1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場號、座位號、準考證號填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求得集合，再利用并集概念得到答案.
【詳解】根據(jù)題意，，
，
所以.
故選：B.
2. 已知函數(shù)則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用分段函數(shù)，先求得再求解.
【詳解】解：因為，
所以.
故選：D.
3. 已知，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出的范圍，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出的范圍，根據(jù)三角函數(shù)的符號判斷求出的范圍，即可下結(jié)論.
【詳解】，
由于為第二象限角，故，
故.
故選：D.
4. 把函數(shù)圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角函數(shù)圖象變換規(guī)律求解即可.
【詳解】由題意可知，要得到的圖象，
只需將的圖象向左平移個單位長度，
得到的圖象，
再將圖象上所有點的橫坐標縮小為原來的，
得到的圖象.
故選：D.
5. 已知函數(shù)，若，則（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，利用配湊思想代入求解即可.
【詳解】因為，
所以.
故選：C.
6. 已知冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則函數(shù)的圖象過定點（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意，利用冪函數(shù)的定義和性質(zhì)，求得，得到，再結(jié)合指數(shù)型函數(shù)的圖象性質(zhì)求解即可.
【詳解】因為冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
則，解得，
所以，則，
即函數(shù)的圖象過定點.
故選：A.
7. 已知函數(shù)，若（其中），則的最小值為（ ）
A. B. C. 3D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及對數(shù)的運算可得，利用均值不等式求最值即可.
【詳解】，
由，且，
即，
當且僅當，即時等號成立，故的最小值為，
故選：B.
8. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則等于（ ）
A. B. 0C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式，利用對稱性求解一個周期內(nèi)的值，進而利用周期性求解即可.
【詳解】由的圖象可知，
，周期，故，
又且，可得，
故.
又根據(jù)函數(shù)圖象的對稱性可知
，
所以，
所以
，
故選：A.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 對于任意實數(shù)，有以下四個命題，其中正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若，則
D. 若，則
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)特殊值、不等式的性質(zhì)和作差法判斷即可.
【詳解】A選項：，但是，所以A不正確；
B選項：因為成立，則，又，所以，B正確；
C選項：若，則，所以，C正確；
D選項：因為，則，又，所以，D正確；
故選：BCD
10. 若角的終邊在第四象限，則的值可能為（ ）
A. 0B. 4C. 6D.
【答案】CD
【解析】
【分析】根據(jù)終邊角的定義確定為第二象限角或第四象限角.分類討論是第二、四象限角，結(jié)合三角函數(shù)的符號判斷即可求解.
【詳解】由角的終邊在第四象限，得，
則，因此是第二象限角或第四象限角.
當是第二象限角時，；
當是第四象限角時，.
故選：CD.
11. 已知函數(shù)若函數(shù)所有零點的乘積為1，則實數(shù)的值可以為（ ）
A. B. 2C. 3D. 4
【答案】BD
【解析】
【分析】令，可得，討論與圖象位置關(guān)系求解即可.
【詳解】由題意，作出函數(shù)的圖象如圖.
令，則函數(shù)，即，即，即.
由題意函數(shù)所有零點的乘積為1，
可知的所有解的乘積為1，
而的解可看作函數(shù)的圖象與直線的交點的橫坐標.
結(jié)合的圖象可知，
當時，函數(shù)的圖象與直線有2個交點，
不妨設(shè)交點橫坐標為，則，
且，即，所以，所以，符合題意；
當時，函數(shù)的圖象與直線有3個交點，
其中只有最左側(cè)交點的橫坐標小于等于0，
則的所有解的乘積小于等于0，不合題意；
當時，函數(shù)的圖象與直線有2個交點，
不妨設(shè)交點橫坐標為，則，
且，即，所以，所以，符合題意.
綜合以上，可知實數(shù)的取值范圍為，
故選：BD.
【點睛】方法點睛：（1）轉(zhuǎn)化法：利用換元法，令，將函數(shù)所有零點的乘積為1，轉(zhuǎn)化為的所有解的乘積為1；
（2）數(shù)形結(jié)合法：作出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合，分類討論解決問題.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知函數(shù)的值域為，則的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】
【分析】由對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)知函數(shù)的值域滿足，令即可求解.
【詳解】因為值域為，
所以函數(shù)的值域滿足，
所以，解得.
故答案為：.
13. 已知，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】將所求因式的二次項部分除以，把分式的分子分母同時除以，把代入求解即可.
【詳解】由易知，又因為，
所以
.
故答案為：.
14. 設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，對任意的，滿足，若，則不等式的解集為__________.
【答案】
【解析】
【分析】由題意構(gòu)造函數(shù)，進而得出的奇偶性和單調(diào)性，利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性解不等式即可.
【詳解】令，
由是定義在上的奇函數(shù)，
可得是定義在上的偶函數(shù).
由對任意的，滿足，
可得在上單調(diào)遞增，
由，可得，
所以在上單調(diào)遞減，且.
不等式，即為，
可得或即或
解得或
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)奇偶性與單調(diào)性解不等式亦為關(guān)鍵.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知集合或.
（1）當時，求；
（2）“”是“”的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）或.
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)集合間的運算可得；
（2）根據(jù)題意?，根據(jù)和分類可得.
【小問1詳解】
當時，.
因為或，
所以或
【小問2詳解】
因為或，所以.
因為“”是“”的充分不必要條件，
所以?.
當時，符合題意，此時有，解得.
當時，要使?，只需解得.
