（全卷共24小題，滿分120分，考試時(shí)間120分鐘）
注意事項(xiàng)：本試卷分試題卷和答題卡兩部分，請將答案寫在答題卡上每題對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在試題卷上無效．考試結(jié)束時(shí)，請將本試題卷和答題卡一并上交．
一、選擇題：（共10題，每題3分，共30分，在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）
1. 下列事件中，是確定事件的是（ ）
A. B. 的圖像開口向上
C. 是負(fù)數(shù)D. 任畫一個(gè)，它是
2. 下列圖案是我國國產(chǎn)汽車的標(biāo)識(shí)，在這些圖案中，是中心對稱圖形的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知點(diǎn)與點(diǎn)Q關(guān)于原點(diǎn)對稱，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（ ）
A. B. C. D.
4. 對聯(lián)是中國特有的一種文學(xué)形式，廈門鼓浪嶼就有一幅有名的對聯(lián)“霧鎖山頭山鎖霧，天連水尾水連天”，在這幅對聯(lián)中任選一個(gè)漢字，與這個(gè)字是“山”的概率不同的漢字為（ ）
A. 霧B. 頭C. 水D. 天
5. 某廠今年一月總產(chǎn)量為500噸，三月的總產(chǎn)量為720噸，平均每月增長率為，可列方程為（ ）
A. B.
C D.
6. 下列一元二次方程中，有兩個(gè)互為相反數(shù)的實(shí)數(shù)根的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 如圖，點(diǎn)C是中優(yōu)弧的上一點(diǎn)，過P點(diǎn)的兩條切線夾角，A，B為切點(diǎn)，則的度數(shù)是（ ）
A B. C. D.
8. 把拋物線先向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，則平移后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A. B. C. D.
9. 在矩形中，，，點(diǎn)為對角線，的交點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑作，則（ ）
A. 點(diǎn)在上B. 點(diǎn)在內(nèi)
C. 點(diǎn)在外D. 點(diǎn)與位置關(guān)系不能確定
10. 一次函數(shù)（）與二次函數(shù)（）在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空題
11. 若關(guān)于的方程是一元二次方程，則的取值范圍是______．
12. 拋物線與x軸兩交點(diǎn)間的距離為______．
13. 如圖，正六邊形的中心為原點(diǎn)O，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為______．
14. 已知二次函數(shù)的y與x的部分對應(yīng)值如下表：下列結(jié)論：
①拋物線的開口向下；②其圖象的對稱軸為；③當(dāng)時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而增大；④拋物線與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)．其中正確的結(jié)論有______．
15. 如圖，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為（），得到，這時(shí)點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)D恰好在直線上，則用含的式子表示為______．
三、解答題
16 解方程：
17. 已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，．
（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）若，求k的值及方程的兩根．
18. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)為，，．
（1）以A為旋轉(zhuǎn)中心，將繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，畫出旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的，C點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求（1）中，點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長．（結(jié)果保留根號(hào)和）
19. 如圖是一條隧道的橫截面，它的“拱頂”部分是以點(diǎn)O為圓心的圓的一部分，如果的半徑為，跨度為．
（1）求“拱頂”部分表示拱高的線段的長度；
（2）若要在離隧道中心處（即）安裝一支柱（垂直于），求支柱的長度．
