2025年高考第二次模擬考試：數(shù)學(xué)（新高考Ⅱ卷）01（解析版）

這是一份2025年高考第二次模擬考試：數(shù)學(xué)（新高考Ⅱ卷）01（解析版），共20頁。試卷主要包含了已知函數(shù).等內(nèi)容，歡迎下載使用。
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第一部分（選擇題 共58分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【詳解】在集合中，滿足的有，2，3，
故.
故選：D.
2.已知為虛數(shù)單位，則（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】D
【解析】
【詳解】.
故選：D
3.國家速滑館又稱“冰絲帶”，是北京冬奧會的標(biāo)志性場館，擁有亞洲最大的全冰面設(shè)計(jì)，但整個系統(tǒng)的碳排放接近于零，做到了真正的智慧場館、綠色場館，并且為了倡導(dǎo)綠色可循環(huán)的理念，場館還配備了先進(jìn)的污水、雨水過濾系統(tǒng)，已知過濾過程中廢水的污染物數(shù)量與時間（小時）的關(guān)系為（為最初污染物數(shù)量，且）.如果前4個小時消除了的污染物，那么污染物消除至最初的還需要（ ）
A. 3.8小時B. 4小時C. 4.4小時D. 5小時
【答案】B
【解析】
【詳解】由題意可知，即有，
令，則有，解得，
，故還需要4小時才能消除至最初的.
故選：B.
4.已知函數(shù)相鄰兩個對稱軸之間的距離為，若在上是增函數(shù)，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】因?yàn)橄噜弮蓚€對稱軸之間的距離為，
則，即，則，則，
由，得，
所以在上是增函數(shù)，由，得.
故選：B
5.已知圓，直線，若直線l與圓C兩交點(diǎn)記為A，B，點(diǎn)P為圓C上一動點(diǎn)，且滿足，則最大值為（ ）
A. B. 3C. 4D. 8
【答案】C
【詳解】由題意知，圓心，半徑，
直線，即，
由得，即直線過定點(diǎn)，故，
設(shè)中點(diǎn)為，則，且，
又因?yàn)?，所以?br>所以,
當(dāng)時等號成立.
故選：C.
6.已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，對任意，且都有成立．若，，，則的大小關(guān)系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)是上的偶函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，
又由對任意，且，都有成立，則函數(shù)在上為增函數(shù)，
又，，，
又，所以，由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，知，
又，所以，故，
故選：A．
7. 隨著我國鐵路的發(fā)展，列車的正點(diǎn)率有了顯著的提高．據(jù)統(tǒng)計(jì)，途經(jīng)某車站的只有和諧號和復(fù)興號列車，且和諧號列車的列次為復(fù)興號列車的列次的2倍，和諧號的正點(diǎn)率為0.98，復(fù)興號的正點(diǎn)率為0.99，今有一列車未正點(diǎn)到達(dá)該站，則該列車為和諧號的概率為（ ）
A. 0.2B. 0.5C. 0.6D. 0.8
【答案】D
【詳解】令事件A：經(jīng)過的列車為和諧號；事件B，經(jīng)過的列車為復(fù)興號；事件C，列車未正點(diǎn)到達(dá)，
則，
于是，
所以該列車為和諧號的概率為.
故選：D
8.已知點(diǎn)，是橢圓Ω的兩個焦點(diǎn)，P是橢圓Ω上一點(diǎn)，的內(nèi)切圓的圓心為Q．若，則橢圓Ω的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【詳解】不妨設(shè)橢圓的方程為：，，
則有，，
所以，
所以，所以的內(nèi)切圓的半徑為，由橢圓定義可得，
所以.
