一、單選題（共40分）
1. 命題“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】利用全稱量詞命題的否定直接判斷得解.
【詳解】命題“，”是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，
所以命題“，”的否定為“，”.
故選：B
2. 已知全集為R，集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知集合的描述，結(jié)合交、并、補運算即可判斷各選項的正誤
【詳解】A中，顯然集合A并不是集合B子集，錯誤.
B中，同樣集合B并不是集合A的子集，錯誤.
C中，，錯誤.
D中，由，則，，正確.
故選：D．
3. 設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的零點所在的區(qū)間為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由零點存在性定理判斷即可.
【詳解】和均為增函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.
又，，
由零點存在性定理得，函數(shù)存在唯一零點在區(qū)間上.
故選：C.
4. 小明同學(xué)在公園散步時，對公園的扇形石雕（圖1）產(chǎn)生了濃厚的興趣，并畫出該扇形石雕的形狀（圖2），在扇形AOB中，，則扇形AOB的面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)扇形面積公式即可求解．
【詳解】由已知可得扇形的圓心角，扇形半徑，
則扇形面積為
故選：A.
5. 下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式判斷奇偶性和單調(diào)性即可.
【詳解】因為在上單調(diào)遞減，不合題意；
因為不是奇函數(shù)，不合題意；
因為不是奇函數(shù)，不合題意；
因為在上單調(diào)遞增，且，是奇函數(shù)，符合題意.
故選：C
6. 若，，則（ ）
A. B. 1C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】利用對數(shù)運算公式和換底公式計算.
【詳解】因為，，所以，，
所以，，因此，．
故選：B.
7. 已知定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時，.則（ ）
A. 5B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出周期，再利用周期代入即可求值.
【詳解】因為，所以,
所以的周期為4，則，又，令得：，
因為當(dāng)時，，所以，所以.
故選：D
8. 已知函數(shù)，，若，則下列各式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象交點問題，根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式、導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進行逐一判斷即可.
【詳解】由題可得，即，
在同一坐標(biāo)系中分別繪出函數(shù)，，圖象，

由，可知，由，可得，
聯(lián)立，解得，
因為函數(shù)與互為反函數(shù)，所以由反函數(shù)性質(zhì)知、關(guān)于對稱，
則，，且，，
對于A，，故A錯誤；
對于B，由，，
則，故B正確；
對于C，因為，故C錯誤；
對于D，，故D錯誤.
故選：B.
二、多選題（共18分）
9. 下列說法正確的是（ ）
A. 若的值域為，則的值域為
B. 函數(shù)且的圖象恒過定點
C. 函數(shù)的最小值為
D. “”是“關(guān)于的方程有一正根和一負根”的充要條件
【答案】CD
【解析】
【分析】由圖象的平移判斷A；求函數(shù)且的圖象恒過定點，即可判斷B；
利用換元法及對勾函數(shù)的性質(zhì)，求出函數(shù)的最小值，即可判斷C；
求出方程有一正根和一負根時，的范圍，即可判斷D．
【詳解】解：對于A，因為的圖象是由的圖象向右平移1個單位得到的，
又因為的值域為，所以的值域也為，故A錯誤；
對于B，因為函數(shù)且圖象過定點，故B錯誤；
對于C，令，則函數(shù)即為，
由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，
所以，即函數(shù)的最小值為，故C正確；
對于D，當(dāng)關(guān)于的方程有一正根和一負根，
則有，解得，
所以“”是“關(guān)于的方程有一正根和一負根”的充要條件，故D正確．
故選：CD．
10. 已知函數(shù).則下列說法正確的是（ ）
A. ，則
B. 的值域為
C. 當(dāng)時，有2個不相等的實數(shù)根，則
D. 若在上單調(diào)遞減，則的取值范圍為
【答案】AD
【解析】
【分析】對于A，列方程求解驗算即可；對于B，直接驗算值域即可；對于C，注意到當(dāng)時，，此時有一個實數(shù)根，從而只需，由此即可判斷；對于D，只需且，解不等式組即可判斷.
【詳解】對于A，若，解得，故A正確；
對于B，若，則時，，時，，故B錯誤；
對于C，若有2個不相等的實數(shù)根，注意到當(dāng)時，，∴此時有一個實數(shù)根，
∴還需使得時，有一個實數(shù)根，
又時，，∴，解得，故C錯誤；
對于D，在上單調(diào)遞減，
首先時，單調(diào)遞減，有，
其次時，顯然單調(diào)遞減，
最后還需滿足，解得，故D正確.
故選：AD.
11. 如圖所示為函數(shù)（，）的部分圖象，則下列說法正確的是（ ）
A.
B. 在區(qū)間上單調(diào)遞增
C. 將的圖象向右平移個單位可以得到的圖象
D. 方程在上有三個根
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)給定的函數(shù)圖象，利用五點法作圖求出函數(shù)解析式，再逐項求解判斷.
