一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分別求出兩個(gè)集合后根據(jù)交集定義求解.
【詳解】;
;
．
故選：C.
2. 在二項(xiàng)式的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A. 180B. 270C. 360D. 540
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求得正確答案.
【詳解】二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為，
令，解得，所以常數(shù)項(xiàng)為.
故選：A
3. 若復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算化簡，再根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件得到方程組，即可求出、，最后根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷即可.
【詳解】設(shè)，則，
所以，又，
所以，解得，
所以，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限.
故選：D
4. 已知平面向量，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)投影向量的計(jì)算公式即可求解.
【詳解】，
所以向量在向量上的投影向量為.
故選：A
5. 關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)解的一個(gè)必要不充分條件的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次方程有解可得，進(jìn)而根據(jù)充分、必要條件的定義判斷即可.
【詳解】關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)解，
則，解得，
結(jié)合選項(xiàng)可知的一個(gè)必要不充分條件的是.
故選：A.
6. 函數(shù)被稱為“對(duì)勾函數(shù)”，它可以由雙曲線旋轉(zhuǎn)得到，已知直線和直線是函數(shù)的漸近線，則雙曲線的漸近線方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由題意可得雙曲線夾角為，再結(jié)合二倍角的正切公式求出，即可得解.
【詳解】因?yàn)橹本€和直線的夾角為，
由題意可得雙曲線夾角為，
而雙曲線的漸近線方程為，
所以，
則，解得（負(fù)值舍去），
所以雙曲線的漸近線方程為.
故選：B.
7. 曲線與交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】作出曲線與圖象，結(jié)合圖象即可得出答案.
【詳解】作出曲線與大致圖象，可知，而，
由曲線與圖象知，曲線與有個(gè)交點(diǎn).
故選：A.
8. 圖①是底面邊長為2的正四棱柱，直線經(jīng)過其上，下底面中心，將其上底面繞直線順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得圖②，若為正三角形，則圖②所示幾何體外接球的表面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】結(jié)合圖形，由題意過點(diǎn)作于點(diǎn)，得到直角梯形，求出該幾何體的高,再借助于求出該幾何體的外接球半徑,即得其表面積.
【詳解】
如圖，設(shè)正四棱柱的上下底面中心分別為點(diǎn),過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，
依題意，易得直角梯形,因?yàn)檫呴L為2的正三角形,則，且,
又，則.
設(shè)該幾何體外接球球心為點(diǎn),半徑為,則點(diǎn)為的中點(diǎn)，則,
在中，,
于是該幾何體外接球的表面積為.
故選：A.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知，則下列不等式正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】由條件結(jié)合基本不等式證明，由此可判斷ABD，由條件，展開結(jié)合基本不等式求其范圍判斷C..
【詳解】因?yàn)?，由基本不等式可得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
又，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，A正確；
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，B正確；
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以，D錯(cuò)誤；
因?yàn)?，，所以，?br>故，，
所以，C正確..
故選：ABC.
10. 若函數(shù)，則（ ）
A. 的極大值點(diǎn)為2
B. 有且僅有2個(gè)零點(diǎn)
C. 點(diǎn)是的對(duì)稱中心
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，探討函數(shù)的單調(diào)性及極值判斷AB；探討對(duì)稱性求解判斷CD.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，
由，得或；由，得，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，作出其圖象.
由圖知，函數(shù)在處取得極大值，只有一個(gè)極大值點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；
函數(shù)在處取得極小值，且當(dāng)時(shí)，，則有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，故B正確；
因，則點(diǎn)是圖象的對(duì)稱中心，故C正確；
因
，故D正確.
故選：BCD
11. 數(shù)學(xué)家笛卡爾研究了很多曲線，傳說笛卡爾給公主克里斯蒂娜寄的最后一封信上只有一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式：，克里斯蒂娜用極坐標(biāo)知識(shí)畫出了該曲線圖象“心形線”，明白了笛卡爾的心意.已知利用關(guān)系式和可將信中表達(dá)式轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的曲線方程.如圖，該曲線圖象過點(diǎn)，則（ ）
A.
B. 曲線經(jīng)過點(diǎn)
C. 當(dāng)點(diǎn)在曲線上時(shí)，
D. 當(dāng)點(diǎn)曲線上時(shí)，
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)題目所給已知條件進(jìn)行化簡，得到，然后根據(jù)曲線圖象所過點(diǎn)、曲線方程、導(dǎo)數(shù)與極值、換元法以及判別式（或者三角恒等變換）的方法對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>利用關(guān)系式得，…（*）
A選項(xiàng)：因?yàn)榍€圖象過點(diǎn)，所以此時(shí)，
代入（*）得，所以，故A正確；
B選項(xiàng)：因?yàn)?，所以?）化為，
所以直角坐標(biāo)系下的曲線方程為，
代入點(diǎn)滿足，故B正確；
C選項(xiàng)：，設(shè)，
則，令，得或，
時(shí)，，所以，
時(shí)，，
則有極值，由對(duì)稱性，所以，故C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)：方法1：由兩邊平方整理得:
，令，
則（*），由判別式，得.
