1．（2分）用配方法解方程時(shí)，配方后正確的是
A．B．C．D．
2．（2分）某快遞員十二月份送餐統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：
則該快遞員十二月份平均每單送餐費(fèi)是
A．4.4元B．4.6元C．4.8元D．5元
3．（2分）如圖，小杰從燈桿的底部點(diǎn)處沿水平直線前進(jìn)到達(dá)點(diǎn)處，他在燈光下的影長(zhǎng)米，然后他轉(zhuǎn)身按原路返回到點(diǎn)處，返回過程中小杰在燈光下的影長(zhǎng)可以是
A．4.5米B．4米C．3.5米D．2.5米
4．（2分）如圖，在中，點(diǎn)在邊上，若，，且，則線段的長(zhǎng)為
A．2B．C．3D．
5．（2分）如圖，，，則下列等式一定成立的是
A．B．
C．D．
6．（2分）如圖，不等臂蹺蹺板的一端碰到地面時(shí)，另一端到地面的高度為；當(dāng)?shù)囊欢伺龅降孛鏁r(shí)，另一端到地面的高度為，則蹺蹺板的支撐點(diǎn)到地面的高度是
A．B．C．D．
二、填空題：本題共10小題，每小題2分，共20分．
7．（2分）二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ．
8．（2分）若一組數(shù)據(jù)2，3，4，5，的方差比另一組數(shù)據(jù)5，6，7，8，9的方差小，則可以為 ．（列舉一個(gè)滿足條件的值）
9．（2分）方程的兩個(gè)根為，．若，則 ．
10．（2分）已知圓錐的底面半徑為，側(cè)面積為，則該圓錐的母線長(zhǎng)為 ．
11．（2分）如圖，，，，是上的四個(gè)點(diǎn)，，的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，，相交于點(diǎn)．若，，則的度數(shù)是 ．
12．（2分）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，是的外接圓，點(diǎn)，，在網(wǎng)格線的交點(diǎn)上，則的值是 ．
13．（2分）如圖，在矩形中，，，為中點(diǎn)，，垂足為，交邊于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為 ．
14．（2分）如圖，在正六邊形中，經(jīng)過點(diǎn)，的與邊，分別相切于點(diǎn)，，與邊交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，則的度數(shù)為 ．
15．（2分）已知二次函數(shù)，函數(shù)與自變量的部分對(duì)應(yīng)值如表：
若，則的取值范圍為 ．
16．（2分）如圖，在中，，是高．若，則的長(zhǎng)的最小值為 ．
三、解答題：本題共11小題，共88分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17．（8分）計(jì)算求解：
（1）；
（2）；
（3）．
18．（8分）甲城市有2個(gè)景點(diǎn)，，乙城市有3個(gè)景點(diǎn)，，．從中隨機(jī)選取景點(diǎn)游覽，求下列事件的概率．
（1）選取1個(gè)景點(diǎn)，恰好在甲城市；
（2）選取2個(gè)景點(diǎn)，恰好在同一個(gè)城市．
19．（8分）周老師平時(shí)上班有，兩條路線可以選擇，她記錄了兩周共十天的上班路上所用的時(shí)間并繪制了如下統(tǒng)計(jì)圖：（1）這十天中周老師上班路上所用時(shí)間最多相差 ．
（2）哪一條上班路線用時(shí)更穩(wěn)定？請(qǐng)通過計(jì)算說明．
（3）你建議周老師應(yīng)如何選擇上班路線？
20．（8分）《黑神話：悟空》在全球上線迅速吸引了全球游戲愛好者的目光，游戲中選取的27處山西極具代表性的古建筑，展示了山西深厚的文化底蘊(yùn)．飛虹塔是山西省非常有名的一座塔樓，某實(shí)踐小組欲測(cè)量飛紅塔的高度．如圖，塔前有一棵高4米的小樹，發(fā)現(xiàn)水平地面上點(diǎn)，樹頂和塔頂恰好在一條直線上，測(cè)得米，，之間有一個(gè)花圃距離無法測(cè)量；在點(diǎn)處放置一平面鏡（平面鏡的大小忽略不計(jì)），沿所在直線后退，退到點(diǎn)處恰好在平面鏡中看到樹頂?shù)南?，米，測(cè)量者眼睛到地面的距離為1.6米．已知，，，且點(diǎn)，，，在同一水平線上．求飛虹塔的高度．
21．（8分）如圖，在中，，，平分交于．
（1）求證：．
