說(shuō)明：1.本卷共有4大題，19個(gè)小題，全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
2.本卷分為試題卷和答題卡，答案要求寫在答題卡上，不得在試題卷上作答，否則不給分.
3.所有考試結(jié)束3天后，考生可憑準(zhǔn)考證號(hào)登錄智學(xué)網(wǎng)（）查詢考試成績(jī)，密碼與準(zhǔn)考證號(hào)相同.
一、單項(xiàng)選擇題：共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，僅有一項(xiàng)符合題目要求.
1. 已知直線，，若，則（ ）
A. 0B. 1C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】利用垂直的關(guān)系可得斜率之積為，即可得解.
【詳解】由直線，，滿足可得，
，可得，
故選：A.
2. 圓心為且過(guò)點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)各項(xiàng)給定圓的方程確定圓心，判斷是否在圓上即可.
【詳解】由的圓心為，A錯(cuò)；
由的圓心為，B錯(cuò)；
由的圓心為，顯然點(diǎn)在圓上，C對(duì)；
由的圓心為，D錯(cuò)；
故選：C.
3. 設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若，則（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)條件得到，設(shè)，再利用橢圓的定義及條件得到且，即可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)闄E圓，所以，
又因?yàn)?，所以，即?br>設(shè)，則①，且②，
由①②得到，即，所以，
故選：B.
4. 如圖，三棱錐中，，，，且，，則（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用空間向量的運(yùn)算法則求解即可.
【詳解】如圖所示：
.
故選：C.
5. 若，則下列結(jié)論中正確是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用賦值法逐項(xiàng)計(jì)算判斷.
【詳解】對(duì)于A，取，得，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，展開式中項(xiàng)的系數(shù)為，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，二項(xiàng)式展開式中各項(xiàng)系數(shù)均為正，取，
得，C正確；
對(duì)于D，取，得，取，得，
聯(lián)立解得，因此，D錯(cuò)誤.
故選：C
6. 已知過(guò)原點(diǎn)直線與圓相交于兩點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A. 6B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】判斷原點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，再由最小有直線，最后應(yīng)用幾何法求弦長(zhǎng)即可.
【詳解】由，即原點(diǎn)在已知圓內(nèi)部，且圓心，，
若原點(diǎn)為，要使最小，只需直線，而，
所以最小.
故選：D
7. 在“文化撫州，夢(mèng)想之舟”半程馬拉松比賽中，某路段設(shè)三個(gè)服務(wù)站，某高校5名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)服務(wù)點(diǎn)做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)服務(wù)點(diǎn)，每個(gè)服務(wù)點(diǎn)至少1人，則不同的安排方法共有（ ）
A. 25種B. 150種C. 300種D. 50種
【答案】B
【解析】
【分析】利用先分組后分配來(lái)解題，分組中要注意均分組消序思想.
【詳解】五名同學(xué)分三個(gè)小組，
若按2人，2人，1人來(lái)分有種，
若按3人，1人，1人來(lái)分有種，
再把這三個(gè)小組排列到三個(gè)服務(wù)站去共有種，
所以每個(gè)服務(wù)點(diǎn)至少有1人的不同安排方法有：種，
故選：B.
8. 如圖，已知是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，為雙曲線上兩點(diǎn)，滿足，且，則雙曲線的離心率為（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線的定義和性質(zhì)分析可得，進(jìn)而可得，結(jié)合勾股定理運(yùn)算求解.
【詳解】延長(zhǎng)與雙曲線交于點(diǎn)，
因?yàn)?，根?jù)對(duì)稱性可知，
設(shè)，則，
可得，即，
所以，則，，
即，可知，
在中，由勾股定理得，
即，解得.
故選：D.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1．雙曲線離心率(離心率范圍)的求法
求雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求的值；
2．焦點(diǎn)三角形的作用
在焦點(diǎn)三角形中，可以將圓錐曲線的定義，三角形中邊角關(guān)系，如正余弦定理、勾股定理結(jié)合起來(lái)．
二、多項(xiàng)選擇題：共3小題，每小題6分，共18分.每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，不選或有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知空間向量，，則下列選項(xiàng)中正確的是（ ）
A. 當(dāng)時(shí)，B. 當(dāng)時(shí)，
C. 當(dāng)時(shí)，D. 當(dāng)時(shí)，
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)向量垂直、平行的坐標(biāo)表示列方程求參數(shù)判斷A、B；應(yīng)用向量坐標(biāo)加法及模長(zhǎng)的坐標(biāo)運(yùn)算列方程求參數(shù)判斷C；由向量夾角的坐標(biāo)表示求余弦值，進(jìn)而確定正弦值判斷D.
【詳解】A：，則，可得，錯(cuò)；
B：，則，可得，對(duì)；
C：，可得或，錯(cuò)；
D：，則，故，則，對(duì).
