一、單選題
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用誘導(dǎo)公式及和角的正弦公式逆用求出答案.
【詳解】 .
故選：D
2. 若 ， ， ，則 ， ， 的大小關(guān)系為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用指對數(shù)函數(shù)及正弦函數(shù) 性質(zhì)判斷大小關(guān)系即可.
【詳解】由 ，即 .
故選：A
3. 為了得到函數(shù) 的圖像，只需把余弦函數(shù)上所有點（ ）
A. 向左平行移動 個單位長度 B. 向左平行移動 個單位長度
C. 向右平行移動 個單位長度 D. 向右平行移動 個單位長度
【答案】D
【解析】
【分析】將 化為 ，再根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換得到答案.
第 1頁/共 18頁
【詳解】因為 ，
所以為了得到函數(shù) 的圖像，只需把余弦函數(shù)上所有點向右平行移動 個單位長度，
故選：D.
4. 若函數(shù) 在 上單調(diào)，則實數(shù) 的取值范圍是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由題意利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求得 的范圍．
【詳解】解： 函數(shù) 在 上單調(diào)，函數(shù)的定義域為 ，因為
， 在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，
在定義域上單調(diào)遞增，
所以 在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，
要使函數(shù) 在 上單調(diào)，
，或 ，解得 ，或 ，即 ，
故選： ．
5. 已知角 的頂點與原點重合，始邊與 x 軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點 ，且 ，則
實數(shù) 的值是（ ）
A. －4 和 B. C. －4 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】由三角函數(shù)的定義建立關(guān)系求解實數(shù) 即可.
【詳解】由三角函數(shù)的定義可得 ，則 ，
第 2頁/共 18頁
整理可得 ，因為 ，解得 ，
故選：B.
6. 已知 ， ，則 的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】把 展開可求出 ，從而利用兩角和的余弦公式可求解.
【詳解】由于 ， ，
則 ，
整理得 ，
所以
故選：D.
7. 已知定義在 上的函數(shù) ，則不等式 的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】構(gòu)造定義在 上的函數(shù) ，由函數(shù) 的奇偶性和單調(diào)性將
題設(shè)不等式轉(zhuǎn)換為 ，再由函數(shù) 的定義域、奇偶性和單調(diào)性列出不等式組計算即
可得解.
【詳解】令 ，
則函數(shù) 定義域為 關(guān)于原點對稱，
第 3頁/共 18頁
且 ，
所以函數(shù) 是奇函數(shù)，
所以不等式
，
因為函數(shù) 和 在 上均為增函數(shù)，
所以函數(shù) 為定義在 上的增函數(shù)，
所以 ，
所以不等式 的解集是 .
故選：C.
8. 若函數(shù) 的兩個零點分別為 和 ，則 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用輔助角公式化簡 ，再利用函數(shù)零點的意義及正弦函數(shù)的性質(zhì)求得
，進而求出 ，最后利用二倍角的余弦求值.
【詳解】函數(shù) ，其中 ，
由 ，得 ，而 ，
第 4頁/共 18頁
因此 ，即 ，則 即 ，
所以 .
故選：A.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用輔助角公式化簡，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)用零點表示輔助角是求解問題的關(guān)鍵.
二、多選題
9. 已知函數(shù) 的部分圖象如下圖所示，則下列給論中正確的是
（ ）
A.
B. 的圖象可由 的圖象向左平移 個單位長度得到
C. 是函數(shù) 圖象的一條對稱軸
D. 若 ，則 的最小值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用“五點法”求得 的解析式，從而判斷 A，利用三角函數(shù)的平移規(guī)則可判斷 B，利用代入
檢驗法可判斷 C，利用三角函數(shù)的最值性質(zhì)可判斷 D，從而得解.
