（滿分：150分，考試時(shí)間：100分鐘）
考生注意：
1．本試卷含三個(gè)大題，共25題；
2．答題時(shí)，考生務(wù)必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本試卷上答題一律無效；
3．除第一、二大題外，其余各題如無特別說明，都必須在答題紙的相應(yīng)位置上寫出證明或計(jì)算的主要步驟．
一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）
【下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一個(gè)是正確的，選擇正確項(xiàng)的代號并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上．】
1．已知線段a＝2cm，b＝3cm，如果線段c是線段a和b的比例中項(xiàng)，那么線段c的長為（ ▲ ）
（A）6 cm；（B）cm；（C）cm；（D）cm．
2．已知，那么下列各式中，成立的是（ ▲ ）
（A）；（B）；（C）；（D）．
3．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，＝，那么的值為（ ▲ ）
（A）；（B）；（C）；（D）．
4．在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，如果AD＝1，BD＝3，那么下列條件中能夠推得DE//BC的是（ ▲ ）
（A）；（B）；（C）；（D）．
（第5題圖）
O
x
y
-1
5．已知拋物線的圖像如圖所示，那么下列各式中，不成立的是（ ▲ ）
（A）；（B）；
（C）；（D）．
（第6題圖）
B
A
C
D
E
F
6．某學(xué)習(xí)小組研究問題“如圖，已知D、E、F分別是△ABC的邊BC、CA、AB的中點(diǎn)，求證：△DEF∽△ABC．”經(jīng)過小組討論得到以下方法，其中存在錯(cuò)誤的是（ ▲ ）
（A）可證，進(jìn)而證得△DEF∽△ABC；
（B）可證∠B=∠FED，∠C=∠EFD，進(jìn)而證得△DEF∽△ABC；
（C）可證∠B=∠FED，，進(jìn)而證得△DEF∽△ABC；
（D）可證△FBD∽△DEF，△FBD∽△ABC，進(jìn)而證得△DEF∽△ABC．
二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）
7． ▲ ．
8．如果兩個(gè)三角形是相似三角形，其中一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別為65°和80°，那么另一個(gè)三角 形中最小內(nèi)角的度數(shù)為 ▲ °．
9．如果一個(gè)等腰三角形的三邊長均擴(kuò)大為原來的10倍，那么這個(gè)等腰三角形底邊上的高擴(kuò)大為原來
的 ▲ 倍．
10．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn)，那么OP與x軸正半軸夾角的余弦值是 ▲ ．
11．如果一傳送帶和地面所成斜坡的坡比為，要把物體從地面送到離地面10米高的地方，物體所經(jīng)過的路程為 ▲ 米．
12．某拋物線的最高點(diǎn)在y軸上，且與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，這個(gè)拋物線的表達(dá)式可以是 ▲ ．
13．如圖，已知梯形ABCD中，E、F分別是腰AB、CD上的點(diǎn)，AD∥EF，如果，那么＝ ▲ ．
14．如圖，在四邊形ABCD中，E是BD上的點(diǎn)，，，，那么＝ ▲ ．
15．如圖，已知點(diǎn)O是△ABC的重心，BO⊥CO，，如果，那么點(diǎn)A、O的距離為
▲ ．
A
D
E
F
（第13題圖）
C
B
A
E
C
B
D
（第14題圖）
C
O
B
A
（第15題圖）
16．體育課上投擲實(shí)心球活動(dòng)．如圖，小明某次投擲實(shí)心球，實(shí)心球出手后的運(yùn)動(dòng)過程中距離地面的高度y（米）關(guān)于水平距離x（米）的函數(shù)解析式為，當(dāng)實(shí)心球運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)達(dá)到最高點(diǎn)，那么實(shí)心球的落地點(diǎn)C與出手點(diǎn)A的水平距離OC為 ▲ 米．
y（米）
（3, 3.125）
x（米）
O
（第16題圖）
A
B
C
（第17題圖）
A
B
C
D
E
F
G
H
M
N
（第18題圖）
A
B
C
D
P
M
N
