注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第一部分（選擇題 共58分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】易知，
再由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得時(shí)，即，
因此.
故選：D
2．有一組數(shù)據(jù)，按從小到大排列為：，這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)等于他們的平均數(shù)，則為（ ）
A．10B．12C．14D．16
【答案】C
【詳解】因?yàn)樵摻M數(shù)據(jù)共7個(gè)，且，所以這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為從小到大第4個(gè)數(shù)，即6，
又組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則，解得.
故選：C.
3．已知向量，若，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．4B．或1C．D．4或
【答案】B
【詳解】將兩邊平方，得，
由得，
即，解得或1.
故選：B.
4．記為非零數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】C
【詳解】在非零數(shù)列中，，由，，得數(shù)列是等比數(shù)列，，
因此，所以.
故選：C
5．已知火箭在時(shí)刻的速度為（單位：千米/秒），質(zhì)量為（單位：千克），滿足（為常數(shù)），、分別為火箭初始速度和質(zhì)量．假設(shè)一小型火箭初始質(zhì)量千克，其中包含燃料質(zhì)量為500千克，初始速度為，經(jīng)過秒后的速度千米/秒，此時(shí)火箭質(zhì)量千克，當(dāng)火箭燃料耗盡時(shí)的速度大約為（ ）（，）．
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【詳解】由題意知，火箭在時(shí)刻的速度為，質(zhì)量為，滿足，
因?yàn)榻?jīng)過秒后的速度千米/秒，此時(shí)火箭質(zhì)量千克，
可得，火箭耗盡燃料時(shí)速度為，
兩式相除得.
故選：C．
6．已知函數(shù)，，若有兩個(gè)零點(diǎn)，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】由，得，而，則，，
，因此，解得，
由，得或，于是，
對于A，，A錯(cuò)誤；
對于B，，B錯(cuò)誤；
對于C，，C錯(cuò)誤；
對于D，，D正確.
故選：D
7．為迎接中秋佳節(jié)，某公司開展抽獎(jiǎng)活動(dòng)，規(guī)則如下：在不透明的容器中有除顏色外完全相同的2個(gè)紅球和3個(gè)白球，每位員工從中摸出2個(gè)小球.若摸到一紅球一白球，可獲得價(jià)值百元代金券；摸到兩白球，可獲得價(jià)值百元代金券；摸到兩紅球，可獲得價(jià)值百元代金券（均為整數(shù)）.已知每位員工平均可得5.4百元代金券，則運(yùn)氣最好者獲得至多（ ）百元代金券
A．5.4B．9C．12D．18
【答案】D
【詳解】若摸到一紅球一白球的概率，
若摸到2白球的概率，若摸到2紅球的概率，
設(shè)可獲得百元代金券為變量分布列如下，
，,
手氣最好者獲得百元代金券
即，，
則，
當(dāng)，即，時(shí)等號成立，
所以的最大值為.
估計(jì)手氣最好者至多獲得18個(gè)百元代金券.
故選：D.
8．已知點(diǎn)是拋物線：的焦點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的對稱軸與其準(zhǔn)線的交點(diǎn)，過作拋物線的切線，切點(diǎn)為，若點(diǎn)恰好在以，為焦點(diǎn)的雙曲線上，則雙曲線的離心率為
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】直線F2A的直線方程為：y＝kx，F(xiàn)1（0，），F(xiàn)2（0，），
代入拋物線C：x2＝2py方程，整理得：x2﹣2pkx+p2＝0，
∴△＝4k2p2﹣4p2＝0，解得：k＝±1，不妨取k＝1
則A（p，），設(shè)雙曲線方程為：1，
丨AF1丨＝p，丨AF2丨p，
2a＝丨AF2丨﹣丨AF1丨＝（ 1）p，
2c＝p，
∴離心率e1，
故選D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量分別為、，則下列說法不正確的是（ ）
A．
B．
C．若，則
D．若，則
【答案】ACD
【詳解】設(shè)，則，
對于A，當(dāng)時(shí)，，
則，故A錯(cuò)誤；
對于B，，
，
所以，故B正確；
對于C，當(dāng)時(shí)，，，
滿足，但，故C錯(cuò)誤；
對于D，當(dāng)時(shí)，，
而，故D錯(cuò)誤.
