?2022年5月福州市高中畢業(yè)班質(zhì)量檢測
數(shù)學試題
一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，，全集，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)集合的并集與補集的運算法則求解即可.
【詳解】由題，，
所以，
故選：B
2. 設復數(shù)滿足，則復平面內(nèi)與對應的點位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)復數(shù)的除法法則可得，即可得到答案.
【詳解】因為，所以，
所以復平面內(nèi)與對應的點位于第一象限，
故選：A
3. 已知向量，為單位向量，且，則（ ）
A. B. 3 C. D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】由題意可得，根據(jù)數(shù)量積的運算律即可求得答案.
【詳解】由題意可得，，
則，
故選：A
4. 某智能主動降噪耳機工作的原理是利用芯片生成與噪音的相位相反的聲波，通過兩者疊加完全抵消掉噪音（如圖）.已知噪音的聲波曲線（其中，，）的振幅為1，周期為，初相為，則用來降噪的聲波曲線的解析式為（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由題可得噪音的聲波曲線的解析式，由圖象可知疊加后的效果，則降噪的聲波曲線與噪音的聲波曲線關(guān)于軸對稱，即可求解.
【詳解】由題，噪音的聲波曲線的振幅為1，周期為，初相為，
所以，，，則，
所以，
所以降噪的聲波曲線的解析式為，
故選：D
5. 已知函數(shù)，以下結(jié)論中錯誤的是（ ）
A. 是偶函數(shù) B. 有無數(shù)個零點
C. 的最小值為 D. 的最大值為
【答案】C
【解析】
【分析】由奇偶性定義可判斷出A正確；令可確定B正確；根據(jù)定義域為，，可知若最小值為，則是的一個極小值點，根據(jù)可知C錯誤；由時，取得最大值，取得最小值可確定D正確.
【詳解】對于A，定義域為，，
為偶函數(shù)，A正確；
對于B，令，即，，解得：，
有無數(shù)個零點，B正確；
對于C，，若的最小值為，則是的一個極小值點，則；
，，
不是的極小值點，C錯誤；
對于D，，；
則當，，即時，取得最大值，D正確.
故選：C.
6. 在底面半徑為1的圓柱中，過旋轉(zhuǎn)軸作圓柱的軸截面，其中母線，是的中點，是的中點，則（ ）
A. ，與是共面直線 B. ，與是共面直線
C. ，與是異而直線 D. ，與是異面直線
【答案】D
【解析】
【分析】由題意，圓柱的軸截面為邊長為2的正方形，從而即可求解.
【詳解】解：由題意，圓柱的軸截面為邊長為2的正方形，
是的中點，是的中點，
所以平面ABC,與平面ABC相交，且與AC無交點，
所以與是異面直線；
又，所以.


故選：D.
7. 定義在上的函數(shù)滿足.若的圖象關(guān)于直線對稱，則下列選項中一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意，利用對稱性，得到，再利用，對進行賦值，然后可求解.
【詳解】函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則必有，所以，,
,又因為滿足，取，所以，，，則，取，則，A對；
故選：A
8. 已知數(shù)列，的通項分別為，，現(xiàn)將和中所有的項，按從小到大的順序排成數(shù)列，則滿足的的最小值為（ ）
A. 21 B. 38 C. 43 D. 44
【答案】C
【解析】
【分析】由數(shù)列的通項公式列出數(shù)列，同時得出前項和公式，將選項由小至大代入不等關(guān)系中，選出符合條件的最小值即可.
【詳解】由題，，則數(shù)列為，……
，則數(shù)列為，……
設數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，
則，，
當時，，，則，不符合條件；
當時，，則， 不符合條件；
以此類推，因為，則前21項中，有的前16項，的前5項，且,
當時，，不符合條件，故排除A；
因為，則前38項中，有的前32項，的前6項，且,
當時，，不符合條件，故排除B；
因為，則前43項中，有前37項，的前6項，且，
當時，，符合條件，
故選：C
【點睛】關(guān)鍵點點睛：將兩個數(shù)列合并排序時，不妨考慮直接列舉觀察規(guī)律，結(jié)合選項，得到結(jié)果.
二?多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分
9. 若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】A.利用不等式的基本性質(zhì)判斷；B.利用重要不等式判斷；C.利用基本不等式的條件判斷；D.利用作差法判斷.
【詳解】A.因為，所以，所以，則，故正確；
B. ，而，取不到等號，故正確；
C. 因為，所以，故錯誤；
D. 因為，所以，所以，故正確；
故選：ABD
10. 某質(zhì)量指標的測量結(jié)果服從正態(tài)分布，則在一次測量中（ ）
A. 該質(zhì)量指標大于80的概率為0.5
B. 越大，該質(zhì)量指標落在的概率越大
C. 該質(zhì)量指標小于60與大于100的概率相等
D. 該質(zhì)量指標落在與落在的概率相等
【答案】AC
【解析】
【分析】利用正態(tài)分布曲線特點及性質(zhì)逐項分析即得.
【詳解】∵某質(zhì)量指標的測量結(jié)果服從正態(tài)分布，
∴該質(zhì)量指標的測量結(jié)果的概率分布關(guān)于80對稱，且方差越小分布越集中，
對于A，該質(zhì)量指標大于80的概率為0.5，故A正確；
對于B，越大，該質(zhì)量指標落在的概率越小，故B錯誤；
對于C，該質(zhì)量指標小于60與大于100的概率相等，故C正確；
對于D，由于概率分布關(guān)于80對稱，故該質(zhì)量指標落在的概率大于落在的概率，故D錯誤.
故選：AC.
11. 已知拋物線的準線為，點在拋物線上，以為圓心的圓與相切于點，點與拋物線的焦點不重合，且，，則（ ）
A. 圓的半徑是4
B. 圓與直線相切
C. 拋物線上的點到點的距離的最小值為4
D. 拋物線上的點到點，的距離之和的最小值為4
【答案】AC
【解析】
【分析】由拋物線的定義，得，又，，易得是等邊三角形，結(jié)合圖像得到，即可求解；求得的坐標，則判斷出A和B選項；對于C選項，設，利用兩點間的距離公式得到，結(jié)合二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，得到的最小值；設交于點，通過拋物線的定義結(jié)合三點共線得，，當且僅當、、三點共線時取得最小值，即可判斷D選項.
【詳解】由拋物線的定義，得，，準線
以為圓心的圓與相切于點，所以，即軸，
又，所以；因為，所以是等邊三角形，即；