故選：D
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9.某校舉行了交通安全知識主題演講比賽，甲、乙兩位同學(xué)演講后，6位評委對甲、乙的演講分別進(jìn)行打分（滿分10分），得到如圖所示的折線統(tǒng)計(jì)圖，則（ ）
A．若去掉最高分和最低分，則甲得分的中位數(shù)大于乙得分的中位數(shù)
B．甲得分的極差大于乙得分的極差
C．甲得分的上四分位數(shù)小于乙得分的上四分位數(shù)
D．甲得分的方差大于乙得分的方差
【答案】ABD
【詳解】甲、乙的得分從小到大排列如下：
甲：，乙：，
故去掉最高分和最低分可得甲的中位數(shù)為，乙的中位數(shù)為，故A正確；
甲的極差為，乙的極差為，故B正確；
，所以甲的第75百分位數(shù)為，乙的第75百分位數(shù)為，故C錯誤；
由圖可以看出甲得分的波動比乙大，故甲得分的方差大于乙得分的方差，故D正確.
故選：ABD
10.已知函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A. 當(dāng)時，的圖象關(guān)于直線對稱
B. 當(dāng)時，將的圖象向左平移個單位得到，的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱
C. 當(dāng)時，在單調(diào)遞減
D. 若函數(shù)在區(qū)間上恰有一個零點(diǎn)，則ω的范圍為
【答案】ACD
【解析】
【詳解】對于A，當(dāng)時，，，故的圖象關(guān)于直線對稱，A正確，
對于B，當(dāng)時，，，故的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對稱，B錯誤，
對于C, 當(dāng)時，,時，，故在單調(diào)遞減，C正確，
對于D， 時，，若在區(qū)間上恰有一個零點(diǎn)，則，解得，故范圍為，D正確
故選：ACD
11. 我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．已知是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，若函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)為偶函數(shù)，則下列說法錯誤的是（ ）
A. B.
C. 為奇函數(shù)D.
【答案】BCD
【詳解】對于A選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，
所以，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，
且函數(shù)的定義域?yàn)?，則，A對；
對于B選項(xiàng)，不妨取，
因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，
則函數(shù)符合題意，，
所以，為偶函數(shù)，
但，B錯；
對于C選項(xiàng)，不妨取，則為奇函數(shù)，
，為偶函數(shù)，合乎題意，
但不是奇函數(shù)，C錯；
對于D選項(xiàng)，若，則該函數(shù)的最小正周期為，
，
所以，，D錯
故選：BCD.
第二部分（非選擇題 共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知，則_______．
【答案】
【解析】
【詳解】因?yàn)椋裕謈sα+π6=1010>0，
所以，所以，
所以，
所以.
故答案為：
13.徐匯濱江作為2024年上海國際鮮花展的三個主會場之一，吸引了廣大市民前往觀展并拍照留念.圖中的花盆是種植鮮花的常見容器，它可視作兩個圓臺的組合體，上面圓臺的上?下底面直徑分別為30cm和26cm，下面圓臺的上?下底面直徑分別為和，且兩個圓臺側(cè)面展開圖的圓弧所對的圓心角相等.若上面圓臺的高為8cm，則該花盆上?下兩部分母線長的總和為 .
【答案】
【詳解】設(shè)上面圓臺的母線長為，上面半徑為下半圓半徑為高為，
根據(jù)圓臺的母線長公式，帶入數(shù)值計(jì)算得到；
設(shè)下面圓臺的母線長為，上面半徑為下半圓半徑為
由于兩個圓臺側(cè)面展開圖的圓弧所對的圓心角相等，可以得到，帶入數(shù)值計(jì)算得到；
所以該花盆上?下兩部分母線長的總和為.
故答案為：
14.已知等差數(shù)列的公差不為0．若在的前100項(xiàng)中隨機(jī)抽取4項(xiàng)，則這4項(xiàng)按原來的順序仍然成等差數(shù)列的概率為______．（用最簡分?jǐn)?shù)作答）
【答案】
【解析】
【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，
若在數(shù)列的前100項(xiàng)中隨機(jī)抽取4項(xiàng)，構(gòu)成新的等差數(shù)列，則其公差可能為.
當(dāng)公差為時，則首項(xiàng)可以為，可構(gòu)成共個不同的等差數(shù)列；
當(dāng)公差為時，則首項(xiàng)可以為，可構(gòu)成共個不同的等差數(shù)列；
當(dāng)公差為時，則首項(xiàng)可以為，可構(gòu)成共個不同的等差數(shù)列；
；
當(dāng)公差為時，則首項(xiàng)可以為，可構(gòu)成共個不同的等差數(shù)列；
；
當(dāng)公差為時，則首項(xiàng)為，可構(gòu)成共個等差數(shù)列.
