考生注意：所有答案請務(wù)必填寫在答題卡上,時量 120 分鐘，滿分 150 分.
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.拋物線的準(zhǔn)線方程為（ ）
A. B. C. D.
2.已知向量=(2,-1,3)，向量b=(-4,2,x)，且，則x=（ ）
A. B. C. D.
3. 直線=0的一個方向向量是（ ）
A. B. C. D.
4.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（ ）
A.1或 B. 12或3 C.12 D.
5.函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為（ ）．
A. B. C. D.
6.如圖，空間四邊形中,，，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)為中點(diǎn)，則（ ）
A. B.
C. D.
7.已知直線，，若，則（ ）
A. B. C. D.
8.若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9.數(shù)列的前項(xiàng)和，則（ ）
A． B．
C．當(dāng)或6時，數(shù)列有最小項(xiàng) D．是等差數(shù)列
10．已知曲線C的方程為，則下列說法正確的為（ ）
A．曲線C可以是圓B．若，則曲線C為橢圓
C．曲線C可以表示拋物線D．若曲線C為雙曲線，則
11.已知正方體的棱長為分別是棱和的中點(diǎn)，是棱上的一點(diǎn)，是正方形內(nèi)一動點(diǎn)，且點(diǎn)到直線與直線的距離相等，則（ ）
A． B．點(diǎn)到直線的距離為
C．存在點(diǎn)，使得平面 D．動點(diǎn)在一條拋物線上運(yùn)動
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.
12.在等差數(shù)列中，為其前n項(xiàng)的和，若,則= ．
13.已知直線和，兩點(diǎn)，P為直線l上一點(diǎn)P，則最小值為 ．
14.已知雙曲線E：的左、右焦點(diǎn)分別為，，E上存在點(diǎn)P，使得，且的內(nèi)切圓與y軸相切，則E的離心率為 .
四、解答題：本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.已知圓，圓，
（1）證明圓與圓相交；
（2）求圓與圓的公共弦所在直線的方程及公共弦的長。
16.在四棱錐P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，為等邊三角形，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠DAB＝60°，E是AD的中點(diǎn).
（1）判斷直線BE與平面PAD的位置關(guān)系，并證明;
（2）求平面PAB與平面PBC所成的銳二面角的余弦值．
17.已知橢圓C：的焦距為8，離心率為.
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線與C交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，求△PAB的面積的最大值.
18.已知函數(shù)
（1）當(dāng)時，求在區(qū)間上的最值；
（2）討論的單調(diào)性；
（3）若有兩個零點(diǎn)，求的取值范圍.
19.數(shù)列、滿足：是等比數(shù)列，，，且．
(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式.
(2)求集合中所有元素的和．
(3)對數(shù)列，若存在互不相等的正整數(shù)，使得也是數(shù)列中的項(xiàng)，則稱數(shù)列是“和穩(wěn)定數(shù)列”．試判斷數(shù)列、是否是“和穩(wěn)定數(shù)列”，并說明理由．
平江縣2024年下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測
高二數(shù)學(xué)答題卡
學(xué)校： 姓名： 班級：
第 考室 座位號：
一、選擇題（每小題5分，共40分） 二、選擇題（每小題6分，共18分）
三、填空題（每小題5分，共15分）
12. 13.
14.
四、解答題（共77分）
15.(13分)
1 [ A] [ B] [ C] [ D]
5 [ A] [ B] [ C] [ D]
9 [ A] [ B] [ C] [ D]
2 [ A] [ B] [ C] [ D]
6 [ A] [ B] [ C] [ D]
10 [ A] [ B] [ C] [ D]
3 [ A] [ B] [ C] [ D]
7 [ A] [ B] [ C] [ D]
11 [ A] [ B] [ C] [ D]
4 [ A] [ B] [ C] [ D]
8 [ A] [ B] [ C] [ D]
16.(15分)

17.(15分)
18.(17分)
19.(17分)

平江縣2024年下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測
高二數(shù)學(xué)
考生注意：所有答案請務(wù)必填寫在答題卡上,時量 120 分鐘，滿分 150 分.