設點在第一象限，作的中點，連接，
，，則，即，
解得：，則拋物線的方程為：，則=3，
對于A選項，有，故A選項正確；
對于B選項，，所以，易得圓與直線不相切，故B選項錯誤；
對于C選項，設拋物線上的點，則
化簡，得，當且僅當時等號成立，故C選項正確；
對于D選項，設過點作準線的垂線交于點，
由拋物線的定義，知，則，當且僅當、、三點共線時取得最小值，所以，故D選項錯誤；
故選：AC.
12. 一個籠子里關(guān)著10只貓，其中有4只黑貓?6只白貓，把籠子打開一個小口，使得每次只能鉆出1只貓，貓爭先恐后地往外鉆，如果10只貓都鉆出了籠子，事件表示“第只出籠的貓是黑貓”，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】10只貓先后出籠的順序為，第只出籠的貓是黑貓，即可先從4只黑貓中選出已知，而其余9個位置的貓們可任意排列，即可得到，對A，事件表示“第1，2只出籠的貓都是黑貓”，即可求解判斷；對B，事件表示“第1只或第2只出籠的貓是黑貓”，則根據(jù)即可求解判斷；對C，D，結(jié)合條件概率公式即可求解判斷.
【詳解】由題， ，
事件表示“第1，2只出籠的貓都是黑貓”，則，故A錯誤；
事件表示“第1只或第2只出籠的貓是黑貓”，則，故B正確；
則，故C正確；
事件表示“第2，10只出籠的貓是黑貓”，則，
則，故D正確，
故選：BCD
三?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知，則___________.
【答案】##
【解析】
【分析】由差的正弦公式化簡即可得出.
【詳解】因為，所以，
整理可得，即.
故答案為：.
14. 已知雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為_________.
【答案】
【解析】
【分析】由條件可得，然后可得答案.
【詳解】因為雙曲線的一條漸近線方程為
所以，所以
故答案為：
15. 某地在20年間經(jīng)濟高質(zhì)量增長，GDP的值（單位，億元）與時間（單位：年）之間的關(guān)系為，其中為時的值.假定，那么在時，GDP增長的速度大約是___________.（單位：億元/年，精確到0.01億元/年）注：，當取很小的正數(shù)時，
【答案】0.52
【解析】
【分析】由題可得GDP增長的速度為，進而即得.
【詳解】由題可知，
所以，
所以,
即GDP增長的速度大約是.
故答案為：.
16. 已知正方體的棱長為，以為球心，半徑為2的球面與底面的交線的長度為___________.
【答案】##
【解析】
【分析】由題可得球面與底面的交線為以為圓心，1為半徑的弧，即可求出.
【詳解】正方體中，平面，所以平面與球的截面是以為圓心的圓，且半徑為，所以球面與底面的交線為以為圓心，1為半徑的弧，該交線為.
故答案為：.

