1．（2024·浙江杭州·二模）寫出與圓相切且方向向量為的一條直線的方程 ．
【答案】或（寫出一個即可）
【分析】由條件可設(shè)直線方程為，結(jié)合條件列方程求即可得結(jié)論.
【詳解】因?yàn)榍芯€的方向向量為，
所以切線的斜率為，
故可設(shè)切線方程為，
因?yàn)橹本€與圓相切，
又圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，
圓心到直線的距離為，
所以，
所以或，
所以與圓相切且方向向量為的直線為或，
故答案為：或（寫出一個即可）.
2．（2024·浙江麗水·二模）已知圓，若對于任意的，存在一條直線被圓所截得的弦長為定值，則 .
【答案】/
【分析】由圓的方程的特征求出，再將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，令、得到兩個圓的方程，兩圓作差得到公共弦方程，求出公共弦長，即可求出.
【詳解】圓，
則，解得，
所以圓，即，
由題設(shè)，令可得，令可得，
顯然兩圓相交，則兩圓方程作差可得，
由，解得或，
所以直線與圓相交的弦長為，
所以，則.
故答案為：
3．（2024·浙江寧波·二模）已知直線與圓相離，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)圓心到直線的距離大于半徑列不等式求解.
【詳解】圓即，
則圓圓心為，半徑為，
因?yàn)橹本€與圓相離
所以，解得.
故選：B.
4．（2024·浙江溫州·二模）已知圓與圓相交于兩點(diǎn)．若，則實(shí)數(shù)的值可以是（ ）
A．10B．2C．D．
【答案】BD
【分析】
根據(jù)題意，由條件可得弦所在的直線方程，然后將轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離關(guān)系，列出方程，代入計算，即可得到結(jié)果.
【詳解】由題意可得弦所在的直線方程為，
因?yàn)閳A，圓心，
圓，圓心，
設(shè)圓心與圓心到直線的距離分別為，
因?yàn)?，即?br>所以，又，
即，化簡可得，
即，解得或.
故選：BD
5．（2024·浙江·二模）如圖為世界名畫《星月夜》，在這幅畫中，文森特·梵高用夸張的手法，生動地描繪了充滿運(yùn)動和變化的星空.假設(shè)月亮可看作半徑為1的圓的一段圓弧，且弧所對的圓心角為.設(shè)圓的圓心在點(diǎn)與弧中點(diǎn)的連線所在直線上.若存在圓滿足：弧上存在四點(diǎn)滿足過這四點(diǎn)作圓的切線，這四條切線與圓也相切，則弧上的點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的最短距離的取值范圍為 .（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】
【分析】設(shè)弧的中點(diǎn)為，根據(jù)圓與圓相離，確定兩圓的外公切線與內(nèi)公切線，確定圓的位置，分析可得弧上的點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的最短距離.
【詳解】如圖，
設(shè)弧的中點(diǎn)為，弧所對的圓心角為，
圓的半徑，在弧上取兩點(diǎn)，則，
分別過點(diǎn)作圓的切線，并交直線于點(diǎn)，
當(dāng)過點(diǎn)的切線剛好是圓與圓的外公切線時，劣弧上一定還存在點(diǎn)，使過點(diǎn)的切線為兩圓的內(nèi)公切線，
則圓的圓心只能在線段上，且不包括端點(diǎn)，
過點(diǎn)，分別向作垂線，垂足為，則即為圓的半徑，
設(shè)線段交圓于點(diǎn)，則弧上的點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的最短距離即為線段的長度.
在中，，
則，
即弧上的點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的最短距離的取值范圍為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查了根據(jù)兩圓位置關(guān)系求距離的范圍的問題.可按如下結(jié)論求解：
相離的兩個圓（圓心分別為和 ,半徑分別為和）上的兩個動點(diǎn)之間的距離的最小值是兩圓心之間的距離減去兩圓的半徑，最大值是兩圓心之間的距離加上兩圓的半徑，即.
6．（2024·浙江紹興·二模）過原點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)，若，則直線的斜率為 .
【答案】或
【分析】首先判斷直線的斜率存在，設(shè)，，，聯(lián)立直線與圓的方程，消元，列出韋達(dá)定理，由，可得，代入即可求出.