（2）若，求的長(zhǎng)．
22．（8分）為測(cè)量某建筑物的高度，在坡腳處測(cè)得頂端的仰角為，沿著傾斜角為的斜坡前行到達(dá)處，此時(shí)測(cè)得頂端的仰角為，求建筑物的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，
23．（8分）已知二次函數(shù)是常數(shù)）．
（1）求證：不論為何值，該函數(shù)圖象與軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)；
（2）求證：當(dāng)時(shí)，該函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)總在軸的下方．
24．（8分）用直尺和圓規(guī)完成下列作圖．（要求：保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）
（1）如圖（1），過內(nèi)一點(diǎn)作直線交于點(diǎn)，，使；
（2）如圖（2），過外一點(diǎn)作直線交于點(diǎn)，，使．
25．（8分）在平面直角坐標(biāo)系中，，，，是拋物線上任意兩點(diǎn)，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為直線．
（1）若對(duì)于，，有，求的值；
（2）若對(duì)于，，都有，求的取值范圍．
26．（8分）如圖，在△的邊上取一點(diǎn)，以為圓心，為半徑畫與邊相切于點(diǎn)，，連接交于點(diǎn)，連接，并延長(zhǎng)交線段于點(diǎn)．
（1）求證：是切線；
（2）若，，求的半徑；
（3）若是中點(diǎn)，直接寫出、與的數(shù)量關(guān)系．
27．（8分）綜合與實(shí)踐
【問題提出】
我們知道，過任意一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)能作一個(gè)圓．那么，過任意一個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)能作一個(gè)圓嗎？
【實(shí)驗(yàn)探究】
（1）獲得猜想
觀察圖①至圖④，分別過菱形、矩形、等腰梯形、共斜邊的兩個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)作圓，提出猜想：
過 的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)能作一個(gè)圓．（請(qǐng)?zhí)顚懶蛱?hào)）
①對(duì)邊相等；②一組對(duì)邊平行；③對(duì)角線相等；④對(duì)角互補(bǔ)；
（2）推理證明
已知：在四邊形中，
求證：過點(diǎn)，，，可作一個(gè)圓．
證明：假設(shè)過點(diǎn)，，，不能作一個(gè)圓．
如圖⑤，過，，三點(diǎn)作，點(diǎn)不在圓上．
若點(diǎn)在外，
與交于點(diǎn)，連接，則①
，
而是△的外角，
② ．出現(xiàn)矛盾，故假設(shè)不成立．
所以點(diǎn)在過，，三點(diǎn)的圓上．
同理可證點(diǎn)在內(nèi)的情況．
【應(yīng)用結(jié)論】
（3）如圖⑥，四邊形中，對(duì)角線，交于點(diǎn)，，平分．
①若，求的度數(shù)．
②若，，求線段的長(zhǎng)．
參考答案
一、選擇題：本題共6小題，每小題2分，共12分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．（2分）用配方法解方程時(shí)，配方后正確的是
A．B．C．D．
解：，
，即．
故選：．
2．（2分）某快遞員十二月份送餐統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：
則該快遞員十二月份平均每單送餐費(fèi)是
A．4.4元B．4.6元C．4.8元D．5元
解：該快遞員十二月份平均每單送餐費(fèi)是：（元，
故選：．
3．（2分）如圖，小杰從燈桿的底部點(diǎn)處沿水平直線前進(jìn)到達(dá)點(diǎn)處，他在燈光下的影長(zhǎng)米，然后他轉(zhuǎn)身按原路返回到點(diǎn)處，返回過程中小杰在燈光下的影長(zhǎng)可以是
A．4.5米B．4米C．3.5米D．2.5米
解：設(shè)返回過程中小杰身高為，
由，
得，
由，
得．
故選：．
4．（2分）如圖，在中，點(diǎn)在邊上，若，，且，則線段的長(zhǎng)為
A．2B．C．3D．