四?解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
17. 已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，記為的前項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立.
①；②數(shù)列是等差數(shù)列；③數(shù)列是等比數(shù)列；
注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.
【答案】答案見解析
【解析】
【分析】選①②證明③：由已知求得的公差，進而有為等比數(shù)列并寫出，構(gòu)造結(jié)合等比數(shù)列定義判斷等比數(shù)列；
選①③證明②：由已知求得的公比為并寫出通項公式，根據(jù)的關(guān)系求通項公式，結(jié)合等差數(shù)列的定義判斷為等差數(shù)列；
選②③證明①：由為等差數(shù)列，設寫出通項公式，根據(jù)等比中項的性質(zhì)有，化簡求即可證.
【詳解】選①②證明③：
設等差數(shù)列的公差是，則，又，
所以，即，，
所以，，故是首項為，公比為2的等比數(shù)列，
所以，即.
設，則，，又，
所以是首項是，公比為2的等比數(shù)列.
選①③證明②：
設等比數(shù)列的公比是，
所以，又，則，又，
所以數(shù)列的通項公式為，則.
當時，，又時，符合上式，
所以，，故，
所以是等差數(shù)列.
選②③證明①：
因為數(shù)列是等差數(shù)列，則為常數(shù)，，
所以常數(shù)，，即為常數(shù)，，
令，則為首項為，公比為的等比數(shù)列，
此時.
因為數(shù)列是等比數(shù)列，則，
故，即，
化簡得，因為，解得，
所以，即.
18. 某種疾病可分為，兩種類型，為了解該疾病的類型與患者性別是否相關(guān)，在某地區(qū)隨機抽取了若干名該疾病的患者進行調(diào)查，發(fā)現(xiàn)女性患者人數(shù)是男性患者的2倍，男性患型疾病的人數(shù)占男性患者的，女性患型疾病的人數(shù)占女性患者的.
（1）若本次調(diào)查得出“在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為‘所患疾病的類型’與‘性別’有關(guān)”的結(jié)論，求被調(diào)查的男性患者至少有多少人？
（2）某團隊進行預防型疾病的疫苗的研發(fā)試驗，試驗期間至多安排2個周期接種疫苗，每人每個周期接種3次，每次接種費用為元.該團隊研發(fā)的疫苗每次接種后產(chǎn)生抗體的概率為，如果一個周期內(nèi)至少2次出現(xiàn)抗體，則該周期結(jié)束后終止試驗，否則進人第二個周期.若，試驗人數(shù)為1000人，試估計該試驗用于接種疫苗的總費用.
，

0.10
0.05
0.01
0.005
0.001

2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

【答案】（1）12人 （2）元
【解析】
【分析】、
（1）設男性患者有人，可得出列聯(lián)表，計算出卡方值，列出不等式可求解；
（2）可得該試驗每人的接種費用可能取值為，，求出概率即可得出.
【小問1詳解】
設男性患者有人，則女性患者有人，列聯(lián)表如下：

型病
型病
合計
男



女



合計



假設：患者所患疾病類型與性別之間無關(guān)聯(lián)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到，
要使在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為“所患疾病類型”與“性別”有關(guān)，
則，解得，
因為，，所以的最小整數(shù)值為12，
因此，男性患者至少有12人.
【小問2詳解】
設該試驗每人的接種費用為元，則的可能取值為，.
則，
，
所以，
因為，試驗人數(shù)為1000人，
所以該試驗用于接種疫苗的總費用為，
即元.
19. 如圖1，在中，，，，是的中點，在上，.沿著將折起，得到幾何體，如圖2

（1）證明：平面平面；
（2）若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)圖1可知折疊后，，由此可證平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理，即可證明結(jié)果；
（2）由題可知是二面角的平面角，易證是等邊三角形，連接，根據(jù)圖1中的幾何關(guān)系和面面垂直的性質(zhì)定理可證平面，再以為原點，，，為，，軸建系，利用空間向量法即可求出線與平面所成角.
【小問1詳解】
證明：因為在圖1中，沿著將折起，
所以在圖2中有，，
又，
所以平面，
又因為平面，
所以平面平面；
【小問2詳解】
解：由（1）知，，，
所以是二面角的平面角，
所以，
又因為，
所以是等邊三角形，
連接，
在圖1中，因為，，
所以，
因為是的中點，
所以，
所以是等邊三角形.
取的中點，連接，，
則，，
因為平面平面，平面平面，
所以平面，
所以，，兩兩垂直，
以為原點，，，為，，軸建系，如圖所示.