令，由于方程（*）在有解，
（1）當(dāng)對(duì)稱軸，即或時(shí)，
由得，所以；
（2）當(dāng)對(duì)稱軸，即時(shí)，
由，得，所以，
綜上，.故D正確.
方法2：，
所以.故D正確.
故選：ABD
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解參數(shù)的取值范圍，可以考慮利用導(dǎo)數(shù)來進(jìn)行求解，也可以利用換元法來進(jìn)行求解.其中換元法可以轉(zhuǎn)化為一元二次方程，然后結(jié)合判別式來求解，也可以考慮利用三角換元，利用三角恒等變換的知識(shí)來求解.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則公差_____．
【答案】1
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解.
【詳解】∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案為：1.
13. 某市統(tǒng)計(jì)高中生身體素質(zhì)狀況，規(guī)定身體素質(zhì)指標(biāo)值在內(nèi)就認(rèn)為身體素質(zhì)合格，在[60，84]內(nèi)就認(rèn)為身體素質(zhì)良好，在內(nèi)就認(rèn)為身體素質(zhì)優(yōu)秀，現(xiàn)從全市隨機(jī)抽取100名高中生的身體素質(zhì)指標(biāo)值，經(jīng)計(jì)算．若該市高中生的身體素質(zhì)指標(biāo)值服從正態(tài)分布，則估計(jì)該市高中生身體素質(zhì)良好的概率為______．（用百分?jǐn)?shù)作答，精確到）
參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，．
【答案】
【解析】
【分析】利用正態(tài)分布均值和方差公式得出的值，再由特定區(qū)間的概率即可求解..
【詳解】因?yàn)?00個(gè)數(shù)據(jù)的平均值，
方差
所以的估計(jì)值為的估計(jì)值為.
設(shè)該市高中生的身體素質(zhì)指標(biāo)值為，由，
得.
故答案為：．
14. 已知橢圓，過軸正半軸上一定點(diǎn)作直線，交橢圓于兩點(diǎn)，當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，有（為常數(shù)），則定點(diǎn)的坐標(biāo)為__________，__________.
【答案】 ①. ②. 6
【解析】
【分析】設(shè)出和直線的方程，直曲聯(lián)立由韋達(dá)定理表示出在由弦長公式表示，然后取解出的坐標(biāo)和即可；
【詳解】
設(shè)點(diǎn)，，
當(dāng)直線的斜率不為時(shí)，設(shè)其方程為，
代入橢圓方程并整理可得，
，
所以，
因?yàn)楫?dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，有（為常數(shù)），
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以，
解得，所以，
代入，
當(dāng)直線的斜率為0時(shí)也成立，
經(jīng)檢驗(yàn)，適合題意.
故答案為：；6.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)點(diǎn)睛：直線的斜率不為時(shí)，可設(shè)其方程為形式；弦長公式為，可結(jié)合韋達(dá)定理快速計(jì)算.
四?解答題：本題共5小題，共77分解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15. 已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且
（1）求角A；
（2）若為邊上一點(diǎn)，為的平分線，且，求的面積
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意利用正弦定理邊化角，再結(jié)合三角恒等變換運(yùn)算求解；
（2）根據(jù)面積關(guān)系可得，再結(jié)合余弦定理解得，進(jìn)而可得面積.
【小問1詳解】
因?yàn)椋?br>由正弦定理可得，
且，
即，
整理可得，
且，則，可得，
又因?yàn)?，則，可得，所以.
【小問2詳解】
因?yàn)闉榈钠椒志€，則，
因，則，
即，可得，
在中，由余弦定理可得，
即，整理可得，解得或（舍去），
所以的面積.
16. 如圖，在正三棱柱中，.
（1）證明：平面；
（2）若，求直線與平面所成角的正弦值的最大值.
【答案】（1）證明見詳解；
（2）.
【解析】
【分析】（1）記的中點(diǎn)為，以為原點(diǎn)，分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量證明，然后由線面垂直判定定理可證；
（2）表示出向量，結(jié)合（1）中結(jié)論，利用向量坐標(biāo)表示出，然后結(jié)合基本不等式求解可得.
【小問1詳解】
記的中點(diǎn)為，連接，
因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，為正三棱柱，
所以平面，又平面，所以，
因?yàn)闉檎切?，所以?br>以為原點(diǎn)，分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
，
因?yàn)椋?br>所以，
又平面，所以平面.
【小問2詳解】
因?yàn)?，所以?br>所以，
由（1）知，是平面的一個(gè)法向量，
記直線與平面所成角為，
則，
令，則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
所以，
所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為.
17. 已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，為數(shù)列的前項(xiàng)和，.
