本試卷共 4 頁(yè).全卷滿分 150 分，考試時(shí)間 120 分鐘.
注意事項(xiàng)：
1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在本試卷和答題卡上.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如有改動(dòng)，用
橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)
效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、單項(xiàng)選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一
項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 直線 的傾斜角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根據(jù)直線得出斜率，再結(jié)合傾斜角及斜率的關(guān)系求出傾斜角即可.
【詳解】由 可得該直線的斜率 ，故該直線的傾斜角為 ，
故選:B.
2. 已知集合 ， ，則 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先化簡(jiǎn)集合 A，再根據(jù)交集運(yùn)算求解.
【詳解】由題意可知 ，
因 ，所以 .
故選：C.
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3. 首項(xiàng)為 1 的數(shù)列 滿足 ，則 （ ）
A. 2 B. 5 C. 21 D. 26
【答案】D
【解析】
【分析】利用遞推關(guān)系式逐個(gè)求解可得答案.
【詳解】由題意可得 ， ， ，
故選：D.
4. 已知平面 的法向量 ， ，則點(diǎn) P 到平面 的距離為（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量法計(jì)算點(diǎn)到平面距離公式計(jì)算即可.
【詳解】由題意可得點(diǎn) P 到平面 的距離 ，
故選：B
5. 函數(shù) 的極值為（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)極值的定義求解即可.
【詳解】由題知 的定義域?yàn)?，且 .
當(dāng) 時(shí)， ；
當(dāng) 時(shí)， ，
所以 在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增，
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故 的極小值為 ，無(wú)極大值，
故選：A
6. 過(guò)點(diǎn) 作圓 的切線，則切線的斜率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)出直線方程，借助切線的性質(zhì)計(jì)算即可得.
【詳解】由 ，可知該圓是以 為圓心，3 為半徑的圓，
當(dāng)過(guò)點(diǎn) 的直線斜率不存在，即為 時(shí)，與圓顯然不相切；
設(shè)過(guò)點(diǎn) 的圓的切線為 ，即 ，
故圓心到切線的距離 ，解得 ，
故選：C
7. 設(shè) 為橢圓 的左焦點(diǎn)，A，B 是 C 上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若 周長(zhǎng)的取值范
圍為 ，則 C 的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合橢圓的定義求出 周長(zhǎng)范圍，再與給定范圍比對(duì)即可得解.
【詳解】令橢圓 右焦點(diǎn)為 ， ，
周長(zhǎng)
，當(dāng)且僅當(dāng) 共線時(shí)取等號(hào)，則 ，即 ，
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又 ，因此 ，
則 ，解得 ，所以 C 的離心率為 .
故選：C
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：涉及有橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，取另一焦點(diǎn)，結(jié)合橢圓的定義求解是關(guān)鍵.
8. 記數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和為 ，已知 ， ， ，則 （ ）
A. 17 B. 19 C. 17 或 18 D. 18 或 19
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)給定的遞推公式探討數(shù)列特性，進(jìn)而求出 ，再按奇偶求解得 值.
【詳解】由 ，得 ，兩式相除得 ，
由 ，得 ，因此當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)， ；當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)， ，
則
，于是 ，
當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)，由 ，解得 ；當(dāng) 為偶數(shù)時(shí)，由 ，解得 ，
所以 的值為 18 或 19.
故選：D
二、多項(xiàng)選擇題：本大題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符
合題目要求，全部選對(duì)得 6 分，部分選對(duì)得部分分，選錯(cuò)得 0 分.
9. 一個(gè)不透明的盒子中裝有大小和質(zhì)地都相同，編號(hào)分別為 1，2，3，4 的 4 個(gè)小球，從中依次不放回摸出
兩個(gè)球.設(shè)事件 “第一次摸出球的編號(hào)為奇數(shù)”，事件 “摸出的兩個(gè)球的編號(hào)之和為 5”，事件 “摸
出的兩個(gè)球中有編號(hào)為 2 的球”，則（ ）
A. B. 事件 A 與事件 B 為獨(dú)立事件
C. D. 事件 B 與事件 C 為互斥事件
【答案】AB
【解析】
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【分析】根據(jù)古典概型計(jì)算判斷 A，獨(dú)立事件乘法公式計(jì)算判斷 B，根據(jù)概率性質(zhì)計(jì)算判斷 C，應(yīng)用互斥事
件的定義判斷 D.