綜上可得，
即實數(shù)的取值范圍是
16. 隨著城市地鐵建設(shè)的持續(xù)推進，市民的出行也越來越便利.根據(jù)大數(shù)據(jù)統(tǒng)計，某條地鐵線路運行時，發(fā)車時間間隔（單位：分鐘）滿足，平均每班地鐵的載客人數(shù)（單位：人）與發(fā)車時間間隔近似地滿足函數(shù)關(guān)系
（1）若平均每班地鐵的載客人數(shù)不超過1860人，試求發(fā)車時間間隔的取值范圍；
（2）若平均每班地鐵每分鐘的凈收益為（單位：元），則當發(fā)車時間間隔為多少時，平均每班地鐵每分鐘的凈收益最大？并求出最大凈收益.
【答案】（1）.
（2）發(fā)車時間間隔為7分鐘，最大凈收益為260元.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意列出不等式求解即可；
（2）根據(jù)題意求出的解析式，利用基本不等式或函數(shù)單調(diào)性求解即可.
【小問1詳解】
當時，超過1860，所以不滿足題意；
當時，，載客人數(shù)不超過1860，
即，解得或，
由于，所以，可知的取值范圍是.
【小問2詳解】
根據(jù)題意，
則
根據(jù)基本不等式，，當且僅當，
即時取得等號，所以
即當時，每分鐘的凈收益的最大值為260元.
當時，單調(diào)遞減，，
即當時，每分鐘的凈收益的最大值為220元.
綜上所述，當發(fā)車時間間隔為7時，平均每班地鐵每分鐘的凈收益最大，
最大凈收益為260元.
17. 已知，函數(shù)是奇函數(shù)，.
（1）求實數(shù)的值；
（2）若，使得，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）5 （2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義，建立方程，結(jié)合對數(shù)運算，經(jīng)過驗根，可得答案；
（2）利用復合函數(shù)單調(diào)性，求得函數(shù)在對應(yīng)區(qū)間上的最小值，由題意化簡不等式，可得答案.
【小問1詳解】
因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，
即，即，解得，
因為，所以.
當時，，此時的定義域為，
關(guān)于原點對稱，滿足題意.
綜上，.
【小問2詳解】
由題意得，，
由（1）知，，
易得在上單調(diào)遞增，故.
，
當時，，所以當時，，
所以，
解得，即實數(shù)的取值范圍為.
18. 設(shè)函數(shù).
（1）求函數(shù)在上的最大值；
（2）若不等式在上恒成立，求的取值范圍；
（3）若方程在上有四個不相等的實數(shù)根，求的取值范圍.
【答案】（1）；
（2）；
（3）
【解析】
【分析】（1）令，根據(jù)正弦函數(shù)的有界性知，原函數(shù)變?yōu)橐詾樽宰兞康拈_口向下的二次函數(shù)，討論對稱軸與區(qū)間端點的關(guān)系分別求解即可；
（2）利用換元法將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立求解即可；
（3）利用換元法將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在上有兩個零點求的范圍，將所有滿足條件的不等式列出來，求解出的范圍即可.
【小問1詳解】
令，
則變?yōu)椋?br>①當，即時，，
②當，即時，，
③當，即時，，
綜上可知，.
【小問2詳解】
若要，則需，
當時，，
函數(shù)變?yōu)椋?br>所求問題變?yōu)楹愠闪ⅲ?br>易知的圖象是開口向下的拋物線的一部分，
最小值一定在區(qū)間端點處取得，所以有
，
解得，故的取值范圍是；
【小問3詳解】
令.由題意可知，當時，
關(guān)于的方程在時有兩個不等實數(shù)解，
所以原題可轉(zhuǎn)化為在內(nèi)有兩個不等實數(shù)根，
令，則有，
解得，即的取值范圍是.
19. 定義在上的函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，，且.
（1）求，判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明；
（3）若存在使得成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）0，奇函數(shù).
（2）函數(shù)在上為增函數(shù)，證明見解析
（3）.
【解析】
【分析】（1）賦值法得到，令，可得，證明出奇偶性；
（2）任取，且，則，從而證明出為上的增函數(shù)；
（3）變形后，結(jié)合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性得到，令，其中，得到為偶函數(shù)， 定義法得到在上單調(diào)遞增，則當時，，求出，令，則，令，其中，由單調(diào)性求出，則，因此，實數(shù)的取值范圍是.
【小問1詳解】
在等式中，
令，可得，解得.
因為函數(shù)的定義域為，
令，可得，所以，
因此，函數(shù)為奇函數(shù).
【小問2詳解】
函數(shù)為上的增函數(shù).證明過程如下：
任取，且，則，所以.
因為，
所以，
所以，函數(shù)在上為增函數(shù).
【小問3詳解】
由存在使得，
可得.
因為函數(shù)在上為增函數(shù)，則.
令，其中，則，
即函數(shù)為偶函數(shù)，
任取，且，
則
，
因為，則，則，
所以，則，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當時，，
即，
所以，當時，.
令，則，則，
所以，可得.
令，其中，由題意可得
因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，
則，
則，因此，實數(shù)的取值范圍是.
【點睛】方法點睛：分離參數(shù)法基本步驟為：
第一步：首先對待含參的不等式問題在能夠判斷出參數(shù)的系數(shù)正負的情況下，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個一端是參數(shù)，另一端是變量表達式的不等式，
第二步：先求出含變量一邊式子的最值，通常使用函數(shù)單調(diào)性或基本不等式進行求解.
第三步：由此推出參數(shù)的取值范圍即可得到結(jié)論.

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