20. 某校在學(xué)生中對“預(yù)防諾如病毒相關(guān)知識(shí)”知曉情況進(jìn)行專項(xiàng)調(diào)查，采取隨機(jī)抽樣的方式抽取50人進(jìn)行問卷調(diào)查，問卷調(diào)查分為A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)．每人必選且只選其中一項(xiàng)，A類表示“非常了解”，B類表示“比較了解”，C類表示“基本了解”，D類表示“不太了解”．調(diào)查后的數(shù)據(jù)整理成不完整的統(tǒng)計(jì)表和四個(gè)選項(xiàng)所占比的扇形統(tǒng)計(jì)圖如下：
（1）表中的 ， ；
（2）若該校有學(xué)生名，根據(jù)調(diào)查結(jié)果估計(jì)該校學(xué)生中對預(yù)防諾如病毒相關(guān)知識(shí)“比較了解”的人數(shù)約為多少？
（3）若王老師和李老師要到選擇某一選項(xiàng)的學(xué)生中進(jìn)一步了解情況，試用“列表或畫樹狀圖”的方法求兩人選擇同一選項(xiàng)的學(xué)生了解情況的概率．
21. 如圖，已知，其中A、B、C三點(diǎn)在上，分別連接，，延長交于點(diǎn)M，交過點(diǎn)C的直線l于點(diǎn)P，．
（1）求證：是的切線；
（2）若直線l與相切，已知，半徑是5．求的面積．
22. 某地某網(wǎng)店專門銷售甲乙兩種兒童套裝，乙每件的進(jìn)價(jià)比甲多5元，某次用1300元購進(jìn)兩種兒童套裝各20件．銷售中發(fā)現(xiàn)：甲種每天銷售件數(shù)y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間存在一次函數(shù)關(guān)系，如圖所示．
（1）求甲種兒童套裝每件的進(jìn)價(jià)；
（2）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫自變量的取值范圍）；
（3）網(wǎng)店每天甲種套裝的銷售量不低于250件，當(dāng)甲種套裝銷售單價(jià)為多少元時(shí)，每天銷售甲種套裝獲取的利潤最大，最大利潤是多少？
23. 在矩形中，，連接和的中點(diǎn)，，把四邊形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（）到四邊形的位置，的延長線交于點(diǎn)．
（1）當(dāng)點(diǎn)落在線段邊上時(shí)，如圖，直接寫出的度數(shù)、與的數(shù)量關(guān)系；
（2）當(dāng)，，在同一直線上時(shí)，如圖，交于點(diǎn)，求與的數(shù)量關(guān)系；
（3）當(dāng)，，在同一直線上時(shí)，如圖，交于點(diǎn)，探究與數(shù)量關(guān)系．
24. 在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過的三個(gè)頂點(diǎn)．其中點(diǎn)坐標(biāo)是，C點(diǎn)坐標(biāo)是．
（1）求a和c的值；
（2）若Q點(diǎn)在拋物線圖像上，平分，求Q點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）在直線上，是否存在一點(diǎn)E，過E點(diǎn)且互相垂直的兩條直線分別與拋物線有唯一公共點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
2024年秋季期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測
九年級(jí)數(shù)學(xué)試題
（全卷共24小題，滿分120分，考試時(shí)間120分鐘）
注意事項(xiàng)：本試卷分試題卷和答題卡兩部分，請將答案寫在答題卡上每題對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在試題卷上無效．考試結(jié)束時(shí)，請將本試題卷和答題卡一并上交．
一、選擇題：（共10題，每題3分，共30分，在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）
1. 下列事件中，是確定事件的是（ ）
A. B. 的圖像開口向上
C. 是負(fù)數(shù)D. 任畫一個(gè)，它是
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了確定事件和隨機(jī)事件的定義，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)代數(shù)式的應(yīng)用，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)確定事件和隨機(jī)事件的定義來區(qū)分判斷即可，必然事件和不可能事件統(tǒng)稱確定性事件；必然事件：在一定條件下，一定會(huì)發(fā)生的事件稱為必然事件；不可能事件：在一定條件下，一定不會(huì)發(fā)生的事件稱為不可能事件；隨機(jī)事件：在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件稱為隨機(jī)事件．
【詳解】解：A. ，是確定事件，故該選項(xiàng)符合題意；
B. 的圖像開口向上，是隨機(jī)事件，故該選項(xiàng)不符合題意；
C. 是負(fù)數(shù)，是隨機(jī)事件，故該選項(xiàng)不符合題意；
D. 任畫一個(gè)，它是，是隨機(jī)事件，故該選項(xiàng)不符合題意；
故選：A．
2. 下列圖案是我國國產(chǎn)汽車的標(biāo)識(shí)，在這些圖案中，是中心對稱圖形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了中心對稱圖形，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對稱圖形，逐項(xiàng)判斷即可．
