（試題卷）
注意事項(xiàng)：
1．本試卷分試題卷和答題卡．試題卷共 6 頁，有四道大題，共 19 道小題，滿分 150 分．考
試時(shí)間 120 分鐘．
2．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)寫在答題卡上，并將準(zhǔn)考證條形碼粘貼在答題
卡的指定位置．
3．考生作答時(shí)，選擇題和非選擇題均須作答在答題卡上，在本試題卷上答題無效．考生在答
題卡上按答題卡中注意事項(xiàng)的要求答題．
4．考試結(jié)束后，將答題卡小號(hào)在上，大號(hào)在下，裝袋密封上交．
一、單選題（本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)
符合題目要求）
1. 已知集合 ，則 （· ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先得到 ，根據(jù)并集概念求出答案.
【詳解】 ，又 ，故 .
故選：B
2. 已知實(shí)數(shù) 滿足 ， ，則 的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用不等式性質(zhì)得到 ，得到答案.
【詳解】 ，又 ，
故 ，即 .
第 1頁/共 18頁
故選：D
3. 已知 ，則 是 （ ）
A. 必要不充分條件 B. 充分不必要條件
C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)推出關(guān)系得到答案.
【詳解】 ，但 ，
故 是 的充分不必要條件.
故選：B
4. 已知 ，則 的大小關(guān)系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】變形得到 ，由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性及中間值比較出大小.
【詳解】 ，
又 ， 在 R 上單調(diào)遞增，故 ，即 ，
所以 .
故選：A
5. 函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合得到遞增區(qū)間.
第 2頁/共 18頁
【詳解】 的圖象如下：
顯然 的單調(diào)遞增區(qū)間為 .
故選：D
6. 已知 ，則 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式和二倍角公式得到答案.
【詳解】
故選：A
7. 已知函數(shù) ，方程 恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則 可能的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合得到 ，得到答案.
【詳解】畫出 的圖象，
第 3頁/共 18頁
顯然當(dāng) 時(shí)，方程 恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，C 正確，ABD 錯(cuò)誤.
故選：C
8. 已知函數(shù) 為 上的奇函數(shù)，且 ，當(dāng) 時(shí)， ，則
的值為（ ）
A. B. 0 C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】首先利用奇函數(shù)的性質(zhì)求出 的值，再根據(jù)已知條件推出函數(shù)的周期，然后將所求的
通過周期轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上進(jìn)行計(jì)算.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù) 是 上的奇函數(shù)，那么 .
已知當(dāng) 時(shí)， ，所以 ，解得 .
此時(shí) .
已知 ，則 .
用 代替 可得： .
所以 ，這表明函數(shù) 的周期 .
因?yàn)?，所以 .
由 可得 .
又因?yàn)?是奇函數(shù)，所以 .
第 4頁/共 18頁
當(dāng) 時(shí)， ，則 ，所以 .
因?yàn)?，所以 .
那么 .
所以 的值為 .
故選：C.
二、多項(xiàng)選擇題（本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符
合題目要求，全部選對(duì)的得 6 分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得 0 分．）
9. 下列命題為真命題的是（ ）
A. 若 ，則 B. 若 ，則
C. 若 ，則 D. 若 ，則
【答案】BC
【解析】
【分析】利用不等式的性質(zhì)，結(jié)合作差比較大小的方法，逐項(xiàng)判斷即得.
【詳解】對(duì)于 A，取 ， ，A 錯(cuò)誤；
對(duì)于 B，若 ，則 ， ，B 正確；
對(duì)于 C，若 ， ，則 ，C 正確；
對(duì)于 D，若 ，則 ，則 ，D 錯(cuò)誤.
故選：BC
10. 下列說法正確的是（ ）
A. 命題“ ”的否定形式是“ ”
B. 函數(shù) （ 且 ）的圖象過定點(diǎn)
C. 方程 的根所在區(qū)間為
第 5頁/共 18頁
D. 若命題“ 恒成立”為假命題，則“ 或 ”
【答案】BCD
【解析】
【分析】A 選項(xiàng)，全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，把任意改為存在，把結(jié)論否定，A 錯(cuò)誤；B 選項(xiàng)，
由對(duì)數(shù)函數(shù)的特征得到圖象過定點(diǎn) ，B 正確；C 選項(xiàng)，由零點(diǎn)存在性定理和函數(shù)單調(diào)性得到 C 正確；
D 選項(xiàng)，先得到 成立為真命題，由根的判別式得到不等式，求出答案.