17．如圖，將矩形ABCD平移到矩形EFGH的位置（點(diǎn)A對應(yīng)點(diǎn)E，點(diǎn)B對應(yīng)點(diǎn)F，點(diǎn)C對應(yīng)點(diǎn)G），邊EH與CD交于點(diǎn)M，邊EF與BC交于點(diǎn)N，其中，，如果M、N兩點(diǎn)的距離為，那么A、E兩點(diǎn)的距離為 ▲ ．（用含的代數(shù)式表示）
18．將一張矩形紙片進(jìn)行如圖所示的操作：①沿對角線AC折疊，得到折痕AC；②折疊紙片使邊CD落在折痕AC上，點(diǎn)D落在點(diǎn)P處,得到折痕CM；③過點(diǎn)M折疊紙片，使點(diǎn)D、C分別落在邊AD、BC上，展開得到折痕MN．如果矩形MDCN是一個(gè)黃金矩形，其中，那么這張矩形紙片的兩條鄰邊＝ ▲ ．
三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）
19．（本題滿分10分）
計(jì)算：．
20．（本題滿分10分）
已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)、、．
（1）求該拋物線的表達(dá)式及其對稱軸l；
（2）如果點(diǎn)A與點(diǎn)D關(guān)于對稱軸l對稱，聯(lián)結(jié)AB、BD，求△ABD的面積．
21．（本題滿分10分）
（第21題圖）
D
A
B
C
E
如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC＝5，對角線AC、BD交于點(diǎn)E．
（1）設(shè)，，試用、的線性組合表示向量．
（2）已知AD⊥CD，，求的值．
22．（本題滿分10分）
A
B
C
D
（圖1）
某校初三學(xué)生開展主題為“測量校園內(nèi)樹木高度的方案設(shè)計(jì)”的數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)．
甲、乙、丙三位同學(xué)制作出一個(gè)簡易測高儀．取兩根小木條釘在一起，使它們互相垂直，其中木條AB長40 cm，木條CD長60 cm，DB長20 cm（接頭處忽略不計(jì)）．為了便于校正豎直位置，在點(diǎn)B處懸掛一個(gè)鉛垂，如圖1所示，這樣就制作出一個(gè)簡易測高儀．
（圖2）
任務(wù)：測量校園內(nèi)某棵大樹MN的高度（樹頂端M與樹根部N的距離）．
工具：簡易測高儀、卷尺（如圖2所示）．
要求：測量得到的長度用字母a，b，c……表示．
反思：這種方法需要能夠一直走到大樹的底下，有時(shí)因?yàn)橛姓系K物，無法走到大樹底下．于是三位同學(xué)討論如果不走到大樹底下也可以測量出大樹的高度，經(jīng)過討論得到第二種測量方案，具體如下：
23．（本題滿分12分）
A
B
C
D
E
F
（第23題圖）
已知在△ABC中，CD平分∠ACB，E是CD延長線上一點(diǎn)，AE＝AD，F(xiàn)是AB延長線上的點(diǎn)，聯(lián)結(jié)CF．
（1）求證：△CEA∽△CDB；
（2）如果CF∥AE，求證：．
24．（本題滿分12分）
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)）與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為P，直線PC與x軸交于點(diǎn)D．
（1）用含c的代數(shù)式表示點(diǎn)P及點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）將該拋物線進(jìn)行上下、左右兩次平移，所得的新拋物線的頂點(diǎn)落在線段PC的延長線上，新拋物線與y軸交于點(diǎn)E，且．
①求該拋物線兩次平移的方向和距離；
②點(diǎn)A在新拋物線上的對應(yīng)點(diǎn)，如果被y軸平分，求原拋物線的表達(dá)式．
O
x
（第24題圖）
y
25．（本題滿分14分）
已知平行四邊形ABCD中，AB＝9，BC＝5，，P是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作，交射線CD于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)H，F(xiàn)是PE上的點(diǎn)，，聯(lián)結(jié)CF．
P
F
H
（第25題圖）
E
A
B
D
C
（1）求證：；
（2）當(dāng)△APC∽△EFC時(shí)，求線段BP的長；
（3）當(dāng)時(shí)，求的值．
A
B
D
C
（備用圖）
參考答案與
一、選擇題：（本大題6小題，每小題4分，滿分24分）
1.B； 2.C ； 3.A； 4.D； 5.B； 6.C.