【詳解】依題意可得 ， ，
所以 ，又 ，解得 ，所以 ，
對于 A：由圖象知 過點 ，即 ，
第 5頁/共 18頁
所以 ，則 ，
又 ，所以 ，所以 ，故 A 正確；
對于 B：由 的圖象向左平移 個單位長度
得到 的圖象，故 B 錯誤；
對于 C：因為 ，
所以 是函數(shù) 圖象的一條對稱軸，故 C 正確；
對于 D：若 ，
則 取得最大（?。┲登?取最小（大）值，
所以 ，故 D 正確.
故選：ACD.
10. 已知函數(shù) ，則下列說法正確的是（ ）
A. 的最小正周期為
B. 的圖象關(guān)于直線 對稱
C. 若關(guān)于 的方程 有解，則
D. 若 為銳角 的一個內(nèi)角，且 ，則
【答案】ABD
【解析】
【分析】將三角函數(shù) 的解析式化為一般式，再根據(jù)三角函數(shù)周期，對稱軸，值域的求解方法，以及三
角函數(shù)給值求值問題的處理辦法，對每個選項進行逐一分析即可.
【詳解】 ；
第 6頁/共 18頁
對 A： 的最小正周期為 ，故 A 正確；
對 B： ，又 是 的最大值，則 的圖象關(guān)于 對稱，故 B 正確；
對 C：若關(guān)于 的方程 有解，則 的取值范圍為 的值域，
又 ，故 ，故 C 錯誤；
對 D： ，故可得 ，
為銳角三角形的一個內(nèi)角，
， ，
，故 D 正確.
故選：ABD.
11. 筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到應(yīng)用.假定在水
流穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動.如圖，將筒車抽象為一個幾何圖形（圓），筒車
半徑為 ，筒車轉(zhuǎn)輪的中心 到水面的距離為 ，筒車每分鐘沿逆時針方向轉(zhuǎn)動 3 圈.若規(guī)定：盛水
筒 對應(yīng)的點 從水中浮現(xiàn)（即 時的位置）時開始計算時間，且以水輪的圓心 為坐標(biāo)原點，過點 的
水平直線為 軸建立平面直角坐標(biāo)系 .設(shè)盛水筒 從點 運動到點 時所經(jīng)過的時間為 （單位： ），
且此時點 距離水面的高度為 （單位： ）（在水面下則 為負數(shù)），則 與 的關(guān)系為
.下列說法正確的是（ ）
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A.
B. 點 第一次到達最高點需要的時間為
C. 在轉(zhuǎn)動的一個周期內(nèi)，點 在水中的時間是
D. 若 在 上的值域為 ，則 的取值范圍是
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)基本量求解方法，結(jié)合題意即可判斷 A；根據(jù)旋轉(zhuǎn)角度即可判斷 B 和 C；根據(jù)三角
函數(shù)圖像，結(jié)合整體代換的方法即可判斷 D.
【詳解】對于 A，因為筒車半徑為 ，筒車轉(zhuǎn)輪的中心 到水面的距離為 ，
則依題意， 滿足 ，所以 ，
因為筒車每分鐘 60s 沿逆時針方向轉(zhuǎn)動 3 圈，所以 ， ，
則 ，由 可得 ，
又因為 ，所以 ，故 A 正確；
對于 B，由已知得， 與 軸正方向的夾角為 ，
所以點 第一次到達最高點需要轉(zhuǎn)動 ，則所需時間為 ，故 B 正確；
對于 C，在轉(zhuǎn)動的一個周期內(nèi)，點 在水中轉(zhuǎn)動 ，
則所需要的時間是 ，故 C 錯誤；
第 8頁/共 18頁
對于 D，若 在 上的值域為 ，
則 在 上的值域為 ，
因為 ，所以 ，
作出函數(shù) 的圖象，依題意需使
即 ，解得 ，故 D 正確.
故選：ABD
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查三角函數(shù)的實際應(yīng)用問題.關(guān)鍵點在于研究圖形特點，通過數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為三角
函數(shù)解析式的基本量，進而求解三角函數(shù)解析式，從而求解答案.