【詳解】當(dāng)斜率不存在時，解得或，
因?yàn)榍?，即不滿足，故舍去；
當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)斜率為，則，
代入圓，得，
顯然，設(shè)，，
則，，
因?yàn)?，則，則，，
聯(lián)立可得，解得或．
故答案為：或．
7．（2024·浙江紹興·二模）過點(diǎn)作圓的切線，為切點(diǎn)，，則的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意可得，三角換元令，，，利用三角恒變換求出最大值.
【詳解】根據(jù)題意，設(shè)圓的圓心為，則，
，令，，，
則，其中，
所以的最大值為.
故選：D.
8．（2024·浙江嘉興·二模）已知圓，若圓上存在點(diǎn)使得，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由得到點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，依題意，問題轉(zhuǎn)化為兩個圓有公共點(diǎn)的問題，解不等式組即得.
【詳解】
如圖，由可知點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，設(shè)為圓，
因，故圓.
依題意知圓與圓必至少有一個公共點(diǎn).
因，則，
由，解得：.
故選：B.
橢圓
9.（2024·浙江紹興·二模）已知橢圓的離心率為，長軸長為4，則該橢圓的短軸長為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由離心率得到的關(guān)系式，代入的值，即可求得短軸長.
【詳解】由可得（*），
因，即，代入（*）解得，
故短軸長為
故選：B.
10．（2024·浙江杭州·二模）機(jī)場為旅客提供的圓錐形紙杯如圖所示，該紙杯母線長為，開口直徑為．旅客使用紙杯喝水時，當(dāng)水面與紙杯內(nèi)壁所形成的橢圓經(jīng)過母線中點(diǎn)時，橢圓的離心率等于 ．
【答案】/
【分析】依題意，利用等腰三角形求得,再由余弦定理求出橢圓長軸長，作出圓錐的軸截面交橢圓于點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，利用三角形重心性質(zhì)和相似三角形求出點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程即可求得半短軸長，利用離心率定義計算即得.
【詳解】
如圖，設(shè),因,故，又,
由余弦定理，，
即,
設(shè)橢圓中心為,作圓錐的軸截面,與底面直徑交于，與橢圓交于，
連交于，以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，建立直角坐標(biāo)系.
則,又由得,
從而則得,
不妨設(shè)橢圓方程為，把和點(diǎn)坐標(biāo)代入方程，解得，
則，故
故答案為：.
11．（2024·浙江臺州·二模）已知橢圓：，直線：交橢圓于M，N兩點(diǎn)，T為橢圓的右頂點(diǎn)，的內(nèi)切圓為圓Q.
(1)求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)求圓Q的方程；
(3)設(shè)點(diǎn)，過P作圓Q的兩條切線分別交橢圓C于點(diǎn)A，B，求的周長.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）化簡橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)的關(guān)系即可求得焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）先聯(lián)立方程求得，，求出直線的方程，然后利用待定系數(shù)法求得內(nèi)切圓的方程；
（3）設(shè)過P作圓Q的切線方程為，利用相切關(guān)系求得點(diǎn)A，B坐標(biāo)，進(jìn)而結(jié)合內(nèi)切圓的半徑利用三角形中等面積法求解即可.
【詳解】（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)椋越裹c(diǎn)坐標(biāo)為.
（2）將代入橢圓方程得，由對稱性不妨設(shè)，，
直線的方程為，即，
設(shè)圓Q方程為，由于內(nèi)切圓Q在的內(nèi)部，所以，
則Q到直線和直線的距離相等，即，解得，，
所以圓方程為.
（3）顯然直線和直線的斜率均存在，
設(shè)過P作圓Q的切線方程為，
其中k有兩個不同的取值和分別為直線和的斜率.
由圓Q與直線相切得：，化簡得：，
則，
由得，
可得，
所以
.
同理，，所以直線的方程為，
所以與圓Q相切，將代入得，
所以，又點(diǎn)P到直線的距離為，
設(shè)的周長為，則的面積，
解得.所以的周長為.

