兩條直線被第三條直線所截
同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角
1. 兩直線相交，形成兩對對頂角和四對鄰補(bǔ)角，其中對頂角相等，鄰補(bǔ)角互補(bǔ) .2. 兩直線相交，當(dāng)有一個(gè)角是直角時(shí)，兩直線互相垂直，其中一條直線叫作另一條直線的垂線 . 在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直 .3. 在同一平面內(nèi)，兩條不相交的直線互相平行 . 過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行 . 平行于同一直線的兩條直線平行 .
4. 平行線的判定方法： 同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行 .5. 平行線的性質(zhì)： 兩直線平行，同位角相等、內(nèi)錯角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ) .6. 命題：可以判斷為正確（或真）或錯誤（或假）的陳述語句，叫作命題，由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成 . 被判斷為正確（或真）的命題叫作真命題；被判斷為錯誤（或假）的命題叫作假命題 .
7. 在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形按某一方向移動一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動叫作平移 . 平移由平移的方向和平移的距離決定 . 平移前后的兩個(gè)圖形，對應(yīng)邊平行（或在同一條直線上）且相等，對應(yīng)角相等 .
鏈接中考 >>在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線的位置關(guān)系有相交和平行兩種，其中垂直是兩直線相交的一種特殊情況，垂直經(jīng)常與鄰補(bǔ)角和對頂角、平行線等知識綜合考查，題型以填空題和選擇題為主 .
[期中·周口川匯區(qū)]如圖 7-1，直線AC 和直線 BD 相交于點(diǎn)M， ME 平 分 ∠ BMC，若∠ 1+ ∠ 2=100°，則∠ 3的度數(shù)為______ ° .
鏈接中考 >>平行線的判定是根據(jù)角相等或互補(bǔ)關(guān)系得出平行關(guān)系，而平行線的性質(zhì)則是根據(jù)直線的平行關(guān)系得出角相等或互補(bǔ)關(guān)系 . 綜合運(yùn)用平行線的性質(zhì)與判定可以解決很多問題，所以是中考命題的熱點(diǎn) . 常見的考查形式有選擇題、填空題及解答題 .
[中考·瀘州]把一塊含 30°角的直角三角尺按如圖 7-2 方式放置于兩條平行線間，若∠ 1=45°，則∠ 2=（　?。〢.10° B.15° C.20° D.30°
解題秘方：三角尺與平行線的綜合是中考?？碱}型，利用三角尺中特殊角的度數(shù)與平行線的性質(zhì)不難求解 .
解： 如圖 7-2 所示 .∵ AB ∥ CD， ∴∠ BAD= ∠ 1=45° .∵∠ 2+ ∠ DAE= ∠ BAD， ∠ DAE=30° ，∴∠ 2=15° .
[期末· 南京浦口區(qū)]如圖 7-3，在三角 形 ABC 中，點(diǎn) D， E 分 別 在 AB， BC 上，且DE ∥ AC，∠ 1= ∠ 2.（1）求證： AF ∥ BC.（2）若 AC 平分∠ BAF，∠ B=36°，求∠ 1 的度數(shù) .
證明： ∵ DE ∥ AC， ∴∠ 1= ∠ C.又∵∠ 1= ∠ 2， ∴∠ C= ∠ 2.∴ AF ∥ BC.
（1）求證： AF ∥ BC.
解： ∵ AF ∥ BC， ∠ B=36° ，∴∠ BAF=180° -36° =144° .又∵ AC 平分∠ BAF，∴∠ BAC= ∠ 2=72° .又∵∠ 1= ∠ 2， ∴∠ 1=72° .
（2）若 AC 平分∠ BAF，∠ B=36°，求∠ 1 的度數(shù) .
鏈接中考 >>定義、命題和定理主要是語言表達(dá)的描述，多考查命題的真假，題型以選擇題為主，在中考中較為少見 .
[期中·天津紅橋區(qū)]下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（ ）①過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；②在同一平面內(nèi)，過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；③圖形平移的方向一定是水平的；④內(nèi)錯角相等 .A.4 B.3 C.2 D.1
解題秘方：依次判斷，正確的即為真命題.
解：過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，故①是假命題；②是真命題；圖形平移的方向有很多，不一定是水平的，故③是假命題；兩直線平行，內(nèi)錯角才相等，故④是假命題 .