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的
1.（選擇性必修一p132例1改編）拋物線的準(zhǔn)線方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A.
【解析】【分析】解出p=4,即可求出準(zhǔn)線方程.
【詳解】因?yàn)?，所以，拋物線的焦點(diǎn)在x軸正半軸上，所以準(zhǔn)線方程為.
2.（選擇性必修一p22練習(xí)2） 已知，，且，則（ ）．
A.B. C. D.
【答案】C.
【解析】【分析】解方程即得解.
【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所?
3. （選擇性必修一p102第1題改編）直線=0的一個方向向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】根據(jù)直線的斜率先得到直線的一個方向向量，然后根據(jù)方向向量均共線，求解出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)橹本€=0的斜率為，所以直線的一個方向向量為，
又因?yàn)榕c共線，所以=0的一個方向向量可以是，故選：B.
4.（選擇性必修二p37第1題改編）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（ ）
A.1或 B. 12或3 C.12 D.
【答案】B
【解析】【分析】分公比，兩類進(jìn)行討論.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?br>當(dāng)時，可得，此時，滿足題意；
當(dāng)時，可得，解得.故選：A
5.（選擇性必修二p104練習(xí)13改編）函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為（ ）．
A.B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】求出的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，可得切線方程.
【詳解】解：的導(dǎo)數(shù)為y′＝1，
曲線在x＝1處的切線斜率為k＝2，
則曲線在x＝1處的切線方程為y﹣1＝2x﹣2，即y＝2x﹣1．
故這個函數(shù)的圖象在處的切線方程為y＝2x﹣1. 故選：B
6.如圖，空間四邊形中,，，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)為中點(diǎn)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B【解析】【分析】利用空間向量運(yùn)算求得正確答案.
【詳解】.
故選：B
7.（選擇性必修第一冊p102練習(xí)2改）已知直線，，若，則（ ）
A. B. C. D
【答案】D
【解析】【分析】可得滿足，時，；
【詳解】當(dāng)時，方程化為，方程化為，此時兩直線平行，符合題意；
當(dāng)時，要使直線平行，則滿足，解得，
這是或；故選：D
8．已知函數(shù)，是的唯一極小值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】求導(dǎo)可得，再根據(jù)是的唯一極小值點(diǎn)可得恒成立，再根據(jù)恒成立問題求解最小值分析即可.
【詳解】求導(dǎo)有.
設(shè)，則，
故當(dāng)時，單調(diào)遞減；時，單調(diào)遞增.
故若有兩個零點(diǎn)，則必有一根，則此時有時；時，故為的極小值點(diǎn)，與題意不符.
故恒成立，故，即，解得.
故選：D
二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。
9.（選擇性必修二p23例9改編）數(shù)列的前項(xiàng)和，則（ ）
A． B．
C．當(dāng)或6時，數(shù)列有最小項(xiàng) D．是等差數(shù)列
【答案】ABD
【分析】根據(jù)作差求出的通項(xiàng)，即可判斷A、B，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷C，根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷D.
【詳解】對于A：因?yàn)?，?dāng)時，故A正確；
對于B：當(dāng)時，
所以，
經(jīng)檢驗(yàn)時也成立，所以，故B正確；
對于C：因?yàn)?，所以?dāng)或時取得最大值，且，
即數(shù)列有最大項(xiàng)，故C錯誤；
對于D：因?yàn)?，則，又，
所以是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，故D正確.
故選：ABD
10．（選擇性必修第一冊p120練習(xí)3，127練習(xí)7綜合改編）已知曲線C的方程為，則下列說法正確的為（ ）
A．曲線C可以是圓B．若，則曲線C為橢圓
C．曲線C可以表示拋物線D．若曲線C為雙曲線，則
【答案】AD
【分析】根據(jù)方程的特點(diǎn)，結(jié)合圓、橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷．
【詳解】對于A，若曲線C是圓，則，解得，A正確；
對于B，由選項(xiàng)A知，當(dāng)時，曲線C是圓，不是橢圓，B錯誤；
對于C，曲線C有兩條對稱軸，不可能為拋物線，C錯誤；
對于D，若曲線C為雙曲線，則，解得，D正確.