12．（2024·浙江麗水·二模）已知橢圓為左?右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，，直線經(jīng)過點(diǎn).若點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)在線段的延長線上，則的離心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，得到點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對稱，從而，在中，利用正弦定理得到，結(jié)合，即可求解.
【詳解】由直線，且點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)在線段的延長線上，
如圖所示，可得點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對稱，且,
故在中，則,故
又的傾斜角為，則，
故在中，有，，，
又由，可得，
即，
又因?yàn)椋?br>，
所以.
故選：B.
13．（2024·浙江·二模）已知橢圓左右兩個焦點(diǎn)分別為和，動直線經(jīng)過橢圓左焦點(diǎn)與橢圓交于兩點(diǎn)，且恒成立，下列說法正確的是（ ）
A．B．
C．離心率D．若，則
【答案】AB
【分析】根據(jù)橢圓定義利用通徑長可求得，由橢圓性質(zhì)可得，且離心率，聯(lián)立直線和橢圓方程可知當(dāng)，方程無解，因此D錯誤.
【詳解】如下圖所示：
易知，由橢圓定義可知，
因?yàn)楹愠闪?，所以?br>當(dāng)軸，即為通徑時，最小，所以，
解得，所以A正確；
當(dāng)為長軸時，最大，此時，所以，即B正確；
可得橢圓方程為，易知，所以離心率，即C錯誤；
因?yàn)?，可設(shè)直線的方程為，，
聯(lián)立，整理可得，
因此；
若，可得，即，所以；
整理得，此時方程無解，因此D錯誤.
故選：AB
14．（2024·浙江杭州·二模）已知是橢圓的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)與橢圓上的點(diǎn)的距離的最小值為1.
(1)求點(diǎn)的坐標(biāo).
(2)過點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)（與不重合），連接，交于點(diǎn).
（?。┳C明：點(diǎn)在定直線上；
（ⅱ）是否存在點(diǎn)使得，若存在，求出直線的斜率；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)；
(2)（?。┳C明見解析；（ⅱ）存在，
【分析】（1）設(shè)，利用兩點(diǎn)距離距離得，然后根據(jù)分類討論求解即可；
（2）（ⅰ）設(shè)直線，與橢圓方程聯(lián)立方程，結(jié)合韋達(dá)定理得，寫出直線，的方程，進(jìn)而求解即可；
（ⅱ）由題意點(diǎn)在以為直徑的圓上，代入圓的方程求得，寫出直線的方程，與橢圓聯(lián)立，求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而可得答案.
【詳解】（1）設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，則，
因?yàn)椋?br>①若，解得（舍去），
②若，解得（舍去）或，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)位.
（2）（ⅰ）設(shè)直線，
由，得，所以，
所以，①
由，得或，
易知直線的方程為，②
直線的方程為，③
聯(lián)立②③，消去，得，④
聯(lián)立①④，消去，則，
解得，即點(diǎn)在直線上；
（ⅱ）由圖可知，，即，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，
設(shè)，則，所以，即.
故直線的方程為，
直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，得，解得,
所以，所以,故.
15．（2024·浙江溫州·二模）已知直線與橢圓交于兩點(diǎn)，是橢圓上一動點(diǎn)（不同于），記分別為直線的斜率，且滿足．
(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)（用表示）；
(2)求的取值范圍．
【答案】(1)或（）；
(2).
【分析】（1）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法求得，再聯(lián)立直線與橢圓方程求解即得.
（2）利用（1）的結(jié)論求出，再借助基本不等式求出范圍即可.
【詳解】（1）依題意，點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對稱，設(shè)，則，
則，兩式相減得，于是，
由，整理得，解得或，
用代替上述坐標(biāo)中的k，得或（）.
（2）由（1）得，，
，
，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
顯然，所以，即的取值范圍是.

16．（2024·浙江寧波·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，定義為兩點(diǎn)間的“曼哈頓距離”.已知橢圓，點(diǎn)在橢圓上，軸.點(diǎn)滿足.若直線與的交點(diǎn)在軸上，則的最大值為 .
【答案】
【分析】先根據(jù)條件找出坐標(biāo)的關(guān)系，結(jié)合三角換元可得答案.