，，，
所以，，
設平面的法向量為，
則即
取，得平面的一個法向量為，
所以.
設直線與平面所成角為，則.
20. 記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，.已知，點在直線上，且
（1）證明：；
（2）若，求.
【答案】（1）證明見解析
（2）或
【解析】
【分析】（1）在中由銳角三角函數(shù)，得，代入條件，由正弦定理角化邊得，即證；
（2）由三角形等面積法，得，代入可得；將條件和同時代入余弦定理，化簡后利用輔助角公式得到，由即可求解.
【小問1詳解】
在中，因為，所以，
又因為，所以，即
在中，根據(jù)正弦定理，得，故.
【小問2詳解】
在中，，
又由（1）知，，所以，
在中，根據(jù)余弦定理，得，
又由已知，，得，
所以，則，即，
因為，則，所以或，
故或.
21. 在平面直角坐標系中，動點到直線的距離和點到點的距離的比為，記點的軌跡為.
（1）求的方程；
（2）若不經(jīng)過點的直線與交于，兩點，且，求△面積的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）設，由點線距離及兩點距離公式列方程，化簡即可得的方程；
（2）設直線：，，，，聯(lián)立橢圓方程，根據(jù)交點情況有，法一：結(jié)合韋達定理、求得；法二：作關(guān)于軸的對稱點，得到，由向量平行的坐標表示求得，進而確定直線所過的定點坐標，利用弦長公式、三角形面積公式得到△面積關(guān)于m的表達式，即可求最值；
【小問1詳解】
設，到直線的距離記為，則，
依題意，，化簡得，即.
【小問2詳解】
設直線：，，，，
由得：，
則，可得，
所以，.
法一：由，則，
所以，即，
所以，可得，
所以直線經(jīng)過定點.
因為△面積，
所以，
當，即時，有最大值為.

法二： 作點關(guān)于軸的對稱點，
因為，則，故，
所以，，三點共線，所以，
因為，，
所以，即，
所以，則，可得，
所以直線經(jīng)過定點，
因為△面積，
所以，
設，則，則，
當，即時，有最大值為.
22. 設函數(shù)，曲線在處的切線與軸交于點；
（1）求；
（2）若當時，，記符合條件的的最大整數(shù)值?最小整數(shù)值分別為，，求.注：為自然對數(shù)的底數(shù).
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出在處的切線方程，根據(jù)切線與軸交于點，即可求得；
（2）法一：由（1）知，則不等式可化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)并討論導數(shù)的正負，從而求得存在，，分離參數(shù)，表示出，構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合導數(shù)求得，進而求得答案；
法二：討論x的取值范圍，從而分離出參數(shù)b，在，的情況下，分別構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)判斷單調(diào)性求的最值，最后確定，由此可得答案；
法三：令，由可解得，從而取，證明證當時，不等式在時恒成立，令，由，解得，故取，再證當時，不等式在時恒成立，由此求得答案.
【小問1詳解】
依題意得：，
所以.
又因為，
所以在處的切線方程為，
因為曲線在處的切線與軸交于點，
所以，
解得.
【小問2詳解】
解法一:由（1）知，則不等式可化為，
設，
則，
設，則，
因為，所以，
所以在單調(diào)遞增，即在單調(diào)遞增，
所以，
①若，則，
所以在單調(diào)遞增，
所以，
解得，
所以；
②若，則，
因為在單調(diào)遞增，
當時，，
則存在使得，
當時，取，則，
所以存在，使得，
綜上，當時，存在，使得，即，
故當時，，
則在單調(diào)遞減，
當時，，
則在單調(diào)遞增，
所以,（*）
由，得，
代入（*）得，
設，
則，
因為，所以由得，
當時，，
所以在上單調(diào)遞增，
當時，，
所以在單調(diào)遞減，
又因為，，，
所以當時，，
所以滿足的的取值范圍是，
又因為，
設，則，
所以在單調(diào)遞增，
所以，
綜上所述，
又因為，
所以，，所以.
解法二：
由（1）知：，則，
①當時，左邊等于恒成立，此時；
②當時，原不等式可化為對任意恒成立.
設，則.
設，則
因為，所以，
所以在上單調(diào)遞增.
又因為，
所以是在上的唯一零點，
所以當時，，上單調(diào)遞減，
當時，，在上單調(diào)遞增，
所以，
所以.
③當時，原不等式可化為，
此時對于②中函數(shù)的導函數(shù)，，
可知當時，，
所以在單調(diào)遞減，且，
所以當時，，
所以當時，，
所以在上單調(diào)遞減，
所以，
所以，
綜上所述，
又因為，
所以，，所以.
解法三：
令，由得，
解得，
取，下證當時，不等式在時恒成立，
設，則，由可得，
當時，，
所以單調(diào)遞減，
當時，，
所以單調(diào)遞增，
所以，所以符合題意；
令，由得，
解得，
取，下證當時，不等式在時恒成立，
設，則，
令，則，
所以當時，，
則在上單調(diào)遞減，
當時，，
則在上單調(diào)遞增，
所以，
所以當時，恒成立.
當時，，
所以，
所以，

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