二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）
7．； 8．35； 9．10； 10． ； 11．26； 12．如 等； 13． ； 14．； 15．10 ； 16. 8； 17. ； 18．.
三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）
19．解：原式 ，…………………………………………………（5分）
=，……………………………………………………………………………（4分）
=.………………………………………………………………………………………（1分）
20．解：（1）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)、、三點(diǎn)，
∴ 解得………………………………………………………………（4分）
∴拋物線的表達(dá)式為 …………………………………………………………（1分）
拋物線的對稱軸l為直線.……………………………………………………………（1分）
（2）過點(diǎn)B作BH⊥AD，垂足為點(diǎn)H.
∵點(diǎn)A與點(diǎn)D關(guān)于對稱軸l對稱，又點(diǎn)，∴ ……………………………（1分）
∴AD∥x軸，AD=6.∵，∴BH=8. …………………………………………………（2分）
∴ ……………………………………………………（1分）
21．解：（1）∵AD∥BC，. ……………………………………………………（1分）
∵AD＝4，BC＝5，∴， .
∵，，∴ ， .………………………………………（2分）
∵ ，∴．………………………………………………（2分）
（2）方法1：過點(diǎn)A作AF⊥BC，垂足為點(diǎn)F. ……………………………………………（1分）
在Rt△ADC中，AD⊥CD，AD=4，，∴CD=2. ……………………………（1分）
∵AD∥BC，∴∠FAD=90°，又AD⊥CD，∴四邊形ADCF是矩形. ……………………（1分）
∴AF=CD=2，AD=FC=4，∵BC=5，∴BF=1,∴.………………………………（1分）
∴. ……………………………………………………………（1分）
方法2：∵AD⊥CD，， ∴,∵AD＝4，∴CD=2. ……（1分）
∵ ，∴ . ……………………………………………………（1分）
∵AD∥BC，∴ .∵ ，∴△DAC∽△ACB.………………（2分）
∴ ，∴ . ………………………………………（1分）
22．第一次實(shí)踐 需要測量得到的相關(guān)數(shù)據(jù)有： NE=bcm . …………………………（2分）
利用得到的數(shù)據(jù)表達(dá)樹MN的高度：MN= （a+b+40） cm. ………………（2分）
第二次實(shí)踐 需要測量得到的相關(guān)數(shù)據(jù)有： EF=c cm . ……………………………（2分）
解決問題： 設(shè)MH=x.
由題意可知BC=AB=40cm，BD=20cm，AB⊥CD，∴，.
∵AH⊥MN，∴AH=MH=x. ，∴.………………………（2分）
∵，∴x=c. …………………………………………………（1分）
∴MN=（c+a）cm. …………………………………………………………………………（1分）
（以上兩次實(shí)踐活動(dòng)方案合理，可操作，答案酌情給分）
23.證明：（1）∵AE=AD，∴∠E=∠ADE. ………………………………………………（2分）
∵∠ADE=∠CDB，∴∠E=∠CDB. …………………………………………………………（2分）
∵CD平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCD，∴△CEA∽△CDB. ………………………………（2分）
（2）∵CF∥AE，∴∠E=∠DCF. ………………………………………………………………（1分）
∵∠DCF=∠DCB+∠BCF，∠E=∠CDF=∠ACE+∠CAD，∴∠BCF =∠CAD. ……………（1分）
又∠F=∠F，∴△CFB∽△AFC， ∴.……………………………………………（2分）
由△CEA∽△CDB，∴.又AE=AD，∴，∴.…………（2分）
24. （1） ， , ………………………………………………………（2分）
. …………………………………………………………………………………（2分）
（2）①方法1：過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)H.
由題意可得直PC：,設(shè).……………………………………………（1分）
∴新拋物線，∴ . ………………………（1分）
∵x軸⊥y軸，∴ ，∴，
∴，∴，∴ .………（1分）
∴該拋物線向左平移個(gè)單位，向下平移5個(gè)單位. ………………………………………（1分）
方法2：過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)H.