故選：AD
11.已知正方體的棱長為分別是棱和的中點(diǎn)，是棱上的一點(diǎn)，是正方形內(nèi)一動點(diǎn)，且點(diǎn)到直線與直線的距離相等，則（ ）
A． B．點(diǎn)到直線的距離為
C．存在點(diǎn)，使得平面 D．動點(diǎn)在一條拋物線上運(yùn)動
【答案】AD
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，選項(xiàng)A，利用向量法來證明線線垂直，通過計(jì)算得到，即可判斷出選項(xiàng)A的正誤；選項(xiàng)B，先計(jì)算出在方向上的投影向量的模為，再利用點(diǎn)到線的距離的向量法即可得出結(jié)果，從而判斷出選項(xiàng)的正誤；選項(xiàng)C，先求出平面的一個法向量為和，再判斷是否存在使，即可判斷出選項(xiàng)的正誤；選項(xiàng)D，根據(jù)條件得出點(diǎn)到直線的距離即點(diǎn)到點(diǎn)的距離，再利用拋物線的定義即可求出結(jié)果.
【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.
對于選項(xiàng)A，易知，設(shè)，
所以，又，
得到，所以，故選項(xiàng)A正確；
對于選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，又?br>則在方向上的投影向量的模為，又，
所以點(diǎn)到直線的距離為，故選項(xiàng)B錯誤；
對于選項(xiàng)C，設(shè)平面的一個法向量為，
由選項(xiàng)A知，，，由，得到，
取，所以平面的一個法向量為，
由，得到，
所以不存在點(diǎn)，使得平面，故選項(xiàng)C錯誤；
對于選項(xiàng)D，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以?br>所以點(diǎn)到直線的距離即點(diǎn)到點(diǎn)的距離，又點(diǎn)到直線與直線的距離相等，
即點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線的距離，又面，面，
由拋物線定義知，點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，所在直線為準(zhǔn)線的拋物線的一部分，故選項(xiàng)正確，
故選：AD.
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。
12.（選擇性必修第二冊p23練習(xí)3改編）在等差數(shù)列中，為其前n項(xiàng)的和，若,則= ．
【答案】42
【解析】【分析】由已知列出方程求出首項(xiàng)和公差即可求解.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
則，解得，則.
13.（選擇性必修第一冊p103練習(xí)12）已知直線和，兩點(diǎn)，P為直
線l上一點(diǎn)P，則最小值為 ．
【答案】12
【解析】【分析】先判斷兩點(diǎn)是在直線同側(cè)還是異側(cè)，再求關(guān)于直線的對稱點(diǎn)得解
【詳解】因?yàn)?，所以在直線同側(cè)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)坐標(biāo)為，則，即，
可知，即三點(diǎn)共線時，最小，直線方程，所以的最小值為12.
14.．已知雙曲線E：的左、右焦點(diǎn)分別為，，E上存在點(diǎn)P，使得，且的內(nèi)切圓與y軸相切，則E的離心率為 .
【答案】/
【分析】
根據(jù)向量的運(yùn)算得到，然后利用雙曲線的性質(zhì)和三角形內(nèi)切圓的幾何關(guān)系得到有關(guān)的方程求解即可.
【詳解】
不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，
因?yàn)?，所以?br>所以，，
又，聯(lián)立可得：，
所以，即，
設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，過圓心往三邊作垂線，垂足分別為，如圖所示，

因?yàn)榈膬?nèi)切圓與y軸相切，故，
，，
所以，
即，即，
兩邊平方得，
即，則，
兩邊同時除以，得，解得，
因?yàn)?，所?
故答案為：.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查雙曲線中三角形內(nèi)切圓和離心率相關(guān)問題的求解，解題關(guān)鍵是能夠利用三角形內(nèi)切圓的知識點(diǎn)結(jié)合雙曲線的性質(zhì)，求得之間的等量關(guān)系從而求得結(jié)果.