三、填空題
12. 計算： __________.
【答案】4
【解析】
【詳解】
13. 已知函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞減，則
___________.
【答案】2
【解析】
第 9頁/共 18頁
【分析】依題意可得 為 的一個對稱中心，可得滿足 ，再由單調(diào)區(qū)間可求解.
【詳解】易知 ，
由 可得 關(guān)于 成中心對稱，即 為 的一個對稱中心；
所以 ，即 ；
又在區(qū)間 上單調(diào)遞減，所以 ，解得 ；
當(dāng) 時，此時 ，滿足題意.
故答案為：2
14. 設(shè)函數(shù) ，若關(guān)于 x 的函數(shù) 恰好有四個零點，則
實數(shù) a 的取值范圍是____________.
【答案】
【解析】
【分析】畫出 圖象，換元后分析可知方程的一根在區(qū)間 上，另一根在區(qū)間
上，利用二次函數(shù)根的分布列出不等式組，求出實數(shù) 的取值范圍.
【詳解】作出函數(shù) 的圖象如圖，
令 ，函數(shù) 恰好有四個零點．
則方程 化為 ，
第 10頁/共 18頁
設(shè) 的兩根為 ，
因為 ，所以兩根均大于 0，且方程的一根在區(qū)間 內(nèi)，另一根在區(qū)間 內(nèi)．
令
所以 ，解得： ，
綜上：實數(shù) 的取值范圍為
故答案為：
【點睛】復(fù)合函數(shù)零點個數(shù)問題，要先畫出函數(shù)圖象，然后適當(dāng)運用換元法，將零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為二次
函數(shù)或其他函數(shù)根的分布情況，從而求出參數(shù)的取值范圍或判斷出零點個數(shù).
四、解答題
15. 已知 為銳角， .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
【答案】（1）2； （2） .
【解析】
【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與正切的和差角公式求解即可.
（2）利用二倍角的正余弦公式，結(jié)合齊次式法及差角的余弦公式求解即可.
【小問 1 詳解】
由 為銳角， ，得 ， ，
而 ，所以 .
【小問 2 詳解】
由（1）得 ，
， ，
第 11頁/共 18頁
所以 ．
16. 已知函數(shù) 的最大值為 1，
（1）求常數(shù) 的值；
（2）求函數(shù) 的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）求使 成立的 的取值集合.
【答案】（1）
（2） ，
（3）
【解析】
【分析】（1）利用兩角和與差的正弦公式展開，再利用輔助角公式化簡為 的形式，最后
根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可得 的值；
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性得 ， ，求解 即可；
（3）利用整體思想，借助三角函數(shù) 的圖象與性質(zhì)即可解不等式.
【小問 1 詳解】
，
因為 的最大值為 1，且函數(shù) 的最大值為 1，
所以 ，解得 .
【小問 2 詳解】
第 12頁/共 18頁
由（1）可知 .
由 ，
解得 ， ，
所以函數(shù) 的單調(diào)遞減區(qū)間為 ， ；
【小問 3 詳解】
由 ，得 ，即 .
所以 ， .
解得 .
因此， 成立的 的取值范圍是 .
17. 如圖，正方形 ABCD 邊長為 1，P，Q 分別為邊 AB，DA 上的點.
（1）當(dāng) 時，求 的面積最小值（ 的面積公式是 ）；
（2）求當(dāng) 的周長為 2 時，求 的大小.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè) ， ，可得 ，
第 13頁/共 18頁
由 可得 ，即可得解；
（2）設(shè)線段 、 的長度分別為 、 ，可得 ，可得 ，設(shè) ，
可得 ，可得 .
【小問 1 詳解】
當(dāng) ，設(shè) ， ，
則 ， ， ，
，
因 ，所以 ，
則 ，則 ，
則 ，
所以 ，
所以 的面積 的最小值為 .
