一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．已知集合，，若，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于第一象限，且，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
3．已知向量AB=(3,m)，AC=(1, 3)，且|AB+AC|=|AB?AC|，則的面積為（ ）
A. B. C. D.
4．已知函數(shù)，且，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
5．若的展開式中含的項滿足，則這些項的系數(shù)和為（ ）
A．10B．20C．30D．40
6．波斯詩人奧馬爾?海亞姆于十一世紀(jì)發(fā)現(xiàn)了一元三次方程的幾何求解方法.在直角坐標(biāo)系中，兩點在軸上，以為直徑的圓與拋物線：交于點，.已知是方程的一個解，則點的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
7．已知正四棱錐的底面邊長為，若半徑為1的球與該正四棱錐的各面均相切，則正四棱錐的體積為（ ）
A． B．12C．D．36
8.已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且對任意，滿足f(x+1)?f(x?1)=x，且f(1)=f(2)=1，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A. f(100)2500C. f(101)2500
二、多選題：本題共3小題，每題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9．已知函數(shù)f(x)=sin2x，若將f(x)的圖象向右平移π1i2個單位后，再把所得曲線上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)g(x)的圖象，則下列說法正確的是（ ）
A. B. g(x)的圖象關(guān)于點對稱
C. g(x)的圖像關(guān)于直線x=π3對稱 D. g(x)的圖像與f(x)的圖像在內(nèi)有4個交點
10．?dāng)?shù)學(xué)中有許多美麗的曲線，圖中美麗的眼睛圖案由兩條曲線構(gòu)成，曲線，上頂點為，右頂點為，曲線上的點滿足到和直線的距離之和為定值4，已知兩條曲線具有公共的上下頂點，過作斜率小于0的直線與兩曲線從左到右依次交于且，則（ ）
曲線由兩條拋物線的一部分組成
B. 線段的長度與點到直線的距離相等
若，則直線的斜率為
D. 若線段的長度為，則直線的斜率為
11．如圖，在直四棱柱中，底面為菱形，，P為的中點，點滿足，則下列結(jié)論正確的是（ ）
若，則四面體的體積為定值
B．若，則點的軌跡為一段圓弧
C．若的外心為O，則為定值2
D．若且，則存在點E在線段上，
使得的最小值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12. 已知等比數(shù)列 為遞增數(shù)列，. 記 分別為數(shù)列 的前項和，若 ，則 ．
13．已知，且滿足，則______．
14．如果是離散型隨機(jī)變量，則在事件下的期望滿足其中是所有可能取值的集合.已知某獨立重復(fù)試驗的成功概率為，進(jìn)行次試驗，求第次試驗恰好是第二次成功的條件下，第一次成功的試驗次數(shù)的數(shù)學(xué)期望是 .
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.在矩形ABCD中，點E在線段CD上，且AB=5，CE=3，
(1)求BC;.
(2)若動點M，N分別在線段EA，EB上，且與面積之比為( 2+1):4，試求MN的最小值.
16.芻甍（chúméng）是中國古代數(shù)學(xué)書中提到的一種幾何體，《九章算術(shù)》中對其有記載：“下有袤有廣，而上有袤無廣”，可翻譯為：“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱．”，如圖，在芻甍中，四邊形是正方形，平面和平面交于EF．
(1)求證：平面；
(2)若，，，，再從條件①，條件②，條件③中選擇一個作為已知，使幾何體存在且唯一，并求平面和平面的夾角的余弦值．
條件①：，；
條件②：平面平面；
條件③：平面平面，．
17.已知函數(shù)f(x)=csx+ln(1+x)，g(x)=ax+1.
