2025年高考第二次模擬考試：數(shù)學(xué)（新高考Ⅰ卷01）（解析版）

這是一份2025年高考第二次模擬考試：數(shù)學(xué)（新高考Ⅰ卷01）（解析版），共17頁(yè)。試卷主要包含了已知，則，設(shè)函數(shù)，則等內(nèi)容，歡迎下載使用。
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第一部分（選擇題 共58分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．已知集合，則（ ），
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】因?yàn)椋?br>，則，
所以．
故選：A.
2．已知，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】由題意知，,
所以,
故選：C
3．已知向量，，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【詳解】由，，
若，則，
解得或，
故“”是“”的充分不必要條件，
故選：A．
4．某景區(qū)新開通了 個(gè)游玩項(xiàng)目，并邀請(qǐng)了甲、乙、丙、丁 4 名志愿者體驗(yàn)游玩項(xiàng)目，每名志愿者均選擇 1 個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行體驗(yàn)，每個(gè)項(xiàng)目至少有 1 名志愿者進(jìn)行體驗(yàn)，且甲不體驗(yàn) 項(xiàng) 目， 則不同的體驗(yàn)方法共有（ ）
A．12 種B．18 種
C．24 種D．30 種
【答案】C
【詳解】若乙、丙、丁 3 人體驗(yàn)的項(xiàng)目各不相同，則有 種體驗(yàn)方法，
若乙、丙、丁 3 人有 2 人體驗(yàn)的項(xiàng)目相同，則有 種體驗(yàn)方法，
故不同的體驗(yàn)方法共有 24 種.
故選：C.
5．已知，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】因?yàn)?，所以?br>即，
所以．
故選：D．
6．已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】設(shè)的公差為，因?yàn)?，?br>可得 ，解得，所以，
可得，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.
故選：D.
7．已知點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，直線過的圓心且與交于，兩點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】，即的圓心，半徑為，
橢圓方程中，，，
則圓心為橢圓的右焦點(diǎn)，線段為的直徑，連接，
因此
，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，
則，，即，
所以.
故選：A
8．設(shè)函數(shù)，其中 ，若存在唯一的整數(shù)，使得，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】設(shè)，，
由題意知，函數(shù)在直線下方的圖象中只有一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為整數(shù)，
，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
所以，函數(shù)的最小值為.
又，.
直線恒過定點(diǎn)且斜率為，
故且，解得，故選D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．已知，且，則下列不等式中成立的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋?，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，A正確；
對(duì)于B，因?yàn)?，?br>令，，
令
令令，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；
又，，
的時(shí)，fx取最小值，所以B正確；
對(duì)于C，，因?yàn)?，所以在上最小值為，，C正確；
對(duì)于D，，D錯(cuò)誤；
故選：ABC.
10．設(shè)函數(shù)，則（ ）
A．當(dāng)時(shí)，的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
B．當(dāng)時(shí)，方程有個(gè)實(shí)根
C．當(dāng)時(shí)，是的極大值點(diǎn)
D．存在實(shí)數(shù)，恒成立
【答案】ABD
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?，所以，?br>所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故A正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則，
令，可得或，列表如下：
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，
所以，，又因?yàn)?，如下圖所示：
由圖可知，直線與函數(shù)的圖象由三個(gè)交點(diǎn)，
即時(shí)，方程有個(gè)實(shí)根，故B正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時(shí)恒成立，故D正確．
故選：ABD．
11．“”可以看作數(shù)學(xué)上的無窮符號(hào)，也可以用來表示數(shù)學(xué)上特殊的曲線．如圖所示的曲線過坐標(biāo)原點(diǎn)，上的點(diǎn)到兩定點(diǎn)，的距離之積為定值．則下列說法正確的是（ ）（參考數(shù)據(jù)：）

A．若，則的方程為
B．若上的點(diǎn)到兩定點(diǎn)、的距離之積為16，則點(diǎn)在上
C．若，點(diǎn)在上，則
D．當(dāng)時(shí)，上第一象限內(nèi)的點(diǎn)滿足的面積為，則
【答案】ACD
【詳解】已知原點(diǎn)在上，則，設(shè)為上任意一點(diǎn)，
則有，整理得．
若，則的方程為，故A正確；
若，則，代入方程得，顯然點(diǎn)不在此曲線上，故B錯(cuò)誤；
若，點(diǎn)在上，有，
整理得，所以，故C正確；
因?yàn)?，，可得?br>所以點(diǎn)是曲線和以為直徑的圓在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，
聯(lián)立方程，解得，，即，所以，故D正確．
故選：ACD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)題干背景得到曲線方程為關(guān)鍵.