【詳解】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故不符合題意；
B、是中心對稱圖形，故符合題意；
C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故不符合題意；
D、不是中心對稱圖形，故不符合題意；
故選：B．
3. 已知點(diǎn)與點(diǎn)Q關(guān)于原點(diǎn)對稱，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱時(shí)，它們的坐標(biāo)符號(hào)相反，可以直接得到答案．
本題主要考查了關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱時(shí)，它們的坐標(biāo)符號(hào)相反，即點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)是．
【詳解】解：平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)與點(diǎn)Q關(guān)于原點(diǎn)對稱，
則Q點(diǎn)坐標(biāo)為．
故選：C．
4. 對聯(lián)是中國特有的一種文學(xué)形式，廈門鼓浪嶼就有一幅有名的對聯(lián)“霧鎖山頭山鎖霧，天連水尾水連天”，在這幅對聯(lián)中任選一個(gè)漢字，與這個(gè)字是“山”的概率不同的漢字為（ ）
A. 霧B. 頭C. 水D. 天
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了概率公式求概率，根據(jù)先求得隨機(jī)選一個(gè)字是“山”的概率為，進(jìn)而逐項(xiàng)分析判斷，即可求解．
【詳解】這段內(nèi)容是關(guān)于概率的，對聯(lián)“霧鎖山頭山鎖霧，天連水尾水連天”中，總共有14個(gè)漢字，其中“山”字出現(xiàn)了2次，，所以隨機(jī)選一個(gè)字是“山”的概率為
而“霧”“頭”“尾”“水”“天”這四個(gè)字在對聯(lián)中分別出現(xiàn)的次數(shù)為、、、、，
與“山”字出現(xiàn)的次數(shù)不同的是“頭”或“尾”的概率為，“霧”“水”“天”這3個(gè)字出現(xiàn)的概率為
故選：B．
5. 某廠今年一月總產(chǎn)量為500噸，三月的總產(chǎn)量為720噸，平均每月增長率為，可列方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查了從實(shí)際問題中抽象出一元二次方程，正確理解題意找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
設(shè)平均每月增長率是x，則二月份的總產(chǎn)量為噸，三月份的總產(chǎn)量為噸，據(jù)此列出方程即可．
【詳解】解：設(shè)平均每月增長率是x，
由題意得，．
故選B．
6. 下列一元二次方程中，有兩個(gè)互為相反數(shù)的實(shí)數(shù)根的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)兩個(gè)根互為相反數(shù)，得到兩根之和為，進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A、，方程沒有實(shí)數(shù)根，不符合題意；
B、，兩根之和為，符合題意；
C、，方程沒有實(shí)數(shù)根，不符合題意；
D、，且兩根之和為4，不符合題意；
故選：B．
7. 如圖，點(diǎn)C是中優(yōu)弧的上一點(diǎn)，過P點(diǎn)的兩條切線夾角，A，B為切點(diǎn)，則的度數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，根據(jù)切線的性質(zhì)得，再利用四邊形的內(nèi)角和得到，根據(jù)圓周角定理可計(jì)算出．
【詳解】解：∵和為的兩條切線，
∴，
∴，
∴，
∴．
故選：C．
8. 把拋物線先向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，則平移后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)的平移規(guī)律，再根據(jù)“左加右減，上加下減”的原則寫出平移后的拋物線的解析式，再求出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可．
【詳解】解：把拋物線先向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，
得
∴平移后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
故選：A
9. 在矩形中，，，點(diǎn)為對角線，的交點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑作，則（ ）
A. 點(diǎn)在上B. 點(diǎn)在內(nèi)
C. 點(diǎn)在外D. 點(diǎn)與位置關(guān)系不能確定
