數(shù)學(xué)
考生注意：
1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】化簡集合，根據(jù)交集定義求出.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以，
故選：B.
2. “”是“”的（ ）
A. 充要條件B. 充分不必要條件C. 必要不充分條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)充分必要條件的概念即對數(shù)函數(shù)的定義域即可判斷.
【詳解】當(dāng)時不能推出，而可以推出，所以是必要不充分條件.
故選：C.
3. 如圖，動物園要靠墻（足夠長）建造兩間相鄰的長方形禽舍，不靠墻的面以及兩間禽舍之間要修建圍墻，已有材料可供建成圍墻的總長度為36米，若設(shè)禽舍寬為米，則當(dāng)所建造的禽舍總面積最大時，的值是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意，用表示禽舍的總長，從而得到禽舍的面積關(guān)于的表達(dá)式，利用配方法即可得解.
【詳解】由題意，若把材料全部用完，則禽舍的總長為，
設(shè)所建造的禽舍總面積為，
則，
所以當(dāng)所建造的禽舍總面積最大時，的值.
故選：D.
4. 已知，則下列不等式不成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用不等式性質(zhì)判斷AC；利用冪函數(shù)的單調(diào)性判斷B；作差判斷D.
【詳解】對于A，由，得，A正確；
對于B，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，得，B正確；
對于C，由選項(xiàng)A知，，又，則，C錯誤；
對于D，由，得，D正確.
故選：C
5. 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出函數(shù)定義域，再利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.
【詳解】由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，解得，
因?yàn)楹瘮?shù)的圖象的對稱軸為，開口向下，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又，則函數(shù)為減函數(shù)，
由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
故答案為：A.
6. 已知某校高一年級女生人數(shù)多于男生人數(shù)，在分科后選報(bào)物理方向?qū)W生人數(shù)多于歷史方向的學(xué)生人數(shù)，則（ ）
A. 物理方向的男生多于物理方向的女生
B. 歷史方向的女生多于歷史方向的男生
C. 物理方向的女生多于歷史方向的男生
D. 物理方向的男生多于歷史方向的女生
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件，設(shè)分科后選報(bào)物理方向的女生數(shù)為，男生數(shù)為，選報(bào)歷史方向的女生數(shù)為，男生數(shù)為，根據(jù)題意可得，計(jì)算可得結(jié)論.
【詳解】根據(jù)已知條件，設(shè)分科后選報(bào)物理方向的女生數(shù)為，男生數(shù)為，選報(bào)歷史方向的女生數(shù)為，男生數(shù)為，
根據(jù)題意可得，所以，
即，故物理方向的女生多于歷史方向的男生.
故選：C.
7. 已知函數(shù)在上具有單調(diào)性，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用分段函數(shù)的單調(diào)性以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解.
【詳解】因?yàn)闀r，單調(diào)遞減，
且函數(shù)在上具有單調(diào)性，
所以當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞減，
所以，解得，
在考慮函數(shù)在處左右取值，
所以，解得，
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是，
故選:A.
8. 數(shù)學(xué)上用“”表示連乘運(yùn)算，例如：.設(shè)函數(shù)，記，，則使成立的m的最小值為（ ）
A 8B. 9C. 10D. 11
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件求得的表達(dá)式，然后根據(jù)，利用對數(shù)運(yùn)算等知識求得正確答案.
【詳解】，
，
，
，即，
解得或，
又，所以使成立的m的最小值為9.
故選：B.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 下列函數(shù)中有零點(diǎn)的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】將函數(shù)有零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)換為方程有根問題求解即可.
【詳解】對于A，時，，所以有零點(diǎn)，故A正確；
對于B，時，，所以有零點(diǎn)，故B正確；
對于C，時，，所以有零點(diǎn)，故C正確；
對于D，時，，因?yàn)椋苑匠虩o解，所以沒有零點(diǎn)，故D錯誤；
故選：ABC.