【詳解】設(shè),由題意，；
不妨設(shè)點(diǎn)位于第一象限，由可得,
設(shè)直線與的交點(diǎn)為，則有,;
，
由可得，整理得①；
，
由可得，整理得②；
聯(lián)立①②可得，由題意，所以，
由橢圓的對稱性可知，
，
因?yàn)椋O(shè)，，
，其中；
所以當(dāng)時，取到最大值.
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題求解的關(guān)鍵有三個：一是理解新定義的含義；二是根據(jù)條件找出坐標(biāo)的關(guān)系;三是借助三角函數(shù)求解最值.
17．（2024·浙江·二模）已知橢圓的左頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)B，焦距為，直線l交橢圓L于C，D（不同于橢圓的頂點(diǎn)）兩點(diǎn)，直線AD交y軸于M，直線BC交x軸于N，且直線MN交l于P.
(1)求橢圓L的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線AD，BC的斜率相等，證明：點(diǎn)P在一條定直線上運(yùn)動.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由頂點(diǎn)坐標(biāo)和焦距可求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線AD，BC的斜率為k，聯(lián)立直線和橢圓方程，得到聯(lián)立直線和橢圓方程由于，所以，可得點(diǎn)，利用消元法可得點(diǎn)P的軌跡方程，即可得證.
【詳解】（1）由已知得：，所以，所以橢圓
（2）設(shè)直線的斜率為.
則直線，直線，得
聯(lián)立得，易知.
由，得，于是.
同理：
由于，所以，即，得①，
同理②，
由①②得，
故點(diǎn)在直線上運(yùn)動.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，得到點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得解.
雙曲線
18.（23-24高三下·山東菏澤·階段練習(xí)）雙曲線的漸近線方程為，則（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【分析】借助漸近線的定義計算即可得.
【詳解】由題意可得，又，故.
故選：D.
19．（2024·浙江·二模）雙曲線的離心率e的可能取值為（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【分析】由題得到或，再利用離心率，即可求出結(jié)果.
【詳解】由，得到或，
當(dāng)時，，
當(dāng)，雙曲線，，
所以，
故選：A.
20．（2024·浙江溫州·二模）已知，分別是雙曲線與拋物線的公共點(diǎn)和公共焦點(diǎn)，直線傾斜角為，則雙曲線的離心率為 ．
【答案】或
【分析】
由題意，根據(jù)直線傾斜角為得直線的方程為，聯(lián)立得點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線方程即可得離心率.
【詳解】
因?yàn)闉殡p曲線與拋物線的公共焦點(diǎn)，
所以，故，
因直線傾斜角為，故直線的斜率為，直線的方程為，
聯(lián)立，得，即，
得或，
當(dāng)時，，代入得，
又因，，得，
解得，又因，得
當(dāng)時，，代入得，
又因，，得，
解得，又因，得
故答案為：或.
21．（2024·浙江臺州·二模）設(shè)，是雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)分別在雙曲線的左、右兩支上，且滿足，，則雙曲線的離心率為（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】設(shè)與的交點(diǎn)為，，進(jìn)而根據(jù)下向量關(guān)系得，再結(jié)合雙曲線的性質(zhì)即可得，，進(jìn)而結(jié)合余弦定理求得，最后在中利用余弦定理求得，進(jìn)而可得答案.
【詳解】解：如圖，設(shè)與的交點(diǎn)為，，
因?yàn)?，所以?br>所以，由雙曲線的定義可知：，，
因?yàn)椋裕?br>所以，，
所以，，
所以，在中，，
所以 ，由余弦定理有：，
代入，，，整理得，
解得，（舍），
所以，,，，
所以，在中，由余弦定理有：，
代入數(shù)據(jù)整理得：，
所以，雙曲線的離心率為：.
故選：B
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵在于利用向量的關(guān)系得到，進(jìn)而在中結(jié)合余弦定理求得.
22．（2024·浙江紹興·二模）已知點(diǎn)A，B，C都在雙曲線：上，且點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對稱，.過A作垂直于x軸的直線分別交，于點(diǎn)M，N.若，則雙曲線的離心率是（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】設(shè)，由且軸得，注意到，也就是，而，，即，由此結(jié)合離心率公式即可求解.