設(shè)，∴新拋物線，
∴ . ………………………………………………………………………………（1分）
∵x軸⊥y軸，∴ ，∴，
∴，∴.…………………………………………（1分）
又，∴，∴ ，∴.…………………………………（1分）
∴該拋物線向左平移個(gè)單位，向下平移5個(gè)單位. ………………………………………（1分）
②方法1：由被y軸平分，，設(shè)，∴.……………（2分）
∵點(diǎn)A在原拋物線上，∴.………………………………………（1分）
解得 .∴.………………………………………………（1分）
方法2：由，令y=0，得，∴ . …………（1分）
∴ . ………………………………………………………………………（1分）
過點(diǎn)作∥x軸交y軸于點(diǎn)G.
∵被y軸平分，∴，∴， …………………………………（1分）
解得 .∴.………………………………………………（1分）
25.解：（1）過點(diǎn)C作CG⊥AB，垂足為點(diǎn)G.
∵BC=5，，∴BG=3，CG=4. ……………………………………………………（1分）
∵AB=9，∴AG=6, ∵∠AGC=90°，∴.…………………………（1分）
∵∠CPF=90°，，∴.…………………………………（1分）
∵，∴.……………………………………………（1分）
（2）∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD.
∵∠PCF=∠BAC，∴∠PCF=∠ACD，∴∠PCA=∠FCD.……………………………………（1分）
∵△APC∽△EFC， ，∴∠APC=∠EFC，∴∠BPC=∠PFC. ……（1分）
∴，∴ ，………………………………………………（1分）
∴，∴.……………………………………………………………………（1分）
（3）過點(diǎn)H作HM⊥AB，垂足為點(diǎn)M.
∵∠FPC=90°,∴∠MPH=∠PCG.
又∠HMP=∠CGP=90°，∴△MPH∽△GCP. ……………………………………………（1分）
∴，∵，∴.………………………………………（1分）
①當(dāng)點(diǎn)F在線段PH的延長線上時(shí)，由，可得.…………………………（1分）
設(shè)MH=a，∴GP=2a，MP=2，，∴，.
∴.………………………………………………………………………（1分）
②當(dāng)點(diǎn)F在線段PH上時(shí)，可得PH=PC. …………………………………………………（1分）
設(shè)MH=b，∴GP=b，MP=4，，∴，.
∴.………………………………………………………………………（1分）
綜上所述的值為.
第一次實(shí)踐
實(shí)踐
操作
甲手持測高儀，C端朝上D端朝下，從測高儀的點(diǎn)A經(jīng)過點(diǎn)C望向樹頂端M，調(diào)整人到樹的距離，使得點(diǎn)M恰好與點(diǎn)C、A在一條直線上，然后標(biāo)記鉛垂線的下端剛好接觸地面的點(diǎn)E的位置，如圖3所示．
示
意
圖
3
E
M
H
N
A
B
C
D
獲取
數(shù)據(jù)
乙負(fù)責(zé)測量，得到點(diǎn)B到地面的垂直距離BE＝a cm，還需要測量得到的相關(guān)數(shù)據(jù)有：
．
解決
問題
利用得到的數(shù)據(jù)表示樹MN的高度：
MN＝ cm．
第二次實(shí)踐
實(shí)踐
操作
A1
M
C
D1
B1
A
B
C1
H
D
F
N
E
甲重復(fù)第一次實(shí)踐操作，然后將測高儀的D端朝上C端朝下，從測高儀的點(diǎn)A經(jīng)過點(diǎn)D望向樹頂端M，向后走調(diào)整人到樹的距離，使得點(diǎn)M恰好與點(diǎn)D、A在一條直線上，然后標(biāo)記鉛垂線的下端剛好接觸地面的點(diǎn)F的位置．丙提醒甲注意：兩次測量時(shí)點(diǎn)B到地面的垂直距離保持不變；點(diǎn)E、F和樹根部N三點(diǎn)要保持在同一直線上，如圖4所示．
示
意
圖
4
A1
C1
D1
B1
M
H
A
C
B
D
N
E
F
獲取數(shù)據(jù)：
點(diǎn)B到地面的垂直距離BE＝a cm，
乙還需要測量得到的相關(guān)數(shù)據(jù)有：
．
解決
問題
利用得到的數(shù)據(jù)表示樹MN的高度．（寫出求解過程）

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