四、解答題：本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15.（選擇性必修第一冊p96例5改編）已知圓，圓，
（1）證明圓與圓相交；
（2）求圓與圓的公共弦所在直線的方程及公共弦的長。
【答案】證明見解析，公共弦所在直線的方程為，公共弦的長為
【解析】
【分析】依題意求得圓和圓的圓心和半徑，進(jìn)而根據(jù)圓心距和兩圓半徑的關(guān)系可證得結(jié)果；將兩圓方程相減可得公共弦所在直線的方程.
【詳解】（1）把圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得，圓的圓心是，半
徑．
把圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得，圓的圓心是，半徑．
圓與圓的連心線的長為．
圓與圓的兩半徑之和，兩半徑長之差．
因?yàn)?，即，所以圓與圓相交.
將圓和圓的方程相減，得兩圓的公共弦所在直線的方程為.
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓的圓心是，半徑．
圓心到公共弦的距離，故公共弦.
16.在四棱錐P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，為等邊三角形，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠DAB＝60°，E是AD的中點(diǎn).
（1）判斷直線BE與平面PAD的位置關(guān)系，并證明;
（2）求平面PAB與平面PBC所成的銳二面角的余弦值．
【解答】證明：(1)BE⊥平面PAD，證明如下：
（連接BD，因?yàn)闉榈冗吶切?，E是AD的中點(diǎn)，所以PE⊥AD，
由平面PAD⊥平面ABCD，可得PE⊥平面ABCD，PE⊥BE，
又由于四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠DAB＝60°，
∴BE⊥AD，∴BE⊥平面PAD．
解：（3）以E為原點(diǎn)，EA，EB，EP為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
P（0，0，），A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣2，，0），
（1，0，），（0，），（﹣2，），
令平面PAB的法向量為，則，取y＝1，得，
同理可得平面PBC的一個法向量為（0，1，1），
所以平面PAB與平面PBC所成銳二面角的余弦值為：
|cs|．
17.（選擇性必修第一冊p114例7，116練習(xí)13改編）已知橢圓C：的焦距為8，離心率為.
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線與C交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，求△PAB的面積的最大值.
【答案】（1）；（2）
【分析】(1)由題意分別求得a,b的值即可確定橢圓方程；
(2)首先利用幾何關(guān)系找到三角形面積最大時點(diǎn)P的位置，然后聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結(jié)合判別式確定點(diǎn)P到直線AB的距離即可求得三角形面積的最大值.
【詳解】(1)根據(jù)題意，即，又，所以，因?yàn)?，所?br>所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．
（2）由方程組
消去y，得 ． ①
設(shè)，，，，可得:
則
設(shè)與直線AB平行的直線方程為：，
如圖所示，當(dāng)直線與橢圓相切時，與AB距離比較遠(yuǎn)的直線與橢圓的切點(diǎn)為P，此時△PAB的面積取得最大值.

由方程組
消去y，得
． ②
方程①的根的判別式
．
由，得，．此時方程②有兩個相等的實(shí)數(shù)根，直線l與橢圓C有且只有一個公共點(diǎn)．
與AB距離比較遠(yuǎn)的直線方程：，
直線AB方程為：
點(diǎn)P到直線AB的距離即兩平行線之間的距離，
利用平行線之間的距離公式可得：，
所以△PAB的面積的最大值：.
【點(diǎn)睛】解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：
(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；
(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．
18.(選擇性必修第二冊p104練習(xí)19改編). 已知函數(shù)
（1）當(dāng)時，求在區(qū)間上的最值；
（2）討論的單調(diào)性；
（3）若有兩個零點(diǎn)，求的取值范圍.
【答案】（1）最大值-2.無最小值，（2）見解析；（3）.
