一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 已知函數(shù)，則的定義域為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由題意得，解得，
所以函數(shù)的定義域為.
故選：A.
2. 已知，則下列不等式中不成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由，則，A對；
又在上單調(diào)遞增，則，B對；
，
顯然，，，，則，C錯；
，則，D對.
故選：C.
3. 已知函數(shù)．則的值為（ ）
A. 6B. 5C. 4D. 3
【答案】B
【解析】根據(jù)題意，函數(shù)，若，解可得，
將代入，可得.
故選：B．
4. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】.
故選：D.
5. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，即.
故選：C.
6. 已知函數(shù)，且，則（ ）
A. B. C. 0D. .3
【答案】C
【解析】因為，，
設(shè)，
則，解得.
故選：C．
7. 已知為正實數(shù)，函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則的最小值為（ ）
A. B. 6C. D. 8
【答案】D
【解析】函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則，即，
又，
當且僅當時取等號，即時取等號.
故選：D.
8. 近年來，人工智能快速發(fā)展，AI算法是人工智能的核心技術(shù)之一，現(xiàn)有一臺計算機平均每秒可進行次運算，在這臺計算機上運行某個AI算法來生成一個文案需要次運算，則生成這個文案需要的時間約為（ ）
A. 1秒B. 10秒C. 20秒D. 50秒
【答案】B
【解析】設(shè)生成這個文案需要的時間約為秒，則，
兩邊取對數(shù)得，所以秒.
故選：B.
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 下列說法中正確的有（ ）
A. 命題“”的否定是“”
B. 若是第三象限角，則在第三象限
C. 已知扇形的面積為4，周長為10，則扇形的圓心角（正角）的弧度數(shù)為
D. 若角的終邊過點，則
【答案】AC
【解析】A：由全稱命題的否定為特稱命題，則原命題的否定為，對；
B：由是第三象限角，則，
又，可得在第二象限，錯；
C：設(shè)扇形的半徑為，弧長為，則，可得或，
當，則圓心角的弧度數(shù)為；當，則圓心角的弧度數(shù)為（舍），
所以扇形的圓心角（正角）的弧度數(shù)為，對；
D：角的終邊過點，則，
顯然為正數(shù)或負數(shù)時，對應(yīng)函數(shù)值符號不同，則，錯.
故選：AC.
10. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 的圖象關(guān)于直線對稱B.
C. 無零點D. 在上單調(diào)遞增
【答案】AB
【解析】由，且定義域為，
所以的圖象關(guān)于直線對稱，A對；
當時，在上單調(diào)遞減，D錯；
當時，在上單調(diào)遞增，
又，B對；
顯然，C錯.
故選：AB.
11. 設(shè)函數(shù)的定義域為，使得成立，則稱為“美麗函數(shù)”．下列所給出的函數(shù)，其中是“美麗函數(shù)”的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】函數(shù)的定義域為，使得成立，
所以的值域關(guān)于原點對稱，即為“美麗函數(shù)”，
A：的值域為，不關(guān)于原點對稱，不符合；
B：的值域為，關(guān)于原點對稱，符合；
C：的值域為，不關(guān)于原點對稱，不符合；
D：，則時值域為，時值域為，
所以函數(shù)的值域為，關(guān)于原點對稱，符合.
故選：BD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知，則_________.
【答案】
【解析】若，則，
所以.
13. 已知函數(shù)是冪函數(shù)，且是奇函數(shù)，則______．
【答案】
【解析】由題設(shè)，可得，
則或，
當，則奇函數(shù)，滿足題設(shè)；
當，則為偶函數(shù)，不滿足題設(shè).
所以.
14. 已知函數(shù)，若函數(shù)有5個不同零點，則實數(shù)的取值范圍是____________.
【答案】
【解析】根據(jù)可得如下函數(shù)草圖，
令，結(jié)合以上函數(shù)圖象，
時，有一個解；
或時，有兩個解；
時，有三個解；
而有兩個不同零點（）且，，
由共有5個零點，則有或，
當時，，且滿足題設(shè)；
當時，，可得；
綜上，實數(shù)的取值范圍是.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知，命題，不等式恒成立；命題，使得成立．
（1）若為真命題，求的取值范圍；
（2）若和中有且只有一個為真命題，求的取值范圍．
解：（1）由題意，上不等式恒成立，即，
由一次函數(shù)的區(qū)間單調(diào)性知，，故，
所以，可得.
（2）若為真命題，則在上能成立，即，
由二次函數(shù)的性質(zhì)知，，故，
要使和中有且只有一個為真命題，結(jié)合（1）知：或.
16. 已知函數(shù)．
（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若，且，求的值．
解：（1），
由，則，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，
時，在上單調(diào)遞增，
時，在上單調(diào)遞減，
所以的遞增區(qū)間為.
（2）由題意，且，即，
所以，則，而，
所以.
17. 已知函數(shù)為奇函數(shù)．
（1）求實數(shù)的值；
（2）判斷在上的單調(diào)性并用定義進行證明；
（3）若不等式對一切恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
解：（1）因為函數(shù)的定義域為，且為奇函數(shù)，
所以，解得．
此時，所以為奇函數(shù)，
所以符合題意．
（2）是R上是單調(diào)遞增函數(shù).
證明：由題知，設(shè)，
則，
∵，∴，，
∴，即，
所以在R上是單調(diào)遞增函數(shù)．
（3）因為是R上的奇函數(shù)且為嚴格增函數(shù)，
所以由，
可得，
即對一切恒成立．
令，，
設(shè)，所以，
即，解得．
18. 已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且直線和為函數(shù)的圖象的兩條對稱軸．
（1）求的一個解析式；
（2）將的圖象先向右平移個單位長度，再把所得圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍，得到函數(shù)的圖象，若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
解：（1）由題意，則，所以，
顯然，則，可得，
所以是滿足題設(shè)的一個解析式.
（2）根據(jù)（1）所得解析式，
圖象先向右平移個單位長度有，
再把所得圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍，則，
所以，
即，
故，
令，且，則，
所以，且，
綜上，上恒成立，
由在上單調(diào)遞減，則，
所以.
19. 已知函數(shù)（，且）．
（1）當時，求最大值；
（2）若對任意，均有，求的最大值；
（3）若對任意，均有，求的取值范圍．
解：（1）由題設(shè)，令，則，
所以，當，即時，的最大值為.
（2）由題意，在上恒成立，
所以，在上恒成立，
由，，
當且僅當時取等號，即最小值為4，
所以，故最大值為4.
（3）令且，均有，
對于開口向下，且對稱軸為，
當時，則上恒成立，
若，即時，在上單調(diào)遞減，
所以，，滿足題設(shè)；
若，即時，顯然，即，
且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，，此時；
綜上，時滿足題設(shè)；
當時，則上恒成立，
顯然，故在上單調(diào)遞減，
所以，，此時；
綜上所述，或.

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