2022-2023學年山東省日照市高二上學期期末校際聯(lián)合考試數(shù)學試題 一、單選題1．已知復數(shù)z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為，則（    ）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復數(shù)z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標，得出復數(shù)的表達式，進而求出的表達式，即可得到的值.【詳解】解：由題意，復數(shù)z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為，，∴，∴．故選：D.2．已知直線和直線互相平行，則a的值是（    ）A．0 B．2 C． D．【答案】B【分析】由兩直線平行直接列方程求解即可.【詳解】由題意可知，因為直線和直線互相平行，所以，解得，故選：B3．已知隨機變量，且，則（    ）A．0.6 B．0.4 C．0.2 D．0.9【答案】A【分析】先根據(jù)，求，再根據(jù)正態(tài)密度曲線的對稱性求的值.【詳解】因為，所以，所以，故選:A.4．若直線過拋物線的焦點，與拋物線相交于兩點，且，則線段的中點到軸的距離為（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由雙曲線的定義可得，再由中點坐標公式即可得解.【詳解】由題意，拋物線的準線為，設(shè)，所以，即，所以點的橫坐標為，所以點到軸的距離為6.故選：A.5．已知橢圓的左右焦點為，，以為直徑的圓與橢圓有四個交點，則橢圓離心率的范圍為（    ）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圓的直徑及圓與橢圓交點的個數(shù)可得，據(jù)此可求出橢圓的離心率.【詳解】因為以為直徑的圓與橢圓有四個交點，所以，即，，，所以，即，又因為，所以橢圓離心率的取值范圍為．故選：A．6．如圖，某綠色蔬菜種植基地在A處，要把此處生產(chǎn)的蔬菜沿道路或運送到形狀為四邊形區(qū)域的農(nóng)貿(mào)市場中去，現(xiàn)要求在農(nóng)貿(mào)市場中確定一條界線，使位于界線一側(cè)的點沿道路運送蔬菜較近，而另一側(cè)的點沿道路運送蔬菜較近，則該界線所在曲線為（    ）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．直線【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的定義判斷．【詳解】設(shè)是界限上的一點，則，所以，即（定值），在中，，所以點的軌跡為雙曲線，即該界線所在曲線為雙曲線．故選：C．7．不透明的袋子內(nèi)裝有相同的5個小球，分別標有1-5五個編號，現(xiàn)有放回的隨機摸取三次，則摸出的三個小球的編號乘積能被10整除的概率為A． B．C． D．【答案】A【詳解】試題分析：因為有放回的隨機摸取三次共有種情況，其中三次都沒有五號球的共有種，三次都沒有四號球和二號球的共有種，三次既沒有五號球又沒有四號球和二號球的共有種，所以摸出的三個小球的編號乘積能被整除的共有種情況，因此摸出的三個小球的編號乘積能被整除的概率是，故選A.【解析】1、分步相乘計數(shù)原理的應(yīng)用；2、古典概型概率公式.8．已知，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先利用換元，轉(zhuǎn)化為，再去絕對值后，賦值求和.【詳解】令，可得，則，二項式的展開式通項為，則且．當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，，因此，．故選：A． 二、多選題9．下列命題中正確的是（    ）A．已知向量，則存在向量與，構(gòu)成空間向量的一組基底B．兩個不同平面，的法向量分別是，，，，則C．已知三棱錐，點為平面上一點，，則D．已知，，則與方向相同的單位向量是【答案】BC【分析】根據(jù)空間向量的性質(zhì)判斷各選項即可.