故在的前100項(xiàng)中隨機(jī)抽取4項(xiàng)按原來的順序，共可構(gòu)成個等差數(shù)列；
又在的前100項(xiàng)中隨機(jī)抽取4項(xiàng)，這4項(xiàng)按原來的順序共可構(gòu)成個數(shù)列；
則由古典概型概率公式可得，.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。
15．（13分）某闖關(guān)游戲共設(shè)置4道題，參加比賽的選手從第1題開始答題，一旦答錯則停止答題，否則繼續(xù)，直到答完所有題目．設(shè)選手甲答對第1題的概率為，甲答對題序?yàn)榈念}目的概率，，各題回答正確與否相互之間沒有影響．
(1)若甲已經(jīng)答對了前3題，求甲答對第4題的概率；
(2)求甲停止答題時答對題目數(shù)量的分布列與數(shù)學(xué)期望．
【答案】(1) (2)分布列見解析；期望為
【詳解】（1）解：因?yàn)檫x手甲答對第1題的概率為，所以，即，
所以若甲已經(jīng)答對了前3題，則甲答對第4題的概率為．（6分）
（2）解：由題意得，，，．
隨機(jī)變量可取，
則，，，
，．
所以隨機(jī)變量分布列如下：
所以．（13分）
16．（15分）已知函數(shù).
（1）若在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若，且有兩個極值點(diǎn)，，其中，求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【小問1詳解】
的定義域?yàn)?,+∞，（1分）
∵在0,+∞上單調(diào)遞增，
∴在0,+∞上恒成立，即在0,+∞上恒成立，（4分）
又，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，（6分）
∴；（7分）
【小問2詳解】
由題意，（8分）
∵有兩個極值點(diǎn)，
∴為方程的兩個不相等的實(shí)數(shù)根，
由韋達(dá)定理得，， （10分）
∵，∴，
又，解得，
∴
，（12分）
設(shè)（），
則，
∴在12,1上單調(diào)遞減，（14分）
又，，
∴，
即的取值范圍為.（15分）
17．（15分）如圖1，在平行四邊形中，，E為的中點(diǎn)．將沿折起，連接與，如圖2．

（1）當(dāng)為何值時，平面平面?
（2）設(shè)，當(dāng)時，是否存在實(shí)數(shù)，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
（3）當(dāng)三棱錐的體積最大時，求三棱錐的內(nèi)切球的半徑．
【答案】（1） （2）存在， （3）
【解析】
【小問1詳解】
連接，由題意得，，
則為等邊三角形，，
在中，，
由余弦定理得，
所以，由，
則，故.
若平面平面，
由平面平面，平面，，
則平面，平面，則，
所以.
下面證明當(dāng)時，平面平面.
證明：由，則，
所以，又，平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面，
故當(dāng)時，平面平面；（5分）
【小問2詳解】
由（1）知，，則平面平面.
在平面內(nèi)過作，
由平面平面，平面，
則平面，平面，則.
如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，過垂直于平面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
故，
由，
，
因?yàn)檩S垂直平面，故可取平面的一個法向量為，
設(shè)直線與平面所成角為，
所以，
化簡得，解得或（舍去），
故當(dāng)時，存在，使直線與平面所成角的正弦值為；（10分）
【小問3詳解】
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
由，其中為定值，
則要使三棱錐的體積最大時，則點(diǎn)到平面的距離取最大，
取中點(diǎn)，連接，則，
當(dāng)平面時，點(diǎn)到平面的距離最大，
此時，由平面，則平面平面，
由（1）知，，為直角三角形， .