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查勾股定理，矩形的性質(zhì)，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握相關(guān)知識(shí)．利用勾股定理求出，再結(jié)合矩形的性質(zhì)得到，最后根據(jù)點(diǎn)到圓心的距離與半徑的數(shù)量關(guān)系判斷到點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷，即可解題．
【詳解】解：∵矩形中，，，
∴，
∴，
∵以點(diǎn)為圓心，為半徑作，
∴點(diǎn)在外
故選：C．
10. 一次函數(shù)（）與二次函數(shù)（）在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題可先由一次函數(shù)圖象得到字母系數(shù)的正負(fù)，再與二次函數(shù)的圖象相比較看是否一致．
本題考查了二次函數(shù)圖象，一次函數(shù)的圖象，應(yīng)該熟記一次函數(shù)在不同情況下所在的象限，以及熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)：開口方向、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)等．
【詳解】解：A、一次函數(shù)與y軸交點(diǎn)應(yīng)為，二次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)也應(yīng)為，圖象不符合，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、由拋物線可知，，由直線可知，，a的取值矛盾，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、由拋物線可知，，由直線可知，，a的取值矛盾，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、由拋物線可知，，由直線可知，，且拋物線與直線與y軸的交點(diǎn)相同，故本選項(xiàng)正確．
故選：D．
二、填空題
11. 若關(guān)于的方程是一元二次方程，則的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程的定義．通過化簡后，只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．熟記相關(guān)定義即可．
【詳解】解：由題意得：，
∴，
故答案為：．
12. 拋物線與x軸兩交點(diǎn)間的距離為______．
【答案】2
【解析】
【分析】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，通過解方程得拋物線與x軸的兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到兩交點(diǎn)間的距離．
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，
解得，，
所以拋物線與x軸的兩交點(diǎn)的坐標(biāo)為，，
所以拋物線與x軸的兩交點(diǎn)間的距離為．
故答案為：2．
13. 如圖，正六邊形的中心為原點(diǎn)O，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為______．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查正多邊形與圓、等邊三角形的性質(zhì)與判定及勾股定理、圖形與坐標(biāo)，熟練掌握正多邊形與圓、等邊三角形的性質(zhì)與判定及勾股定理、圖形與坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵；連接，過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)H，由題意易得是等邊三角形，則有，然后問題可求解．
【詳解】解：連接，過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)H，如圖所示：
∵正六邊形的中心為原點(diǎn)O，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為；
故答案為．
14. 已知二次函數(shù)的y與x的部分對應(yīng)值如下表：下列結(jié)論：
①拋物線的開口向下；②其圖象的對稱軸為；③當(dāng)時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而增大；④拋物線與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)．其中正確的結(jié)論有______．
【答案】①②③④
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線與x的交點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，根據(jù)圖象上兩點(diǎn)得出拋物線的對稱軸．
由表中數(shù)據(jù)運(yùn)用待定系數(shù)法可得出二次函數(shù)的解析式，根據(jù)開口方向可判斷①；根據(jù)解析式得出對稱軸，可判定②；根據(jù)函數(shù)圖形的性質(zhì)和增減性可判斷③；對于，令，則，其判別式，據(jù)此判斷④；
【詳解】把，，代入，
得到，
解得：，
所以函數(shù)解析式為．
①由，可得拋物線的開口向下，故①正確；
②由函數(shù)的解析式，可得對稱軸為，故②正確；