【詳解】對于A，，所以其它向量與，一定共面，所以不能構(gòu)成基底，故 A選項錯誤；對于B，因為，所以，故B選項正確；對于C，因為點為平面上的一點，所以，所以，故C選項正確；對于D，設(shè)，則，所以該向量不是單位向量，故D選項錯誤．故選：BC.10．設(shè)復數(shù)對應(yīng)的向量分別為（為坐標原點），則（    ）A．B．若，則C．若，則D．若，則的最大值為【答案】AD【分析】根據(jù)復數(shù)的模的計算求得，判斷A;根據(jù)向量共線的坐標表示可判斷B;利用向量垂直的坐標表示可得，化簡，根據(jù)其結(jié)果判斷C;確定的幾何意義是表示圓，利用的幾何意義求得其最大值，判斷D.【詳解】因為，所以，A正確；由題意可知，若，若，則，B錯誤；若，則，即，故，即僅當時，，時，，C錯誤；，故，即，則表示圓上的點到原點的距離，故的最大值為，D正確，故選: .11．如圖，，，，是以OD為直徑的圓上一段圓弧，是以BC為直徑的圓上一段圓弧，是以OA為直徑的圓上一段圓弧，三段弧構(gòu)成曲線，則下述正確的是（    ）．A．曲線與軸圍成的面積等于B．曲線上有5個整點（橫縱坐標均為整數(shù)的點）C．所在圓的方程為：D．與的公切線方程為：【答案】BCD【分析】由題意，作圖，根據(jù)圖形組合，可得A的正誤；根據(jù)圖中的交點，可得B的正誤；根據(jù)圖中明確圓心與半徑，可得C的正誤；結(jié)合圖象所做切線，設(shè)出直線方程，利用切線性質(zhì)，可得D的正誤.【詳解】由題意，連接，過點作軸于，軸于，如圖所示：A選項：由圖可得面積，故A錯誤，B選項：曲線上有，，，，5個整點，故B正確，C選項：所在圓圓心為，半徑為1，故圓的方程為：，故C正確，D選項：設(shè)與的公切線方程為：，根據(jù)圖像知，則，，解得，，即，故D正確．故選：BCD．12．已知平面上的線段及點，任取上一點，稱線段長度的最小值為點到線段的距離，記作．已知線段，，點為平面上一點，且滿足，若點的軌跡為曲線，是第一象限內(nèi)曲線上兩點，點且，，則（    ）A．曲線關(guān)于軸對稱 B．點的坐標為C．直線的方程為 D．的面積為【答案】BCD【分析】根據(jù)題中定義，結(jié)合拋物線的定義、直線斜率公式逐一判斷即可.【詳解】為線段，：為線段，又，設(shè)，①當時，由題意可得，點的軌跡；②當時，，，點的軌跡；③當時，為點到的距離，，此時點的軌跡是一條拋物線，準線方程為，所以，故拋物線的標準方程為；④當時，，，此時點在的中垂線上，而，，中點坐標為，所以，所以點在上，故選項A錯誤；設(shè)，又，所以，解得，故點A的坐標為，故選項B正確；因為，又點在上，聯(lián)立方程組，可得，所以點B的坐標為，，故直線AB的方程為，即．故選項C正確；則直線與的交點坐標為，所以，故選項D正確．故選：BCD【點睛】關(guān)鍵點睛：利用拋物線的定義，結(jié)合解方程組法是解題的關(guān)鍵. 三、填空題13．的二項展開式中項的系數(shù)為________.【答案】60【分析】先寫出二項展開式的通項，，令，進而可求出結(jié)果.【詳解】因為的二項展開式的通項為：，令，則，所以項的系數(shù)為.故答案為【點睛】本題主要考查求指定項的系數(shù)，熟記二項式定理即可，屬于?？碱}型.14．已知，，且，則_____．【答案】【分析】利用數(shù)量積公式求，再利用數(shù)量積的坐標表示求模.【詳解】因為，所以，解得所以，.故答案為：15．甲?乙兩名探險家在桂林山中探險，他們來到一個山洞，洞內(nèi)是一個橢球形，截面是一個橢圓，甲?乙兩人分別站在洞內(nèi)如圖所示的A?B兩點處，甲站在A處唱歌時離A處有一定距離的乙在B處聽得很清晰，原因在于甲?乙兩人所站的位置恰好是洞內(nèi)截面橢圓的兩個焦點，符合橢圓的光學性質(zhì)，即從一個焦點發(fā)出光經(jīng)橢圓反射后經(jīng)過另一個焦點.現(xiàn)已知橢圓：上一點M，過點M作切線l，A，B兩點為左右焦點，，由光的反射性質(zhì)：光的入射角等于反射角，則橢圓中心O到切線l的距離為___________.【答案】【分析】過M作M處切線的垂線交AB于N，過A，O，B分別作切線的垂線交切線于點，，，由光學性質(zhì)和幾何位置關(guān)系得到，求出，利用中位線的性質(zhì)、橢圓的定義求出.