【詳解】
不妨設(shè)，由且軸，
所以，所以，
從而，即，
設(shè)點(diǎn)，且它在雙曲線上，
，
即，其中，，
從而，.
故選：B.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是得到，，，由此即可順利得解.
23．（2024·浙江紹興·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，動點(diǎn)（）與定點(diǎn)的距離和到直線：的距離之比是常數(shù)．
(1)求動點(diǎn)的軌跡方程；
(2)記動點(diǎn)的軌跡為曲線，過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，直線與曲線的另一個交點(diǎn)為.
（i）求的值；
（ii）記面積為，面積為，面積為，試問是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由．
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）是，3
【分析】（1）根據(jù)題意列出方程，化簡，即可求得答案；
（2）（i）設(shè)，，，設(shè)直線方程為，聯(lián)立曲線C的方程，可得根與系數(shù)關(guān)系式，同理設(shè)直線方程為，化簡可得，即可求得答案；（ii）分別求出，的表達(dá)式，即可得到的表達(dá)式，化簡即可得結(jié)論.
【詳解】（1）由題意可知，，
化簡得，于是，動點(diǎn)的軌跡方程為．
（2）（i）設(shè)，，，不妨假設(shè)在第一象限，
則E在第四象限，
由題意知的斜率存在且不為0，
設(shè)直線方程為，代入可得，
需滿足，所以，
,直線方程為，代入，
可得，，則，
因?yàn)椋?，所以?br>即.
同理，，，即，所以，則關(guān)于x軸對稱，
所以；
（ii）.
所以，.
綜上，為定值．
【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)點(diǎn)睛：解答此類直線和圓錐曲線的位置關(guān)系類題目，綜合性較強(qiáng)，難度較大，容易出錯的地方在于復(fù)雜的計算，并且基本都是字母參數(shù)的運(yùn)算，因此要求計算時要十分細(xì)心.
24．（2024·浙江·二模）已知雙曲線左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線上，且點(diǎn)到雙曲線兩條漸近線的距離乘積為，過分別作兩條斜率存在且互相垂直的直線，，已知與雙曲線左支交于，兩點(diǎn)，與左右兩支分別交于，兩點(diǎn).
(1)求雙曲線的方程；
(2)若線段，的中點(diǎn)分別為，，求證：直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).
【答案】(1)
(2)證明見解析，
【分析】（1）根據(jù)題意，列出的方程組求出得解；
（2）設(shè)直線的方程為，可得的方程，分別與雙曲線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求出點(diǎn)的坐標(biāo)，表示直線的方程，令求得是定值.
【詳解】（1）設(shè)雙曲線的兩漸近線方程分別為，，
點(diǎn)到雙曲線兩漸近線的距離乘積為，
由題意可得：，解得，，
所以雙曲線的方程為.
（2）設(shè)直線的方程為，
由，互相垂直得的方程，
聯(lián)立方程得，消得，
成立，所以，，
所以點(diǎn)坐標(biāo)為，
聯(lián)立方程得，所以，，
所以點(diǎn)坐標(biāo)為，
根據(jù)對稱性判斷知定點(diǎn)在軸上，
直線的方程為，
則當(dāng)時，，
所以直線恒過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是采用設(shè)線法再聯(lián)立雙曲線方程從而解出點(diǎn)的坐標(biāo)，再得到直線的方程，最后令即可得到其定點(diǎn)坐標(biāo).
25．（2024·浙江嘉興·二模）已知雙曲線的虛軸長為4，漸近線方程為.
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過右焦點(diǎn)的直線與雙曲線的左?右兩支分別交于點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)且與垂直的直線交直線于點(diǎn)，點(diǎn)滿足，求四邊形面積的最小值.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）由雙曲線的性質(zhì)求出即可；
（2）設(shè)直線，直曲聯(lián)立，把坐標(biāo)結(jié)合韋達(dá)定理用表示出來，利用由三點(diǎn)共線和解得，然后由弦長公式和點(diǎn)到直線的距離表示出四邊形的面積，令，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后分析單調(diào)性，得到最值.
【詳解】（1）由題意可知，
又浙近線方程為，所以，
易知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）
設(shè)，聯(lián)立方程得，
且，
由三點(diǎn)共線得①，
由得，即②，
由①②解得.