【詳解】A 選項(xiàng)，命題“ ”的否定形式是“ ”，A 錯(cuò)誤；
B 選項(xiàng)，令 ，故 ，此時(shí) ，
（ 且 ）的圖象過定點(diǎn) ，B 正確；
C 選項(xiàng)，令 ，顯然其在 R 上單調(diào)遞減，
又 ， ，
故 的零點(diǎn)在 內(nèi)，
故方程 的根所在區(qū)間為 ，C 正確；
D 選項(xiàng)，命題“ 恒成立”為假命題，
則命題“ 成立”為真命題，
故 ，解得 或 ，D 正確.
故選：BCD
11. 函數(shù) 的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（
）
第 6頁/共 18頁
A.
B.
C. 若 上恰好有三個(gè)零點(diǎn)，則
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】A 選項(xiàng)，由圖象可得最小正周期 ，從而求出 ；B 選項(xiàng)， ，代入 ，結(jié)
合 得到 ；C 選項(xiàng)，先求出 ，進(jìn)而可得到 ，求
出答案；D 選項(xiàng)，先求出 ，結(jié)合函數(shù)的最小正周期，得到答案.
【詳解】A 選項(xiàng)，設(shè) 的最小正周期為 ，由圖象可知， ，即 ，A 正確；
B 選項(xiàng)，由圖象可知 ，故 ，
將 代入解析式得 ，即 ，
又 ，故 ，解得 ，B 錯(cuò)誤；
C 選項(xiàng)，由 B 知， ，
當(dāng) 時(shí)， ，
在 上恰好有三個(gè)零點(diǎn)，故 ，解得 ，C 正確；
D 選項(xiàng)，由 A 知， 的最小正周期為 6，
第 7頁/共 18頁
其中 ，
， ， ，
故 ，
所以
，D 正確.
故選：ACD
三、填空題（本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分）
12. 已知冪函數(shù) 為偶函數(shù)，則 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)為冪函數(shù)得到方程，求出 或 ，檢驗(yàn)后得到 不合要求，得到答案.
【詳解】根據(jù)冪函數(shù)定義知， ，解得 或 ，
當(dāng) 時(shí)， ，為奇函數(shù)，不合要求，
當(dāng) 時(shí)， ，定義域?yàn)?，
故 ，滿足 為偶函數(shù)，滿足要求.
故答案為：
13. 將函數(shù) 的圖象向左平移 個(gè)單位后，得到 的圖象，則
的最小值為___________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)左加右減得到平移后的解析式，得到方程，求出 ，得到最小值.
第 8頁/共 18頁
【詳解】 的圖象向左平移 個(gè)單位后，得到 ，
從而 ，解得 ，
又 ，故當(dāng) 時(shí)， 取得最小值，最小值為 .
故答案 ：
14. 已知函數(shù) ，且 ，則 的取值范圍為___________．
【答案】
【解析】
【分析】首先構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)，利用其奇偶性和單調(diào)性來解決不等式問題
【詳解】設(shè) .
證明 是奇函數(shù)：
，則 .
根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，可得 .
由于 .
所以 ，即 ，所以 是奇函數(shù).
證明 是增函數(shù)： 在 上單調(diào)遞增, 在 上單調(diào)遞增
則 在 上單調(diào)遞增,又因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增
異減的原則， 在 上單調(diào)遞增.
又 是奇函數(shù)，故 在 上單調(diào)遞增.
已知 ，即 ，也就是 .
因?yàn)?是奇函數(shù)，所以 .
因?yàn)?在 上單調(diào)遞增， ，所以 .
移項(xiàng)可得 ，即 ，解得 .
第 9頁/共 18頁
故答案為： .