【詳解】如圖，過M作M處切線的垂線交AB于N，過A，O，B分別作切線的垂線交切線于點，，，由光學性質(zhì)可知MN平分，，則，因為，故，所以，.故答案為：.16．如圖，已知正方體棱長為4，點在棱上，且，在側(cè)面內(nèi)作邊長為1的正方形是側(cè)面內(nèi)一動點，且點到平面距離等于線段的長，則當點運動時，的范圍是_______.【答案】【分析】建立空間直角坐標系,根據(jù)在內(nèi)可設(shè)出點坐標，作,連接,可得，作，根據(jù)空間中兩點間距離公式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得的范圍.【詳解】根據(jù)題意,以D為原點建立空間直角坐標系如圖所示：作交于M,連接，則作交于N，則即為點P到平面距離.設(shè),則 ∵點到平面距離等于線段的長∴由兩點間距離公式可得，化簡得,則解不等式可得綜上可得則在中所以故答案為: 【點睛】本題考查了空間直角坐標系的綜合應(yīng)用，利用空間兩點間距離公式及二次函數(shù)求最值，屬于難題. 四、解答題17．已知圓C上有兩個點A，B，且AB為直徑．(1)求圓C的方程；(2)已知P，求過點P且與圓C相切的直線方程．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由中點坐標公式求出圓心坐標，再求出半徑，即可得到圓的方程；（2）先判斷點在圓上，再求得直線的斜率，從而得到切線的斜率，即可求解.【詳解】（1）因為圓C的直徑為AB，故其圓心為C，其半徑為，故圓C的方程為：．（2）因為，故P在圓C上，連接PC，而直線的斜率：，故圓C在P處的切線的斜率為，故所求切線的方程為：．18．若位于軸右側(cè)的動點到的距離比它到軸距離大.(1)求動點的軌跡方程D.(2)過軌跡D上一點作傾斜角互補的兩條直線，交軌跡于兩點，求證：直線的斜率是定值.【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）設(shè)出，，利用題目條件列出方程，化簡后得到軌跡方程；（2）設(shè)出，得到，相減后得到，再根據(jù)直線的傾斜角互補，兩直線斜率之和為0，求出，從而得到直線的斜率是定值【詳解】（1）設(shè)，，則，故，化簡得：，故動點的軌跡方程D為；（2）設(shè)，則，兩式相減得：，即，因為直線的傾斜角互補，且，所以，故，所以，故直線的斜率是定值.19．某中學在該校高一年級開設(shè)了選修課《中國數(shù)學史》，經(jīng)過一年的學習，為了解同學們在數(shù)學史課程的學習后學習數(shù)學的興趣是否濃厚，該校隨機抽取了名高一學生進行調(diào)查，得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下： 對數(shù)學興趣濃厚對數(shù)學興趣薄弱合計選學了《中國數(shù)學史》未選學《中國數(shù)學史》合計 (1)求列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)的值，并確定能否有的把握認為對數(shù)學興趣濃厚與選學《中國數(shù)學史》課程有關(guān)；(2)在選學了《中國數(shù)學史》的人中按對數(shù)學是否興趣濃厚，采用分層隨機抽樣的方法抽取人，再從人中隨機抽取人做進一步調(diào)查．若初始總分為分，抽到的人中，每有一人對數(shù)學興趣薄弱減分，每有一人對數(shù)學興趣濃厚加分．設(shè)得分結(jié)果總和為，求的分布列和數(shù)學期望．附：0.1500.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635  【答案】(1)，有的把握認為對數(shù)學興趣濃厚與選學數(shù)學史課程有關(guān)(2)分布列見解析；期望為 【分析】（1）根據(jù)列聯(lián)表，直接填寫表格，再根據(jù)參考公式求，即可判斷；（2）首先確定，再利用超幾何分布求概率.【詳解】（1）由題意得：，，，．