解：，，
，
，
，，
，
，
．
故選：．
5．（2分）如圖，，，則下列等式一定成立的是
A．B．
C．D．
解：，，
與是對(duì)應(yīng)邊，相似比為，
的對(duì)應(yīng)邊為，由圖可知：，
，
選項(xiàng)不成立；
，且和是對(duì)應(yīng)角，
，
，
選項(xiàng)不成立；
，
，
選項(xiàng)不成立；
，
，
選項(xiàng)成立．
故選：．
6．（2分）如圖，不等臂蹺蹺板的一端碰到地面時(shí)，另一端到地面的高度為；當(dāng)?shù)囊欢伺龅降孛鏁r(shí)，另一端到地面的高度為，則蹺蹺板的支撐點(diǎn)到地面的高度是
A．B．C．D．
解：如圖：過點(diǎn)作，垂足為，
，，
，
，
，
，
，
如圖：過點(diǎn)作，垂足為，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
蹺蹺板的支撐點(diǎn)到地面的高度是，
故選：．
二、填空題：本題共10小題，每小題2分，共20分．
7．（2分）二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ．
解：
，
二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
故答案為：．
8．（2分）若一組數(shù)據(jù)2，3，4，5，的方差比另一組數(shù)據(jù)5，6，7，8，9的方差小，則可以為 2（答案不唯一） ．（列舉一個(gè)滿足條件的值）
解：數(shù)據(jù)5，6，7，8，9中，每2個(gè)數(shù)相差1，一組數(shù)據(jù)2，3，4，5，前4個(gè)數(shù)據(jù)也是相差1，
若或時(shí)，兩組數(shù)據(jù)方差相等，
而數(shù)據(jù)2，3，4，5，的方差比另一組數(shù)據(jù)5，6，7，8，9的方差小，
則（答案不唯一），
故答案為：2（答案不唯一）．
9．（2分）方程的兩個(gè)根為，．若，則 ．
解：，是方程的兩根，
，，
解得：，
故答案為：．
10．（2分）已知圓錐的底面半徑為，側(cè)面積為，則該圓錐的母線長(zhǎng)為 5 ．
解：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，
圓錐的底面周長(zhǎng)，
則，
解得，，
故答案為：5．
11．（2分）如圖，，，，是上的四個(gè)點(diǎn)，，的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，，相交于點(diǎn)．若，，則的度數(shù)是 21 ．
解：是的外角，，
，
由圓周角定理得：，
，
是的外角，
，
，
，
故答案為：21．
12．（2分）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，是的外接圓，點(diǎn)，，在網(wǎng)格線的交點(diǎn)上，則的值是 ．
解：如圖，連接并延長(zhǎng)交于，
由圓周角定理得：，
由勾股定理得：，
，
故答案為：．
13．（2分）如圖，在矩形中，，，為中點(diǎn)，，垂足為，交邊于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為 ．
解：四邊形都是矩形，
，，
，
，
，，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
故答案為．
14．（2分）如圖，在正六邊形中，經(jīng)過點(diǎn)，的與邊，分別相切于點(diǎn)，，與邊交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，則的度數(shù)為 60 ．
解：連接、、，如圖，
與邊，分別相切于點(diǎn)，，
，，
，，
，
五邊形的內(nèi)角和為，
，
，
在圓內(nèi)接四邊形中，
，
，
．
故答案為：60．
15．（2分）已知二次函數(shù)，函數(shù)與自變量的部分對(duì)應(yīng)值如表：
若，則的取值范圍為 ．
解：由題意可知，，
，
，
當(dāng)，時(shí)，，解得，
當(dāng)，時(shí)，，解得，
當(dāng)，時(shí)，，解得，
若，則的取值范圍為．
故答案為：．
16．（2分）如圖，在中，，是高．若，則的長(zhǎng)的最小值為 ．
解：取中點(diǎn)，過作，過點(diǎn)作，交于，則，，
，
，
，是 的高，
，，
，
，則，
為中點(diǎn)，，
是的垂直平分線，
，