四、解答題（本題共 5 小題，共 77 分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
15. 已知集合 ．
（1）若 ，求實(shí)數(shù) 的取值范圍；
（2）若 ，求實(shí)數(shù) 的取值范圍．
【答案】（1） 或 ；
（2） 或
【解析】
【分析】（1）分 和 兩種情況，得到不等式，求出實(shí)數(shù) 的取值范圍；
（2）分 和 ，得到不等式，求出答案.
【小問 1 詳解】
，
當(dāng) 時(shí)， ，解得 ，
當(dāng) 時(shí)， ，解得 ，
綜上，實(shí)數(shù) 的取值范圍為 或 ；
【小問 2 詳解】
，當(dāng) 時(shí)， ，解得 ，
當(dāng) 時(shí)， 或 ，
解得 或 ，
故實(shí)數(shù) 的取值范圍為 或 .
16. 已知 ．
第 10頁/共 18頁
（1）求 的最小正周期與單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）已知 ，角 的終邊與單位圓交于點(diǎn) ，求 ．
【答案】（1）最小正周期為 ，單調(diào)遞增區(qū)間為 ；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等變換得到 ，從而利用 求出最小正周期，并整體法
求出單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）根據(jù) 及 求出 ，結(jié)合三角函數(shù)定義得到 ，由余
弦二倍角公式求出答案.
【小問 1 詳解】
，
故 的最小正周期為 ，
令 ， ，解得 ， ，
故單調(diào)遞增區(qū)間為
【小問 2 詳解】
，即 ，
因?yàn)?，所以 ，
故 ，解得 ，
第 11頁/共 18頁
角 的終邊與單位圓交于點(diǎn) ，故 ，
所以
.
17. 某地開展鄉(xiāng)村振興計(jì)劃，鼓勵(lì)村民返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè).老李響應(yīng)政府號(hào)召，打算回家鄉(xiāng)種植某種水果．經(jīng)調(diào)研發(fā)
現(xiàn)該果樹的單株產(chǎn)量 （單位：千克）與施肥量 （單位：千克）滿足函數(shù)關(guān)系：
且單株果樹的肥料成本投入為 元，其他成本（如樹苗費(fèi)、人工費(fèi)等）
元．已知單株施肥量為 7 千克時(shí)，產(chǎn)量為 千克，這種水果的市場售價(jià)為 20 元/千克，且都能
賣完，記該果樹的單株利潤為 （單位：元）．
（1）求 的值及函數(shù) 的解析式；
（2）當(dāng)單株施肥量為多少千克時(shí)，該果樹的單株利潤最大？最大利潤是多少？
【答案】（1） ， ；
（2）故當(dāng)單株施肥量為 4 千克時(shí)，該果樹的單株利潤最大，最大利潤是 400 元.
【解析】
【分析】（1）由題意得到 ，解得 ，并分 和 兩種情況，得到
的解析式；
（2）分 和 兩種情況，由函數(shù)單調(diào)性和基本不等式求出最大值，比較后得到結(jié)論.
【小問 1 詳解】
已知單株施肥量為 7 千克時(shí)，產(chǎn)量為 千克，
故 ，解得 ，
，
第 12頁/共 18頁
當(dāng) 時(shí)， ，
當(dāng) 時(shí)， ，
故 ；
【小問 2 詳解】
當(dāng) 時(shí)， ，
對(duì)稱軸為 ，開口向上，故當(dāng) 時(shí)， 取得最大值，
最大值為 ，
當(dāng) 時(shí)，
，
由基本不等式得 ，
故 ，
當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)，等號(hào)成立，
由于 ，故當(dāng)單株施肥量為 4 千克時(shí)，該果樹的單株利潤最大，
最大利潤是 400 元.
18. 已知 為偶函數(shù)．
（1）求 ；
（2）設(shè) ，對(duì) ，都有 成立，求 的取值范
圍．
【答案】（1）
（2）
第 13頁/共 18頁
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，得到 ，化簡得到 ，求出 ；
（2）只需 在 上的最大值小于等于 在 上的最小值，求出 的最小
值為 ，并分 ， 和 三種情況，得到 的最大值，得到不等式，求出答案.