故選：BD
10. 如圖，在直三棱柱中，，，，分別是棱，，的中點(diǎn)，在線段上，則下列說(shuō)法中正確的有（ ）
A. 平面B. 平面
C. 存在點(diǎn)，滿足D. 三棱錐的體積不變
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)已知易得為平行四邊形，有，應(yīng)用線面平行的判定判定A；由直線與面相交判斷B；假設(shè)，即，令并應(yīng)用勾股定理列方程求解判斷C；首先證平面，再由棱錐的體積公式判斷D.
【詳解】由題設(shè)，易得是邊長(zhǎng)為2的正方形，且，，
又是的中點(diǎn)，則且，故為平行四邊形，
所以，面，面，則平面，A對(duì)；
由上分析知，面即為面，顯然直線與面相交，B錯(cuò)；
由，若，即，
令，則，，
而，則，即，顯然無(wú)解，C錯(cuò)；
由，面，面，則平面，
又在線段上，故到面距離為定值，且的面積為定值，
所以三棱錐的體積不變，D對(duì)；
故選：AD
11. 天文學(xué)家卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)：在同一平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是卡西尼卵形線.已知兩定，，動(dòng)點(diǎn)滿足，設(shè)的軌跡為曲線，下列說(shuō)法中正確的有（ ）
A. 的橫坐標(biāo)最大值是2B. 曲線既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形
C. 存在點(diǎn)，使得D. 面積最大值2
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用軌跡方程代數(shù)關(guān)系來(lái)證明相關(guān)選項(xiàng)，對(duì)于A利用縱坐標(biāo)放縮去求橫坐標(biāo)范圍，對(duì)于B則利用的代入檢驗(yàn)就可作出判斷，對(duì)于C則利用方程組消元看看是否有解，對(duì)于D，則利用定義來(lái)求面積，只需要看是否存在直角.
【詳解】由可得：，
即，
即，
則，
對(duì)于A，由，得，
平方展開化簡(jiǎn)得：，解得，
即的橫坐標(biāo)最大值是，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由滿足，所以曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
又由，也滿足，所以曲線關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，故B正確；
對(duì)于C，若存在點(diǎn)，使得，則有，
又由于則聯(lián)立，消去可得：
，即有解，所以存在點(diǎn)，故C正確；
對(duì)于D，，面積最大值2，由選項(xiàng)C可知，
存在的最大值點(diǎn)，故D正確.
故選：BCD.
三、填空題：共3小題，每題5分，共15分.
12. 雙曲線的離心率為2，求______.
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線的方程及離心率公式列方程求參數(shù)值即可.
【詳解】由題設(shè)，易知，則，所以，
由，可得.
故答案為：
13. 設(shè)為正整數(shù)，展開式中僅有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為__________．
【答案】112
【解析】
【詳解】由展開式中僅有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大得則，令，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為
14. 在平面凸四邊形中，，，且，，將四邊形沿對(duì)角線折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)的位置.若二面角的大小范圍是，則三棱錐的外接球表面積的取值范圍是______.
【答案】
【解析】
【分析】取中點(diǎn)，連接，取的外心，過(guò)點(diǎn)作平面，過(guò)點(diǎn)作平面交于點(diǎn)，進(jìn)而確定球心的位置及二面角的平面角為并確定范圍，利用幾何關(guān)系求球體半徑，即可得球體表面積的范圍.
【詳解】由題意知，和是等邊三角形，
取中點(diǎn)，連接，取的外心，則是的外心，
過(guò)點(diǎn)作平面，則三棱錐外接球球心在上
過(guò)點(diǎn)作平面交于點(diǎn)，則點(diǎn)即為三棱錐的外接球球心，
由，知，為二面角的平面角，則，
設(shè)，則，
又，所以，
因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>所以三棱錐的外接球半徑，
所以三棱錐外接球的表面積.
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)球心的性質(zhì)確定位置，并求出二面角的平面角的范圍為關(guān)鍵.
四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.解答寫在答題卡上的指定區(qū)域內(nèi).
15. 設(shè)直線與.
（1）若，求、之間的距離；
（2）當(dāng)直線與兩坐標(biāo)軸正半軸圍成的三角形的面積最大時(shí)，求的值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由直線平行的判定列方程求參數(shù)，再由平行線的距離公式求距離；
（2）根據(jù)已知可得，再由三角形面積公式有，即可確定面積最大時(shí)的值.
【小問(wèn)1詳解】
由，則，化簡(jiǎn)得，可得或，
當(dāng)時(shí)，不成立，
當(dāng)時(shí)，，，
此時(shí)之間的距離為.
【小問(wèn)2詳解】
直線與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成三角形，，則，
與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形的面積為，
當(dāng)時(shí)，有最大.
16. 已知為原點(diǎn)，直線與圓交于、兩點(diǎn).
（1）若，求的值；
（2）若過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為、，求四邊形面積的最大值.
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】（1）利用垂徑定理來(lái)求直線與圓相交的弦長(zhǎng)，從而可得方程求解的值；
（2）利用勾股定理來(lái)求切線長(zhǎng)，從而可計(jì)算面積，然后可用基本不等式來(lái)求最值即可.