由可知，四邊形是平行四邊形，所以，
，
，
所以，
令，則，
令，則，
所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求雙曲線等圓錐曲線內(nèi)四邊形面積時常用韋達(dá)定理結(jié)合弦長公式表示，求面積的最值時常構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)分析.
26．（2024·浙江寧波·二模）已知雙曲線，上頂點(diǎn)為，直線與雙曲線的兩支分別交于兩點(diǎn)（在第一象限），與軸交于點(diǎn).設(shè)直線的傾斜角分別為.
(1)若，
（i）若，求；
（ii）求證：為定值；
(2)若，直線與軸交于點(diǎn)，求與的外接圓半徑之比的最大值.
【答案】(1)（i）；（ii）證明見解析.
(2)2
【分析】（1）（i）先求直線的方程，聯(lián)立雙曲線方程求得點(diǎn)的坐標(biāo)，求直線斜率，進(jìn)而求解即可；（ii）法1，設(shè)直線的方程為形式，并聯(lián)立雙曲線方程，求直線的斜率的斜率和，進(jìn)而得證為定值；法2，設(shè)直線的方程為形式，并聯(lián)立雙曲線方程，求直線的斜率的斜率和，進(jìn)而得證為定值；
（2）先對直線、斜率不存在的情形進(jìn)行驗(yàn)證；法1：和均存在時，設(shè)，求得，從而得到與的外接圓半徑之比的最大值；法2，和均存在時，由三點(diǎn)共線可得，求得的值和，從而得到與的外接圓半徑之比的最大值；法3，若和均存在，設(shè)，則，得到，求得，從而得到與的外接圓半徑之比的最大值.
【詳解】（1）（i），所以直線.
直線與聯(lián)立可得，解得或，所以.
所以，所以；
（ii）法1：①直線斜率存在時，可設(shè)直線的方程為，設(shè)
由得
所以.
當(dāng)時，由（i）可得；
當(dāng)時，設(shè)的斜率分別為.
.
所以，
.
所以.
因?yàn)樵诘谝幌笙?，所以，所以，所?
②直線斜率不存在時，可得，
可得，
所以，同理可得.
綜上可得，為定值，得證.
法2：①時，由（i）可得；
②時，設(shè)的斜率分別為.
設(shè)，由在直線上可得.
與聯(lián)立可得，
即，
所以就是方程的兩根.
所以，
，
因?yàn)樵诘谝幌笙?，所以，所以，所?
綜上可得，為定值，得證.
（2）由（1）可得時，.
①不存在，則，由①（i）可得，所以，
所以.
②不存在，則，則，
此時，由圖可得.
③法1：若和均存在，設(shè)，則
與雙曲線聯(lián)立可得.
所以.
所以，
所以.
設(shè)與的外接圓半徑分別為，
從而.等號當(dāng)且僅當(dāng)時取到.
所以與的外接圓半徑之比的最大值為2.
法2：若和均存在，設(shè)，則.
由三點(diǎn)共線可得.
所以，所以.
所以
.
所以，所以.
設(shè)與的外接圓半徑分別為，
從而.等號當(dāng)且僅當(dāng)時取到.
所以與的外接圓半徑之比的最大值為2.
法3：若和均存在，設(shè)，則，
則.
記直線的傾斜角為，則，所以
所以.
設(shè)與的外接圓半徑分別為，
從而.等號當(dāng)且僅當(dāng)時取到.
所以與的外接圓半徑之比的最大值為2.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
拋物線
27.（2024·浙江·二模）拋物線的焦準(zhǔn)距是（ ）
A．B．C．3D．6
【答案】A
【分析】根據(jù)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程求出即可得解.
【詳解】化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，
所以，，
即焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離為，
故選：A
28．（2024·浙江麗水·二模）已知拋物線，點(diǎn)在拋物線上，且在軸上方，和在軸下方（在左側(cè)），關(guān)于軸對稱，直線交軸于點(diǎn)，延長線段交軸于點(diǎn)，連接.
