jìn)行志愿服務(wù)，要求每個(gè)地區(qū)分配一名學(xué)生．
(1)求甲地區(qū)的學(xué)生不在甲地區(qū)參加志愿服務(wù)，且乙地區(qū)的學(xué)生不在乙地區(qū)參加志愿服務(wù)的概率；
(2)在概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中，常用協(xié)方差來(lái)描述兩個(gè)隨機(jī)變量之間的線性相關(guān)程度，給定離散型隨機(jī)變量，定義協(xié)方差為．如果協(xié)方差為正，說(shuō)明兩個(gè)隨機(jī)變量具有正相關(guān)關(guān)系；如果協(xié)方差為負(fù)，說(shuō)明兩個(gè)隨機(jī)變量具有負(fù)相關(guān)關(guān)系；如果協(xié)方差為零，說(shuō)明兩個(gè)隨機(jī)變量在線性關(guān)系上不相關(guān)．
在參加志愿服務(wù)活動(dòng)的4名學(xué)生中，記在本地區(qū)參加志愿服務(wù)的學(xué)生人數(shù)為，不在本地區(qū)參加志愿服務(wù)的學(xué)生人數(shù)為．
（?。┣箅S機(jī)變量的分布列；
（ⅱ）求，并說(shuō)明之間的線性相關(guān)關(guān)系．
19．已知圓，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線與直線相交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線．
(1)求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)是曲線上不同的兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，直線的斜率分別為．證明：為定值；
(3)直線與曲線的右支交于點(diǎn)（在的上方），過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線，過(guò)點(diǎn)作斜率為2的直線與交于點(diǎn)；過(guò)點(diǎn)且斜率4為的直線與雙曲線交于點(diǎn)（在的上方），再過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線，過(guò)點(diǎn)作斜率為2的直線與交于點(diǎn)，這樣一直操作下去，可以得到一列點(diǎn)．證明：共線．
參考答案
1．【答案】A
【詳解】因?yàn)閽佄锞€，所以
由拋物拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，
焦點(diǎn)坐標(biāo)是．
故選:A
2．【答案】A
【詳解】在平行六面體，連接AC，如圖，
則,
故選A．
3．【答案】B
【詳解】由表可得，
因?yàn)榫€性回歸方程過(guò)樣本中心點(diǎn)，
則，解得.
故選：B.
4．【答案】C
【分析】由直線平行的充要條件列式運(yùn)算即可求解.
【詳解】已知直線與直線平行，
則當(dāng)且僅當(dāng)，解得或.
故選C.
5．【答案】D
【詳解】由題意知，該幾何體為長(zhǎng)方體，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，
則，
可得，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，
設(shè)，則，則，
所以點(diǎn)C到平面的距離為.
故選：D．
6．【答案】C
【詳解】設(shè)事件“從組中抽取芯片”，事件“抽到合格的芯片”，
則，，，
則.
故選：C.
7．【答案】B
【詳解】由題意知要將4個(gè)相鄰的小島A，B，C，D連接起來(lái)，
共有個(gè)位置可以建設(shè)橋梁，
從這6個(gè)位置中選3個(gè)建設(shè)橋梁，共有種選法，
但選出的3個(gè)位置可能是僅連接或或或三個(gè)小島，不合題意，
故要建3座橋梁，將這4個(gè)小島連接起來(lái)，共有（種）不同的方案.
故選：B.
8．【答案】B
【詳解】設(shè)橢圓的焦距為，右焦點(diǎn)為 ，直線交于點(diǎn)M，
連接，因?yàn)闉檎切?，?br>所以M為 的中點(diǎn)，所以，
故 ，易知 ，
所以， ，由橢圓的定義知 ，
即，得 .
故選：B.
9．【答案】BD
【詳解】A中，令，則，故A錯(cuò)誤；
B中，若點(diǎn)Z的坐標(biāo)為，則，所以，
整理得，所以，解得，
所以，故B正確；
C中，易知的虛部為，故C錯(cuò)誤；
D中，記，則
所以，
圓的面積為，圓的面積為，
所以點(diǎn)的集合所構(gòu)成的圖形的面積為，故D正確.
故選：BD
10．【答案】BD
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：若兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則線性相關(guān)系數(shù)的值越接近于1，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)椋蔅正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，
則，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D：設(shè)數(shù)據(jù)，，，的方差為，因?yàn)閿?shù)據(jù)，，，的方差為8，
則，解得，故D正確．
故選：BD.