③由函數(shù)的對稱軸以及二次項(xiàng)系數(shù)，可得當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，故③正確；
④對于一元二次方程，，所以拋物線與軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，解得，故④正確．
正確的結(jié)論有①②③④．
故答案為：①②③④．
15. 如圖，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為（），得到，這時(shí)點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)D恰好在直線上，則用含的式子表示為______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，得到，最后結(jié)合三角形內(nèi)角和定理出推導(dǎo)與旋轉(zhuǎn)角的關(guān)系．
【詳解】解：點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)恰好在直線上，
，
，
，
，
，
故答案為：．
三、解答題
16. 解方程：
【答案】
【解析】
【分析】把右邊的項(xiàng)移到左邊，用提公因式法進(jìn)行因式分解求出方程的根．
【詳解】3x（x+1）-（2x+2）=0，
3x（x+1）-2（x+1）=0，
（x+1）（3x-2）=0，
∴x+1=0，3x-2=0，
∴x1=-1，x2=；
【點(diǎn)睛】本題考查的是用因式分解法解方程，根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，用提公因式法因式分解求出方程的根．
17. 已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，．
（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）若，求k的值及方程的兩根．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】本題主要考查一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵；
（1）根據(jù)一元二次方程根判別式直接進(jìn)行求解即可；
（2）由題意易得，則有，進(jìn)而求解即可．
【小問1詳解】
解：由題意得：
，
解得：；
【小問2詳解】
解：根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可知：，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴，
解得：．
18. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)為，，．
（1）以A為旋轉(zhuǎn)中心，將繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，畫出旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)的，C點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求（1）中，點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)所經(jīng)過路徑長．（結(jié)果保留根號(hào)和）
【答案】（1）見詳解，
（2）
【解析】
【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)作圖點(diǎn)的坐標(biāo)，勾股定理以及求弧長，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)畫出，再讀取點(diǎn)的坐標(biāo)，即可作答．
（2）運(yùn)用勾股定理求出，再求出弧長，即可作答．
【小問1詳解】
解：如圖所示：
，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；
【小問2詳解】
解：，
則點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)所經(jīng)過路徑長．
19. 如圖是一條隧道的橫截面，它的“拱頂”部分是以點(diǎn)O為圓心的圓的一部分，如果的半徑為，跨度為．
（1）求“拱頂”部分表示拱高的線段的長度；
（2）若要在離隧道中心處（即）安裝一支柱（垂直于），求支柱的長度．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查了圓周角定理，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
（1）先證明，然后在用勾股定理即可得到答案；
（2）作于，連接不妨設(shè)，先證明四邊形是矩形，然后推出，，，然后在中用勾股定理即可得到答案．
【小問1詳解】
解：，的半徑為
，
【小問2詳解】
解：作于，連接不妨設(shè)
，
四邊形是矩形
，，
在中，，，
，（舍）
20. 某校在學(xué)生中對“預(yù)防諾如病毒相關(guān)知識(shí)”知曉情況進(jìn)行專項(xiàng)調(diào)查，采取隨機(jī)抽樣方式抽取50人進(jìn)行問卷調(diào)查，問卷調(diào)查分為A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)．每人必選且只選其中一項(xiàng)，A類表示“非常了解”，B類表示“比較了解”，C類表示“基本了解”，D類表示“不太了解”．調(diào)查后的數(shù)據(jù)整理成不完整的統(tǒng)計(jì)表和四個(gè)選項(xiàng)所占比的扇形統(tǒng)計(jì)圖如下：