鏈接中考 >>平移是一種圖形變換的方式，應(yīng)熟練掌握平移的條件，理解平移的特征：平移前后圖形的大小和形狀不發(fā)生變化 . 平移也是近幾年中考的熱點(diǎn)，題型多以選擇題、填空題或綜合題中的一個(gè)小題的形式出現(xiàn) . 主要考查是否能判斷出平移的基本圖形、平移后形成的圖形，能夠作出平移后的圖形，利用平移的性質(zhì)計(jì)算角度、面積或長度等 .
[期中·北京西城區(qū)]如圖 7-4，直角三角形 ABC 的周長為 2 025，在其內(nèi)部有 5 個(gè)小直角三角形，且這 5 個(gè)小直角三角形都有一條邊與 BC 平行或在 BC 上，則這 5 個(gè)小直角三角形周長的和為__________ .
解題秘方：將這 5 個(gè)小直角三角形的直角 邊 分 別 平 移 后，它 們 的 和 等 于 AC+BC，則小直角三角形的周長和等于直角三角形ABC 的周長，據(jù)此即可求解 .
專題解讀>>當(dāng)被研究對象包含多種可能情況，導(dǎo)致我們不能對它一概而論時(shí)，必須對出現(xiàn)的所有情況進(jìn)行分類討論，得出各種情況下相應(yīng)的結(jié)論，這種解決問題的思想方法，我們稱為分類討論思想 .
[模擬·南昌]如 圖 7-5，點(diǎn) B， C 在直 線 l 上，直 線 l 外 有 一 點(diǎn) A，連 接 AB， AC，∠ BAC=45°，∠ ACB 是鈍角，將三角形 ABC沿著直線 l 向右平移得到三角形 A1B1C1，連接AB1，在平移過程中，當(dāng)∠ AB1A1=2 ∠ CAB1時(shí)，∠ CAB1的度數(shù)是（　?。〢.15° B.30°C.15°或 45° D.30°或 45°
解題秘方：在平移的過程中，點(diǎn) B 1 可能在 線 段 BC 上，也 可 能 在 線 段 BC 的 延 長 線上 . 利用平行線的性質(zhì)，分兩種情況求解 .
∵ AB ∥ A 1B 1， ∴∠ AB 1A 1= ∠ BAB 1.∵∠ AB 1A 1=2 ∠ CAB 1，∴∠ BAB 1=2 ∠ CAB 1.∴∠ CAB 1= ∠ BAC=45° .綜上所述， ∠ CAB1 的度數(shù)為 15° 或 45° .
專題解讀 >>轉(zhuǎn)化思想作為一種思想方法主要是把未知的轉(zhuǎn)化為已知的，把陌生的轉(zhuǎn)化為熟悉的，從而達(dá)到解題的目的 . 轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學(xué)解題技巧 . 在運(yùn)用平行線的性質(zhì)和判定解題時(shí)，可以通過添加輔助線來構(gòu)造平行線，這是轉(zhuǎn)化思想在本章的一個(gè)重要應(yīng)用 .
如圖 7-8，若∠ BCD= ∠ B+ ∠ D，試說明AB 與DE 的位置關(guān)系 .
解題秘方： 通過過拐點(diǎn)作平行線，將角的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為直線的位置關(guān)系 .
解： AB ∥ DE. 理由如下：在 ∠ DCB 的 內(nèi) 部 作 ∠ DCF= ∠ D，如圖 7-8 所 示，則 DE ∥ FC（內(nèi) 錯 角 相 等，兩直線平行） .因 為 ∠ DCB= ∠ B+ ∠ D= ∠ FCB+∠ DCF， ∠ DCF= ∠ D，所以∠ FCB= ∠ B，所 以 FC ∥ BA（內(nèi) 錯 角 相 等，兩 直 線平行），所以 AB ∥ DE（平行于同一條直線的兩條直線互相平行） .
專題解讀>>方程思想就是通過設(shè)未知數(shù)建立方程來求解問題的思想方法 . 比如求角的大小，對要求的角列式計(jì)算很復(fù)雜時(shí)，即可采用列方程來解決 . 本章中，對頂角相等、鄰補(bǔ)角互補(bǔ)、平行線的性質(zhì)都可以為列方程提供等量關(guān)系 .
如 圖 7-9，已 知 FC ∥ AB ∥ DE，∠ α ∶ ∠ D ∶ ∠ B=2∶3∶4，求 ∠ α，∠ D，∠ B 的大小 .
解題秘方： 本題沒有已知角的度數(shù)，故無法做到未知角向已知角轉(zhuǎn)化，根據(jù)已知條件中角的關(guān)系設(shè)出未知數(shù)，結(jié)合平角這一隱含條件列方程求解 .