則，
，
，
在中，，取中點(diǎn)，
則，且，
所以，
設(shè)內(nèi)切球球心為，內(nèi)切球半徑為，由等體積法知，
其中，，
故，
故當(dāng)三棱錐的體積最大時，三棱錐的內(nèi)切球的半徑為.（15分）
18．（17分）已知雙曲線的實(shí)軸長為2，離心率為2，右焦點(diǎn)為，為上的一個動點(diǎn)，
（1）若點(diǎn)在雙曲線右支上，在軸的負(fù)半軸上是否存在定點(diǎn)．使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（2）過作圓的兩條切線，若切線分別與相交于另外的兩點(diǎn)、，證明：三點(diǎn)共線．
【解析】【小問1詳解】
根據(jù)題意，有，
所以雙曲線的方程為.
設(shè)，且，
①當(dāng)直線的斜率存在時，即時，
因?yàn)椋裕?br>，
從而，化簡整理得，，
，所以在x軸負(fù)半軸上存在點(diǎn)使得；
②當(dāng)直線的斜率不存在時，即時，
若，則，此時P點(diǎn)的坐標(biāo)為2,3，
所以，則，又，所以，此時，
綜上，滿足條件的M點(diǎn)存在，其坐標(biāo)為.
【小問2詳解】
設(shè)Px0,y0，由題意得，雙曲線和圓相交，所以聯(lián)立兩曲線方程，得，即為兩曲線四個交點(diǎn)的坐標(biāo)，
①當(dāng)時，即時，直線PG的斜率不存在，直線PE的斜率為0，
此時易得，此時點(diǎn)E、G關(guān)于點(diǎn)O對稱，故E、O、G三點(diǎn)共線.
②當(dāng)，且或，且時，
此時直線PE、PG的斜率存在且不為零，分別設(shè)為，
設(shè)經(jīng)過Px0,y0的直線方程為，由于直線與圓相切，
所以，即
由韋達(dá)定理得，又，所以，
由直線PE與圓的位置關(guān)系可知，，
同理直線PG的方程為，有，
聯(lián)立，消去y并整理得，，
即，
即，
令，根據(jù)韋達(dá)定理得，所以
設(shè)，又，所以，
所以，又，
兩式相減得，，
由圖可知，，所以，即.
所以點(diǎn)E、G關(guān)于點(diǎn)O對稱，此時E、O、G三點(diǎn)共線，
綜上得，E、O、G三點(diǎn)共線.
19．（17分）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對一切，，點(diǎn)都在函數(shù)圖象上.
(1)求，，，歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式（不必證明）：
(2)將數(shù)列依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)循環(huán)地分為、、、、、、、、、…，分別計(jì)算各個括號內(nèi)各數(shù)之和，設(shè)由這些和按原來括號的前后順序構(gòu)成新的數(shù)列為，求的值；
(3)設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)積，若不等式對一切都成立，求a的取值范圍.
【答案】(1)，，，
(2)
(3)
【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)的圖象上，故，所以，
令，得，所以，
令，得，所以，
令，得，所以，由此猜想：，
當(dāng)時，，且已知，，當(dāng)時，，
故，化簡整理得，
當(dāng)時，，兩式相減可得，結(jié)合，
故數(shù)列是以4為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，即，
數(shù)列是以2為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，即，故，
經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，且當(dāng)時，，
，故成立.（8分）
（2）因?yàn)椋ǎ?，所以?shù)列依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)循環(huán)地分為
，，，；
，，，；，…
每一次循環(huán)記為一組，由于每一個循環(huán)含有4個括號，
故是第25組中第4個括號內(nèi)各數(shù)之和，由分組規(guī)律知，
由各組第4個括號中所有第1個數(shù)組成的數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為20，
同理，由各組第4個括號中所有第2個數(shù)、所有第3個數(shù)、所有第4個數(shù)分別組成的數(shù)列也都是等差數(shù)列，且公差均為20，
故各組第4個括號中各數(shù)之和構(gòu)成等差數(shù)列，且公差為80，注意到第一組中第4個括號內(nèi)各數(shù)之和是68，
所以，又，所以.
（3）因?yàn)?，故?br>所以，
，
故對一切都成立，
就是對一切都成立，
設(shè)，
則只需即可，
由于，
所以，故是單調(diào)遞減，于是，
令，即，解得或，
綜上所述，使得所給不等式對一切都成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍是（17分）.X
0
1
2
3
4
P