故選：ACD.
10．已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，前項(xiàng)和為，若，則下列說法正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，最大
B．使得成立的最小自然數(shù)
C．
D．?dāng)?shù)列中最小項(xiàng)為
【答案】ABD
【詳解】根據(jù)題意：，即，
兩式相加，解得，當(dāng)時(shí)，最大，故A正確；
由，可得，所以，
故，
所以，故C錯(cuò)誤；
由以上可得：，
，而，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
所以使得成立的最小自然數(shù)，故B正確.
當(dāng)或時(shí)；當(dāng)時(shí)；
由，
所以中最小項(xiàng)為，故D正確.
故選：ABD
11．在平面直角坐標(biāo)系中有一點(diǎn)，到定點(diǎn)與軸距離之積為一常數(shù)，點(diǎn)構(gòu)成的集合為曲線，已知在或分別為連續(xù)不斷的曲線，則下列說法正確的是：（ ）.

A．曲線關(guān)于直線對稱
B．若，則時(shí)到軸距離的最大值為
C．若，如圖，則
D．若與軸正半軸交于1,0，則與軸負(fù)半軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間內(nèi)
【答案】BCD
【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，
對于A選項(xiàng)，點(diǎn)關(guān)于直線的點(diǎn)為，
因?yàn)椋?br>即點(diǎn)不在曲線上，所以，曲線不關(guān)于直線對稱，A錯(cuò)；
對于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，曲線的方程為，
當(dāng)時(shí)，則，則，
所以，，可得，可得，
對于不等式，即，顯然該不等式恒成立，
對于不等式，即，解得，
因?yàn)?，則，此時(shí)，若，則時(shí)到軸距離的最大值為，B對；
對于C選項(xiàng)，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，
因?yàn)椋?br>即點(diǎn)在曲線上，故曲線關(guān)于直線對稱，
如下圖所示，當(dāng)時(shí)，直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，在曲線的方程中，令，可得，可得，
所以，曲線與在0,+∞上的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，如下圖所示：

顯然，曲線與射線在1,+∞上的圖象有一個(gè)公共點(diǎn)，
則曲線與線段相切，
由，可得，則，可得，
且當(dāng)時(shí)，方程為，解得，合乎題意，
綜上所述，，C對；
對于D選項(xiàng)，若曲線與軸正半軸交于1,0，
則，則有，
當(dāng)時(shí)，令可得，整理可得，
即，
令，其中，
則對任意的恒成立，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，，則，
所以，曲線與軸負(fù)半軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間內(nèi)，D對.
故選：BCD.
第二部分（非選擇題 共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為 .
【答案】
【詳解】解：由題意得：，
令得，
故常數(shù)項(xiàng)為．
故答案為：．
13．在如圖所示的斜截圓柱中，已知圓柱底面的直徑為，母線長最短，最長，則斜截圓柱的體積為
【答案】
【詳解】將如圖所示的相同的兩個(gè)幾何體拼接為圓柱，
則圓柱底面半徑為，高為，
體積為，
則該幾何體的體積為圓柱體積的一半，
即.
故答案為：
14．人們很早以前就開始探索高次方程的數(shù)值求解問題，牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了高次代數(shù)方程的一種數(shù)值解法——牛頓法，如圖，在橫坐標(biāo)為的點(diǎn)處作的切線，該切線與x軸的交點(diǎn)為；在橫坐標(biāo)為的點(diǎn)處的切線與x軸的交點(diǎn)為；一直繼續(xù)下去，得到，，，…，，它們越來越逼近的零點(diǎn)r．在一定精確度下，用四舍五入法取值，當(dāng)，近似值相等時(shí)，該值可作為函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)r．用“牛頓法”求方程的近似解r，可以構(gòu)造函數(shù)，若，得到該方程的近似解r約為 （精確到0.1）．
【答案】3.3
【詳解】由，得．
當(dāng)時(shí)，，，
則過點(diǎn)的切線方程為，
令，得．
又，，
則過點(diǎn)的切線方程為，
令，得，此時(shí)與近似值相等，故近似解r約為3.3．
故答案為：3.3
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。
15．（13分）
記的內(nèi)角所對的邊分別為，已知．
(1)求；
(2)若，，求的面積．
【詳解】（1）由 得，而為三角形內(nèi)角，
故sinB>0,得，而為三角形內(nèi)角，或
（2）由得，
又，∴， ，故 ，
由（1）得，故，
∴，而為三角形內(nèi)角， ∴.