【詳解】對(duì)于 A：由古典概率的計(jì)算易得 ，故 A 正確；
對(duì)于 B：因?yàn)?， ， ，
所以 ，即事件 A 與事件 B 為獨(dú)立事件，故 B 正確；
對(duì)于 C：因?yàn)?，故 C 錯(cuò)誤；
對(duì)于 D：當(dāng)摸出的兩個(gè)球編號(hào)為 2，3 時(shí)，事件 B 與事件 C 同時(shí)發(fā)生，故 D 錯(cuò)誤，
故選:AB
10. 設(shè) ， 分別為雙曲線 C： 的左、右焦點(diǎn)， 為 上一點(diǎn)，則（ ）
A. 的焦距為 4
B. 當(dāng) 時(shí)， 為直角三角形
C. 當(dāng) 時(shí)， 為直角三角形
D. 當(dāng) 時(shí)， 為直角三角形
【答案】BCD
【解析】
【分析】先求 ，再求焦距判斷 A，代入求坐標(biāo)結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)及向量運(yùn)算判斷 B，C，應(yīng)用雙曲線
定義求邊長(zhǎng)判斷 D.
【詳解】因?yàn)?，所以 C 的焦距為 ，故 A 錯(cuò)誤；
由 可得 ，從而 或 ，
又因?yàn)?， ，顯然此時(shí) 為直角三角形，故 B 正確；
由 可得 ，
取 ， ， ，
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因?yàn)?，所以 ，
因此 為直角三角形，故 C 正確；
由 ， ，得 ， ，
又因?yàn)?，所以 ，
因此 為直角三角形，故 D 正確，
故選：BCD.
11. 已知函數(shù) ，則（ ）
A. 在區(qū)間 上單調(diào)遞增
B. 點(diǎn) 是曲線 的對(duì)稱(chēng)中心
C. 曲線 與 x 軸相切
D. 當(dāng) 在區(qū)間 恒成立時(shí)， 的最大值為
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可以判斷 A，由 可判斷 B，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及
可以判斷 C，利用不等式解集可以判斷 D.
【詳解】由題意可得 ，
因?yàn)楹瘮?shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞增，
函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得 在區(qū)間 上單調(diào)遞減，故 A
錯(cuò)誤；
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因?yàn)?，所以 ，
即 的圖象關(guān)于點(diǎn) 中心對(duì)稱(chēng)，故 B 正確；
因?yàn)?，所以 ，
又 ，所以 的圖象與 軸相切，故 C 正確；
由 ，得 ，
所以 即
所以 ，所以 ，故 D 正確，
故選：BCD
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.
12. 已知正項(xiàng)等比數(shù)列 滿足 ，則其公比 _____.
【答案】3
【解析】
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的基本量關(guān)系和公式求解即可.
【詳解】依題意可得 ， ，代入原式得 .
即 ，解得 或 ，當(dāng) 時(shí)，與題意矛盾舍去，故 .
故答案為：3.
13. 已知函數(shù) 是偶函數(shù)，則 _______.
【答案】6
【解析】
【分析】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，對(duì)函數(shù)變形，由奇函數(shù) 奇函數(shù)=偶函數(shù)，即可求得 a 的值.
【詳解】由題意可得 ，
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因?yàn)?是奇函數(shù)，所以 為奇函數(shù)，
因此 ，即 ，經(jīng)檢驗(yàn)適合題意.
故答案為：6.
14. 已知拋物線 ： ， ， ， ，過(guò)點(diǎn) M 的直線 與 交于 A，B 兩點(diǎn)，其
中點(diǎn) A 在第一象限，若四邊形 為梯形，則其面積為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】
【分析】設(shè) 為 ，直曲聯(lián)立，借助韋達(dá)定理，得到 .求出 坐標(biāo)，再算面
積即可.
【詳解】設(shè) 為 ， ， ，
與 C 聯(lián)立可得 ，即 ，
則 ，
整理得 ，
故 .
若四邊形 為梯形，由對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)上底為 ，且 ，
由梯形上下底平行得， ，故 ，
即點(diǎn) 在線段 的中垂線上，故 的橫坐標(biāo)為 1，
解得 ，故 ，
梯形 的面積 .
故答案 ： .
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四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 已知等差數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ， ， .
（1）求 的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè) ，求數(shù)列 的前 項(xiàng)和 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）運(yùn)用等差數(shù)列性質(zhì)公式計(jì)算即可.
（2）運(yùn)用分組求和，結(jié)合等差等比數(shù)列求和公式計(jì)算即可.
【小問(wèn) 1 詳解】
設(shè) 的公差為 d，因?yàn)?，所以 ，
又 ，則 ，
故 ，
所以 .
【小問(wèn) 2 詳解】
由（1）可得：
16. 的內(nèi)角 A，B，C 所對(duì)的邊分別為 a，b，c，已知 ， ， .
（1）求 c；
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（2）求 和 的值.
【答案】（1）
（2） ，
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理求解；（2）利用同角三角函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合二倍角的正余弦公式以
及兩角和的正弦公式求解.
【小問(wèn) 1 詳解】
因?yàn)?，由正弦定理可得 ，
由余弦定理可得 ，
故 .
【小問(wèn) 2 詳解】
因?yàn)?且 為 內(nèi)角，故 ，
故 ，
故 ，
故 .
17. 如圖，四棱錐 的底面 為平行四邊形，P 在底面的射影在四邊形 內(nèi)部，平面
平面 ，平面 平面 .