【小問 2 詳解】
設(shè)線段 、 的長度分別為 、 ， ，
因為正方形 的邊長為 ，
則 ， ，
第 14頁/共 18頁
因為 的周長為 ，所以 ，
則由勾股定理得 ，即 ，
又因為 ， ，
則
因為 ，所以 ，
所以 .
18. 已知函數(shù) 的圖象過點 .
（1）求函數(shù) 的解析式；
（2）判斷函數(shù) 的奇偶性，并說明理由；
（3）設(shè) ，若對于任意 ，都有 ，求 的取值范圍.
【答案】（1）
（2）函數(shù) 為奇函數(shù)，理由見解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由已知求得 ，代入即可得 ；
（2）函數(shù) 為奇函數(shù)，利用奇函數(shù) 定義即可證明.
（3）由題意可得 ，進而得 的最大值可能是 或 ，作差法可得
，結(jié)合題意可得 ，令 ，進而求
解可求得 的取值范圍.
【小問 1 詳解】
函數(shù) 的圖象過點
第 15頁/共 18頁
所以 ，解得
所以函數(shù) 的解析式為 .
【小問 2 詳解】
判斷：函數(shù) 為奇函數(shù).
理由如下：由（1）知， ，
.
由 ，解得函數(shù) 的定義域為
定義域關(guān)于原點對稱
函數(shù) 為奇函數(shù).
【小問 3 詳解】
因為 且 ，所以 且 ，
因為 ，
所以 的最大值可能是 或 ，
因為
所以 ，
所以對于任意 ，都有 成立，
只需 ，即 ，
設(shè) ，易知 在 上單調(diào)遞增，且 ，
第 16頁/共 18頁
，即 ，所以 ，
所以 的取值范圍是
【點睛】關(guān)鍵點點睛：對于函數(shù)不等式恒成立問題，常常通過構(gòu)造函數(shù)，通過求得函數(shù)的最值解決問題.
19. 若函數(shù) 和 的零點相同，則稱 和 是“ 函數(shù)對”.
（1）已知 ，判斷 與 是否為“ 函數(shù)對”，并說明理由；
（2）設(shè) ，若 與 為“ 函數(shù)對”，求 的取值范圍；
（3）已知 m，n 是實數(shù)，若函數(shù) 與 為“ 函數(shù)對”，函數(shù)
與 為“ 函數(shù)對”，求 mn 的值.
【答案】（1）不是，理由見解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)和余弦函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)零點存在原理、函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)、題中定義
進行求解即可；
（2）根據(jù)題中定義，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可；
（3）根據(jù)題中定義，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)、對數(shù)的運算性質(zhì)，通過構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性及
單調(diào)性的性質(zhì)進行求解即可.
【小問 1 詳解】
由函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)可知函數(shù) 是實數(shù)集上的增函數(shù)，
因為 ，所以函數(shù) 在 上有唯一零點，
當(dāng) 時，函數(shù) 是單調(diào)遞減函數(shù)，
，即 ，
所以函數(shù) 在 上沒有零點，不符合題中定義， 和 不是“ 函數(shù)對”；
【小問 2 詳解】
第 17頁/共 18頁
由 得 ， ，
，所以 的零點是 的零點，
由 得 ， ，
當(dāng) 時， ，所以 為 的零點
而當(dāng) 時，必須使得 無解，
否則 的一些零點不能使得 ，
所以 對 成立，
所以 ，得 ，此時 的零點也全是 的零點，綜上 .
【小問 3 詳解】
由 ，
因 函數(shù) 與 為“ 函數(shù)對”，
所以 ，取對得 ，
由 ，
因為函數(shù) 與 為“ 函數(shù)對”，
所以有 ，
因為 在 上單調(diào)遞增，所以 ，即 .
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)、正弦函數(shù)的單調(diào)性.
第 18頁/共 18頁

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