(1)求f(x)在x=0處的瞬時變化率;
(2)若恒成立，求a的值;
18.P為圓上一動點，點B的坐標(biāo)為，線段的垂直平分線交直線于點Q．
(1)求點Q的軌跡方程C；
(2)如圖，（1）中曲線C與x軸的兩個交點分別為和，M、N為曲線C上異于、的兩點，直線不過坐標(biāo)原點，且不與坐標(biāo)軸平行．點M關(guān)于原點O的對稱點為S，若直線與直線相交于點T，直線與直線相交于點R，證明：在曲線C上存在定點E，使得的面積為定值，并求該定值．
19．為了合理配置旅游資源，管理部門對首次來揚州旅游的游客進(jìn)行了問卷調(diào)查，據(jù)統(tǒng)計，其中的人計劃只參觀瘦西湖，另外的人計劃既參觀瘦西湖又游覽大運河博物館，每位游客若只參觀瘦西湖，則記1分；若既參觀瘦西湖又游覽大運河博物館，則記2分．假設(shè)每位首次來揚州旅游的游客計劃是否游覽大運河博物館相互獨立，視頻率為概率．
(1)從游客中隨機(jī)抽取2人，記這2人的合計得分為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)從游客中隨機(jī)抽取n人，記這n人的合計得分恰為分的概率為，求；
(3)從游客中隨機(jī)抽取若干人，記這些人的合計得分恰為n分的概率為，求數(shù)列的通項公式．
《江蘇省揚州中學(xué)2024-2025學(xué)年度開學(xué)考試卷》參考答案
1．C【詳解】由題意，因為，則.
故選：C．
2．D【詳解】因為復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于第一象限，
則設(shè)，
因為，所以，
所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點為，
又，所以該點位于第四象限.
故選：D.
3．A 【解析】解：因為|AB+AC|=|AB?AC|，所以，
故AB?AC=3+ 3m=0，解得m=? 3.
故|AB|=2 3，|AC|=2，
又因為為直角三角形，
則面積，
故選：A.
4．C【詳解】由題意得，函數(shù)，
設(shè)（），
由，得從而：，
又因為，
所以是上的奇函數(shù)，即，
又有，
因為是上的增函數(shù)，是上的增函數(shù)，
所以是上的增函數(shù)；
則可得：，即，
整理得：，解得：或，
所以實數(shù)的取值范圍為，
故選：C.
5．A
6．A【詳解】設(shè)，的中點為，
則以為直徑的圓的方程為，
與拋物線聯(lián)立，可得，
化簡可得，
由于，可得，的橫坐標(biāo)相等，
則方程和方程有相同的解，
即有，解得，
則．
故選：A．
7．B【詳解】
因為球與該正四棱錐的各面均相切，所以該球的球心在的高線上，
過點作于點，連接，過點作于點.
因平面，平面，則，
又平面，則平面，
因平面，故，又平面，故平面.
依題意，，因為底面邊長為，所以，
在中，，則，
因，則，則，
故，則.
故選：B.
8.【答案】D 【解析】解：因為f(x+1)?f(x?1)=x，
由累加法得：f(2x)?f(2x?2)=2x?1，f(2x?2)?f(2x?4)=2x?3，??f(4)?f(2)=3，
所以f(2x)?f(2)=3+5+7+??+(2x?1)，所以f(2x)=1+3+5+7+??+(2x?1)=x2，
故f(100)=2500;故A，B錯誤;
再由累加法得：f(2x+1)?f(2x?1)=2x，f(2x?1)?f(2x?3)=2x?2，??f(3)?f(1)=2，
所以f(2x+1)=x2+x+1，故f(101)=2551>2500，故C錯誤，D正確.
故選D.
9．BD 【解析】解：對于A:將函數(shù)f(x)=sin2x的圖象向右平移π1i2，可得函數(shù)的圖象;
再把所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)得到函數(shù)的圖象，故A錯誤;
對于B:令x?π6=kπ，，得x=π6+kπ，，所以g(x)的圖象關(guān)于點對稱，故B正確;
對于C:令，，得，，故C錯誤;
對于D:分別畫出f(x)與g(x)在內(nèi)的圖像，可知有4個交點，故D正確;
故選：BD.
10．【答案】ABD
【詳解】
對于A選項，設(shè)曲線上任意一點，
由定義可知，滿足，
移項，平方可得：，
即，為兩條拋物線，故A正確；
對于B選項，和直線分別為拋物線的焦點和準(zhǔn)線，由拋物線定義可知，故B正確
對于C選項，易知為拋物線和的焦點，
前者，后者分別為兩個拋物線的較短的焦半徑，因此
，由于，
則，因此，所以，故D正確，
對于D選項，設(shè)與軸夾角為同時為拋物線和橢圓的焦點，，
，
解得，則，故C錯誤.