第二部分（非選擇題 共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．已知直線與直線平行，且與曲線相切，則直線的方程是 .
【答案】（或）
【詳解】直線的斜率為，由于直線與直線平行，則直線的斜率為，
對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，令，解得或（舍去），
所以切點(diǎn)的坐標(biāo)為.
故直線的方程為，即
故答案為：（或）.
13．在三棱臺(tái)中，，，平面平面，則該三棱臺(tái)外接球的體積為 ．
【答案】
【詳解】

分別取的中點(diǎn)，則平面，且外接球球心在直線上，由題意，．
設(shè)，
若球心在線段上，則，得；
若球心不在線段上，則，無正數(shù)解．
所以外接球體積為．
故答案為：
14．小郅和小豪同學(xué)玩紙牌游戲，小郅面前有標(biāo)有點(diǎn)數(shù)分別為1、2、3、4、5的紙牌各1張，小豪面前有標(biāo)號(hào)為1、2、3、4、5的紙牌分別有5、4、3、2、1張（抽牌階段抽到每張牌的概率均等），規(guī)定首先小豪同學(xué)從其面前紙堆中抽取一張牌點(diǎn)數(shù)記為，然后放回牌堆，隨后小郅同學(xué)任意從其面前牌堆中抽取張牌，記這張紙牌的點(diǎn)數(shù)和為，則 ， .
【答案】
【詳解】的分布列為：
所以，
的分布列為：
同理：，故：，
當(dāng)時(shí)，的分布列為：
所以，
當(dāng)時(shí)，的分布列為：
所以，
當(dāng)時(shí)：的分布列為：
，
當(dāng)時(shí)：的分布列為：
，
當(dāng)時(shí)：的分布列為：
，
所以：.
故答案為：；
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。
15．如圖（1），在直角梯形中，，現(xiàn)沿著折起，使得平面平面，如圖（2）．
(1)求證：平面．
(2)求二面角的大?。?br>【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）由題可求得，且，
則，可知，
且平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
（2）取的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)椋瑒t，
且平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，平行于的直線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則．
可得，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，
令，則，可得；
設(shè)平面的一個(gè)法向量為n=x2,y2,z2，則，
令，則，可得，
則，
所以二面角的大小為．
16．已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前和為，數(shù)列滿足
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若對(duì)數(shù)列，在與之間插入個(gè)1，組成一個(gè)新數(shù)列，求數(shù)列的前2025項(xiàng)的和．
【答案】(1)，；
(2)2080
【詳解】（1）為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，
則，解得，
故；
①，
故當(dāng)時(shí)，②，
兩式相減得，
故，所以，，
又，故，滿足，
從而；
（2）由（1）知，，，
所以在中，從開始到項(xiàng)為止，
共有項(xiàng)數(shù)為，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以數(shù)列前2025項(xiàng)是項(xiàng)之后，還有項(xiàng)為1，
故.
17．甲?乙兩人進(jìn)行投籃比賽，甲先投2次，然后乙投2次，投進(jìn)次數(shù)多者為勝，結(jié)束比賽，若甲?乙投進(jìn)的次數(shù)相同，則甲?乙需要再各投1次（稱為第3次投籃），結(jié)束比賽，規(guī)定3次投籃投進(jìn)次數(shù)多者為勝，若3次投籃甲?乙投進(jìn)的次數(shù)相同，則判定甲?乙平局.已知甲每次投進(jìn)的概率為，乙每次投進(jìn)的概率為，各次投進(jìn)與否相互獨(dú)立.
(1)求甲?乙需要進(jìn)行第3次投籃的概率；
(2)若每次投籃投進(jìn)得1分，否則得0分，求甲得分的分布列與數(shù)學(xué)期望.