11．【答案】ABD
【詳解】對(duì)于A，平面，即為到直線的距離，
在平面內(nèi)，點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等，
∴點(diǎn)的軌跡就是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，故A正確；
對(duì)于B，若，則,
可得中點(diǎn)的軌跡為以中點(diǎn)為圓心，為半徑且平行于平面的圓，
其面積為，故B正確；
對(duì)于C，與平面所成的角為，則，可得，
∴點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，
，
設(shè)，則，，
因?yàn)椋?br>化簡(jiǎn)得，即，所以的軌跡為雙曲線，故D正確；
故選：ABD﹒
12．【答案】
【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，
令可得
所以的展開(kāi)式中的系數(shù)是
故答案為：
13．【答案】9
【詳解】由題意可知：，且，
則，可得，
由題意可知：，
所以隨機(jī)變量的方差.
故答案為：9.
14．【答案】
【詳解】，設(shè)直線為，，
聯(lián)立與可得，
則，則，
故，解得，
故，解得，
故，
如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，在平面內(nèi)垂直于的直線為軸，垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
過(guò)作平面于，過(guò)作于，連接，
由于軸，且軸，，故軸平面，
平面，故軸，則
由于在直角坐標(biāo)系中，
故，
因此在直角三角形中，，
因此在空間直角坐標(biāo)系中，，
故，
故答案為：.
15．【答案】(1)
(2)和
【詳解】（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
由題意得，
所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，符合題意，
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)該斜率為，此時(shí)直線方程為，
即，圓心到該直線的距離為，
即，解得，
此時(shí)直線方程為，
故所求直線方程為和.
16．【答案】(1)可以認(rèn)為購(gòu)買(mǎi)電動(dòng)汽車(chē)與車(chē)主性別有關(guān)
(2)分布列見(jiàn)解析
【詳解】（1）零假設(shè)：購(gòu)買(mǎi)電動(dòng)汽車(chē)與車(chē)主性別無(wú)關(guān)，
由表中數(shù)據(jù)得：，
依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，
所以在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)的前提下，可以認(rèn)為購(gòu)買(mǎi)電動(dòng)汽車(chē)與車(chē)主性別有關(guān).
（2）按購(gòu)買(mǎi)電動(dòng)汽車(chē)的車(chē)主進(jìn)行分層抽樣，抽取的7人中男性有人，女性有5人，
則的可能值為，可得：
，
所以的分布列為：
17．【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因?yàn)闉榈冗吶切危堑闹悬c(diǎn)，則，
且平面，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，過(guò)平行于的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
可得，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，可得，
則，
所以與平面所成角的正弦值為.
（2）由（1）可得：，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，可得，
因?yàn)槠矫?，則直線的方向向量可以為，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，可得，
由題意可知：平面的法向量可以為，
則，
由圖可知：二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為.
18．【答案】(1)
(2)（?。┓植剂幸?jiàn)詳解；（ⅱ），隨機(jī)變量之間具有負(fù)相關(guān)關(guān)系
【詳解】（1）記“甲地區(qū)的學(xué)生不在甲地區(qū)參加志愿服務(wù)，且乙地區(qū)的學(xué)生不在乙地區(qū)參加志愿服務(wù)”為事件A，樣本空間為，
則，，
所以.
（2）由題意可知：隨機(jī)變量的可能取值為0,1,2,4，
則，
，
所以隨機(jī)變量的分布列為
由題意可知：，即，
因?yàn)?，則，
令，
可知隨機(jī)變量的可能取值為，
則，
可得隨機(jī)變量的分布列為
可得，
因?yàn)?，所以隨機(jī)變量之間具有負(fù)相關(guān)關(guān)系.
19．【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
(3)證明見(jiàn)解析
【詳解】（1）圓的圓心為，半徑，
因?yàn)?，?br>則，
可知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡為是以為焦點(diǎn)的雙曲線，且，則，
所以曲線的方程為.
（2）設(shè)，，
因?yàn)镸，N為雙曲線C上的兩點(diǎn)，所以，
兩式相減得，整理得，
則，得證.
（3）設(shè)斜率為4，與雙曲線右支相交于兩點(diǎn)的直線方程為，，，
聯(lián)立，消去y并整理得，
因?yàn)樵摲匠逃袃蓚€(gè)正根，則，解得，或（舍）
由韋達(dá)定理得，
直線的方程為，
因?yàn)?，即，?br>直線的方程為，
因?yàn)?，即，?br>聯(lián)立①②，兩式相加得，兩式相減得，
因?yàn)椋?br>則，
，
所以，
則都在直線上，故共線．1
2
3
4
5.5
4
3.5
3
性別
購(gòu)買(mǎi)非電動(dòng)汽車(chē)
購(gòu)買(mǎi)電動(dòng)汽車(chē)
總計(jì)
男性
39
6
45
女性
30
15
45
總計(jì)
69
21
90
0.10
0.05
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
0
1
2
0
1
2
4
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