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）若，求的最大值；
【答案】（1）
（2）5
【解析】
【分析】（1）根據(jù)遞推公式得出等差數(shù)列再應(yīng)用基本量運(yùn)算得出通項(xiàng)公式；
（2）分組求和分別求出，再計(jì)算化簡結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性計(jì)算求解；
【小問1詳解】
由，得，所以數(shù)列為等差數(shù)列，
所以，所以.
又，所以，
設(shè)公差為，
即解得
所以的通項(xiàng)公式是
【小問2詳解】
由（1）知，
所以
令，
得，
設(shè)，則數(shù)列是遞增數(shù)列.
又，
所以的最大值為5.
18. 已知平面內(nèi)一動(dòng)圓過點(diǎn)，且該圓被軸截得的弦長為4，設(shè)其圓心的軌跡為曲線.
（1）求曲線方程；
（2）梯形的四個(gè)頂點(diǎn)均在曲線上，，對(duì)角線與交于點(diǎn).求直線的斜率；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)圓心為，根據(jù)題意結(jié)合弦長列式求解即可；
（2）設(shè)，聯(lián)立方程可得韋達(dá)定理，求得，，根據(jù)斜率相等運(yùn)算求解即可.
【小問1詳解】
設(shè)圓心為，
由題意可得：，
整理可得，
所以曲線方程為.
【小問2詳解】
由題意可知：直線的斜率不為0，
設(shè)，
聯(lián)立方程，消去可得，
則，可得，
可知直線，
聯(lián)立方程，
消去可得，
由題意可知：，即，
且，可得，
同理可得：.
則
因?yàn)?，則，即，
整理可得，
由題意可知：點(diǎn)不在直線上，則，即，
可得，即，所以直線的斜率；
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：
解答直線與圓錐曲線的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系，涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形，強(qiáng)化有關(guān)直線與圓錐曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．
19. 閱讀以下材料：
①設(shè)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).若在區(qū)間D單調(diào)遞增；則稱為區(qū)上的凹函數(shù)；若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則稱為區(qū)間上的凸函數(shù).
②平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)稱為函數(shù)的“切點(diǎn)”，當(dāng)且僅當(dāng)過點(diǎn)恰好能作曲線的條切線，其中.
（1）已知函數(shù).
（i）當(dāng)時(shí)，討論的凹凸性；
（ii）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在軸右側(cè)且為的“3切點(diǎn)”，求點(diǎn)的集合；
（2）已知函數(shù)，點(diǎn)在軸左側(cè)且為的“3切點(diǎn)”，寫出點(diǎn)的集合（不需要寫出求解過程）.
【答案】（1）（i）答案見解析；（ii）或
（2）點(diǎn)的集合為或或
【解析】
【分析】（1）（i）利用導(dǎo)函數(shù)并對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，即可得出函數(shù)的單調(diào)性，可得其凹凸性；
（ii）根據(jù)“切點(diǎn)”的定義，由切點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化成方程根的個(gè)數(shù)即可得出點(diǎn)的集合；
（2）根據(jù)函數(shù)利用“切點(diǎn)”的定義，得出單調(diào)性即可得出結(jié)論.
【小問1詳解】
因?yàn)椋?br>所以，
令，
所以.
（i）當(dāng)時(shí)，，令，解得；
令，解得；
故為區(qū)間上的凹函數(shù)，為區(qū)間上的凸函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，令，解得，
令，解得或，
故為區(qū)間上的凹函數(shù)，為區(qū)間和上的凸函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，故為區(qū)間上的凸函數(shù)；.
當(dāng)時(shí)，令，
解得，
令，解得或，
故為區(qū)間上的凹函數(shù)，為區(qū)間和上的凸函數(shù)；
綜上所述，當(dāng)時(shí)，為區(qū)間上的凹函數(shù)，為區(qū)間
和上的凸函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，為區(qū)間上的凸函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，為區(qū)間上的凹函數(shù)，為區(qū)間和
上的凸函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，為區(qū)間上的凹函數(shù)，為區(qū)間上的凸函數(shù)；
（ii）當(dāng)時(shí)，，
故在點(diǎn)處的切線方程為.
設(shè)為的“3切點(diǎn)”，
則關(guān)于的方程有三個(gè)不同的解，
即關(guān)于的方程有三個(gè)不同的解，
令，
所以直線與曲線恰有三個(gè)不同的交點(diǎn).
.
當(dāng)時(shí)，隨變化情況如下：
故；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，隨變化情況如下：
故；
綜上所述，點(diǎn)的集合為
或
【小問2詳解】
點(diǎn)的集合為或或
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題在求解“切點(diǎn)”問題時(shí)，關(guān)鍵是利用其定義將切線問題轉(zhuǎn)化成求解方程根的個(gè)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)單調(diào)性即可得出結(jié)論.
1
0
0
減
極小值
增
極大值
減
1
0
0
減
極小值
增
極大值
減

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