【小問 1 詳解】
因?yàn)?為偶函數(shù)，
所以 ，即 ，
即 ，
其中 ，
故 ，解得 ；
【小問 2 詳解】
對(duì) ，都有 成立，
只需 在 上 最大值小于等于 在 上的最小值，
其中 ，
由復(fù)合函數(shù)性質(zhì)得 在 上單調(diào)遞增，
故最小值為 ，
開口向下，對(duì)稱軸 ，
當(dāng) 時(shí)， 在 上單調(diào)遞減，最大值為 ，
故 ，解得 ，
結(jié)合 與 可得 ；
當(dāng) 時(shí)， 在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，
故最大值為 ，
故 ，解得 ，
第 14頁/共 18頁
結(jié)合 與 可得 ，
當(dāng) 時(shí)， 在 上單調(diào)遞增，
故最大值為 ，
故 ，解得 ，
結(jié)合 和 ，此時(shí)無解，
綜上， 的取值范圍為 .
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問需先轉(zhuǎn)化為 在 上的最大值小于等于 在 上的
最小值，再進(jìn)一步進(jìn)行求解
19. 若函數(shù) 對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)值 ，在其定義域內(nèi)都存在唯一的 ，使得 成
立，則稱該函數(shù)是“依賴函數(shù)”．
（1）判斷 是否是“依賴函數(shù)”，并說明理由；
（2）若 在定義域 上是“依賴函數(shù)”，求 的值；
（3）已知函數(shù)中 在定義域 上是“依賴函數(shù)”，記
，若 的解集中恰有兩個(gè)整數(shù)，求實(shí)數(shù) 的取值范圍．
【答案】（1） 不是“依賴函數(shù)”，理由見解析；
（2）
（3） 或
【解析】
【分析】（1）舉出反例，得到 不是“依賴函數(shù)”；
（2）整體法得到 ， ， 在定義域 上單調(diào)遞增，且
第 15頁/共 18頁
，從而得到 ，求出 ；
（3）當(dāng) 時(shí)， ，舉出反例得到 在定義域 上不是“依賴函數(shù)”，當(dāng)
時(shí)， 在 上單調(diào)遞增，要想 在定義域 上是“依賴函數(shù)”，需滿足
，解得 ，再分 ， 和 三種情況，由 的解集中恰有兩個(gè)整數(shù)，
得到 的取值范圍.
【小問 1 詳解】
不是“依賴函數(shù)”，理由如下：
當(dāng) 時(shí)， ，則 ，
故 ，解得 ，
所以 不是“依賴函數(shù)”；
【小問 2 詳解】
時(shí)， ，顯然 ，
解得 ，
在定義域 上單調(diào)遞增，且 ，
由題意得，當(dāng) 時(shí)， ，
要想滿足存在唯一的 使得 ，
則 ， ，解得 ；
【小問 3 詳解】
當(dāng) 時(shí)， ，
第 16頁/共 18頁
故對(duì)于 ，不存在 ，使得 ，
在定義域 上不是“依賴函數(shù)”，
當(dāng) 時(shí)， 在 上單調(diào)遞增，
要想 在定義域 上是“依賴函數(shù)”，
需滿足 ，即 ，
解得 （舍去）或 0，
故 ，
若 ，則 的解集為 ，
的解集中恰有兩個(gè)整數(shù)，故 ，
若 ，此時(shí) 的解集為 ，不合要求，
若 ，則 的解集為 ，
的解集中恰有兩個(gè)整數(shù)，故 ，
綜上，實(shí)數(shù) 的取值范圍是 或 .
【點(diǎn)睛】新定義問題的方法和技巧：
（1）可通過舉例子的方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡單的應(yīng)用，從而加深對(duì)信息的理解；
（2）可用自己的語言轉(zhuǎn)述新信息所表達(dá)的內(nèi)容，如果能清晰描述，那么說明對(duì)此信息理解的較為透徹；
（3）發(fā)現(xiàn)新信息與所學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，并從描述中體會(huì)信息的本質(zhì)特征與規(guī)律；
（4）如果新信息是課本知識(shí)的推廣，則要關(guān)注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用
書上的概念.
第 17頁/共 18頁
第 18頁/共 18頁

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