（1）表中的 ， ；
（2）若該校有學(xué)生名，根據(jù)調(diào)查結(jié)果估計(jì)該校學(xué)生中對預(yù)防諾如病毒相關(guān)知識(shí)“比較了解”的人數(shù)約為多少？
（3）若王老師和李老師要到選擇某一選項(xiàng)的學(xué)生中進(jìn)一步了解情況，試用“列表或畫樹狀圖”的方法求兩人選擇同一選項(xiàng)的學(xué)生了解情況的概率．
【答案】（1），
（2）人
（3）
【解析】
【分析】本題考查的是頻數(shù)分布表，樣本估計(jì)總體，扇形統(tǒng)計(jì)圖，用樹狀圖法求概率．
（1）根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖用選項(xiàng)的占比乘以得出的值，進(jìn)而根據(jù)頻數(shù)分布表求得的值，即可求解；
（2）用乘以選項(xiàng)的占比，即可求解；
（3）根據(jù)畫樹狀圖法求概率，即可求解．
【小問1詳解】
解：，
故答案為：，．
【小問2詳解】
解：（人）
答：根據(jù)調(diào)查結(jié)果估計(jì)該校學(xué)生中對預(yù)防諾如病毒相關(guān)知識(shí)“比較了解”的人數(shù)約為人
【小問3詳解】
解：畫樹狀圖如圖，
共有16種等可能結(jié)果，其中王老師和李老師兩人選擇同一選項(xiàng)的學(xué)生了解情況，有4種，
∴王老師和李老師兩人選擇同一選項(xiàng)的學(xué)生了解情況的概率為．
21. 如圖，已知，其中A、B、C三點(diǎn)在上，分別連接，，延長交于點(diǎn)M，交過點(diǎn)C的直線l于點(diǎn)P，．
（1）求證：是的切線；
（2）若直線l與相切，已知，半徑是5．求的面積．
【答案】（1）見詳解 （2）54
【解析】
【分析】本題主要考查切線的性質(zhì)與判定、平行四邊形的性質(zhì)及垂徑定理的推論，熟練掌握切線的性質(zhì)與判定、平行四邊形的性質(zhì)及垂徑定理的推論是解題的關(guān)鍵；
（1）由垂徑定理的推論可得，然后可得，進(jìn)而問題可求證；
（2）連接，由題意易得，然后根據(jù)勾股定理可得，則有，然后問題可求解．
【小問1詳解】
證明：∵過圓心O，且，
∴，即，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∵是的半徑，
∴是的切線；
【小問2詳解】
解：連接，如圖所示：
∵直線l與相切，
∴，
∵，半徑是5，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．
22. 某地某網(wǎng)店專門銷售甲乙兩種兒童套裝，乙每件的進(jìn)價(jià)比甲多5元，某次用1300元購進(jìn)兩種兒童套裝各20件．銷售中發(fā)現(xiàn)：甲種每天銷售件數(shù)y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間存在一次函數(shù)關(guān)系，如圖所示．
（1）求甲種兒童套裝每件的進(jìn)價(jià)；
（2）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫自變量的取值范圍）；
（3）網(wǎng)店每天甲種套裝的銷售量不低于250件，當(dāng)甲種套裝銷售單價(jià)為多少元時(shí)，每天銷售甲種套裝獲取的利潤最大，最大利潤是多少？
【答案】（1）30元 （2）
（3）當(dāng)銷售單價(jià)為45元是，每天銷售利潤最大，最大利潤是3750元
【解析】
【分析】對于（1），設(shè)甲種兒童套裝每件的進(jìn)價(jià)為x元，可知乙每件的進(jìn)價(jià)為元，再根據(jù)總價(jià)相等列出方程，求出解即可；
對于（2），將點(diǎn)代入關(guān)系式，求出答案；
對于（3），先列出利潤和銷售單價(jià)的二次函數(shù)關(guān)系式，再結(jié)合銷售量不低于250件得出自變量的取值范圍，討論極值即可．
【小問1詳解】
解：設(shè)甲種兒童套裝每件的進(jìn)價(jià)為x元，可知乙每件的進(jìn)價(jià)為元，根據(jù)題意，得
，
解得，
所以甲種兒童套裝每件的進(jìn)價(jià)是30元；
【小問2詳解】
解：設(shè)函數(shù)關(guān)系式為，根據(jù)題意，得
，
解得，
所以一次函數(shù)的關(guān)系式為；
【小問3詳解】
解：設(shè)每天銷售甲種套裝的總利潤為w，根據(jù)題意，得
，
且，
解得．
∵，
∴拋物線的開口向下，有最大值，對稱軸是，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)值w隨著x的增大而增大，
即當(dāng)時(shí)，元．
所以當(dāng)甲種套裝銷售單價(jià)為45元時(shí)，每天銷售甲種套裝獲取的利潤最大，最大利潤是3750元．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，求一次函數(shù)的關(guān)系式，一元一次方程的應(yīng)用，求二次函數(shù)的極值，一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)不等式求出自變量取值范圍得出最大值是解題的關(guān)鍵．
