一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．
1. 已知集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因?yàn)?，?br>所以.
故選：C.
2. 函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由題意可知函數(shù)上單調(diào)遞增，
又，
即，
故函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為.
故選：B.
3. 已知非零向量與共線，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 與共線B. 與不共線
C. 若，則D. 若，則是一個(gè)單位向量
【答案】D
【解析】當(dāng)，，，四點(diǎn)在一條直線上時(shí)，與共線，
否則與可能不共線，所以AB選項(xiàng)錯(cuò)誤；
若，無(wú)法確定向量方向，不能確定向量相等，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
根據(jù)單位向量定義可知若，則是一個(gè)單位向量，D選項(xiàng)正確.
故選：D.
4. 已知，集合，，則是的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】因?yàn)椋?br>由，解得或，
或，
由解得或，
即或，
因?yàn)?，所以?br>所以，
所以是的真子集，
所以是的充分不必要條件.
故選：A.
5. 紙折扇是我國(guó)古代傳統(tǒng)的工藝制品，它是以細(xì)長(zhǎng)的竹片制成眾多的扇骨，然后將扇骨疊起，其下端頭部以釘鉸固定，其余則展開(kāi)為扇形，上裱糊以紙，作扇面，并在扇面上題詩(shī)作畫.如圖所示，已知折扇兩端的扇骨長(zhǎng)均為18cm且?jiàn)A角為，扇面（裱糊以紙的部分）上下的弧長(zhǎng)L與l之比為3:1，則扇面的面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】大扇形半徑為，則小扇形半徑為，，
所以上弧長(zhǎng)，下弧長(zhǎng)為，
所以扇環(huán)也即扇面的面積為.
故選：B.
6. 已知角為的一個(gè)內(nèi)角，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，所以，所以，
又因，且，
所以，所以，
所以，
由二倍角公式有：
.
故選：A.
7. 已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由題設(shè)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
易知在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，滿足題設(shè)，
當(dāng)時(shí)，或，
綜上，.
故選：B.
8. 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，且當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A. B. 0C. 2D.
【答案】B
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，
所以，即，
即函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，
又因?yàn)?，則函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，即，
所以，令，則，
，即，所以，
即，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，
又當(dāng)時(shí)，，則，，
則，，，
則
.
故選：B.
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 已知，下列不等關(guān)系正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，結(jié)合不等式性質(zhì)可知，A正確；
對(duì)于B，由于，故，B正確；
對(duì)于C，，則冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由于，故，D錯(cuò)誤.
故選：AB.
10. 函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（ ）
A.
B. 在的值域?yàn)?br>C. 將的圖像向左平移個(gè)單位后為奇函數(shù)
D. 的單調(diào)遞增區(qū)間為，
【答案】ACD
【解析】對(duì)于A，由圖可知，，，所以，
所以，故，所以，
由得，故A正確；
對(duì)于B，所以，
，所以，所以的值域?yàn)?，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，將的圖像向左平移個(gè)單位后得，
是奇函數(shù)，故C正確；
對(duì)于D，，
由，，解得，，
即，，
所以單調(diào)遞增區(qū)間為，，故D正確.
故選：ACD.
11. 已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)m使得方程有四個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根，，，，則下列敘述中正確的有（ ）
A. B.
C. D. 有最小值
【答案】ABD
【解析】若存在實(shí)數(shù)m使得方程有四個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根，
則函數(shù)與有4個(gè)不同的交點(diǎn)，
在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如圖所示：
當(dāng)或，，又時(shí)，
則由圖象可知函數(shù)與有4個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，可得，故A正確；
且，
當(dāng)時(shí)，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
所以是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
由根與系數(shù)的關(guān)系可得，故B正確；
當(dāng)時(shí)，是方程的兩根，
所以，所以，
所以，
，
所以，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)椋?br>所以
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所認(rèn)有最小值，故D正確.
故選：ABD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知冪函數(shù)是偶函數(shù)，則不等式的解集為_(kāi)_______．
【答案】
【解析】?jī)绾瘮?shù)是偶函數(shù)，
，解得或，
當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)，不符合題意，
當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)，符合題意，
,在內(nèi)單調(diào)遞增，且為偶函數(shù)，
可化為，
兩邊取平方可得：，
整理的，解得，
的解集為.
13. 已知函數(shù)的最小值為，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
【答案】
【解析】若，則，在上是減函數(shù)，不是最小值，不合題意；
若，則時(shí)，是增函數(shù)，
因此時(shí)，，函數(shù)無(wú)最小值；
若，則時(shí)，是減函數(shù)，，
時(shí)，，因此在時(shí)是增函數(shù)，
由得，所以，
當(dāng)時(shí)，，的最小值是，不是，不合題意，
綜上，的取值范圍是．
14. 已知函數(shù)在時(shí)取得最大值．且關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，當(dāng)取得最小值時(shí)，的值為_(kāi)_______．
【答案】
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在時(shí)取得最大值，且關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，
所以，兩式作差得，
所以，
因?yàn)椋?，得，?br>當(dāng)時(shí)，，
將代入，得，
不滿足，不合題意；
當(dāng)時(shí)，，
將代入，得，
當(dāng)時(shí)，，滿足，
當(dāng)時(shí)，，
所以的最小值為，此時(shí)，
所以.