【答案】(1)
(2)分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：
【詳解】（1）設(shè)甲第次投進(jìn)為事件，乙第次投進(jìn)為事件，
則，．
設(shè)甲、乙需要進(jìn)行第3次投籃為事件，則事件包括以下兩兩互斥的三個(gè)事件：
① “甲、乙前2次都投進(jìn)2次”，其概率為，
②“甲、乙前2次都投進(jìn)1次”，其概率為，
③“甲、乙前2次都投進(jìn)0次”，其概率為．
則由互斥事件的概率加法公式，可得．
（2）由題意可得的所有可能取值為0，1，2，3，
，
，
（提示：此時(shí)有三種情況，①甲前2次投進(jìn)1次，乙前2次投進(jìn)0次或2次；
②甲、乙前2次均投進(jìn)1次，第3次甲未投進(jìn)；③甲、乙前2次均未投進(jìn)，第3次甲投進(jìn)）
，
．
所以的分布列為：
所以．
18．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，拋物線的焦點(diǎn)與重合，點(diǎn)G是C與E在第一象限的交點(diǎn)，且.
(1)求E的方程.
(2)設(shè)過點(diǎn)的直線l與E交于點(diǎn)M，N，交C于點(diǎn)A，B，且A，B，M，N互不重合.
（?。┤鬺的傾斜角為45°，求的值；
（ⅱ）若P為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，設(shè)PA，PB，PF2的斜率分別為，證明：為和的等差中項(xiàng).
【答案】(1)
(2)（?。唬áⅲ┳C明見解析
【詳解】（1）由已知得C的焦點(diǎn)為，即，所以.①
因?yàn)椋蓲佄锞€的定義可得，所以.
代入E的方程可得.②
由①②解得，，所以E的方程為.
（2）設(shè)，，，.
（ⅰ）因?yàn)橹本€l的傾斜角為45°，所以，直線l的方程為.
聯(lián)立整理得，則，
所以.
聯(lián)立整理得，
則，，
所以.
所以.
（ⅱ）由題意知，，
設(shè)，且直線AB的方程為.
聯(lián)立整理得，顯然，
則，，
所以，，，
，
又，即，
所以為和的等差中項(xiàng).
19．若對(duì)且，函數(shù)，滿足：，則稱函數(shù)是函數(shù)在區(qū)間上的級(jí)控制函數(shù)．
(1)判斷函數(shù)是否是函數(shù)在區(qū)間上的1級(jí)控制函數(shù)，并說明理由；
(2)若函數(shù)是函數(shù)在區(qū)間上的級(jí)控制函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)若函數(shù)是函數(shù)在區(qū)間上的級(jí)控制函數(shù)，且函數(shù)在區(qū)間上存在兩個(gè)零點(diǎn)，求證．
【答案】(1)是，理由見解析
(2)
(3)證明見解析
【詳解】（1）函數(shù)是函數(shù)在區(qū)間上的1級(jí)控制數(shù)．
理由如下：因?yàn)椋?，所以?br>所以，即成立，
所以函數(shù)是函數(shù)在區(qū)間上的1級(jí)控制函數(shù)．
（2）由函數(shù)是函數(shù)在區(qū)間上的級(jí)控制函數(shù)，
得，又，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，
所以，即恒成立．
令，所以當(dāng)，且時(shí)，恒成立，
故在上恒成立．因?yàn)?，所以在上恒成立?br>則恒成立，即，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)在上單調(diào)遞增，
故，則，由題意得，所以，
綜上，可以得到實(shí)數(shù)的取值范圍是．
（3）因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上存在兩個(gè)零點(diǎn)，
所以我們不妨設(shè)，且，
因?yàn)楹瘮?shù)是函數(shù)在區(qū)間上的級(jí)控制函數(shù)，
所以，
即，
可以得到．
要證，即證，
即證，即證，
令，構(gòu)造，
所以，
所以φx在上單調(diào)遞增，
所以，即時(shí)，，
即成立，所以得證．增
極大值
減
極小值
增
1
2
3
4
5
1
4
9
16
25
1
2
3
4
5
15
3
4
5
6
7
8
9
6
7
8
9
10
11
12
10
11
12
13
14
0
1
2
3