由三角形三邊關(guān)系可知，，
當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，
即：的最小值為；
故答案為：．
三、解答題：本題共11小題，共88分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17．（8分）計(jì)算求解：
（1）；
（2）；
（3）．
解：（1），
，，
，；
（2），
即，
或，
，；
（3）原式
．
18．（8分）甲城市有2個(gè)景點(diǎn)，，乙城市有3個(gè)景點(diǎn)，，．從中隨機(jī)選取景點(diǎn)游覽，求下列事件的概率．
（1）選取1個(gè)景點(diǎn)，恰好在甲城市；
（2）選取2個(gè)景點(diǎn)，恰好在同一個(gè)城市．
解：（1）選取1個(gè)景點(diǎn)，恰好在甲城市的概率為；
（2）列表如下：
由表知共有20種等可能結(jié)果，其中選取2個(gè)景點(diǎn)，恰好在同一個(gè)城市有8種結(jié)果，
所以選取2個(gè)景點(diǎn)，恰好在同一個(gè)城市的概率為．
19．（8分）周老師平時(shí)上班有，兩條路線可以選擇，她記錄了兩周共十天的上班路上所用的時(shí)間并繪制了如下統(tǒng)計(jì)圖：（1）這十天中周老師上班路上所用時(shí)間最多相差 22 ．
（2）哪一條上班路線用時(shí)更穩(wěn)定？請(qǐng)通過計(jì)算說明．
（3）你建議周老師應(yīng)如何選擇上班路線？
解：（1）這十天中周老師上班路上所用時(shí)間最多相差，
故答案為：22．
（2）路線所用時(shí)間的平均數(shù)為，方差為，
路線所用時(shí)間的平均數(shù)為，方差為，
，
上班路線用時(shí)更穩(wěn)定；
（3）由用時(shí)的平均數(shù)知，路線平均用時(shí)更少，所以建議選擇路線（答案不唯一，合理即可）．
20．（8分）《黑神話：悟空》在全球上線迅速吸引了全球游戲愛好者的目光，游戲中選取的27處山西極具代表性的古建筑，展示了山西深厚的文化底蘊(yùn)．飛虹塔是山西省非常有名的一座塔樓，某實(shí)踐小組欲測(cè)量飛紅塔的高度．如圖，塔前有一棵高4米的小樹，發(fā)現(xiàn)水平地面上點(diǎn)，樹頂和塔頂恰好在一條直線上，測(cè)得米，，之間有一個(gè)花圃距離無法測(cè)量；在點(diǎn)處放置一平面鏡（平面鏡的大小忽略不計(jì)），沿所在直線后退，退到點(diǎn)處恰好在平面鏡中看到樹頂?shù)南瘢?，測(cè)量者眼睛到地面的距離為1.6米．已知，，，且點(diǎn)，，，在同一水平線上．求飛虹塔的高度．
解：，，
△△，
，
，
米，
米，
，，
△△，
，
，
米，
答：飛虹塔的高度為47米．
21．（8分）如圖，在中，，，平分交于．
（1）求證：．
（2）若，求的長(zhǎng)．
【解答】（1）證明：，，
，
平分，
，
，
，
．
（2）解：．，
，
，
解得或（舍去）．
的長(zhǎng)為．
22．（8分）為測(cè)量某建筑物的高度，在坡腳處測(cè)得頂端的仰角為，沿著傾斜角為的斜坡前行到達(dá)處，此時(shí)測(cè)得頂端的仰角為，求建筑物的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，
解：過點(diǎn)作，垂足為，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，
由題意得：，，，
在中，，，
，
，
，
設(shè) ，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
解得：，
，
建筑物的高度約為．
23．（8分）已知二次函數(shù)是常數(shù)）．
（1）求證：不論為何值，該函數(shù)圖象與軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)；
（2）求證：當(dāng)時(shí)，該函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)總在軸的下方．
【解答】證明：（1）△，
而，
△，
不論為何值，該函數(shù)圖象與軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)；
（2）當(dāng)時(shí)，，
二次函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，
，
，
二次函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，