(1)證明：為定值（為坐標(biāo)原點(diǎn)）；
(2)若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且，求的內(nèi)切圓的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)已知條件作出圖形，設(shè)出直線的方程，與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及直線的點(diǎn)斜式方程即可求解；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，進(jìn)而得出直線的方程，利用直線的斜率公式及直線的點(diǎn)斜式方程，結(jié)合角平分線的性質(zhì)及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解.
【詳解】（1）設(shè)直線的方程為，則，
由，消去，得，
，
所以，
直線的方程為，化簡得，
令，得，所以
因此.
（2）因?yàn)辄c(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由（1）可知，，
設(shè)交拋物線于，，如圖所示
又由（1）知，，同理可得，得，
又，
，
又，
則，
故結(jié)合，得.
所以直線的方程為
又，
則，
所以直線的方程為，
設(shè)圓心,
因?yàn)闉榈钠椒志€，故點(diǎn)到直線和直線的距離相等，
所以，因?yàn)?，解得?br>故圓的半徑，
因此圓的方程為.
29．（2024·浙江紹興·二模）已知拋物線：，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，過兩點(diǎn)分別作拋物線的兩條切線交于點(diǎn)，若為正三角形，則的值為 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】可得關(guān)于軸對稱，且軸，則兩條切線的交點(diǎn)在軸上，設(shè)，，可設(shè)，聯(lián)立拋物線得，從而將代入直線與拋物線，即可得的值.
【詳解】
由題意可得關(guān)于軸對稱，且軸，則兩條切線的交點(diǎn)在軸上，
設(shè)，
因?yàn)闉檎切?，不妨取，則，
聯(lián)立，可得，
則，可得，
所以，代入，可得，
又，聯(lián)立解得.
故選：C.
30．（18-19高二下·福建廈門·階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，以F為圓心的圓交于A，B兩點(diǎn)，交的準(zhǔn)線于C，D兩點(diǎn)，若四邊形ABCD是矩形，則圓的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】依題意知，圓的圓心坐標(biāo)為，且點(diǎn)為該矩形對角線的交點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線的距離與點(diǎn)到的距離相等，可求得直線的方程為：，從而可求得 點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求得圓的半徑，于是可得答案.
【詳解】解：由題可得：拋物線的焦點(diǎn)為 ，
所以圓的圓心坐標(biāo)為，
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，且為 直徑，為直徑，為圓的圓心,
所以點(diǎn)為該矩形對角線的交點(diǎn)，
所以點(diǎn)到直線的距離與點(diǎn)到的距離相等，
故點(diǎn)到直線的距離 ，
所以直線的方程為： ，
所以 ，
故圓的半徑 ，
所以圓的方程為.
故選：D
【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的確定，分析得到點(diǎn)F為該矩形ABCD的兩條對角線的交點(diǎn)是關(guān)鍵，考查作圖、分析與運(yùn)算能力，屬于中檔題.
31．（2024·浙江杭州·二模）過點(diǎn)的直線與拋物線C：交于兩點(diǎn)．拋物線在點(diǎn)處的切線與直線交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，則（ ）
A．直線與拋物線C有2個公共點(diǎn)
B．直線恒過定點(diǎn)
C．點(diǎn)的軌跡方程是
D．的最小值為
【答案】BC
【分析】設(shè)出直線的方程為，代入，然后寫出切線方程，結(jié)合韋達(dá)定理可判斷AB；根據(jù)B可得的軌跡方程，從而判斷C；利用弦長公式及點(diǎn)到直線的距離公式表示出，然后利用導(dǎo)數(shù)的知識求出最值進(jìn)而判斷D.
【詳解】設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，消去得，則，
對于A：拋物線在點(diǎn)處的切線為，
當(dāng)時得，即，
所以直線的方程為，整理得，
聯(lián)立，消去的，解得，即直線與拋物線C相切，A錯誤；
對于B：直線的方程為，整理得，此時直線恒過定點(diǎn)，B正確；
對于C：又選項(xiàng)B可得點(diǎn)在以線段為直徑的圓上，點(diǎn)除外，故點(diǎn)的軌跡方程是，C正確；
對于D： ，
則，
令，
則，
設(shè)，
則，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
所以，D錯誤.
