注意事項：
1．答題前，先將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼在答題卡上的指定位置．
2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．寫在試卷、草稿紅答題卡上的非答題區(qū)域均無效．
3．填空題和解答題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內．寫在試卷、草稿紙和答題的非答題區(qū)域均無效．
4．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并上交．
第Ⅰ卷（選擇題）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有個選項是正確的、請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上．
1．（ ）
A．B．iC．D．1
2．已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，且（ ）
A．5B．C．11D．
4．已知，則“”是“點在第一象限內”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件
5．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的表達式可以為（ ）
A．B．
C．D．
6．若，且，則（ ）
A．B．C．2D．
7．若函數(shù)是區(qū)間上的減函數(shù)，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
8．函數(shù)的最大值為（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．
9．已知函數(shù)，則（ ）
A．為其定義域上的增函數(shù)B．為偶函數(shù)
C．的圖象與直線相切D．有唯一的零點
10．已知等比數(shù)列中，滿足，則（ ）
A．數(shù)列是等比數(shù)列B．數(shù)列是遞增數(shù)列
C．數(shù)列是等差數(shù)列D．數(shù)列中，仍成等比數(shù)列
11．已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有3個對稱中心，則下列說法不正確的是（ ）
A．在區(qū)間上至多有3條對稱軸
B．的取值范圍是
C．在區(qū)間上單調遞增
D．的最小正周期可能為
第Ⅱ卷（非選擇題）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．在的展開式中，第四項的系數(shù)為___________．
13．已知函數(shù)是奇函數(shù)，則實數(shù)的值為___________．
14．已知分別為的三個內角的對邊，，且，則面積的最大值為___________．
四、解答題
15．（13分）
已知數(shù)列滿足．
（1）求的通項公式；
（2）若，求數(shù)列的前項和．
16．（15分）
在中，內角所對的邊分別為，已知．
（1）證明：成等差數(shù)列；
（2）若，求．
17．（15分）
在如圖所示的四棱錐中，四邊形為矩形，平面為的中點．
（1）證明：平面；
（2）若，求平面與平面的夾角的余弦值．
18．（17分）
已知函數(shù)．
（1）若曲線在處的切線方程為，求實數(shù)的值；
（2）若，關于的方程有兩個不同的實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍。
19．（17分）
已知拋物線，點為其焦點，直線與拋物線交于兩點，為坐標原點，．
（1）求拋物線的方程；
（2）過軸上一動點作互相垂直的兩條直線，與拋物線分別相交于點和，點分別為的中點，求的最小值．
2025屆高三入門考試數(shù)學試題
參考答案
1．【答案】C
【分析】根據(jù)復數(shù)的四則運算直接計算即可．
【詳解】，
故選：C．
2．【答案】D
【分析】列舉法表示集合，再求．
【詳解】．
故選：D
3．【答案】A
【分析】根據(jù)題意，由平面向量的坐標運算，代入計算，即可得到結果．
【詳解】．
故選：A
4．【答案】B
【分析】結合三角函數(shù)的想先符號判斷即可．
【詳解】若，則在第一或三象限，
則或，則點在第一或三象限，
若點在第一象限，
則，則．
故“”是“點在第一象限內”的必要不充分條件．
故選：B
5．【答案】A
6．【答案】D
【分析】由，可解得，即可求解
【詳解】，故，
可解得或，又，故，故，
故選：D
7．【答案】B
【分析】根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，對進行分類討論，再分別解之即可．
【詳解】函數(shù)是區(qū)間上的減函數(shù)，則
①當時，則，則由得，故，則無解．
②當時，則，則由得
，故，則有．
綜上①②知：．
故選：B
8．【答案】B
【分析】利用導數(shù)，結合三角函數(shù)的性質即可得解．
【詳解】因為，
所以，
易知，則，
所以當時，；當時，；
即當時，單調遞增；
當時，單調遞減；
故在處取得極大值即最大值，
所以．
故選：B．
9．【答案】AD
【分析】求出判斷函數(shù)奇偶性，通過對函數(shù)求導，即可求出其單調性，切線和零點是否唯一
【詳解】由題意，
在中，定義域為R，
，
為R上的增函數(shù)，A正確；