即當(dāng)時(shí)，該函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)總在軸的下方．
24．（8分）用直尺和圓規(guī)完成下列作圖．（要求：保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）
（1）如圖（1），過內(nèi)一點(diǎn)作直線交于點(diǎn)，，使；
（2）如圖（2），過外一點(diǎn)作直線交于點(diǎn)，，使．
解：（1）如圖，直線即為所求；
（2）如圖，直線即為所求．
25．（8分）在平面直角坐標(biāo)系中，，，，是拋物線上任意兩點(diǎn)，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為直線．
（1）若對(duì)于，，有，求的值；
（2）若對(duì)于，，都有，求的取值范圍．
解：（1）對(duì)于，，有，
，
，
．
對(duì)稱軸為直線，
．
（2），，
，，
，
，
，離對(duì)稱軸更近，，則，與，的中點(diǎn)在對(duì)稱軸的右側(cè)，
，
即．
26．（8分）如圖，在△的邊上取一點(diǎn)，以為圓心，為半徑畫與邊相切于點(diǎn)，，連接交于點(diǎn)，連接，并延長(zhǎng)交線段于點(diǎn)．
（1）求證：是切線；
（2）若，，求的半徑；
（3）若是中點(diǎn)，直接寫出、與的數(shù)量關(guān)系．
【解答】（1）證明：連，如圖1，
在△和△中，
，
△△，
，
與相切，
，
，
，
，
為半徑，
是切線；
（2）解：連接，如圖2，
，
設(shè)，則，
，
，
，
設(shè)，則，
，
，
，
，
，
半徑為；
（3）解：，理由如下：
連接，，如圖3，
由（1）可知：△△，
，，
在△和△中，
，
△△，
，，
，
，
，
點(diǎn)是中點(diǎn)，，
，
，
，
，
，
．
27．（8分）綜合與實(shí)踐
【問題提出】
我們知道，過任意一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)能作一個(gè)圓．那么，過任意一個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)能作一個(gè)圓嗎？
【實(shí)驗(yàn)探究】
（1）獲得猜想
觀察圖①至圖④，分別過菱形、矩形、等腰梯形、共斜邊的兩個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)作圓，提出猜想：
過 ④ 的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)能作一個(gè)圓．（請(qǐng)?zhí)顚懶蛱?hào)）
①對(duì)邊相等；②一組對(duì)邊平行；③對(duì)角線相等；④對(duì)角互補(bǔ)；
（2）推理證明
已知：在四邊形中，
求證：過點(diǎn)，，，可作一個(gè)圓．
證明：假設(shè)過點(diǎn)，，，不能作一個(gè)圓．
如圖⑤，過，，三點(diǎn)作，點(diǎn)不在圓上．
若點(diǎn)在外，
與交于點(diǎn)，連接，則①
，
而是△的外角，
② ．出現(xiàn)矛盾，故假設(shè)不成立．
所以點(diǎn)在過，，三點(diǎn)的圓上．
同理可證點(diǎn)在內(nèi)的情況．
【應(yīng)用結(jié)論】
（3）如圖⑥，四邊形中，對(duì)角線，交于點(diǎn)，，平分．
①若，求的度數(shù)．
②若，，求線段的長(zhǎng)．
解：（1）由（2）中推理證明可知是對(duì)過對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)能作一個(gè)圓進(jìn)行證明，
故答案為：④．
（2）四邊形為的內(nèi)接四邊形，
，
故答案為：，
由外角定理可知，，
故，
故答案為：．
（3）①，
、、、四點(diǎn)共圓，
平分，，
，
．
②由①可知，
，
△△，
，即，
故．
送餐距離
小于等于3公里
大于3公里
占比
送餐費(fèi)
4元單
6元單
0
4
2
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
答案
C
B
D
B
D
A
送餐距離
小于等于3公里
大于3公里
占比
送餐費(fèi)
4元單
6元單
0
4
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