解： 設(shè)∠α =2x° ，則∠ D=3x° ， ∠ B=4x° .因?yàn)?FC ∥ AB ∥ DE，所以∠ 2+ ∠ B=180° ， ∠ 1+ ∠ D=180° .則 ∠ 2=180 ° - ∠ B=180 ° -4x ° ， ∠ 1=180° - ∠ D=180° -3x° . 由題意知∠ 1+ ∠ 2+ ∠ α =180° ，所 以（180 °-3x °） +（180 °-4x °） +2x ° =180° ，解得 x=36. 所以∠ α =2x° =72° ， ∠ D=3x° =108° ，∠ B=4x° =144° .
題型 1 利用相交線的性質(zhì)求角的度數(shù)1. 如 圖，直 線 AB， CD 相 交 于 點(diǎn) O，作∠ DOE= ∠ BOD， OF 平分∠ AOE.(1) 判斷OF 與OD 的位置關(guān)系并說明理由；
解：設(shè)∠AOC＝x°.∵∠AOC∶∠AOD＝1∶5，∴∠AOD＝5x°.∵∠AOC＋∠AOD＝180°，∴x°＋5x°＝180°，解得x＝30.∴∠DOE＝∠BOD＝∠AOC＝30°.又∵∠DOE＋∠EOF＝90°，∴∠EOF＝90°－∠DOE＝90°－30°＝60°.
(2) 若∠ AOC∶∠ AOD=1∶5，求 ∠ EOF 的 度數(shù)．
題型 2 利用平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)2. [中考·達(dá)州] 跨學(xué)科綜合 當(dāng)光線從空氣射入水中時(shí)，光 線 的 傳 播 方 向 發(fā) 生 了 改 變，這 就 是 光的 折 射 現(xiàn) 象（如 圖 所 示），圖 中 ∠ 1=80 °，∠ 2=40°，則∠ 3 的度數(shù)為（　?。〢.30° B.40° C.50° D.70°
3.[中考·鹽城]小明將一塊直角三角板擺放在直尺上，如圖，若∠ 1=55°，則∠ 2 的度數(shù)為（　?。〢.25° B .35° C.45° D.55°
題型 1 證明兩個(gè)角相等4.[期末·鄭州中原區(qū)]根據(jù)解答過程填空（填理由或數(shù)學(xué)式）：已知：如圖，∠ 1+ ∠ 2=180°，∠ 3= ∠ B. 求證：∠ ACB= ∠ 4.證明：∵∠ 1+ ∠ DFE=180°（ ___________），∠ 1+ ∠ 2=180°（已知），
∴∠ 2= ∠ DFE（______________ ），∴ AB ∥ EF（ ________________________ ），∴∠ 3= ∠ ________.∵∠ 3= ∠ B（已知），∴∠ B= ∠ ________.∴ DE ∥ BC（ ______________________ ）.∴∠ ACB= ∠ 4（ ________________________ ）.
內(nèi)錯角相等，兩直線平行
同位角相等，兩直線平行
兩直線平行，同位角相等
題型 2 證明兩條直線平行5.[期中·江門臺山市]如圖，∠ 1+ ∠ 2=180°，∠ DEF= ∠ A，求證： AC ∥ DE.
證明：∵∠1＋∠2＝180°(已知)，∠1＋∠DFE＝180°(鄰補(bǔ)角的定義)，∴∠2＝∠DFE(同角的補(bǔ)角相等)．∴AB∥EF(內(nèi)錯角相等，兩直線平行)∴∠DEF＋∠ADE＝180°(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ))．∵∠DEF＝∠A(已知)，∴∠A＋∠ADE＝180°(等量代換)，∴AC∥DE(同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行)．
題型 3 證明兩條直線垂直6. 如圖，直線 AB， CD 相交于點(diǎn) O， OA 平分∠ EOC.(1)若 ∠ EOC=72 °，求∠ BOD 的度數(shù)；
(2) 若 ∠ DOE=2 ∠ AOC，判 斷 射 線 OE， OD 的 位置關(guān)系并說明理由 .
解：OE⊥OD.理由如下：∵OA平分∠EOC，∴∠EOC＝2∠AOC.又∵∠DOE＝2∠AOC，∴∠DOE＝∠EOC.又∵∠DOE＋∠EOC＝180°，∴∠DOE＝∠EOC＝90°. ∴OE⊥OD.

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