故選：BC.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：直線與拋物線聯(lián)立問題
第一步：設(shè)直線方程：有的題設(shè)條件已知點(diǎn)，而斜率未知；有的題設(shè)條件已知斜率，點(diǎn)不定，都可由點(diǎn)斜式設(shè)出直線方程．
第二步：聯(lián)立方程：把所設(shè)直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去一個元，得到一個一元二次方程．
第三步：求解判別式：計算一元二次方程根的判別式.
第四步：寫出根之間的關(guān)系，由根與系數(shù)的關(guān)系可寫出．
第五步：根據(jù)題設(shè)條件求解問題中的結(jié)論．
32．（2024·浙江嘉興·二模）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn).如圖，已知拋物線的準(zhǔn)線為為坐標(biāo)原點(diǎn)，在軸上方有兩束平行于軸的入射光線和，分別經(jīng)上的點(diǎn)和點(diǎn)反射后，再經(jīng)上相應(yīng)的點(diǎn)和點(diǎn)反射，最后沿直線和射出，且與之間的距離等于與之間的距離.則下列說法中正確的是（ ）
A．若直線與準(zhǔn)線相交于點(diǎn)，則三點(diǎn)共線
B．若直線與準(zhǔn)線相交于點(diǎn)，則平分
C．
D．若直線的方程為，則
【答案】ACD
【分析】對A，設(shè)直線，與拋物線聯(lián)立，可得，驗(yàn)證得解；對B，假設(shè)，又由拋物線定義得，可得，即，這與和相交于A點(diǎn)矛盾，可判斷；對C，結(jié)合A選項(xiàng)有，，根據(jù)，運(yùn)算可得解；對D，可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出，利用向量夾角公式運(yùn)算得解.
【詳解】對于選項(xiàng)A，因?yàn)橹本€經(jīng)過焦點(diǎn)，設(shè)，，直線，
與拋物線聯(lián)立得，，
由題意得，，
所以，
即三點(diǎn)共線，故A正確；
對于選項(xiàng)B，假設(shè)，又，
所以，所以，這與和相交于A點(diǎn)矛盾，故B錯誤；
對于選項(xiàng)C，與距離等于與距離，又結(jié)合A選項(xiàng)，則，
所以，故C正確；
對于選項(xiàng)D，由題意可得，，
，
，
，故D正確.
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：A選項(xiàng)，判斷三點(diǎn)共線，即轉(zhuǎn)化為驗(yàn)證，設(shè)出直線的方程與拋物線聯(lián)立，求出點(diǎn)坐標(biāo)，表示出的斜率判斷；B選項(xiàng)，利用反證法，假設(shè)，結(jié)合拋物線定義可得與條件矛盾；C選項(xiàng)，根據(jù)題意可得，結(jié)合A選項(xiàng)的結(jié)論可判斷；D選項(xiàng)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出，利用向量夾角公式運(yùn)算.
33．（2024·浙江紹興·二模）已知拋物線：的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，過點(diǎn)作直線交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，.
(1)求的方程；
(2)求的值；
(3)設(shè)直線交C于另一點(diǎn)Q，求點(diǎn)B到直線距離的最大值.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）由焦準(zhǔn)距的定義求出的值即得；
（2）設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立消元，得到韋達(dá)定理，分別化簡計算和，再整體代入計算即得定值；
（3）設(shè)點(diǎn)表示出直線、、的方程，分別利用過點(diǎn)， 過點(diǎn)得出與，與的關(guān)系式，消去，整理得，再與方程比較得出過定點(diǎn)，從而得到結(jié)論.
【詳解】（1）因?yàn)榻裹c(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，所以，
所以拋物線的方程為.
（2）
如圖，設(shè)，，直線的方程為，
由得，所以（*）
由
，將（*）代入整理得：
.
又
，將（*）代入整理得：
所以，.
（3）設(shè)，，，
則直線的斜率，
所以直線的方程為，
即.
同理，直線方程為，
直線方程為.
因?yàn)橹本€經(jīng)過，所以，
解得，
因?yàn)橹本€經(jīng)過，所以，
解得，
所以，整理得.
又因?yàn)橹本€的方程為，
所以直線經(jīng)過定點(diǎn)，
所以，當(dāng)時，點(diǎn)到直線距離取得最大值為.

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