則,所以，有的把握認為對數(shù)學興趣濃厚與選學數(shù)學史課程有關(guān)（2）在選學了數(shù)學史的120人中按對數(shù)學是否興趣濃厚，采用分層隨機抽樣的方法抽取12人，可知其中對數(shù)學興趣濃厚有10人，對數(shù)學興趣薄弱有2人，再從12人中抽取3人，當這3人中恰有2人對數(shù)學興趣薄弱時，；當這3人中恰有1人對數(shù)學興趣薄弱時，；當這3人都對數(shù)學興趣濃厚時，;故：，，所以的分布列為：101316 的數(shù)學期望為：．20．如圖，在四面體中，平面，，，點在線段上．(1)當是線段中點時，求到平面的距離；(2)若二面角的余弦值為，求的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得到平面的距離；（2）設(shè)點，其中，利用空間向量法可得出關(guān)于的方程，解出的值，即可得解.【詳解】（1）解：因為平面，，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，因為為的中點，則、、、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，，所以，點到平面的距離為.（2）解：設(shè)點，其中，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，易知平面的一個法向量為，由已知可得，解得，此時點為的中點，故.21．某學校為了增進全體教職工對黨史知識的了解，組織開展黨史知識競賽活動并以支部為單位參加比賽．現(xiàn)有兩組黨史題目放在甲?乙兩個紙箱中，甲箱有個選擇題和個填空題，乙箱中有個選擇題和個填空題，比賽中要求每個支部在甲或乙兩個紙箱中隨機抽取兩題作答．每個支部先抽取一題作答，答完后題目不放回紙箱中，再抽取第二題作答，兩題答題結(jié)束后，再將這兩個題目放回原紙箱中．(1)如果第一支部從乙箱中抽取了個題目，求第題抽到的是填空題的概率；(2)若第二支部從甲箱中抽取了個題目，答題結(jié)束后錯將題目放入了乙箱中，接著第三支部答題，第三支部抽取第一題時，從乙箱中抽取了題目．求第三支部從乙箱中取出的這個題目是選擇題的概率．【答案】(1)(2) 【分析】（1）設(shè)表示“第次從乙箱中取到填空題”，，再根據(jù)條件概率和全概率公式求解即可；（2）設(shè)事件為“第三支部從乙箱中抽1個選擇題”，事件為“第二支部從甲箱中取出2個題都是選擇題”，事件為“第二支部從甲箱中取出1個選擇題1個填空題”，事件為“第二支部從甲箱中取出2個題都是填空題”，再根據(jù)??彼此互斥，結(jié)合條件概率和全概率公式即可得解.【詳解】（1）設(shè)表示“第次從乙箱中取到填空題”，，，，，由全概率公式得：第次抽到填空題的概率為：；（2）設(shè)事件為“第三支部從乙箱中抽1個選擇題”，事件為“第二支部從甲箱中取出2個題都是選擇題”，事件為“第二支部從甲箱中取出1個選擇題1個填空題”，事件為“第二支部從甲箱中取出2個題都是填空題”，則??彼此互斥，且，， ，，， ， ，．22．橢圓的左右焦點分別為，左右頂點為，為橢圓的上頂點，的延長線與橢圓相交于，的周長為，，為橢圓上一點．圓以原點為圓心且過橢圓上頂點．(1)求橢圓的方程；(2)若過點的直線與圓切于，（位于第一象限），求使得面積最大時的直線的方程；(3)若直線與軸的交點分別為，以為直徑的圓與圓的一個交點為，判斷直線是否平行于軸并證明你的結(jié)論．【答案】(1)(2)(3)直線平行于軸，證明見解析 【分析】(1)由的周長為得,由且在的延長線上，得,設(shè)，代入坐標，可求，從而，橢圓方程可得.(2) 由可知，當時，面積取得最大值，此時即從而可求直線的方程；(3)設(shè) 則可以寫出直線AP，BP的方程,從而求出，，根據(jù)為直徑，可得，再根據(jù)及，可求，從而得證.【詳解】（1）由的周長為得，． 由且在的延長線上，得，設(shè)，,則，又，解得，所以，橢圓的方程為（2）又，所以當時，面積取得最大值，此時點，又因為點位于第一象限，直線的方程為．（3）直線平行于軸．理由如下：由題意知點P不與點A或點B重合，設(shè)則直線AP的方程為，令得同理可求，將及代入化簡得，所以直線平行于軸．【點睛】關(guān)鍵點點睛：第三問：設(shè)、的坐標，則可以寫出直線AP，BP的方程,從而求出、的坐標,根據(jù)為直徑，可得，再根據(jù)及，可求，從而得證. 

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