四、解答題：本題共5小題，第15小題13分，第16，17小題15分，第18，19小題17分，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.
15. 計(jì)算下列各式的結(jié)果：
（1）；
（2）已知，求的值．
解：（1）
.
（2）由誘導(dǎo)公式可知，
即，
所以.
16. 已知命題，，命題，．
（1）若命題p為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若命題p，q有且僅有一個(gè)為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
解：（1）因?yàn)椋?，可得在有解，所以?br>令，由對(duì)勾函數(shù)可知函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，，所以，
所以命題p為真命題時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍為.
（2）若，，則，解得．
所以q為真命題時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍為；
當(dāng)命題p為真命題，q為假命題時(shí)，m應(yīng)滿足，所以，
當(dāng)命題p為假命題，q為真命題時(shí)，m應(yīng)滿足，所以，
綜上所述：命題p，q有且僅有一個(gè)為真命題，實(shí)數(shù)m的取值范圍為．
17. “綠色出行，低碳環(huán)?！币殉蔀樾碌臅r(shí)尚，近幾年，國(guó)家相繼出臺(tái)了一系列的環(huán)保政策，在汽車行業(yè)提出了重點(diǎn)扶持新能源汽車的政策，為新能源汽車行業(yè)的發(fā)展開(kāi)辟了廣闊的前景．某新能源沉車配件公司為擴(kuò)大生產(chǎn)，計(jì)劃改進(jìn)技術(shù)生產(chǎn)某種組件，已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年固定成本為2000萬(wàn)元，每生產(chǎn)萬(wàn)件，需另投入成本萬(wàn)元，且時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，由市場(chǎng)調(diào)研知，該產(chǎn)品每件的售價(jià)為2000元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的該產(chǎn)品當(dāng)年能全部銷售完．
（1）年利潤(rùn)y（萬(wàn)元）與年產(chǎn)量x（萬(wàn)件）的關(guān)系式（利潤(rùn)=銷售收入-成本）；
（2）當(dāng)該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少萬(wàn)件時(shí)，公司所獲年利潤(rùn)最大？最大年利潤(rùn)是多少？
解：（1）由題意可知，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以年利潤(rùn)y（萬(wàn)元）與年產(chǎn)量x（萬(wàn)件）的關(guān)系式為.
（2）當(dāng)時(shí)，，開(kāi)口向下，
所以當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，
，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，
因?yàn)椋?br>所以，該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為50萬(wàn)件時(shí)，公司所獲年利潤(rùn)最大，利潤(rùn)最大為2200.
18. 已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）將的圖象向左平移個(gè)單位，向下平移1個(gè)單位，再把所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，若在內(nèi)恰有3個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．
解：（1）依題意，
，
由，
解得，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2）將的圖象向左平移個(gè)單位，向下平移1個(gè)單位，得，
再把所有點(diǎn)橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得，
則，得，
因?yàn)?，所以?br>所以的解析式為，
由，得，由函數(shù)在區(qū)間上有3個(gè)零點(diǎn)，
得，解得，
所以的取值范圍是.
19. 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，對(duì)于區(qū)間，若滿足，恒有，則稱函數(shù)在區(qū)間I上的增長(zhǎng)系數(shù)為1；若滿足，恒有，則稱函數(shù)在區(qū)間I上的增長(zhǎng)系數(shù)為2；若滿足，恒有，則稱函數(shù)在區(qū)間I上的增長(zhǎng)系數(shù)為n．
（1）求函數(shù)，在上的增長(zhǎng)系數(shù)；
（2）若3和4都是函數(shù)在上的增長(zhǎng)系數(shù)，求a的取值范圍；
（3）若函數(shù)，在上的增長(zhǎng)系數(shù)僅為n，求n的最小值及此時(shí)m的取值范圍．
解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，
而，所以函數(shù)在上的增長(zhǎng)系數(shù)為1；
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，
而，所以函數(shù)在上的增長(zhǎng)系數(shù)為2.
（2），
因?yàn)椋?，則，
因?yàn)?和4都是函數(shù)在上的增長(zhǎng)系數(shù)，
所以，
所以，即，整理得，
因?yàn)椋?，所?
（3）令，易知在上單調(diào)遞增，
又在單調(diào)遞增，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知函數(shù)在上單調(diào)遞增，
，，
則，
因?yàn)楹瘮?shù)在上的增長(zhǎng)系數(shù)僅為n，
所以，
則，即，
所以，則，解得，
因?yàn)?，所以，即的最小值?，
此時(shí)，，即，
所以n的最小值為5，此時(shí).

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