（1）證明： 平面 ；
（2）若 ， ，求平面 與平面 夾角的余弦值.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
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（2）
【解析】
【分析】（1）運(yùn)用面面垂直的性質(zhì)，結(jié)合平行四邊形性質(zhì)和線面平行判定可解；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)和面的法向量，結(jié)合向量夾角公式計(jì)算即可.
【小問(wèn) 1 詳解】
如圖，設(shè)平面 平面 ，
因?yàn)槠矫?平面 ，平面 平面 ，所以 平面 ，
因?yàn)榈酌?為平行四邊形，所以 ，
又因?yàn)?平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
所以 ，故 平面 .
【小問(wèn) 2 詳解】
以 為坐標(biāo)原點(diǎn)， ， 方向分別為 x 軸，y 軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則 ， ， ， ， ，
可得 ， ， ，
設(shè)平面 ，平面 的法向量分別為 ， ，
故 ，不妨令 ，則 ，
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，不妨令 ，則 ，
設(shè)平面 與平面 夾角為 ，則 ，
故平面 與平面 夾角的余弦值為 .
18. 在平面直角坐標(biāo)系 中，A，B 分別為橢圓 C： 的左，右頂點(diǎn)，P，Q 是 C 上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
，直線 與 y 軸交于點(diǎn) .
（1）當(dāng) P 是 C 的上頂點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn) Q 的坐標(biāo)；
（2）求 t 的最小值.
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）通過(guò)已知點(diǎn)坐標(biāo)求直線斜率，再根據(jù)垂直關(guān)系得到另一直線斜率從而確定直線方程，最后聯(lián)
立直線方程與橢圓方程求解交點(diǎn)坐標(biāo).（2）先求出 、 點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)三點(diǎn)共線得出 關(guān)于 的表達(dá)式，
最后結(jié)合基本不等式求 的最小值.
【小問(wèn) 1 詳解】
由題 ，當(dāng) P 是 C 的上頂點(diǎn)時(shí)， ，
則直線 斜率 ，
因?yàn)?，所以直線 的斜率 ，則直線 ： ，
聯(lián)立 ，可得 ，
所以 所以 ，所以 ，
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即點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為 .
【小問(wèn) 2 詳解】
由題設(shè)直線 （斜率存在且不為 0）： ，
則直線 ： ，
聯(lián)立 ，可得 ，所以 ，
所以 ，即 ，
聯(lián)立 ，可得 ，所以 ，
所以 ，即 ，
因?yàn)?， ， 共線，所以 ，
整理得 ，
因?yàn)?，所以 ，所以 ，
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立，所以 的最小值 .
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19. 已知函數(shù) .
（1）若 ，求 的值；
（2）已知數(shù)列 滿足 ，且 .
（i）證明：數(shù)列 為等比數(shù)列，并求 的通項(xiàng)公式；
（ii）設(shè) 的前 項(xiàng)積為 ， 為整數(shù)，若對(duì)任意的正整數(shù) 都有 ，求 的最小值.
參考數(shù)據(jù)： ， ， .
【答案】（1）
（2）（i）證明見(jiàn)解析， ；（ii）2
【解析】
【分析】（1）依題意可得 ，當(dāng) 時(shí)可知 單調(diào)遞增，不符合題意，當(dāng) 時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)
說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出參數(shù)的值；
（2）（i）將 兩邊取倒數(shù)，即可得到 ，結(jié)合等比數(shù)列的定義及通
項(xiàng)公式計(jì)算可得；（ii）首先可得 ，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 ，由（1）可得 ，當(dāng)且僅當(dāng)
等號(hào)成立，即可得到 ，再利用放縮法及等比數(shù)列求和公式計(jì)算可得.
小問(wèn) 1 詳解】
函數(shù) 的定義域?yàn)?，
由題意可得 .
若 ，則 單調(diào)遞增，當(dāng) 時(shí)， ，不符合題意；
若 ，則 ，令 ，解得 ，
故當(dāng) 時(shí)， ， 單調(diào)遞減，
當(dāng) 時(shí)， ， 單調(diào)遞增，
此時(shí) 為 最小值，
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若 ，則有 ，不滿足題意，
若 ，則 ，故 .
【小問(wèn) 2 詳解】
（i）因?yàn)?，
所以 ，即 ，
又 ，故 是以首項(xiàng)為 ，公比為 的等比數(shù)列，
故 ，得 ，
經(jīng)檢驗(yàn) 時(shí)同樣成立，故 .
（ii）由 ，且 ，可得 ，
則 即 ，
而 ，
又 ，
由（1）可得 ，則 ，當(dāng)且僅當(dāng) 等號(hào)成立，
故 ，
故
，
故 ，所以 ，則 ，故 最小值為 .
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問(wèn)關(guān)鍵是由（1）可得 ，當(dāng)且僅當(dāng) 等號(hào)成立，從而得到
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，再就是利用放縮法得到 .
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