又即，
又，而為三角形內(nèi)角，故，
.
（15分）
已知函數(shù).
(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若恒成立，求的值.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，
則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，由，知當(dāng)時(shí)，，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，
由恒成立，得恒成立，令，
求導(dǎo)得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
于是函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，故恒成立，
因此，所以.
（15分）
如圖，在幾何體中，四邊形是梯形，，，與相交于點(diǎn)N，平面，，H是的中點(diǎn)，，．
(1)點(diǎn)P在上，且，證明：平面；
(2)求二面角的余弦值．
【詳解】（1）方法1：依題意可知，直線，，兩兩垂直，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，
直線，，分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
依題意得C1,1,0，，，，
因?yàn)椋?，所以?br>又，所以，
又，，從而得，
所以向量，，共面，
又平面，平面，平面，
所以平面．
方法2：如圖，在，上取點(diǎn)M，Q，且滿足，，
連接，，，
因?yàn)?，，有?br>所以，且，
又因?yàn)?，，?br>所以，有，
所以，且，
又，所以，且，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
又平面，平面，
所以平面．
（2）由（1）方法1可知，，C1,1,0，，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，
取，則平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)平面的法向量為，
則，即．
取，則平面的一個(gè)法向量為，
則，
由圖知二面角為鈍角，
故二面角的余弦值為．
（17分）
已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，且四個(gè)頂點(diǎn)所圍成的菱形的面積為4．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)四邊形ABCD的頂點(diǎn)在橢圓上，且對角線AC，BD過原點(diǎn)O，設(shè)，滿足．
①求證：直線AB和直線BC的斜率之和為定值；
②求四邊形ABCD面積的最大值．
【詳解】（1）由題意，2ab=4，
又，解得，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）如圖所示
①設(shè)直線AB的方程為，設(shè)
聯(lián)立，得
(*)
=
，，
整理得，
所以直線和直線的斜率之和為定值0．
②由①，不妨取，則
設(shè)原點(diǎn)到直線AB的距離為d，則
又，所以
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號．
．
即四邊形ABCD的面積的最大值為4．

（17分）
拿破侖排兵布陣是十分厲害的，有一次他讓士兵站成一排，解散以后馬上再重新站成一排，并要求這些士兵不能站在自己原來的位置上．
(1)如果只有3個(gè)士兵，那么重新站成一排有多少種站法？4個(gè)呢？
(2)假設(shè)原來有個(gè)士兵，解散以后不能站在自己原來位置上的站法為種，寫出和，之間的遞推關(guān)系，并證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(3)假設(shè)讓站好的一排個(gè)士兵解散后立即隨機(jī)站成一排，記這些士兵都沒有站到原位的概率為，證明：當(dāng)無窮大時(shí)，趨近于．（參考公式：……）
【詳解】（1）當(dāng)有3個(gè)士兵時(shí)，重新站成一排有2種站法；
當(dāng)有4個(gè)士兵時(shí)，假設(shè)先安排甲，有3種站法，若甲站到乙的位置，那就再安排乙，也有3種站法，
剩下的兩個(gè)人都只有1種站法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得有種站法．
（2）易知，．
如果有個(gè)人，解散后都不站原來的位置可以分兩個(gè)步驟：
第一步：先讓其中一個(gè)士兵甲去選位置，有種選法；
第二步：重排其余個(gè)人，根據(jù)第一步，可以分為兩類：
第一類：若甲站到乙的位置上，但乙沒有站到甲的位置，這樣的站法有種；
第二類：若甲站到乙的位置上，乙同時(shí)站到甲的位置，這樣的站法有種．
所以，，又，
所以．
所以數(shù)列，是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列
（3）由題意可知，
由（2）可得：，則．
對進(jìn)行賦值，依次得：，，?，
將以上各式左右分別相加，得：，因，
則．
即得，
當(dāng)無窮大時(shí)，，得證.a
b
ab
P

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