，
為奇函數(shù)，B錯誤；
當時，解得：，
此時．
斜率為0的切線為，不可能為直線，
C錯誤；
為R上的增函數(shù)，，
有唯一的零點，D正確．
故選：AD．
10．【答案】AC
【分析】由題意利用等比數(shù)列的性質、通項公式及前n項和公式，判斷各個選項是否正確，從而得出結論．
【詳解】等比數(shù)列中，滿足，則，有，
由，數(shù)列是首項為2公比為4的等比數(shù)列，故A正確；
而，則數(shù)列是遞減數(shù)列，故B不正確；
又，
故數(shù)列是首項為0公差為1的等差數(shù)列，故C正確；
數(shù)列中，，故D錯誤．
故遠：AC．
11．【答案】ABD
【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的對稱性，周期性，單調性逐一判斷即可，
【詳解】由，得，
因為函數(shù)在區(qū)間上有且僅有3個對稱中心，
所以，解得，
所以，所以，故選項B，D不正確；
當，即時，函數(shù)有3條對稱軸，
當，即時，函數(shù)有4條對稱軸，
所以函數(shù)在區(qū)間上至少有3條對稱軸，故選項A錯誤；
當，時，，
因為，所以，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調遞?，故C正確．
故選：ABD．
12．【答案】
【分析】先求出二項式展開式的通項，把代入求解第四項系數(shù)即可．
【詳解】因為展開式的通項為，
所以第四項的系數(shù)為．
故答案為：
13．【答案】
【分析】根據(jù)得到的方程求解即可．
【詳解】解：由知函篗的定義域為，
定義域關于原點對稱，又，
是奇函數(shù)，，
，即，
，
解得．
故答案為：．
14．【答案】
【分析】利用正弦定理進行邊角互化可得，再結合余弦定理可得，利用基本不等式可得，進而可得面積的最大值．
【評解】由，得，
由正弦定理得，化簡得，
故，
所以．
又因為，即，
所以，
當且僅當時取等號．
故，
故答案為：．
15．【答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用退一相減法可得，進而可得；
（2）利用裂項相消法求和．
【詳解】（1）由，
得當時，即，
當時，，
則，即，
當時，也滿足上式，
綜上所述，；
（2）由（1）得，
則，
所以．
16．【答案】（1）證明見解析
（2）
【分析】（1）利用余弦定理結合所給方程，即可證明結論；
（2）利用正弦定理結合（1）中結論求出與的關系，結合余弦定理即可求出的值．
【詳解】（1）由題意證明如下，
在中，，
由余弦定理可得，，
整理得，
成等差數(shù)列。
（2）由題意．
在中，，
由正弦定理得，，
．
，
，即．
由余弦定理可得，．
17．【答案】（1）證明見解析
（2）
【分析】（1）根據(jù)題意，由線面平行的判定定理即可證明；
（2）根據(jù)題意，以A為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，結合空間向量的坐標沄算，即可得到結果。
【詳解】（1）
證朋：連接，交于點，連接，
為中點，為中點，．
又平而平面，
平面．
（2）
如圖，以A為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系．
則，
則，
平面平面的一個法向量為，
設平面的法向顯為，
則，令，得．
平面與平面的夾角的余弦值為．
18．【答案】（1）
（2）
【分析】（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義結合導數(shù)求最值的方法可得參數(shù)值；
（2）分離參數(shù)，根據(jù)導數(shù)判斷函數(shù)單調性及最值情況，進而可得參數(shù)取值范圍．
【詳解】（1）由．
得．
所以，且，
又曲線在處的切線方程為，即，
則，
設函數(shù)，則，
當時，單調遞增，
當時，單調遞減，
所以，即，當且僅當時取等號，
所以；
（2）當時，由，可得，
即，
令，則，
設函數(shù)，易知函數(shù)為增函數(shù)，且，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以的最小值為，
又當時，，當時，，
所以，
故實數(shù)的取值范圍是．
【點晴】導函數(shù)中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}，注意分類討論與數(shù)形結合心想的應用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉化為函數(shù)的單調性、極（最）值問題處理．
19．【答案】（1）
（2）6
【分析】（1）山題意，求得點的坐標，利用三角形的面積，建立方程，可得答案；
（2）利用分類討論，明確直線的斜率存在，聯(lián)立方程，寫出韋達定理，求得中點坐標，利用兩點距離公式，結合基本不等式，可得答案。
【詳解】（1）
直線方程為，將其代入拋物線可得，
由已知得，解得，
故拋物線的方程為．
（2）
因為，若直線分別與兩坐標軸垂直，
則直線中有一條與拋物線只有一個交點，不合題意，
所以直線的斜率均存在且不為0．設直線的斜率為，
則直線的方程為．
聯(lián)立，得，則，
設，
則，設，則，則，
所以，同理可得，
故，
當且僅當且，即時等號成立，
故的最小值為6．

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