故選：ABC
11．ABD
【詳解】對于A，如圖，取靠近的三等分點為，靠近的三等分點為，
連接，
因為，所以，
令，而，
則，得到，
因為靠近的三等分點為，靠近的三等分點為，所以，
而由直四棱柱性質(zhì)得，
而，由勾股定理得，
在直四棱柱中，，，
得到四邊形是平行四邊形，故，
則，由題意得為的中點，則的面積是定值，
而面，面，所以面，
結(jié)合，由線面平行性質(zhì)得到面的距離為定值，
即四面體的體積為定值，故A正確，
對于B，如圖，在面中，過作，連接，
由直四棱柱性質(zhì)得面，則，
而，面，
故面，則，
而面為菱形，則面為菱形，
因為，所以，
因為，所以，則，
由銳角三角函數(shù)定義得，解得，由勾股定理得，
因為，所以由勾股定理得，
則在以為圓心，為半徑的圓上運動，
設(shè)該圓與交于，與交于，
由三角函數(shù)定義得，則，
即點的軌跡為一段圓弧，故B正確，
對于C，如圖，作，由題意得的外心為，故是的中點，
由已知得，因為，所以，
而，
，故C錯誤，
對于D，若且，此時，
因為P為的中點，所以，
由向量加法法則得，故，
則點與點重合，此時把沿著翻折，
如圖，使得四點共面，此時有最小值，
此時的點均為翻折過的點，因為P為的中點，所以，
由勾股定理得，如圖，連接，
由已知得，則，
由余弦定理得，解得，
由直四棱柱性質(zhì)得面，則，
則由勾股定理得，
則，故，
而，則，得到，
由余弦定理得，解得，故D正確.
故選：ABD
12.【詳解】，
則 .
由于 為遞增數(shù)列，則 ，
所以 的通項公式為
所以 ，
14. 【答案】
【詳解】由，則，
因此，
又因為，
所以，所以，
則．
14.【詳解】設(shè)隨機(jī)變量分別代表第一?第二次成功對應(yīng)的試驗次數(shù)，
則，以及，
所以，
所以
15.【答案】解：(1)【方法一】設(shè)BC=x，則BE= 9+x2，AE= 4+x2，而AB=5，
在中，由余弦定理得25=9+x2+4+x2?2 9+x2 4+x2csπ4，
化簡得2(x2?6)= 2 9+x2 4+x2，
解得x=6或x=1(舍去)，
所以BC=6；
【方法二】作，垂足為F，設(shè)BC=x，，，
則tanα=2x，tanβ=3x，又，
所以，解得x=6(x=?1舍去)，所以BC=6；
(2)設(shè)EM=m，EN=n，由，由題：，
，又，
4mn=15( 2+1) 2，
由余弦定理得：，當(dāng)且僅當(dāng)m=n時取等號，
的最小值為 15.

16．(1)證明見解析；
(2)選條件②，
【分析】（1）利用線面平行的判定定理可得證；
（2）先判斷只有條件②符合，再利用空間向量法求得二面角的余弦值.
【詳解】（1）證明：在正方形中，，平面，平面
所以平面；
（2）由（1）知平面，又平面，平面與平面交于EF．
，又，
所以四邊形為等腰梯形，四邊形為梯形；
條件①：，，則平面，即平面
又平面，，此時四邊形不為等腰梯形，故條件①不符合
條件③：平面平面，且平面平面
又，平面，平面，
此時四邊形不為等腰梯形，故條件③不符合；
條件②：平面平面，；
過點作于，過作于，連接，
由平面平面，平面平面，平面
又平面，
以為坐標(biāo)原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
因為平面，平面，平面平面，
在四邊形中，，，，所以，
在正方形中，，所以
因為，且，所以
所以，，，，
所以，，，
設(shè)平面的一個法向量
由，令，則
設(shè)平面的一個法向量
由，令，則
設(shè)平面和平面的夾角為，
則
所以平面和平面的夾角的余弦值為
17.解：，則，
在x=0處的瞬時變化率為1.
(2)令h(x)=f(x)?ax?1=csx+ln(1+x)?ax?1，x>?1，由條件知恒成立，
因為h(0)=0，又h(x)的圖像在定義域上是連續(xù)不間斷的，
所以x=0是h(x)的一個極大值點，則，又，
所以，得a=1，
下證當(dāng)a=1時，對任意恒成立，
令，則，
當(dāng)?1

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