10. 下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】對于A，利用作差法即可判斷；對于B，利用指數(shù)運(yùn)算即可判斷；對于C，利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，并借助中間量1，即可判斷；對于D，利用指數(shù)、對數(shù)的運(yùn)算及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷.
【詳解】對于A，因?yàn)椋?br>所以，故A錯誤；
對于B，因?yàn)?，所以，即，故B正確；
對于C，因?yàn)椋?br>所以，故C正確；
對于D，因?yàn)椋?br>又，所以，即，
所以，即，故D正確.
故選：BCD.
11. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足，且當(dāng)時，.若的圖象與的圖象恰好有三個交點(diǎn)，則的值可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由題意采用賦值法可推得函數(shù)周期為2，繼而推出其對稱軸，當(dāng)時，，根據(jù)的圖像和的圖像恰有三個交點(diǎn)，畫出圖像，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)，且，求得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋瑵M足，
所以為以為周期的周期函數(shù)，
當(dāng)時，，
函數(shù)的圖像為開口向下、頂點(diǎn)為的拋物線的一部分，
因?yàn)?，所以，則，
作出函數(shù)的圖像，如圖所示，
要使函數(shù)的圖像和的圖像恰好有三個交點(diǎn)，
則有 ，即，解得，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是，選項(xiàng)中BC符合.
故選：BC.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知函數(shù)式則________.
【答案】0
【解析】
【分析】根據(jù)分段函數(shù)定義進(jìn)行求解即可.
【詳解】已知函數(shù)，
所以，
則.
故答案為： 0.
13. 已知為常數(shù)，若不等式的解集為，則不等式的解集為__________.
【答案】
【解析】
【分析】先根據(jù)已知不等式解集計(jì)算求參得出且，再解一元一次不等式即可.
【詳解】因?yàn)椴坏仁脚c且不等于同解，
又因?yàn)榻饧癁椋?br>所以,
所以，
所以不等式，即是，解得.
故答案為：.
14. 已知函數(shù)，，若對任意恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是________.
【答案】
【解析】
【分析】利用函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性和對稱性解函數(shù)不等式.
【詳解】的定義域?yàn)椋?br>且，所以函數(shù)為偶函數(shù)，
設(shè)，則當(dāng)時，，即，此時單調(diào)遞增，
則當(dāng)時，，即，此時單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時單調(diào)遞增，當(dāng)時單調(diào)遞減，
所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，
且當(dāng)時單調(diào)遞增，當(dāng)時單調(diào)遞減，
又因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖象關(guān)于對稱，
且當(dāng)時單調(diào)遞增，當(dāng)時單調(diào)遞減，
所以在時單調(diào)遞增，在時單調(diào)遞減，
且的圖象關(guān)于對稱，
因?yàn)?，所以，即?br>所以，
即且恒成立，
由恒成立可得，，解得，
由恒成立可得，，解得，
綜上所述，，
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知全集，集合，.
（1）若，求；
（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）代入化簡集合，利用集合的交集，補(bǔ)集運(yùn)算求出結(jié)果.
（2）分析可得，根據(jù)集合的包含關(guān)系即可求出結(jié)果.
【小問1詳解】
因?yàn)椋曰颍?br>當(dāng)時，，
故.
【小問2詳解】
因?yàn)椋裕?br>若，則，，
由得，解得，與矛盾，
若，則，，
由得，解得，
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
16. 根據(jù)某高科技公司多年的經(jīng)營數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)該公司每年的利潤（單位：萬元）與研發(fā)投入（單位：萬元）滿足函數(shù)關(guān)系式，且當(dāng)時，.
（1）若該公司想要明年的利潤為700萬元，則明年的研發(fā)投入應(yīng)該為多少萬元？
（2）若該公司想要明年的利潤相比今年增加175萬元，則明年的研發(fā)投入相比今年應(yīng)該怎樣變化？
【答案】（1）明年的研發(fā)投入應(yīng)該為萬元；
（2）明年的研發(fā)投入相比今年應(yīng)該提高至今年的倍.