【小問(wèn)1詳解】
由圓可得：
圓心為，半徑，其中，
而圓心到直線的距離，
所以，解得，
即的值為1.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）可知，
由勾股定理可得
四邊形由兩個(gè)全等的直角三角形組成。所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立
所以當(dāng)四邊形有最大面積.
17. 已知拋物線與雙曲線的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3.
（1）求拋物線的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)作一直線交拋物線于兩點(diǎn)，求弦的中點(diǎn)軌跡方程.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由點(diǎn)在雙曲線的漸近線上確定點(diǎn)坐標(biāo)，再由點(diǎn)在拋物線上求參數(shù)，即可得方程；
（2）設(shè)，，中點(diǎn)，，結(jié)合斜率兩點(diǎn)式及點(diǎn)差法得到，整理即可得軌跡，注意驗(yàn)證軸的情況.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以，
雙曲線的漸近線方程為，
因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線的漸近線上，所以，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，
又點(diǎn)在拋物線上，所以，所以，
故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)，，中點(diǎn)，，
若直線的斜率存在，，
由，，則，
所以，即，
整理得，化簡(jiǎn)得，
直線的斜率不存在，軸，弦中點(diǎn)為也符合，
綜上：軌跡方程為.
18. 如圖，在三棱錐中，，，，，、分別為、中點(diǎn).
（1）證明：；
（2）證明：平面與平面的交線平面；
（3）若，二面角的正切值為2，求的長(zhǎng).
【答案】（1）證明見解析
（2）證明見解析 （3）1
【解析】
【分析】（1）利用線線垂直證明線面垂直即可得證；
（2）利用線面平行的判定和性質(zhì)定理來(lái)進(jìn)行推理證明即可；
（3）先把二面角的正切值轉(zhuǎn)化為余弦值，再利用空間向量法來(lái)求解二面角的余弦值，從而得到方程求解邊長(zhǎng)，也可以利用空間關(guān)系來(lái)證明線面垂直，并作圖證明二面角的平面角，再求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)椋?，，平面?br>所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以?br>【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，
所以，因?yàn)槠矫?，平面?br>即平面，又因?yàn)槠矫?，而平面平面?br>所以，而平面，平面，
所以平面；
【小問(wèn)3詳解】
解法一：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：
由（2）知，平面且平面，故平面平面，
平面PAB法向量，
設(shè)，則，，
，則，
設(shè)平面法向量，則，
設(shè)二面角的平面角為，已知，所以，
，
解得：.（設(shè)也同樣可以）
解法二：延長(zhǎng)，過(guò)C作于點(diǎn)，連接，過(guò)P作于點(diǎn)
，
面，，
為所成的二面角
設(shè)，二面角的正切值為2，則得
中， 為等腰直角三角形，
，
在中，，代入得，
解得：，.
19. 如圖所示，在圓錐內(nèi)放入兩個(gè)球，它們都與圓錐的側(cè)面相切（即與圓錐的每條母線相切），且這兩個(gè)球都與平面相切，切點(diǎn)分別為，數(shù)學(xué)家丹德林利用這個(gè)模型證明了平面與圓錐側(cè)面的交線為橢圓，記為，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn).設(shè)直線分別與該圓錐的母線交于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的母線分別與球相切于兩點(diǎn)，已知，.以直線為軸，在平面內(nèi)，以線段的中垂線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)點(diǎn)作斜率不為0的直線，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，分別為橢圓左右頂點(diǎn)，記的斜率為，的斜率為.求出；
（3）已知為橢圓的右頂點(diǎn)，直線與橢圓相交于兩點(diǎn)（，兩點(diǎn)異于點(diǎn)），且，求的面積最大值.
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題設(shè)有、求橢圓參數(shù)，即可得橢圓方程；
（2）設(shè)，，的方程為，聯(lián)立橢圓及韋達(dá)定理可得，再由斜率的兩點(diǎn)式有，整理化簡(jiǎn)即可得結(jié)果；
（3）設(shè)直線為，聯(lián)立橢圓方程應(yīng)用韋達(dá)定理及向量垂直的坐標(biāo)表示可得關(guān)于參數(shù)的方程，即可求參數(shù)，進(jìn)而確定直線過(guò)定點(diǎn)，最后三角形面積公式得關(guān)于的表達(dá)式，即可求最大值.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
由切線長(zhǎng)定理知，，
則，解得，
由，解得，，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)，，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)且斜率不為0，
可設(shè)的方程為，代入橢圓方程，得，
其判別式，所以，.
兩式相除得，即.
因?yàn)榉謩e為橢圓的左、右頂點(diǎn)，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
所以，.
從而.
【小問(wèn)3詳解】
由題意知，直線的斜率不為0，則不妨設(shè)直線的方程為.
聯(lián)立得，消去得，
，化簡(jiǎn)整理，得.
設(shè)，，則，.
由，則.
，，，得，
將，代入上式，得，
得，解得或（舍去），
直線的方程為，則直線恒過(guò)點(diǎn)，
.
設(shè)，則，，
易知在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，取得最大值為.

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