【解析】【詳解】試題分析：（2）討論單調(diào)性，首先進(jìn)行求導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)式子特點(diǎn)后要及時進(jìn)行因式分解，再對按，進(jìn)行討論，寫出單調(diào)區(qū)間；（3）根據(jù)第（2）問，若，至多有一個零點(diǎn).若，當(dāng)時，取得最小值，求出最小值，根據(jù)，，進(jìn)行討論，可知當(dāng)時有2個零點(diǎn).易知在有一個零點(diǎn)；設(shè)正整數(shù)滿足，則.由于，因此在有一個零點(diǎn).從而可得的取值范圍為.
試題解析：（1）當(dāng)時，，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以，無最小值.
（2）的定義域?yàn)?，?br>（?。┤?，則，所以在單調(diào)遞減.
（ⅱ）若，則由得.
當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞
減，在單調(diào)遞增.
（3）（?。┤?，由（1）知，至多有一個零點(diǎn).
（ⅱ）若，由（1）知，當(dāng)時，取得最小值，最小值為.
①當(dāng)時，由于，故只有一個零點(diǎn)；
②當(dāng)時，由于，即，故沒有零點(diǎn)；
③當(dāng)時，，即.
又，故在有一個零點(diǎn).
設(shè)正整數(shù)滿足，則.
由于，因此在有一個零點(diǎn).
綜上，的取值范圍為.
點(diǎn)睛:研究函數(shù)零點(diǎn)問題常常與研究對應(yīng)方程的實(shí)根問題相互轉(zhuǎn)化.已知函數(shù)有2個零點(diǎn)求參數(shù)a的取值范圍，第一種方法是分離參數(shù)，構(gòu)造不含參數(shù)的函數(shù)，研究其單調(diào)性、極值、最值，判斷與其交點(diǎn)的個數(shù)，從而求出a的取值范圍；第二種方法是直接對含參函數(shù)進(jìn)行研究，研究其單調(diào)性、極值、最值，注意點(diǎn)是若有2個零點(diǎn)，且函數(shù)先減后增，則只需其最小值小于0，且后面還需驗(yàn)證最小值兩邊存在大于0的點(diǎn).
19．?dāng)?shù)列、滿足：是等比數(shù)列，，，且．
(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式.
(2)求集合中所有元素的和．
(3)對數(shù)列，若存在互不相等的正整數(shù)，使得也是數(shù)列中的項(xiàng)，則稱數(shù)列是“和穩(wěn)定數(shù)列”．試別斷數(shù)列、是否是“和穩(wěn)定數(shù)列”，并說明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)是“和穩(wěn)定數(shù)列”， 不是“和穩(wěn)定數(shù)列”，詳細(xì)見解析.
【分析】（1）根據(jù)已知及等比數(shù)列的定義求出的通項(xiàng)公式，由已知和求通項(xiàng)可得的通項(xiàng)公式，根據(jù)已知及等比數(shù)列的定義求出的通項(xiàng)公式，由已知和求通項(xiàng)可得的通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)等差數(shù)列及等比數(shù)列的求和公式可得結(jié)果；
（3）根據(jù)“和穩(wěn)定數(shù)列”的定義可判定.
【詳解】（1）根據(jù)題意可知，所有可得，
又因是等比數(shù)列，所以設(shè)的公比為，則，
所以，
因①
當(dāng)時，②
①式減去②式可得
將，可得
將之化簡可得，
所以數(shù)列是為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，
故.
（2）由題意知集合，
則化簡轉(zhuǎn)化為，
設(shè)，
且解之可得
所以集合A所有元素之和為；
【小問3詳解】
①解：當(dāng)時，是的正整數(shù)倍，
故一定不是數(shù)列中的項(xiàng)；
當(dāng)時，，不是數(shù)列中的項(xiàng)；
當(dāng)時，，是數(shù)列中的項(xiàng)；
綜上，數(shù)列是“和穩(wěn)定數(shù)列”，；
②解：數(shù)列不是“和穩(wěn)定數(shù)列”，理由如下：
不妨設(shè)：，則，且
故不是數(shù)列中的項(xiàng).
數(shù)列不是“和穩(wěn)定數(shù)列”.

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