【解析】
【分析】（1）由已知可求得，代入計(jì)算可得結(jié)論；
（2）設(shè)今年的研發(fā)投入為萬元，利潤為萬元，該公司想要明年的為萬元，利潤為萬元，由題意可得，計(jì)算可得，可得結(jié)論.
【小問1詳解】
當(dāng)時，，所以，解得，
所以，
令，可得，解得，
所以明年的研發(fā)投入應(yīng)該為萬元；
【小問2詳解】
設(shè)今年的研發(fā)投入為萬元，利潤為萬元，該公司想要明年的研發(fā)投入為萬元，利潤為萬元，
所以，，
根據(jù)題意可得，
解得，所以，所以，所以.
所以明年的研發(fā)投入相比今年應(yīng)該提高至今年的倍.
17. 已知正數(shù)，滿足，.設(shè)函數(shù).
（1）求，；
（2）若實(shí)數(shù)，滿足，且在區(qū)間上的最大值為2，求，.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）將代入，根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算求出，即可求出；
（2）作出的圖象，即可得到，根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)得到，再判斷，即可得到，從而求出，即可得解.
【小問1詳解】
將代入，得，
即，因?yàn)?，所以，故，所?
【小問2詳解】
由（1）知，作出的圖象，如圖.
觀察可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，所以?
由可得，則，所以.
若在上的最大值為，
因?yàn)?，即，所以，所以?
所以，得，解得（負(fù)值已舍去），所以.
18. 已知函數(shù)的定義域?yàn)椋覂H有一個零點(diǎn).
（1）求；
（2）若為奇函數(shù)，求的值；
（3）設(shè)函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得在區(qū)間上的值域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）令，可求得，令，可求得；
（2），結(jié)合（1）可得，進(jìn)而證明可得結(jié)論；
（3）由（2）可求得，利用單調(diào)性可得，進(jìn)而可得是方程的兩個實(shí)根，利用根的分布可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【小問1詳解】
，
令，得，即，
因?yàn)?，所以?br>令，得，所以，
因?yàn)?，所以?br>【小問2詳解】
若函數(shù)為奇函數(shù)，則可得，
因?yàn)閮H有一個零點(diǎn)，由（1）可知，所以，
當(dāng)時，，
所以，即為奇函數(shù).
故為奇函數(shù)，的值為；
【小問3詳解】
由（2）知，所以，
所以，則在和上均單調(diào)遞增，
若存在實(shí)數(shù)，使得在區(qū)間上的值域?yàn)椋?br>則，所以是方程的兩個實(shí)根，
所以方程在上有兩個不相等的實(shí)根，
設(shè)，則，解得，
故實(shí)數(shù)的取值范圍為.
19. Sigmid函數(shù)是一個特殊的函數(shù)，在人工智能領(lǐng)域和生物學(xué)中發(fā)揮著重要的作用，其數(shù)學(xué)表達(dá)式是.
（1）判斷的單調(diào)性，并用定義證明；
（2）設(shè)函數(shù)，求的值；
（3）若函數(shù)在上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）在上單調(diào)遞增.，證明見解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性定義證明即可；
（2）根據(jù)結(jié)構(gòu)特征，，采用首位相加求解即可；
（3）依題意得，，換元令，轉(zhuǎn)換為關(guān)于的方程在上有解，進(jìn)而得到答案.
【小問1詳解】
在上單調(diào)遞增.，證明：任取，，且，
，
因?yàn)?，所以，所以?br>所以在上單調(diào)遞增.
【小問2詳解】
由題意得，
所以，
故.
所以
.
【小問3詳解】
由題意得，
令，當(dāng)時，.
在上有零點(diǎn)關(guān)于的方程在上有解.
方程可化為.
令，則，且，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，
故實(shí)數(shù)的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問，重點(diǎn)考查倒序相加法求解，關(guān)鍵在于.

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