23. 在矩形中，，連接和的中點(diǎn)，，把四邊形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（）到四邊形的位置，的延長線交于點(diǎn)．
（1）當(dāng)點(diǎn)落在線段邊上時(shí)，如圖，直接寫出的度數(shù)、與的數(shù)量關(guān)系；
（2）當(dāng)，，在同一直線上時(shí)，如圖，交于點(diǎn)，求與的數(shù)量關(guān)系；
（3）當(dāng)，，在同一直線上時(shí)，如圖，交于點(diǎn)，探究與的數(shù)量關(guān)系．
【答案】（1）；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）連接，依題意得出邊形，是正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，進(jìn)而得出；證明四邊形是平行四邊形，得出；
（2）設(shè)，則；連接，，根據(jù)題意得出是等邊三角形，得出，根據(jù)含度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理得出，進(jìn)而求得，即可求解；
（3）證明得出，設(shè)，則，勾股定理可得；進(jìn)而求得，設(shè)，則，，勾股定理可得，進(jìn)而求得，即可求解．
【小問1詳解】
解：∵在矩形中，，連接和的中點(diǎn)，，
∴四邊形是矩形，
∴四邊形是正方形，
同理可得四邊形是正方形
如圖所示，連接，則
∵把四邊形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（）到四邊形的位置，
∴四邊形是正方形，
∴，
∵點(diǎn)落在線段邊上，是正方形的對角線
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
又∵四邊形是矩形，
∴，，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∴；
【小問2詳解】
解：設(shè)，則；
如圖所示，連接，，
∵四邊形是正方形，當(dāng)，，在同一直線上時(shí)，
∴
又∵，
∴
∴是等邊三角形，
∴
又∵
∴
在中，，
∴
∴
在中，
∴，
∴
∵
∴
在中，
∴
∴
在中，，，
∴
∴
∴；
【小問3詳解】
解：在和中，
∴
∴，
設(shè)，則，
在中，，
∴
解得：；
∴，，
∴，
∴，
連接
在中，
∴
∴
設(shè)，則，，
在中，
∴
解得：
∴
∴
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，含度角的直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
24. 在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過的三個(gè)頂點(diǎn)．其中點(diǎn)坐標(biāo)是，C點(diǎn)坐標(biāo)是．
（1）求a和c的值；
（2）若Q點(diǎn)在拋物線圖像上，平分，求Q點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）在直線上，是否存在一點(diǎn)E，過E點(diǎn)且互相垂直的兩條直線分別與拋物線有唯一公共點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）把A點(diǎn)坐標(biāo)是，C點(diǎn)坐標(biāo)是代入，解方程組即可求解；
（2）求出B點(diǎn)坐標(biāo)，求得的長，設(shè)交軸于點(diǎn)，作于，通過解直角三角形求得，進(jìn)而可求直線的函數(shù)解析式，再與聯(lián)立即可求出點(diǎn)Q坐標(biāo)；
（3）設(shè)，過點(diǎn)的直線為，將代入得，作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，同理可得直線，與聯(lián)立，令即可求出．
【小問1詳解】
解：將A點(diǎn)坐標(biāo)是，C點(diǎn)坐標(biāo)是代入，得，
解得；
【小問2詳解】
解：；；
，
，
，
令，
，
，
，
，
，
設(shè)交軸于點(diǎn)，作于，
平分，，
，
，
，
，
設(shè)直線為，
代入，
得，，
解得，，
，
，
解得（舍去），，
當(dāng)時(shí)，，
；
【小問3詳解】
解：設(shè)，過點(diǎn)直線為，
將代入得，
，
，
作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，
，，，
，
同理可得直線，
令，則，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
若直線與只有一個(gè)交點(diǎn)，
，
整理得：，
，
即，
同理可得，
可看作方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，一次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形相似的性質(zhì)和判定，解一元二次方程、解直角三角形等知識(shí)．第三問有難度，正確做輔助線，構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)鍵．
x
0
1
2
y
1
3
1
類別
頻數(shù)
x
0
1
2
y
1
3
1
類別
頻數(shù)

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