【詳解】觀察圖象，得的最小正周期，解得，
由，得，而，解得，
對于A，，A正確；
對于B，當(dāng)時，，當(dāng)，即時，
取得最大值，因此在區(qū)間上不單調(diào)，B錯誤；
對于C，，C正確；
對于D，當(dāng)時，，由，得或，
因此方程在上有2個根，D錯誤.
故選：AC
第II卷（非選擇題）
三、填空題（共15分）
12. 函數(shù)在上的最大值是_______．
【答案】2
【解析】
【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性求解.
【詳解】令，設(shè)且，
，
當(dāng)且時，，
則，即，
可得在上單調(diào)遞減，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，
故當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，最大值為2．
故答案為：2.
13. 計算：_______；_______．
【答案】 ①. 3 ②.
【解析】
【分析】結(jié)合指數(shù)、對數(shù)的運算法則，即可求解．
【詳解】，
.
故答案為：3；.
14. 設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，也叫取整函數(shù)，例如：，，若函數(shù)，則的定義域是__________，值域是__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】結(jié)合函數(shù)新定義，令可得定義域；然后分兩方面證明的值域是即可.
【詳解】令，得的定義域是，下面求值域：
一方面，根據(jù)高斯函數(shù)的定義，有.
故對，由，有，；
對，由，有，.
所以對任意，都有.
另一方面，對任意，有，；對任意，有
所以的值域一定包含.
綜合以上兩個方面，可知的值域是.
故答案為：，.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是能理解高斯函數(shù)的定義.
四、解答題（共77分）
15. （1）已知，求的表達式；
（2）已知奇函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，．求函數(shù)的解析式．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）在原式中用替換，得，與原式聯(lián)立方程組，求解即可．
（2）設(shè)，可得出，求出的表達式，利用奇函數(shù)的性質(zhì)可得出函數(shù)在時的解析式．
【詳解】在中用替換，得，
于是有，
消去，得．
所求函數(shù)的表達式為．
（2）奇函數(shù)的定義域為．
當(dāng)時，，又當(dāng)時，，
，
．
故．
16. （1）已知，在第二象限，求，的值；
（2）已知，求的值；
（3）已知，，求的值.
【答案】（1）（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系代入計算即可得到，從而得到；
（2）將原式化為齊次式，代入計算，即可得到結(jié)果.
（3）結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系解出方程即可.
【詳解】（1）在第二象限，
，
.
（2）由，
所以
（3）因為，且，解得或（舍去），
則.
17. 已知函數(shù)，其中．
（1）求的定義域；
（2）判斷的奇偶性，并給予證明；
（3）求使的x取值范圍．
【答案】（1）；（2）奇函數(shù)，證明見解析；（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)對數(shù)的定義知真數(shù)大于0，即可求定義域；
（2）利用奇偶性的定義得知函數(shù)為奇函數(shù)；
（3）由，可得，即可求解.
【詳解】(1)∵已知,∴,即,解得,故f(x)的定義域為(?1,1).
(2)∵的定義域關(guān)于原點對稱, ,故函數(shù)是奇函數(shù)．
(3)由>0可得,即,解得,故求使>0的的取值范圍是(0,1).
【點睛】判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個必備條件：
(1)定義域關(guān)于原點對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；
(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關(guān)系．在判斷奇偶性的運算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價等量關(guān)系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù)))是否成立．
18. 已知函數(shù).
（1）求該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若對任意，都有，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）易得，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解；
（2）由得到，根據(jù)，得到，則由求解.
【小問1詳解】
，
，
令，，則，，
故該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，；
小問2詳解】
對任意，都有可得，
所以，
又，所以，
要滿足對任意，都有，則有，
解得：，
所以實數(shù)的取值范圍為.
19. 已知函數(shù)（，且）過點．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）若函數(shù)為的反函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，求的取值范圍；
（3）若函數(shù)，其中為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，已知函數(shù)，對于任意，都存在，使得等式成立，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）把點代入解析式即可求得結(jié)果；
（2）利用反函數(shù)概念求出的解析式，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可求得參數(shù)的取值范圍；
（3）根據(jù)條件求出和的解析式，將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，再利用換元法并分離參數(shù)結(jié)合基本不等式即可求得結(jié)果.
【小問1詳解】
函數(shù)過點，可得，
解得，
故函數(shù)的解析式為，
【小問2詳解】
因為函數(shù)為的反函數(shù)，所以，
易知在上為單調(diào)遞減函數(shù)，
又在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因此，解得；
所以的取值范圍為；
【小問3詳解】
因為，所以；
由為奇函數(shù)，為偶函數(shù)可知，
可得；
又，對于任意都有，
因為對于任意，都存在，使得等式成立,
所以在上恒成立，
因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
即在上單調(diào)遞減，所以；
令，
則，
等價成在上恒成立，
可得，因此；
又，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
即，
因此實數(shù)的取值范圍為.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決第（3）問的關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，則，分離參數(shù)可知在上恒成立，由基本不等式計算可得結(jié)果.

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